REPORTE de ejercicios de calculo vectorial unidad 5

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MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 5 
 
 CALCULO VECTORIAL 
 
 
 
Introducción 
 
El Cálculo Vectorial tiene como objetivo principal, estudiar los principales conceptos y 
métodos del Cálculo Diferencial e Integral de varias variables, así como 
Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Ecuaciones 
paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. Derivada de una 
curva en forma paramétrica. Tangentes a una curva.mo sus significados geométrico y 
físico. 
Consiste básicamente en una flecha o segmento rectilíneo orientado, es decir, con una 
determinada longitud, dirección y sentido, y que contiene toda la información de la 
magnitud que se está midiendo. Por tanto, todas las magnitudes físicas vectoriales 
se pueden representar gráficamente mediante vectores. 
El cálculo vectorial también es muy utilizado en el cálculo de estructuras de edificios y 
de máquinas. Como nos podemos dar cuenta el cálculo vectorial es fundamental para la 
ingeniería industrial pero especialmente en la rama de ingeniería mecánica. 
Dentro de la ingeniería ambiental existen diversas aplicaciones del calculo vectorial, 
entre estas se encuentran las relaciones con sistemas de tratamiento de aguas 
residuales, de residuos sólidos, estudios de contaminación, diagnostico, evaluación y 
monitoreo de ecosistemas. 
En cierto sentido, el prerrequisito para Cálculo es estar familiarizado con álgebra, 
geometría y trigonometría. Después de todo, cada tema nuevo en matemáticas se 
construye sobre temas anteriores, lo que hace que sea tan importante su dominio en 
cada etapa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 CALCULO VECTORIAL 
 
 
5.1 Cálculo de integrales dobles 
 
El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales 
iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: 
Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre 
un rectángulo R = [a, b] × [c, d]. 
1. Si para cada x ∈ [a, b], la sección transversal fx(y) := f(x, y), y ∈ [c, d], 
es integrable sobre [c, d], entonces la función. 
 
2. Si para cada y ∈ [c, d], la sección transversal fy(x) := f(x, y), x ∈ [a, b], 
es integrable sobre [a, b], entonces la función. 
 
 
 
 
5.2 Integrales iteradas 
 
Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable 
(en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales 
evaluada con respecto a diferentes variables). Es importante tomar en cuenta en qué 
posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden 
serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va 
integrar primero considerando la diferencial Dx o el diferencial Dy o viceversa. Ahora 
veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales: 
 
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5.3 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 
Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de integración es 
una región rectangular de la forma 
 
 
 
o es una región que se encuentra entre dos funciones definida por 
 
 
Ahora, trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región circular o 
sobre una región comprendida entre dos círculos o parte de los círculos. 
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 Se desea encontrar la integral doble 
 
Donde R es una región polar. Lo primero que se debe hacer es encontrar los 
límites de integración en el sistema de coordenadas polares, así, por 
ejemplo. Para la región circular 
 
Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y se 
determinan los límites de integración en ese sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para ello se tiene en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar el un 
segmento de recta en torno al origen del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Integral doble en coordenadas polares 
 
Consideremos la región A determinada por las semirrectas=, = y las 
curvas r=f1 (),r=f2 (), 
como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el 
sector R: " r " a "" Sean m y n 
dos enteros positivos y hagamos 
 
Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro O y radios r, 
2r,....mr y trazamos rectas desde O tales que el ángulo formado por dos 
rectas consecutivas cualesquiera sea siempre el mismo e igual a ∆ , R 
queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) 
interiores de A , y c) atravesadas por el contorno de A. 
Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del 
segundo. En cuanto a las del tercero podemos, incluir algunas, todas o 
ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden 
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por 1, 2, 3,...,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). 
 
Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en 
cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se 
suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r;el del exterior, rk-½r; 
por consiguiente 
 
Consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las 
diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continúa y la 
región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas 
tienen como límite la integral doble de F extendida a A: 
 
 
 
 
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5.5 Integral doble: áreas y volúmenes 
 
Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes 
pero no necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del 
valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, 
por lo que existe un teorema para integrales dobles. 
 
