S04 s2 - Movimiento ondulatorio

Vista previa del material en texto

Cálculo Aplicado a la Física III 
Semana 04 – Sesión 2
Movimiento ondulatorio
Datos/Observaciones
Logro de la sesión
Al finalizar, el estudiante identifica la transición de las 
oscilaciones a las ondas, verificando que el fenomeno 
ondulatorio tiene un representación oscilatoria espacio 
temporal.
Datos/Observaciones
AGENDA
 Tipos de ondas
 Ondas Transversales y longitudinales
 Onda Periódica: Parámetros
 La energía en una onda
 Velocidad de una onda
 Forma de una onda
 Descripción matemática de una onda
 Onda Armónica
 La ecuación de onda
 Ondas en una cuerda
 Velocidad de ondas longitudinales
 Potencia e intensidad de una onda
Ondas longitudinales y transversales
Son llamadas de ondas progresivas cuando se 
propagan de un lugar a otro.
Tipos de Ondas
1. Ondas mecánicas.
• Governados por las Leyes de Newton
• Existen solo en medios materiales
Ejemplo: ondas de agua, de sonido, sismicas
2. Ondas electromagneticas.
• NO requieren un medio material para 
existir.
• En el vacio viajan a la velocidad de la luz 
c = 299792458 m/s.
Ejemplo: todo el espectro electromagnético 
ondas de microondas, rayos x, de radar, etc.
3. Ondas de materia.
• Están asociadas a partículas fundamentales, 
donde la materia se comporta como onda o 
partícula.
Ondas longitudinales
Los elementos del medio se mueven (oscilan)
en paralelo a la dirección de propagación.
Ondas transversales
Los elementos del medio perturbado se muevan 
(oscilan) perpendiculares a la dirección de 
propagación.
Ondas en la superficie de un líquido
Longitudinales y transversales
Ondas no periódicas
• Donde el estado de los 
elementos del medio 
retornan a su estado 
inicial una vez que la 
perturbación a pasado. 
• Puede ser longitudinal o 
transversal.
• Ejemplo: Un pulso
Ondas Periódicas: Parámetros
En el espacio
En el tiempo
λ : la longitud de 
onda, periodicidad 
en el espacio.
T : el periodo de la 
onda, periodicidad 
en el tiempo.
A: es la amplitud 
de movimiento 
transversal.
Ondas Periódicas: Parámetros
En el espacio
En el tiempo
λ : la longitud de 
onda, periodicidad 
en el espacio.
T : el periodo de la 
onda, periodicidad 
en el tiempo.
A: es la amplitud 
de movimiento 
transversal.
� =
1
�
Transporte de energía
Energía cinética
Pulso
Velocidad de propagación de la onda
En el espacio
En el tiempo
• La velocidad de 
propagación de una 
onda en un medio, 
sólo depende del 
medio.
• No depende de la 
amplitud.
• No depende de la 
longitud de onda, 
ni de la 
frecuencia.
� =
�
�
� = ��
Formas de ondas
Continuas:
• Son infinitas en ambas direcciones.
Pulsos:
• Son finitas
• Causados por una breve perturbaciones.
Tren de pulsos:
• Casos intermedios de ondas continuas y 
pulsos.
Descripción Matemática
Considerando una 
función:
• La misma función centrada en otra posición 
• Desplazada para la derecha
� = � 	
� = � 	 − �
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
Descripción Matemática
� 
, � =
2

 − �� � + 1
Descripción Matemática
� 
, � =
2

 − � � + 1
� = �; � = �Para:
� 
, � =
2

 − � � + 1� = �; � = �Para:
� 
, � =
2

 − � � + 1
� = �; � =6Para:
� 
, � =
2

 − �� � + 1
Considerando la 
función:
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
� 
, � =
2

 − � � + 1
Descripción Matemática
� 
, � =
2

 − �� � + 1
�(	, �) = � 	 − ��• Descripción de una onda 
desplazándose con velocidad:
• En dirección x+
�
Onda Armónica
�(	) = �� !
"#
$
	
