Física II - Unidad 1 - Potencial Eléctrico

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Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 1 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / 2020 
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Unidad 1 
Potencial Eléctrico 
 
 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
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1.14 |Energía 
 
El universo es un gigantesco espacio en expansión donde ocurren de continuo y 
simultáneamente una casi infinidad de fenómenos energéticos de diverso tipo y 
magnitud. Toda la materia que percibimos directamente con nuestros sentidos o a través 
de instrumentos, aquí en nuestro planeta Tierra o fuera de él, por una parte contiene 
elementos que de una manera u otra intervienen en los fenómenos energéticos, y por 
otra es a través de esos fenómenos, con la luz como su principal mensajero, que podemos 
percibir la existencia de esa materia. El mundo que nos rodea es una compleja 
combinación de materia y energía que ha intrigado a muchos pensadores, sobre todo en 
los últimos siglos de la historia humana, siendo a lo largo del siglo XX cuando se han 
realizado los más grandes avances en pos de su conocimiento. 
Para los lectores que se pregunten cuál es el interés que hay en leer un trabajo como 
éste, sobre un tema aparentemente árido, falto de poesía y encanto, van las siguientes 
reflexiones. 
“Nuestras vidas, desde la concepción en el vientre de nuestra madre hasta el último 
instante, están atadas a multitud de fenómenos energéticos de todo tipo. Vivir es un 
continuo acto de consumir y producir energía. Al mirar, escuchar, tocar algo, amar, 
respirar, comer, dormir, movernos, pensar, y cualquier otra actividad que desarrollemos, 
ocurren en nuestro cuerpo multitud de complejos fenómenos energéticos. Por ejemplo, 
al mirar el cielo en una noche despejada, vemos a los astros porque desde ellos nos llega 
su luz, que está constituida por ondas electromagnéticas que han viajado quizás miles 
de años a través del espacio a la tremenda velocidad de casi 300.000 kilómetros cada 
segundo. Luego esta insignificante energía se transmite por medio de fenómenos 
electroquímicos que ocurren en el nervio óptico, desde nuestros ojos hasta nuestro 
cerebro, donde aparece finalmente la imagen del objeto observado. Nuestros cuerpos y 
todo lo que nos rodea en nuestro planeta Tierra, están hechos de elementos combinados 
a veces en complicadas estructuras, como resultado de juegos de la energía en sus 
diversas formas. Sorprende enterarse que la materia de que uno está hecho, formó parte 
de una o más estrellas que nacieron en el cosmos hace miles de millones de años, en 
violentos procesos con colosales intercambios de energía. Con palabras poéticas pero 
también con rigor científico, podemos decirle románticamente a quien amamos que es 
un pedacito de estrellas modelado con energía. Todo es energía. Sin ella el universo no 
se hubiera creado”. 
 
 Ing. Virgilio D. Di Pelino 
 Instituto Argentino de la Energía General Mosconi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El concepto de energía está relacionado con la capacidad de generar movimiento o 
lograr la transformación de algo. 
 
La Energía es la capacidad que posee un “cuerpo” para realizar una acción o trabajo, 
o producir un cambio o una transformación, y es manifestada cuando pasa de un cuerpo 
a otro. Una materia posee energía como resultado de su movimiento o de su posición 
en relación con las fuerzas que actúan sobre ella. 
 
La energía se manifiesta continuamente a nuestro alrededor, y se presenta en la 
naturaleza bajo muchas formas; energía cinética (energía que tiene un cuerpo en 
movimiento), energía potencial (energía que tiene un cuerpo originada por su posición 
en el espacio), energía eléctrica (capaz de encender una lámpara o hacer funcionar un 
motor), energía química (contenida en pilas y baterías, en los combustibles o en los 
alimentos), energía térmica, nuclear, eólica, hidráulica, mecánica, radiante o 
electromagnética, entre otras. 
Una de las propiedades que presenta la energía es que se transfiere; por ejemplo, 
cuando un objeto se calienta, lo hace porque otro cuerpo, que tiene una temperatura 
mayor, le transfiere energía en forma de calor, esta sufre un cambio, por lo que en el 
proceso se realiza algún tipo de trabajo. 
La energía no se crea ni se destruye, simplemente se transforma; ésta es la ley de la 
conservación de la energía (física clásica). Todas las formas de energía pueden 
convertirse en otras formas mediante los procesos adecuados; es decir, que la energía 
puede tomar apariencia de corriente eléctrica, luz, calor, sonido y movimiento. 
Un ejemplo de esto es la conversión de energía que se produce al enchufar una 
plancha, la energía eléctrica que consume la resistencia se convierte en energía calórica. 
 