 
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5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas 
 
Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas 
A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares 
en coordenadas cilíndricas. 
Para ello, si f(x, y, z) es una función continua y si definimos 
 
tenemos la siguiente relación entre las integrales: 
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Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas según convenga el 
orden de integración. 
Ejemplo: 
 
 
Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas 
A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares 
en coordenadas esféricas 
Para ellos, si f(x, y, z) es una función continua y si definimos 
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tenemos la siguiente relación entre las integrales: 
 
Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas. 
 
 
 
 
 
 
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5.7 Campos vectoriales 
 
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y 
caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un 
rango unidimensional o multidimensional. El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se 
define como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un 
número para su caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor 
depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución 
de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un 
potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de 
funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su 
descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas 
gravitacionales o eléctricas. 
 
 
 
 
 
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En la Figura 1 se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de 
 
𝑅𝑛→𝑅𝑛 
 
 
 
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5.8 Integral de línea de un campo escalar 
 
 
 
 
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5.9 Divergente, rotacional, interpretación geométrica y física 
 
Definición 
 
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Rotacional 
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo 
a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del 
vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella 
misma cuando el área tiende a cero. 
 
 
 
 
 
 
 
Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El 
resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente 
según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el 
rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos 
perpendiculares. 
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable 
en todos sus puntos. 
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la 
siguiente ecuación: 
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Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son: 
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el 
rot ( f) =0 
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0 
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas componentes 
tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial 
conservativo. 
 
 
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5.10 TEOREMAS DE INTEGRALES (APLICACIONES) 
 
 
Teoremas de Stokes y Gauss 
 
Enunciado del Teorema de Stokes 
 
A continuación, enunciamos la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida 
como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo 
vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo. 
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Como ocurría con la Fórmula de Green, la igualdad anterior, al menos en los casos 
que más interesan en la práctica, puede escribirse con una notación que ayuda a 
entender su significado al tiempo que nos permite recordar con más facilidad las 
hipótesis del teorema. Para explicarlo con detalle, trabajaremos por separado con los 
dos miembros de la igualdad. 
 
 
 
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Conclusión 
El Cálculo Vectorial tiene como objetivo principal, estudiar los principales conceptos y 
métodos del Cálculo Diferencial e Integral de varias variables, así como sus 
significados geométrico y físico. 
La idea de este apartado es realizar un análisis crítico del cálculo vectorial discreto que 
aquí se propone, así como de los resultados que hemos obtenido. Podríamos empezar 
diciendo que, en cuanto a su concepción teórica, el cálculo vectorial discreto tiene un 
desarrollo impecable. Yo diría incluso magnífico, pues nos permite trabajar de forma 
análoga al continuo siguiendo un proceso natural. Los conceptos pueden ser más o 
menos abstractos, y las ecuaciones más o menos complejas, pero al fin y al cabo 
trabajamos con matrices y vectores. Esto significa que a pesar de los formalismos 
necesarios para que la estructura matemática sea rigurosa, la teoría es simple en su 
concepción. Y este es uno de los puntos fuertes del método. De forma sencilla somos 
capaces de obtener con suficiente precisión soluciones a los problemas diferenciales 
elípticos más importantes de la física e ingeniería. Otros métodos, por ejemplo, 
incluyen cálculos y técnicas sofisticadas que oscurecen en algunas ocasiones las 
soluciones que queremos encontrar. Con el cálculo vectorial discreto, en cambio, los 
algoritmos de cálculo resultan muy sencillos. Al fin y al cabo sólo se trata de “echar las 
cuentas”, es decir, sumas, restas y algunos productos. Por otro lado, con esta nueva 
concepción en la estrategia numérica hemos conseguido dar una nueva visión del 
método de las diferencias finitas gracias al teorema de equivalencia. No sólo eso, se 
ha conseguido dotarlo de una coherencia y naturalidad que antes no tenía. Podríamos 
decir que el método de las diferencias finitas constituía un recetario de esquemas 
particulares, sin saber muy bien porqué en un determinado caso se hacía uso de un 
operador en diferencias u otro 
 
 
 
 
 
 
 
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