Una onda armónica en x
con longitud de onda: $
Si la amplitud de la onda es A, 
la onda tiene la forma:
La onda desplazándose 
en dirección de x+:
Onda Armónica
�(	, �) = �� !
"#
$
	 − ��
Una onda armónica movimendose con 
velocidad v en la dirección x+:
Considerando: � =
�
�
� =
�%
2&
Definiendo: ' =
2&
�
�(	, �) = �� ! (	 − )�La ecuación de la onda se escribe:
Número 
de onda
1. Describir e identificar los parámetros de la onda descrita por: 
Ejemplo
�(
, �) = 2*+, 15
 − 7�
2. Describir e identificar los parámetros de la onda descrita por: 
Ejemplo
�(
, �) = 10,01 25
 − 27�
3. Describir e identificar los parámetros de la onda descrita por: 
Ejemplo
�(
, �) = *+, 25
 + 15�
4. Describir e identificar los parámetros de la onda descrita por: 
Ejemplo
�(
, �) = exp − 25
 + 15� �
La ecuación de onda
Considerando la onda:
Deducción:
�(	, �) = �� ! (	 − )�
5��(
, �)
5
�
=
1
��
5��(
, �)
5��
La ecuación 
de onda:
5�6(
, �)
5
�
+
5�6(
, �)
5��
=
1
��
5�6(
, �)
5��
Propagación en dos dimensiones
Onda en dos dimensiones
La ecuación de onda
Ondas en una cuerda
La velocidad en una cuerda, ¿de qué depende?
¿ ?� = ��� =
�
�
¿Cómo se hace para que la 
onda avance más rápido?
Ondas en una cuerda
Considerando un pulso:
¿Cómo se hace para que la 
onda avance más rápido?
La velocidad en una cuerda, ¿de qué depende?
Ondas en una cuerda
Considerando un pulso:
• Tensión en la cuerda es F.
• La masa por unidad de longitud es μ (kg/m), densidad lineal de masa.
• La forma de la cuerda en el punto máximo del pulso es circular y tiene 
un radio R.
Ondas en una cuerda
• Considerando una porción pequeña de la cuerda en el punto máximo.
• La pequeña masa esta sometida a tensiones F iguales por ambos lados.
• El ángulo θ que forman las tensiones con la horizontal es pequeño.
Considerando un pulso:
Ondas en una cuerda
• Determina la fuerza resultante sobre la pequeña porción de masa.
• Considerando la aproximación del seno de ángulos pequeños.
Considerando un pulso:
Ondas en una cuerda
• Aplicando la definición de densidad lineal de masa, la pequeña porción 
de la cuerda con masa m, se escribe en términos de la densidad lineal 
de masa μ.
Considerando un pulso:
Ondas en una cuerda
• Considerando la segunda ley de Newton: 78 = 9:
27; = <2;=:
: = :> =
��
<
� = *�0
27; = <2;=
��
<
7 = =��
� =
 7 
=
La velocidad de la onda:
• No depende de λ.
• No depende de f .
• Depende de la tensión en la cuerda
• Depende de la densidad lineal de masa
Considerando un pulso:
Ondas en una cuerda
Velocidad de la onda en una cuerda:
� =
 7 
=
• Incrementadndo la tensión, la velocidad aumenta.
• Incrementando el peso de la cuerda la velocidad disminuye.
• Las variaciones arriba sólo dependen de las características del medio, 
no dependen de la amplitud, longitud de onda o frecuencia de la onda.
Reflexión de ondas en cuerdas
En un extremo fijo:
El pulso reflejado esta invertido, pero su 
forma no cambia de otra manera.
Reflexión de ondas en cuerdas
En un extremo libre:
El pulso reflejado no se invierte.
Transmisión de ondas en cuerdas
De cuerda ligera a cuerda más pesada:
Cuando una onda o pulso viaja del medio A 
al medio B y vA > vB (es decir, cuando B es 
más denso que A), se invierte en la 
reflexión.
� =
 7 
=
De cuerda ligera a cuerda más pesada:
Cuando una onda o pulso viaja del medio A 
al medio B y vA < vB (es decir, cuando A es 
más denso que B), no se invierte en la 
reflexión.
� =
 7 
=
Ondas en una cuerda
Ejemplos en:
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_es_PE.html
Velocidad de Ondas longitudinales
• La velocidad de las ondas longitudinales tienen forma similara las 
ondas transversales
� =
7:*�+? 0@á,�B*+ 
7:*�+? C0 B10?*B:
• E es el módulo elástico del material.
• B es el módulo de compresión volumétrico
� =
 D 
E
Ondas en gases 
o líquidos� =
 F 
E
Ondas en 
sólidos
D = −
 ∆H 
∆I/I
Ejemplo
1. Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y una longitud 
de 6.00 m (figura). La cuerda pasa sobre una polea y soporta un 
objeto de 2.00 kg. Encuentre la rapidez de un pulso que viaje a 
lo largo de esta cuerda.
Solución:
Ejemplo
2. En la figura dos cuerdas son amarradas una con la otra 
con un nuto yestiradas entre dos soportes rígidos. Las 
cuerdas tienen masas específicas lineales μ1 = 1.4×10
−4
kg/m y μ2 = 2.8×10
−4 kg/m. La extension de las cuerdas son 
L1 = 3.0 m y L2 = 2.0 m y la cuerda 1 está sometida ana 
tension de 400 N. Dos pulsos son enviados simultaneamente 
den dirección al nudo a partir de los soportes. ¿Cuál de 
los pulsos llega primero al nudo?
Solución:
nudo
Ejemplo
3. Un excursionista de 80.0 kg queda atrapado en la saliente de una montana despues de una tormenta. Un 
helicoptero rescata al excursionista: se mantiene encima de el y le baja un cable, la masa del cable es 
de 8.00 kg y su longitud de 15.0 m. El cable se amarra a un cabestrillo de 70.0 kg de masa. El 
excursionista se ata al cabestrillo y despues el elicoptero acelera hacia arriba. Aterrorizado por 
colgar del cable a mitad del aire, el excursionista intenta enviar senales al piloto lanzando pulsos 
transversales por el cable. Un pulso tarda 0.250 s en recorrer la longitud del cable. ¿Cual es la 
aceleracion del helicoptero?
Solución:
Ejemplo
4. Se tienen dos cables uno de plata y otro de cobre ambos de la misma extension. Determinar la razón 
del tiempo que demora el sonido en ser transmitido en el cable de acero y en el cable de cobre.
Solución:
Potencia e Intensidad de ondas
• Considerando el punto a en una cuerda que lleva una onda de izquierda a 
derecha.
• Componentes de la fuerza ejercida sobre la parte derecha de la cuerda por
• la parte izquierda en el punto a.
La fuerza en y:
7K = −7
5�
5
La potencia del 
movimiento:
L 
, � = 7K� = 7K
5�
5�
L 
, � = −7
5�
5
5�
5�
Potencia media
L 
, � = −7
5�
5
5�
5�
� 
, � = M*+, '
 − %�
Considerando la ecuación de onda:
5�
5�
= %M,01 '
 − %�
5�
5
= −'M,01 '
 − %�
L 
, � = 7'%M�,01� '
 − %�
L =
1
2
7'%M� L =
1
2
7=%�M�Potencia media:
Potencia media
Potencia e Intensidad
L =
1
2
7=%�M�Potencia media:
N =
L
M?0:
Intensidad:
Potencia e Intensidad
N =
L
M?0:
Intensidad:
Fuente Puntual (Emisión esférica):
NO =
L
4&?O
�
En el punto 1:
N� =
L
4&?�
�
En el punto 2:
NO
N�
=
?�
�
?O
�
Ejemplo
1. Una cuerda tensa para la que μ =5.0 × 10−2 kg/M esta bajo una tension de 80.0 N. ¿Cuanta 
potencia se debe suministrar a la cuerda para generar ondas sinusoidales a una frecuencia de 
60.0 Hz y una amplitud de 6.00 cm?
Solución:
Ejemplo
2. Intensidad sísmica. La intensidad de una onda sísmica P que viaja a través de la Tierra y 
se detecta a 100 km de la fuente es de 1.0 106 W/m2. ¿Cuál es la intensidad de esa onda si 
se detecta a 400 km de la fuente?
Solución:
Ejemplo
3. Una sirena del sistema de advertencia de tornados que está colocada en un poste alto 
radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 15.0 m, la 
intensidad del sonido es de 0.250 W/m2. ¿A qué distancia de la sirena la intensidad es de 
0.010 W/m2?
Solución:
Ejemplo
4. Cuando despega un avión a propulsión, produce un sonido con intensidad de 10.0 W/m2 a 30.0 m de 
distancia. Usted prefiere el tranquilo sonido de la conversación normal, que es de 1.0 mW/m2. Suponga
que el avión se comporta como una fuente puntual de sonido.
a) ¿Cuál es la distancia mínima a la pista de aterrizaje a la que usted podría vivir para conservar su 
estado de paz mental? b) ¿Qué intensidad del sonido de los aviones experimenta un amigo suyo, quien vive 
a una distancia de la pista de aterrizaje que es el doble de la distancia a la que usted vive? c) ¿Qué 
potencia de sonido produce el avión en el
despegue?
Solución:
Datos/Observaciones
Recordar
 Las ondas mecanicas necesitan un medio material 
para propagarse. 
 El fenómeno ondulatorio es regido por la ecuación de 
onda.
Fueron estudiadas ondas viajeras periódicas y pulsos.
 Una onda transporta energía.