Estudiaremos ahora la energía asociada a las interacciones eléctricas. Cada vez que 
se enciende una luz, o un aparato eléctrico, se utiliza energía eléctrica, un elemento 
indispensable de nuestra sociedad tecnológica. En física I, se estudiaron los conceptos 
de trabajo y energía en el contexto de la mecánica; ahora combinaremos estos 
conceptos con lo que se ha aprendido sobre la carga eléctrica, las fuerzas eléctricas y los 
campos eléctricos. Así como el concepto de energía facilita la resolución de algunos tipos 
de problemas de mecánica, el empleo de las ideas de energía hará más fácil la solución 
de una variedad de problemas de electricidad. 
Cuando una partícula con carga se mueve dentro de un campo eléctrico, el campo 
ejerce una fuerza que realiza trabajo sobre la partícula. Este trabajo siempre se puede 
expresar en términos de la energía potencial eléctrica. Así como la energía potencial 
gravitatoria depende de la altura de una masa sobre la superficie terrestre, la energía 
potencial eléctrica depende de la posición que ocupa la partícula con carga en el campo 
eléctrico. Describiremos la energía potencial eléctrica utilizando un concepto nuevo, 
llamado potencial eléctrico o simplemente potencial. En los circuitos eléctricos, una 
diferencia de potencial entre un punto y otro recibe el nombre de voltaje. Los conceptos 
de potencial y voltaje son cruciales para entender la manera en que funcionan los 
circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones de gran importancia en los haces de electrones 
que se utilizan en la radioterapia contra el cáncer, los aceleradores de partículas de alta 
energía y muchos otros aparatos. 
 
http://conceptodefinicion.de/espacio/
http://conceptodefinicion.de/quimica/
http://conceptodefinicion.de/hidraulica/
http://conceptodefinicion.de/mecanica/
http://conceptodefinicion.de/corriente/
http://conceptodefinicion.de/resistencia/
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1.14.1 |Energía potencial eléctrica 
 
Para facilitar la comprensión de la energía potencial eléctrica, comenzaremos 
realizando una analogía con la energía potencial gravitatoria. Analicemos entonces la 
siguiente situación: 
 
 Para levantar un objeto desde el suelo hasta cierta altura h, es necesario efectuar 
un trabajo positivo sobre él con una fuerza externa para vencer la fuerza de gravedad 
debida al campo gravitacional terrestre (la fuerza de la gravedad entonces, realizará un 
trabajo negativo). El objeto en la posición h, adquiere una energía potencial gravitatoria 
(Ua). Ahora, si soltamos el objeto desde la altura h, el objeto mientras “cae” perderá la 
energía potencial adquirida hasta llegar al suelo (Ub), que resultará igual al trabajo 
positivo aplicado por el campo gravitatorio al objeto (Wg). Expresado matemáticamente 
sería: 
 
UWg  
 
Como la variación de energía potencial es: 
 
ab UUU  
 
Entonces el trabajo de la fuerza gravitacional resulta: 
 
)( abg UUW  → bag UUW  
 
 Algo similar ocurre en el caso de las cargaseléctricas. Si se quiere mover una 
carga de prueba q positiva desde el infinito (región alejada donde la energía potencial 
eléctrica es nula) hasta cierto punto dentro de un campo eléctrico generado por una 
carga Q, es necesario realizar un trabajo positivo con una fuerza aplicada por un agente 
externo, o sea, realizar un trabajo contra las fuerzas eléctricas, por lo que la carga de 
prueba q adquiere una cierta energía potencial eléctrica (U). Figura 27. 
 
 
Figura 27. Carga de prueba q que se mueve en contra del campo eléctrico de Q 
 
Entonces, si ahora “soltamos” la carga de prueba q dentro del campo eléctrico, ésta 
se desplazará debido a que el campo realizará trabajo sobre la carga, llevándola hasta 
+ + 
F 
q 
v 
Q 
E 
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una región donde la energía potencial eléctrica sea cero. Es como decir que la carga 
eléctrica “cae” de un punto de mayor potencial a otro de menor potencial. 
Cuando una fuerza actúa sobre una partícula que se mueve de un punto a a un punto 
b, el trabajo efectuado por la fuerza está dado por la siguiente integral de línea: 
 
 


b
a
b
a
ba dlFdlFW cos. 
 
Donde dl es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la 
partícula, y  es el ángulo entre F y dl en cada punto de la trayectoria. 
Si la fuerza F es conservativa (una fuerza que ofrece conversión bidireccional entre 
energías cinética y potencial es una fuerza conservativa, razón por la cual, el trabajo que 
realice siempre será reversible y dependerá únicamente de su punto inicial y final y no 
de la trayectoria que realice), el trabajo realizado por F se puede expresar en términos 
de la energía potencial U. Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energía 
potencial es Ua a otro donde es Ub, la variación de energía potencial es: 
 
U = Ub – Ua 
 
Y el trabajo que realiza la fuerza conservativa es: 
 
UUUUUW abbaba  )( 
 
Cuando Wab es positivo, Ua es mayor que Ub, U es negativo y la energía potencial 
de la partícula disminuye. Eso es lo que ocurre cuando una pelota cae de un punto 
elevado (a) a otro más bajo (b) en presencia de la gravedad terrestre; la fuerza de la 
gravedad efectúa un trabajo positivo, y la energía potencial gravitacional disminuye. 
Cuando se lanza una pelota hacia arriba, la fuerza gravitatoria hace un trabajo negativo 
durante el ascenso, y la energía potencial aumenta. 
El teorema de trabajo y energía establece que: la variación de la energía cinética K 
= Kb – Ka durante cualquier desplazamiento, es igual al trabajo total realizado sobre la 
partícula. Si el trabajo efectuado sobre la partícula lo realiza una fuerza conservativa, 
entonces: 
K = Kb – Ka 
 
Y el trabajo que realiza la fuerza conservativa es: 
 
KKKW abba  
Entonces: 
UK  
 
)( abab UUKK  
 
baab UUKK  
 
 
bbaa UKUK  
(1.31) Trabajo realizado por una fuerza variable 
(1.32) 
(1.33) 
Conservación de la energía 
mecánica 
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Es decir, en estas circunstancias, la energía mecánica total (cinética más potencial) se 
conserva. 
 
 
1.14.2 |Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales 
 
Calculemos el trabajo sobre una carga de prueba q0 que se mueve dentro de un 
campo eléctrico ocasionado por una sola carga puntual estacionaria q. En primer lugar 
se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial, como se ilustra en la 
figura 28, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dada por la ley de Coulomb, y 
su componente radial es: 
 
2
0
04
1
r
qq
F

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28. Energía potencial eléctrica entre dos cargas 
 
Si q y q0 tienen el mismo signo, la fuerza es de repulsión y F es positiva; si las dos 
cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y F es negativa. Como la fuerza 
no es constante durante el desplazamiento, se tiene que integrar para obtener el trabajo 
Wab que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b. Por lo tanto: 
 

b
a
r
r
ba FdrW 
 
 
b
a
b
a
b
a
r
r
r
r o
r
r
ba
r
drqq
dr
r
qq
FdrW
2
0
0
2
0
44
1

 Como 
1
1



 n
x
dxx
n
n 
 
b
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
ba
r
qqrqq
drr
qq
W 















 
1
41244 0
0
12
0
02
0
0

 
 



















baoab
ba
rr
qq
rr
qq
W
11
4
11
4
0
0
0

 
 
 
boao
ba
r
qq
r
qq
W
1
4
1
4
00

 
a b 
q q0 
r 
ra 
rb 
+ + 
F 
 
Trabajo para mover una carga 
de un punto a a un punto b (1.34) 
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El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular depende 
sólo de los puntos extremos. En realidad, el trabajo es el mismo para todas las 
trayectorias posibles entre a y b. Para demostrar esto, consideraremos un 
desplazamiento más general (figura 29) en el que a y b no están en la misma línea radial. 
Entonces, el trabajo efectuado sobre q0 durante este desplazamiento está dado por: 
 
 
 
 
Figura 29. Trabajo efectuado sobre una partícula con carga q0 sobre una trayectoria 
cualquiera 
 
 

b
a
r
r
ba dlFW cos 
 
b
a
b
a
r
r
r
r
ba dl
r
qq
dl
r
qq
W 



cos
1
4
cos
4
1
2
0
0
2
0
0
 
 
Como: drdl cos 
 








 
ba
r
r
ba
rr
qq
r
drqq
W
b
a
11
44 0
0
2
0
0

 
 
La figura 29 muestra que cosdl = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un 
desplazamiento pequeño dl depende sólo del cambio dr en la distancia r entre las 
cargas, el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (1.34) es 
válida para cualquier trayectoria; el trabajo que efectúa el campo eléctrico E sobre q0 
producido por q sólo depende de ra y rb, y no de la trayectoria. Asimismo, si q0 regresa 
de b a su punto inicial a por una trayectoria diferente, el trabajo que realiza el campo 
sobre la carga será negativo, por lo que el trabajo total que se realiza en el 
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desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero. Éstas son las características necesarias 
para una fuerza conservativa, de este modo, la fuerza sobre q0 resulta conservativa. 
Si comparamos las ecuaciones: 
 
baba UUW  
Y 
boao
ba
r
qq
r
qq
W
1
4
1
4
00

 
 
Puede definirse a qq0/40ra como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto 
a, a una distancia ra de q, y definirse a qq0/40rb como la energía potencial Ub cuando 
q0 está en el punto b, a una distancia rb de q. 
 
Podemos definir entonces, la energía potencial U cuando la carga de prueba q0 está 
a una distancia r de la carga q como: 
 
 
r
qq
U
o
1
4
0

 
 
 
La ecuación (1.35) es válida para cualquier combinación de signos. La energía 
potencial es positiva si las cargas q y q0 tienen el mismo signo, y negativa si tienen signos 
opuestos. U es una magnitud escalar. 
 
La energía potencial siempre se define en relación con algún punto de referencia 
donde U = 0. En la ecuación (1.35), U es igual a cero cuando q y q0 están infinitamente 
alejadas, o sea r = ∞. Por lo tanto, U representa el trabajo que realizaría el campo de q 
sobre la carga de prueba q0 si esta última se desplazara de una distancia inicial r al 
infinito. O sea: 
 
boao
ba
r
qq
r
qq
W
1
4
1
4
00

 Como rb = ∞ 0
1
4
0 
ao
ba
r
qq
W

 
 
a
ao
ba U
r
qq
W 
1
4
0

 
 
También podríamos decir que, la ecuación (1.35) representa el trabajo que tendría 
querealizar una fuerza externa sobre la carga de prueba q0 para traerla desde el infinito 
hasta una distancia r de la carga q que genera el campo eléctrico. 
Si q y q0 tienen el mismo signo, la interacción será de repulsión, este trabajo será 
positivo y U será positiva en cualquier separación finita. Si las cargas tienen signos 
opuestos, la interacción es de atracción, el trabajo efectuado será negativo y U será 
negativa [compruebe esto trabajando con los signos en la ecuación (1.34)]. 
Debe quedar en claro que la energía potencial U dada por la ecuación (1.35) es una 
propiedad compartida entre las dos cargas q y q0; es una consecuencia de la interacción 
Energía Potencial Eléctrica de dos 
cargas puntuales (1.35) 
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entre estos dos cuerpos. Si la distancia entre las dos cargas cambia de ra a rb, el cambio 
de energía potencial es indistinto a que se considere que cualquiera de ellas permanezca 
quieta y que la otra se mueva. Por esta razón, es erróneo decir “la energía potencial 
eléctrica de una carga puntual”. (De igual manera, si una masa m se encuentra a una 
altura h sobre la superficie de la Tierra, la energía potencial gravitacional es una 
propiedad compartida de la masa m y la Tierra). 
 
La ley de Gauss dice que el campo eléctrico fuera de cualquier distribución de carga 
esféricamente simétrica es la misma que habría si toda la carga estuviera en el centro. 
Por lo tanto, la ecuación (1.35) también se cumple si la carga de prueba q0 está fuera de 
cualquier distribución de carga esféricamente simétrica con carga total q a una distancia 
r del centro. 
 
 
 Resumiendo, la energía potencial eléctrica de un par de cargas q y q0 (o de una 
distribución de cargas con respecto a q0) en cualquier punto de un campo eléctrico 
generado por q, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando se lleva la 
carga de prueba q0 desde el punto en cuestión a un nivel de referencia cero, que se toma 
en el infinito. 
 
Realizando un análisis dimensional obtenemos, como es de esperarse, que la unidad 
de la energía potencial eléctrica es el Joule. 
 
     JNm
m
C
C
Nm
r
qq
kU 












2
2
2
0 
 
 
1.14.3 |Energía potencial eléctrica con varias cargas puntuales 
 
Suponga que el campo eléctrico en el que se desplaza una carga q0 está generado por 
varias cargas puntuales q1, q2, q3, . . ., qn a distancias r1, r2, r3, . . ., rn de q0, como se 
ilustra en la figura 30. Por ejemplo, q0 podría ser un ion positivo que se mueve en 
presencia de otros iones. El campo eléctrico total en cada punto del espacio es la suma 
vectorial de los campos debidos a las cargas individuales, y el trabajo total realizado 
sobre q0 durante cualquier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las 
cargas individuales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30. Energía potencial asociada con la carga q0 
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54 
De la ecuación (1.35) se concluye que la energía potencial asociada con la carga de 
prueba q0 en el punto a en la figura 30 es la suma algebraica (no la suma vectorial): 
 









n
n
o r
q
r
q
r
q
r
qq
U ...
4 3
3
2
2
1
10

 
 
 



n
i i
i
r
qq
U
10
0
4
 
 
 
Cuando q0 está en un punto b diferente, la energía potencial está dada por la misma 
expresión, pero r1, r2, r3, . . ., rn son las distancias desde q1, q2, q3, . . ., qn al punto b. El 
trabajo efectuado sobre la carga q0 cuando se desplaza de a a b a lo largo de cualquier 
trayectoria es igual a la diferencia Ua - Ub entre las energías potenciales cuando q0 está 
en a y en b. 
 


 
n
i bi
i
n
i ai
i
ba
r
qq
r
qq
W
10
0
10
0
44 
 
 








 


n
i bi
i
n
i ai
i
ba
r
q
r
qq
W
110
0
4
 
 








 


biai
n
i
iba
rr
q
q
W
11
4 10
0

 
 
 
Se puede representar cualquier distribución de carga como un conjunto de cargas 
puntuales, por lo que la ecuación (1.36) muestra que siempre es posible encontrar una 
función de la energía potencial para cualquier campo eléctrico estático. Se infiere que 
para todo campo eléctrico debido a una distribución de carga estática, la fuerza ejercida 
por ese campo es conservativa. 
 
Como ya se vio, las ecuaciones (1.35) y (1.36) definen que U es igual a cero cuando 
todas las distancias r1, r2, r3, . . ., rn son infinitas, es decir, cuando la carga de prueba q0 
está muy lejos de todas las cargas que producen el campo. 
Igual que para cualquier función de la energía potencial, el punto en que U = 0, es 
arbitrario; siempre se puede sumar una constante que haga a U igual a cero en cualquier 
punto que se elija (lo mismo sucede cuando elegimos el nivel del suelo como referencia 
para U = 0 en la energía potencial gravitatoria, y no el centro de la tierra). En los 
problemas de electrostática, por lo general lo más sencillo es elegir que este punto se 
encuentre en el infinito. Cuando se analicen el potencial y circuitos eléctricos más 
adelante, habrá otras elecciones que resulten más convenientes. 
 
(1.36) Energía Potencial Eléctrica con varias cargas puntuales 
Trabajo realizado por varias 
cargas puntuales (1.37) 
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55 
1.14.4 |Energía potencial total de un sistema de cargas puntuales 
 
La ecuación (1.36) da la energía potencial asociada con la presencia de la carga de 
prueba q0 en el campo producido por r1, r2, r3, . . ., rn. Pero también hay energía 
potencial implicada en el arreglo de estas cargas. Si se comienza con las cargas q1, q2, 
q3, . . ., qn todas separadas entre sí por distancias infinitas, y luego se las acerca de 
manera que la distancia entre qi y qj sea rij, la energía potencial total U es la suma de 
las energías potenciales de interacción para cada par de cargas. Esto se escribe como: 
 



ji ij
ji
r
qq
U
04
1

 
 
Esta suma comprende a todos los pares de cargas; no se permite que i = j (porque 
eso sería la interacción de una carga consigo misma), y sólo se incluyen términos con i 
< j para garantizar que cada par se tome en cuenta sólo una vez. Así, para explicar la 
interacción entre q3 y q4, se incluye un término con i = 3 y j = 4, pero no un término con 
i = 4 y j = 3. 
 
Energía Potencial Total de un 
sistema de cargas puntuales (1.38) 
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56 
1.15 |Potencial Eléctrico 
 
Al igual que el campo eléctrico describe la fuerza por unidad de carga sobre una 
partícula con carga en el campo, el potencial eléctrico describe la energía potencial por 
unidad de carga en un punto del campo eléctrico. Este concepto es muy útil en los 
cálculos que implican energías de partículas con carga. También facilita hacer muchos 
cálculos de campo eléctrico porque el potencial eléctrico se relaciona estrechamente 
con el campo eléctrico E. Cuando se necesita determinar un campo eléctrico, a menudo 
es más fácil determinar primero el potencial y después, a partir de éste, el campo. 
El potencial es la energía potencial por unidad de carga. 
 
Se define el potencial V en cualquier punto en un campo eléctrico como la energía 
potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto: 
 
0q
U
V  
 
Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es una 
cantidad escalar. Sus unidades se encuentran a partir de la ecuación (1.39), dividiendo 
las unidades de energía entre las de carga. La unidad del SI para el potencial se llama 
volt [V] y es igual a 1 joule por coulomb [J/C]. 
Expresemos la ecuación (1.39),que iguala el trabajo realizado por la fuerza eléctrica 
durante un desplazamiento de a a b con la cantidad -U = - (Ub - Ua), sobre una base 
de “trabajo por unidad de carga”. Al dividir esta ecuación entre q0 se obtiene: 
 
baab
abba VVVV
q
U
q
U
q
U
q
W










 )(
0000
 
 
Donde Va = Ua/q0 es la energía potencial por unidad de carga en el punto a y se aplica 
de manera análoga para Vb. Va y Vb se denominan el potencial en el punto a y potencial 
en el punto b, respectivamente. De este modo, el trabajo realizado por unidad de carga 
por la fuerza eléctrica cuando un cuerpo con carga se desplaza de a a b es igual al 
potencial en a menos el potencial en b. 
 
La diferencia Va - Vb se llama potencial de a con respecto a b; pero generalmente se 
abrevia como Vab = Va - Vb (observe el orden de los subíndices). En los circuitos eléctricos, 
que se analizarán en las unidades posteriores, la diferencia de potencial entre dos 
puntos con frecuencia se denomina voltaje o tensión. Así, la ecuación (1.40) establece: 
 
Vab, el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza 
eléctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b. 
 
Otra manera de interpretar la diferencia de potencial Vab en la ecuación (1.40) es 
recurrir al punto de vista alternativo que se mencionó al final de la sección 1.14.2. Desde 
ese punto de vista, Ua y Ub es la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza externa 
para desplazar con lentitud una partícula de carga q0 de b a a contra la fuerza eléctrica. 
(1.39) 
(1.40) 
Potencial Eléctrico o 
simplemente Potencial 
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57 
El trabajo que debe hacer por unidad de carga la fuerza externa es, por lo tanto, (Ua - 
Ub)/q0 = Va - Vb = Vab. En otras palabras: 
 
Vab, el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo que debe efectuarse para 
desplazar con lentitud una UNIDAD de carga de b a a contra la fuerza eléctrica. 
 
Obsérvese que el potencial, al igual que el campo eléctrico, es independiente de la 
carga de prueba q0 utilizada para definirlos. 
El instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos puntos se llama 
voltímetro. 
 
 
1.15.1 |Potencial Eléctrico de una Carga Puntual 
 
Para encontrar el potencial V debido a una sola carga puntual q, se divide la 
ecuación (1.35) entre q0: 
 
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
40
𝑞
𝑟
 
 
Donde r es la distancia de la carga puntual q al punto donde se quiere determinar 
el potencial. Si q es positiva, el potencial que produce es positivo en todos los puntos; si 
q es negativa, produce un potencial negativo en cualquier lugar. Como lo indica la 
ecuación, V es igual a cero en r = , a una distancia infinita de la carga puntual. 
 
 
1.15.2 |Potencial Eléctrico de un Conjunto de Cargas Puntuales 
 
De manera similar, para encontrar el potencial debido a un conjunto de cargas 
puntuales, se divide la ecuación (1.36) entre q0: 
 
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
4𝜋𝜀0
∑
𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑖
 
 
En esta expresión, ri es la distancia de la i-ésima carga, qi, al punto en que se evalúa 
V. Así como el campo eléctrico debido a un conjunto de cargas puntuales es la suma 
vectorial de los campos producidos por cada carga, el potencial eléctrico debido a un 
conjunto de cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a cada carga. 
 
 
1.15.3 |Potencial Eléctrico de una distribución continua de carga 
 
Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una línea, sobre una 
superficie o a través de un volumen, se divide la carga en elementos dq y la suma en la 
ecuación (1.42) se convierte en integral: 
(1.41) 
Potencial Eléctrico de una 
carga puntual 
(1.42) 
Potencial Eléctrico de un 
conjunto de cargas puntuales 
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58 
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∫
𝑑𝑞
𝑟
 
 
 
Donde r es la distancia que hay entre el elemento con carga dq y el punto del campo 
donde se desea obtener V. Se verán varios ejemplos de tales casos. El potencial definido 
por las ecuaciones (1.42) y (1.43) es igual a cero en puntos que están infinitamente lejos 
de todas las cargas. Sin embargo, más adelante se verán casos en los que la distribución 
de carga en sí se extiende al infinito pero se verá que en el infinito no se puede 
establecer V = 0. 
 
Tabla 1. Múltiplos y submúltiplos del potencial eléctrico 
 
Múltiplo Submúltiplos 
1 kV (kilo volt) 1.000 V 1 mV (mili volt) 0,001 V 
1 MV (mega volt) 1.000.000 V 1 V (micro volt) 0,000001 V 
 
El potencial eléctrico en un determinado punto es la energía potencial que estaría 
asociada a una carga unitaria colocada en ese punto. Ésa es la razón por la que el 
potencial se mide en joules por coulomb, o volts. Asimismo, hay que recordar que no 
tiene que existir una carga en un punto dado para que ahí exista un potencial V. (De 
igual forma, un campo eléctrico puede existir en un punto dado aun si no hay carga que 
responda a él). 
 
 
1.15.4 |Potencial Eléctrico a partir del Campo Eléctrico 
 
En ciertos problemas en los que se conoce el campo eléctrico, o se puede calcular 
con facilidad, es más fácil determinar V a partir de E. La fuerza F sobre una carga de 
prueba q0 se escribe como F = q0E, por lo que, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica 
conforme la carga de prueba se desplaza de a a b (figura 31) está dado por: 
 
𝑊𝑎𝑏 = ∫ �⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑞0�⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
 
Despejando q0 de la integral y pasando de miembro, se puede comparar el resultado 
con la ecuación (1.40), por lo tanto: 
 
𝑊𝑎𝑏
𝑞0
= ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= ∫ 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
 
𝑉𝑎𝑏 = ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= ∫ 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
(1.43) 
Potencial Eléctrico de una 
distribución continua de cargas 
(1.44) 
Diferencia de Potencial 
a partir de la integral 
de campo 
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59 
Donde Vab es el potencial de a con respecto a b, y es igual al trabajo realizado por 
el campo eléctrico para desplazar una unidad de carga de a a b. El valor de Vab es 
independiente de la trayectoria tomada de a a b, del mismo modo en que el valor de 
Wab es independiente de la trayectoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31. Una carga de prueba q0 se mueve del punto a al punto b a lo largo de la trayectoria 
que se muestra dentro de un campo eléctrico no uniforme 
 
