S07 s1- Aplicaciones de Transformada de Laplace

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CÁLCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 03
La transformada de Laplace 
Semana 07 Sesión 1
TEMA: La transformada de Laplace y las ecuaciones 
diferenciales ordinarias
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve 
ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la transformada de 
Laplace
Logro de la Sesión
Contenido general
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante
La transformada de Laplace
Ejercicios
Conclusiones
Ecuación integro diferencial.
𝑥′ + 0׬
𝑡
𝑥 𝑢 𝑑𝑢 = 1 ; 𝑥 0 = 1. 
Datos/Observaciones
UTILIDAD:
Consideremos el circuito L-R en serie 
con tensión eléctrica constante 
E(t)=E . 
Segunda ley de Kirchoff: la suma de caída de voltajes a través del 
inductor y del resistor es igual a la tensión E aplicada al circuito 
obteniendo la Ecuación diferencial 
La Transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una 
E. algebraica
𝑅 𝐼(𝑠) + 𝐿 𝑠 𝐼(𝑠) =
𝐸
𝑠
𝑖(𝑡)𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐸
Ejercicio explicativo 1
Una masa de 1𝑘𝑔 se fija en un resorte cuya constante es 16
N
m
; y luego el sistema 
completo se sumerge en un liquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10
veces la velocidad instantánea. Determine la ecuación del movimiento si la masa se 
libera desde un punto ubicado 1𝑚 debajo de la posición de equilibrio con una 
velocidad ascendente de 12 𝑚/𝑠 . Considere el modelo m𝑥′′ + 𝑐𝑥′ + 𝑘𝑥 = 0.
Datos/Observaciones
Ejercicio explicativo 3
Resolver la E.D. de condiciones iniciales
𝑦′′ + 4𝑦′ + 6𝑦 = 1 + 𝑒−𝑡 ; 𝑦 0 = 0 ; 𝑦′ 0 = 0
Una masa de 5𝑘𝑔 esta unida a un resorte de constante 80
𝑁
𝑚
. Al inicio la masa se libera de su 
posición de equilibrio con una velocidad nula . Halle la ecuación de movimiento si se adiciona 
al sistema la fuerza externa 𝑓 𝑡 = 60𝑠𝑒𝑛(3𝑡) . 
Ejercicio 4: vibración Forzada no amortiguada
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 = 0
Ejercicio explicativo 6
En un circuito RL la inductancia es 1 H ; la resistencia 1 Ω y la f e m es 
f 𝑡 = ቊ
0 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
3𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜋 ≤ 𝑡
V. Halle la ecuación de la corriente si antes de cerrarse el 
circuito la corriente en la bobina era 5 A y la ED es : 𝑦′ + 𝑦 = 𝑓 𝑡 ; 𝑦 0 = 5
Datos/Observaciones
Una masa de 5𝑘𝑔 esta unida a un resorte de constante 80
𝑁
𝑚
. Al inicio la masa se libera de su 
posición de equilibrio con una velocidad nula . Halle la ecuación de movimiento si se adiciona 
al sistema la fuerza externa 𝑓 𝑡 = 60𝑠𝑒𝑛(3𝑡) .
Ejercicio Reto 
2.- Resolver la E.D. 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒕 ; y(0)=0; y’(0)=1. 
4.- Resolver la E. D. 𝒚′′′ + 𝒚 = 𝟎; y(0)=1 ; y’(0)=3 ; y’’(0)=5. 
1.- Resolver la E. integro diferencial. 𝑥′ + 0׬
𝑡
𝑥 𝑢 𝑑𝑢 = 1; 𝑥 0 = 1. 
3.- Resolver la ecuación integral 𝑥 + ׬
0
𝑡
𝑥 𝑢 𝑑𝑢 = 1; 
Ejercicios propuestos
5.- Si en un circuito RC, la capacitancia es 10 𝜇𝐹 ; la resistencia de 10𝑘Ω y la fem es 
de 10V. Halle la ecuación de la corriente y la carga en el condensador si antes de 
cerrarse el circuito el condensador esta descargado (no circula corriente).
6.- Si en un circuito RL la inductancia es de 2 H ; la resistencia de 10 Ω y la fem es 
de 100V. Halle la ecuación de la corriente si antes de cerrarse el circuito no 
circulaba corriente alguna.
7.- Una masa de 10𝑘𝑔 esta unida a un resorte de constante 100
𝑁
𝑚
. Al inicio la masa 
se libera de su posición de equilibrio con una velocidad nula y el movimiento 
posterior es amortiguado por la fricción con una fuerza igual a setenta veces la 
velocidad instantánea. Halle la ecuación de movimiento si sobre el sistema actúa una 
fuerza externa 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑡 = 30𝑠𝑒𝑛(2𝑡) .
CONCLUSIONES:
1.- La aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de EDO es una 
herramienta que facilita resolución de una ED sujeta a condiciones iniciales.
2.- La aplicación de la transformada de Laplace transforma un problema de ED 
en un problema algebraico.
Ecuación diferencial 
Transformada de Laplace