S11 s2 - CORDENADAS CILINDRICAS Y ESFÉRICAS

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INTEGRALES TRIPLES: 
COORDENADAS CILINDRICAS Y 
ESFÉRICAS.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce y aplica propiedades de 
la integral triple en coordenadas esféricas para calcular el volumen de un sólido y 
así modelar problemas de las Ciencias Básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
COORDENADAS 
CILINDRICAS Y 
ESFÉRICAS.
Teoría y 
ejercicios.
¿ Para que sirve ?
• En el caso de geometría para calcular volúmenes 
de solidos. 
• Momentos de Inercia de cuerpos en el espacio, 
momentos estáticos .
• En la construcción estructuras metálicas.
• Entre otras.
INTEGRALES TRIPLES.
1.Coordenadas Cilíndricas.
INTEGRALES TRIPLES.
• Sea 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ3 → ℝ , una función de tres variables. 
Consideremos el siguiente cambio de coordenadas.
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝜽 ;
𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏 𝜽 ;
𝒛 = 𝒛
• Con Jacobiano 𝐽 = 𝑟 entonces la integral triple se transforma de la 
siguiente manera.
ම
𝑺
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 =ම
𝑺
𝒇 𝒓𝒄𝒐𝒔(𝜽), 𝒓𝒔𝒊𝒏(𝜽), 𝒛 ∙ 𝒓𝒅𝒛𝒅𝒓𝒅𝜽
Ejemplo.
Ejemplo.
2. Coordenadas Esféricas.
COORDENADAS ESFÉRICAS.
• Considere 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ3 → ℝ una función continua sobre S, entonces la 
transformación de la integral triple en coordenadas esféricas esta 
dado por:
ම
𝑆
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =ම
𝑆
𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 sin 𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 , rcos(𝜑)) ∙ 𝑟2 sin 𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃
EJEMPLO:
EJEMPLO.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
1. Calcular la siguiente integral triple.
න
0
2𝑅
න
− 2𝑅𝑥−𝑥2
2𝑅𝑥−𝑥2
න
0
4𝑅2−𝑥2−𝑦2
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
3. Pruebe que:
ම
𝑉
1 −
𝑥2
4
−
𝑦2
16
−
𝑧2
9
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 6𝜋
Donde: 
𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 :
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑧2
9
≤ 1
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar la 
región y elegir el 
tipo de cambio de 
coordenadas más 
natural.
2.No olvidar el 
jacobiano, al tiempo 
de utilizar los 
cambios de 
coordenadas.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
coordenadas 
cilíndricas y esféricas.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones