FRACCIONES

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n la época de la dinastía Han, se escribió en China una 
obra que recopilaba los conocimientos matemáticos que 
se tenían hasta ese momento. Se llamó "Los nueve 
capítulos", y consistía en 246 problemas ordenados según 
el tema y su método de resolución. El estudio de las fracciones 
era importante, ya que sus autores encontraban muy difícil 
operar con estos números. 
Los problemas de división de fracciones presentaban 
solo el resultado de los cálculos, y nada decían acerca 
del método utilizado para resolverlos. El estudioso 
del siglo III d.C. Liu Hui realizó algunas aclaraciones 
sobre estos métodos, que ayudaron a entender 
cómo funcionaban. Encontró dos maneras 
diferentes de dividir. La primera de ellas consistía 
en "amplificar" las fracciones. Dice Liu Hui: "Cada 
fracción del divisor y el dividendo se 
'expande' cuando el numerador y el 
denominador de cada uno se multiplican 
por el denominador del otro". Con este 
método, esta drvísión se resolvería así: 
31: lf = 31.'l: 12.·: = \º}: {�·
Como los denominadores son iguales, el 
resultado es 1 05 : 40 = 1 OS. 
Así describió Liu Hui el stiundo 
método para dividir: 
"Alternativamente, multiplicar el 
numerador del dividendo por el 
denominador del divisor, y el 
numerador del divisor 
por el denominador 
del dividendo". Este 
método se utiliza 
mucho en la 
actualidad, y consiste 
en multiplicar "cruzado". 
-
(ti> El siguiente segmento representa la unidad. 
Dibujá segmentos que sean: 
a) ¾ de la unidad;
b) 1 ¾ de la unidad;
e) 2 ½ de la unidad.
� El siguiente dibujo representa½ de un segmento completo. Dibujá 
el segmento entero. 
l)> El siguiente segmento corresponde a los f de la unidad. Dibujá el 
segmento unidad. ---------------
� Este segmento es i de cierta unidad. Dibujá otro segmento que sea 
i de esa unidad. 
[t'j> Escribí la medida de los segmentos usando el primero como unidad: 
� ¿cuántos cuadraditos medirá otro segmento que sea ... 
a) ... ½ de esta unidad?
b) .. · 1 de esta unidad?
e) ... � de esta unidad?
► Juan Pablo afirma que sombreó ½ de cada uno de los siguientes
rectángulos. lEs verdad?
B D 
FTIIABIIGD 
► Este dibujo representa f de un rectángulo.
Dibujá el rectángulo. lHay un único dibujo posible?
� El siguiente dibujo representa f de un entero. Dibujá el entero. 
¿Hay un único dibujo posible? 
� El siguiente dibujo representa ¾ de un entero. Dibujá el entero. 
lHay un único dibujo posible? 
Los catetos 
del triángulo 
son paralelos a 
los lados del 
rectángulo. 
ID> Decidí si la explicación es correcta en cada caso. 
a) � = 1t, pues el denominador es el doble qu� el numerador en 
las dos fracciones. 
b) j = � pues, para obtener ¾ se necesitan 2 de ½, o sea l
Entonces para tener¾, se necesita el triple del que es
l,l+l-2.
8 '8 8 - 8 º 
e) � y 1� no son equivalentes, ya que no existe ningún número
natural por el que se pueda multiplicar el numerador y el 
denominador de la primera fracción para obtener los 
correspondientes de la segunda. 
� a) Encontrá tres fracciones entre ½ y i 
b) lEs posible encontrar más de tres?
� LCuál es el número mayor en cada caso? LPor qué? 
a) 1 . 115'16
b) JJ.. JJ.21' 19 
r) Q . .2• 5' 6
d) 6. 7 12' 16
� LPara qué valores enteros den se cumple que% es menor que¾? 
� lPara qué valores enteros de m, � es mayor que ½? 
� a) lEs verdad que si a y b son dos números naturales y a mayor 
que b, entonces ¾ es menor que t;? 
b) Si a y b son enteros negativos y a mayor que b, lse cumple que
¾ es menor que t?
e) B_. ll.
15' 18
f) 25. 27
42' 34
JI> Ubicá aproximadamente el número 2 en la siguiente recta. 
o 23 
J.l> Ubicá aproximadamente i en la siguiente recta. 
o l
4
� Ubicá aproximadamente, en los casos en que sea posible, 
el O en cada recta. 
a) 
b) 
e) 
d) 
5 
7 7 
_ _1 
3 
5 
-2
1 
_2 J_ 
4 2 
� a) ¿cuántos números enteros hay entre -f y -i? 
b) ¿cuántas fracciones con denominador 4 hay entre-¾ y-i?
� Si n es un número cualquiera y se representa en la recta el O y �, 
ubicá en la misma recta los números n; -n; %· 
o Il3 
iCÓmo harían para ubicar en la recta ! : �: 2 x b; -e; e+ 1; ! + � '? 
o b e 
.,ara hacer en parejas 
Un robot sale del O y en 9 pasos llega al 15. Luego sigue dando 
pasos de la misma longitud. 
J, 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 • 
O l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 
a) lCuáles son todos los números enteros mayores que 31 y
menores que 35 que pisa y en cuántos pasos lo hace?
b) Si el robot está en el 30 y da un solo paso a la derecha, lqué
número le asignarías al punto que pisa?
e) Marcá 7 puntos en la recta donde pisaría el robot, que no correspondan
a números naturales, y asignales los números que les corresponden.
� Otro robot llega al 1 O en 12 pasos. 
a) lCuáles son todos los números enteros comprendidos entre
150 y 180 que pisa, y en qué número de pasos lo hace?
b) Si el robot está en el 30 y da un solo paso a la derecha, lqué
número le asignarías al punto que pisa?
e) Marcá 7 puntos en la recta del problema 1 donde pisaría este
robot, que no sean los identificados con números naturales y
asignales los números que les corresponden.
� Un robot en 9 pasos llega al 15, empezando desde O. Otro robot, 
que también empieza en O, en 12 pasos llega al 1 O. 
a) lHay algún punto del trayecto que pisen los dos? Si creés que sí,
asignale a ese punto el número que le corresponde. Si pensás
que no, explicá por qué.
b) lEs posible establecer una relación entre la longitud de los pasos
de estos dos robots?
Con 4 tiras verdes todas iguales se arma l tira roja. Con 4 tiras 
azules todas iguales se arman 3 tiras rojas. 
'3) ¿cuál es la longitud de la tira verde si se considera como unidad 
de medida la tira roja? 
) ¿cuál es la longitud de la tira azul si se considera como unidad 
de medida la tira roja? 
e) ¿será cierto que l tira verde equivale a ½ de la azul?
d) Se cortan ahora varias tiras negras todas iguales, más chicas que
la verde. Juntando algunas de ellas se obtiene un tira roja. ¿cuál
puede ser la longitud de la tira negra, si se usa como unidad de
medida la tira roja? ¿Hay una sola posibilidad?
� Se tienen varias tiras. Todas las de un mismo color tienen la misma 
longitud. Si son de distinto color, su longitud difiere. Sabiendo que: 
- 4 tiras verdes miden lo mismo que 9 rojas, - l O tiras celestes miden lo mismo que 9 rojas,
- 20 tiras amarillas miden lo mismo que 18 rojas, - 4 tiras grises miden lo mismo que 3 rojas,
ordená las tiras verde, amarilla, celeste y gris de la más larga a la más corta. 
Para hacer en parejas 
Dos robots X e Y salen del O. Los pasos de X miden i de la unidad 
y los de Y, l A partir de esa información señalen cuál o cuáles de 
las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles, falsas. Justifiquen. 
a) X llega al 2 en 3 pasos. e) Si X da 10 pasos, llega al mismo lugar que Y al dar 75 pasos.
b) Y llega al 4 en 5 pasos. d) Hay un solo número que pisan ambos robots.
o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
� Decidí cuáles de las siguientes fracciones pueden escribirse como suma de cuartos.
J ill 2 § li IT L 24 
2 2 8 8 20 20 28 8 
� Proponé tres fracciones que no puedan escribirse con denominador 
4 y tres en las que se pueda, y escribilas sin usar el denominador 4.
� Analizá si la siguiente resolución es correcta. 
7 4 8 _ 2 l 20 4 _ l 12 _ 13 
5 -3 + 10 -15 - 15 + 5 -15 + 15 -15
� La siguiente resolución es correcta. Explicá por qué. 
3_1-_l__§ ...L -ª._-1 
lS 5•10-
s2_6 xl+1= 15 5 5 
52 - 6 X -2... ..L. 4 X l = 
15 15 
1 
5 
52 _ IB ...L 4 x -2... = 34 + 12. = 46 
15 15' 15 15 15 15 
� Resolvé los siguientes cálculos de dos maneras distintas. 
l+l-�= 
4 2 8 
1x3=
5 
42_2l+l= 6 3 9 
Para hacer en parejas 
• Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) O La fracción 4J5 no puede expresarse
con denominador 8. 
b) O Como el denominador de la fracción icies múltiplo de 5, entonces la 
fracción i6 seguro se puede escribir
con denominador 5. 
e) O El doble de fes�6·
d) O La mitad de ,i es i·
e) Q-2+2= .Z 
3 6 9 
� Un auto recorre 150 km en una hora y cuarto, y una moto recorre 
20 km en un cuarto de hora. lQué vehículo va más rápido? 
lt> Para preparar una pintura se mezclan 5 litros de pintura blanca con 
3 litros de pintura amarilla. Esta tabla relaciona la cantidad de litros 
necesarios de cada color para obtener pintura de la misma tonalidad. 
a) Completá la tabla.
b) Si se quiere llegar a la misma
tonalidad pero usando 6 litros de
pintura blanca, lcuántos litros
de amarillo se deberán emplear?
Plldlln 
..... 
<• IIINs) 
Pllltln 
Muca 
(•lltNS) 
-
1 
1 1 
2 
1 
r.) Si a una mezcla de 3 litros de amarillo y 5 litros de blanrn se agrega 
l litro de cada color, lse obtiene un tono más claro o más oscuro?
d) Con las siguientes mezclas:
- 6 litros de pintura amariUa y l O litros de pintura blanca, 
- 21 litros de pintura amarilla y 35 litros de pintura blanca, 
lse obtiene la misma tonalidad de amarillo? _Explicá tu respuesta. 
� a) Se mezclaron 4 litros de pintura amarilla con 9 litros de blanco. 
Escribí otras mezclas con las que se obtenga la misma tonalidad. 
b) Escribí una expresión general que permita obtener la cantidad
de pintura blanca a partir de la cantidad de pintura amarilla.
e) Escribí una expresión general que permita obtener la cantidad
de pintura amarilla a partir de la cantidad de pintura blanca.
3 4 5 6 
5 15 
Este rompecabezas tiene cuatro piezas. 
a) Modificá la medida de todas las piezas del rompecabezas para
que el segmento de 4 cm pase a medir 5 cm y se pueda seguir
armando.
4cm 
5cm 
b) Si ahora se quiere que el segmento que mide 4 cm pase a tener
3 cm, les cierto que cada medida en el modelo original se
multiplica por¾ para obtener la medida correspondiente en el
nuevo rompecabezas?
� Para preparar un jugo se mezclan 3 litros de líquido concentrado 
con 70 litros de agua. Si se quiere preparar jugo con el mismo 
gusto con 4 litros de líquido concentrado: 
/ 
4cm 
8cm 
a) lQué cantidad de agua hay que usar? d) Si a una mezcla de 3 litros de líquido concentrado
y 10 litros agua se agrega l litro de cada uno,
lse obtiene jugo más o menos concentrado? 
b) ¿y si se usan 12 litros de agua, cuántos litros de
líquido concentrado se necesitan?
e) Con las siguientes mezclas:
- 6 litros de líquido concentrado y l O de agua,
e} Escribí otras mezclas que den el mismo gusto. - 18 litros de líquido concentrado y 35 de agua,
lse obtiene jugo con el mismo gusto? Explicá tu 
respuesta.
Si para preparar un jugo se mezclan 3 litros de líquido concentrado con 1 O litros de agua y se
designa con la letra e la cantidad de líquido concentrado y con la letra a la cantidad de agua 
necesaria, icuál o cuáles de las siguientes expresiones permiten encontrar la cantidad de agua 
necesaria en función de la cantidad de líquido concentrado'? 
cx10=3a ax 1º =c3 
-ª- 10 
e 3 
c+1 =a+1 
ax -º-=c 10 
En un paquete de polenta se lee "por cada 2 tazas de polenta, usar 
6 tazas de agua". Completá la siguiente tabla que relaciona la 
cantidad de tazas de polenta con la cantidad de tazas de agua 
necesaria 
• , 11
Pelilitall l l 1 2
. ...., 4 2 
MIi 6
.... 
1 1 
En los últimos cuatro meses los precios aumentaron¾ de su valor. 
Completá la tabla que indica los precios de hace cuatro meses y los 
actuales. 
15 20 60
lJ> Para preparar 1 kg de dulce hacen falta l¾ kg de fruta y 1½ kg de 
azúcar. Completá la siguiente tabla para saber qué cantidaa de cada 
ingrediente se necesita según el caso. 
l
4
Para preparar 1 kg de dulce hacen falta 1 J kg de fruta. Si se
designan con la letra d la cantidad de dulce y con la f la cantidad 
de fruta necesaria. iCUál o cuáles de las siguientes expresiones 
permiten encontrar cuánta fruta se precisa en función de la 
cantidad de dulce? 
dx 12. =f 
4 
52 
4 sl 2
70 100 120 150
[ti:> a) De un terreno rectangular, solo una parte se destina a una 
huerta. El sector elegido, como muestra el dibujo, tendrá i de 
su largo y� de su ancho. lQué parte del terreno ocupará 
la huerta? 
b) Si en lugar de tomar i del largo del terreno, se considera l9
mitad del largo, lqué parte del ancho se debe elegir para que la
huerta siga ocupando la misma área y mantenga su forma
rectangular?
e) Y si se toman¾ del largo del terreno, lqué parte del ancho se
debe elegir para que la huerta siga ocupando la misma área y
mantenga su forma rectangular?
d) lEs posible tomar otras partes del largo y del ancho del terreno
para que la huerta siga ocupando la misma área y mantenga su
forma rectangular?
e) Si en lugar de tomar i del largo para la huerta, se destina la
quinta parte de i, lqué parte del lado del terreno debería ser el
otro lado, si se quiere que la huerta ocupe la misma área y tenga
forma rectangular?
f)> lCuál o cuáles de los siguientes cálculos permiten averiguar qué parte 
de este rectángulo está pintada? 
2x4= 
1x2=6 
Zx4=3 
1-xZ= 
6 3 
l t---1---1---1---+--+--+--+--1 
3 
2 
8 
Completá los siguientes cálculos. 
3x =1 =1 lx 9 
sx "= 1 13 X =l _1 X 
15 
� lHay un número que multiplicado por 5 dé 9? 
� ffs posible encontrar un número que multiplicado por 7 dé 11?
� lHay un número que multiplicado por i dé l? 
� lHay algún número que multiplicado por� dé 1? 
[tt- lEs posible encontrar un número que multiplicado por -f dé 1? 
Encontrá cinco multiplicaciones que den 9. 
La siguiente tabla relaciona la base y la altura de distintos 
rectángulos de 2 m2 de área. Completá los lugares vacíos de la 
tabla. 
Base 
•> 
AHura 
(111) 
2 3 4 5 6 
=l 
=l 
7 
lx 
9 
=2 
_] X 
15 
-·· ....... =3
Mo..cl-\el:e.: 
E:L i."'-ve.rso mt.tl�i.pli.ca.Hvo
d.e. ul-'I. 11\ÚMe.ro ro.ci.o"'-o.l t, 
d.i-s�i.1-'1.�o d.e. ce.ro, �s d 
, 
. 
L b 11\uMe.ro ro..cLol-\o.. �, �o.
9ue. a.L l'Ylull:ipli.co..rlo ror
t d.o.. cor,,,o rt:.suHo.d.o l.
8 9 10 
La siguiente tabla relaciona 
la base y la altura de 
distintos rectángulos de 
7 m2 de área. 
Completá la tabla. 
Base<•>
Altura (111) �
l. 
11 
J 
7 
J 
5 
Si se designa con b la medida de la base de cada rectángulo, 
Lpodés escribir una expresión que relacione la medida de la 
altura de esos rectángulos con sus respectivas bases? 
2 
Sabiendo que: 7 x � = 1, escribí dos divisiones en las que puedas 
encontrar el resultaao sin hacer cálculos. 
Usando que l : f = 7, encontrá los resultados de los siguientes cálculos: 
2-l =·7 
¾:t=
3• l =·7 
3 . l = 
4·7 
s•l= ·7
½:f=
Averiguá el factor que falta en las siguientes multiplicaciones. 
l.. l 
2·7 
2. 1 _
5·7-
lx =l 2x =2. 8 6 
lx =1 2.x 
10 3 
•• Para resolver�: -,., Inés ¡)lantea que t multiplicado por el resultado
debe ser�- O sea, ... x-,. = i LEstás de acuerdo? Explicá por qué.
:- Decidí si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas y justificá. 
3 
=2 
8 
3 4 
iEs posible encontrar un número racional a de manera que ax ¡ sea menor que 1? 
5 6 7 
Encontrá fracciones entre O y l.
� LQué fracción puede corresponder al punto m(;dio del intervalo [l; 2]? ¿y al punto medio del intervalo
[8; 9]7 ¿y al punto medio del intervalo [13; 14]?
::. Encontrá fracciones entre O y ½, Y entre ½ y 1.
lEntre qué enteros se ubica la fracción 1¡7 ¿y¿? ¿cómo te das cuenta?
4
..., Encontrá fracciones entre¾ y½, y entre½ y¾,
;, Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
Ma.ckel:e.: 
La. escr1h1.ro.. [o..,b] ka.ce. 
re.fe.re."'-dO.. G\. !:od.os los 
1'1.ÚMe.ros 91.1.e. se.
el-\cu.el'l.!:r<U\. e"'-!:re. o. '1 b, 
\ cons�d.e.ra.""-d.o l:o..mbté.l'I. o.
los r\ÚMe.ros a. '1 b. Se. Lo 
Lla.Ma. i."'!:e.rvolo ce.rra.d.o. 
a) e Si se divide en 2 partes iguales el segmento de recta [¾, ½} se encuentran »octavos".
b) e � es equivalente a ½ más la mitad de lo que hay entre ½ y ¾,
) LCuántas fracciones hay entre 7 y 8?
, ¿cuántas fracciones hay entre 7 y 8 con denominador 2? 
¿cuántas fracciones hay entre 7 y 8 con denominador 4?
_ ¿y con denominador 7?
� ¿y con denominador ll?
Sin hacer cuentas anticipá cuántas fracciones con denominador 67 hay entre 7 y 8.lEs cierto que hay tres fracciones con denominador 4 entre ¾ y i? 
Encontrá un intervalo de longitud 1 cuyos extremos sean fracciones 
con denominador 5 y que incluya las fracciones i y l LHay ,una 
sola solución7 
�> lCuántas fracciones hay entre� y¡? 
..i) lCuántas fracciones hay entre � y � que tengan denominador 9? 
¿y con denominador 18? 
J) ¿y con denominador l O?
� u) ¿cuántas fracciones con denominador 10 hay entre 1� y 1i?
b ¿cuántas fracciones con denominador 20 hay entre 1� y 1i?
.. ¿cuántas fracciones con denominador 100 hay entre 1� y 1i?
� Decidí si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. 
Mo.cke.l:e: 
Col/\. La. E:.Scri.b.tro. (o.,b) se 
d.�i.gll\.a.l-\. l:od.os los
r1.ÚMeros coMprell\.d.i.d.os 
ell\.l:re. o. 'J b, es d.eci.r los
ll\.ÚMe.ros Ma.::,ores 9u.e. a. 
'J Me.ll\.ore.s 9u.e b. Se. Lo 
lla.Mo. i.ll\.l:e.rvo.Lo o.bi.er�o. 
e Entre dos números enteros siempre se puede encontrar un número fraccionario. 
e Entre dos números fraccionarios siempre hay un número fraccionario. 
O Entre dos números fraccionarios siempre se puede encontrar un número entero. 
e Entre dos fracciones del mismo denominador siempre se puede encontrar una fracción con el 
mismo denominador que las fracciones dadas . 
� El siguiente segmento representa 1 del 
segmento completo, dibujá el segmento 
completo. 
� El siguiente rompecabezas tiene cuatro piezas. 
Escribí las nuevas medidas de manera que el 
segmento que mide 3 pase a medir 7.
6 5 
4 
8 
7 
3 
8 
� Con pintura blanca y pintura verde se realizan 
dos mezclas: 
- La mezcla A se obtiene con 5 litros de blanco
y 3 de verde.
- La mezcla B se obtiene con 7 litros de blanco
y 4 litros de verde. 
Decidí si las siguientes afirmaciones son 
verdaderas o falsas. 
a) O La pintura A es más clara que la B.
b) Qsi a la mezcla A se agrega 1 litro de
cada color, se obtiene pintura con la 
misma tonalidad. 
e) O Si se quiere hacer pintura de la misma
tonalidad que B pero usando 2 litros de 
pintura blanca, se necesitan ? litros de 
verde. 
� LEstán ordenadas las siguientes fracciones? Si 
considerás que no, ordenalas. 
l 
4 
15 
8 
2 
5 
2-
17 
4 
7 
� LCuál es la fracción mayor en cada caso? lndicá 
por qué. 
1 . 1 
23' 24 
5. 5
21'19 
7.5 
5'6 
7 . 8 
14'15 
5. 7
6
1
8 
� Dos robots se desplazan sobre una recta 
numérica. Salen del O. El primero llega al 7 en 
9 pasos iguales y el segundo, al 8 en 7 pasos 
iguales. LCuál de los dos da pasos más largos? 
► LCuáles de las siguientes fracciones pueden
escribirse como suma de octavos?
D"� LEs posible encontrar un número racional a de 
manera que a x 1
7
5 sea menor que l?
22 23 ...12 23 15 24 __lQ__ 
4 4 2 16 32 32 40 
� La base de un rectángulo es i, LOué medida 
. puede tener la altura para que el área sea 
superior a l? 
t), LEs posible encontrar un número que 
multiplicado por 9 dé 13? 
� LCuántos números enteros hay entre -J y-¡? 
�-,. lCuántas fracciones con denominador 4 hay 
entre-! v-i? 
� Si a es un número cualquiera y se representa en la recta �, ubicá: a; -a; %-
o -ª-
5
� LQué fracción del cuadrado representa la parte verde en cada uno de los tres casos? 
u 
D:. En esta recta ubicá l y -i 
o 
� En esta recta ubicá l y ½-
l 2
2 4
1 
3 
I