Para interpretar la ecuación (1.44) hay que recordar que E es la fuerza eléctrica por 
unidad de carga sobre una carga de prueba. Si la integral de línea es positiva, el campo 
eléctrico efectúa un trabajo positivo sobre una carga de prueba positiva conforme ésta 
se desplaza de a a b. En este caso, la energía potencial eléctrica por unidad de carga 
disminuye a medida que la carga de prueba se desplaza, por lo que la energía potencial 
por unidad de carga también decrece; por consiguiente, Vb es menor que Va y Vab es 
positiva. 
 
 
Figura 32. Potencial eléctrico de una carga puntual positiva 
 
Considere una carga puntual positiva figura 32. Para este caso, V es positivo a 
cualquier distancia finita de la carga. Si nos alejamos de la carga, en dirección de E nos 
V aumenta a medida que 
nos acercamos a la carga 
V disminuye a medida que 
nos alejamos de la carga 
𝑑𝑙 
Línea de Campo Trayectoria 
a 
b 
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60 
movemos hacia valores más bajos de V; si nos acercamos a la carga, en dirección opuesta 
a E nos desplazamos hacia valores mayores de V. 
 
 
Figura 33. Potencial eléctrico de una carga puntual negativa 
 
Para la carga puntual negativa en la figura 33, E está dirigido hacia lacarga y V 
es negativo a cualquier distancia finita de la carga. En este caso, si nos desplazamos hacia 
la carga, nos moveremos en la “dirección” de V decreciente, más negativo. Al alejarnos 
de la carga, nos movemos en “dirección” de V creciente, menos negativos. La regla 
general, válida para cualquier campo eléctrico, es la siguiente: 
 
Desplazarse en la dirección de E, significa hacerlo en la dirección de V 
decreciente, y desplazarse contra de la dirección de E, significa moverse en la dirección 
de V creciente. 
 
Debe quedar en claro que: una carga de prueba positiva q0 experimenta una fuerza 
eléctrica en la dirección de E hacia valores más pequeños de V; una carga de prueba 
negativa experimenta una fuerza opuesta a E hacia valores más grandes de V. Así, una 
carga positiva tiende a “caer” de una región de potencial elevado a otra de menor 
potencial. Por lo que una carga negativa tiende a “subir” de una región de menor 
potencial a una de mayor potencial. 
 
Observe que la ecuación (1.44) puede escribirse como: 
 
𝑉𝑎𝑏 = − ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑎
𝑏
 
 
En comparación con la integral de la ecuación (1.44), ésta tiene signo negativo y los 
límites están invertidos; de ahí que las ecuaciones (1.44) y (1.45) sean equivalentes. Sin 
embargo esta ecuación tiene un concepto diferente. Para mover una unidad de carga 
lentamente en contra de la fuerza eléctrica, se debe aplicar una fuerza externa por 
unidad de carga igual a –E, igual y opuesta a la fuerza eléctrica por unidad de carga E. 
 
V aumenta a medida que 
nos alejamos a la carga 
V disminuye a medida que 
nos acercamos de la carga 
(1.45) 
Diferencia de Potencial 
a partir de la integral 
de campo 
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61 
La ecuación (1.45) dice que Vab, el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo 
realizado por unidad de carga por esta fuerza externa para desplazar una unidad de 
carga de b a a. Ésta es la misma interpretación alternativa que se estudió para la 
ecuación (1.40). 
 
 
1.15.4.1 | Otra forma de expresar la unidad de campo eléctrico 
 
Las ecuaciones (1.44) y (1.45) demuestran que la unidad de la diferencia de 
potencial (1 V) es igual a la unidad del campo eléctrico (1 N/C) multiplicada por la unidad 
de distancia (1 m). Así, la unidad de campo eléctrico puede expresarse como 1 volt por 
metro (1 V/m), o como 1 N/C: 
 
V
m
=
J
Cm
=
Nm
Cm
=
N
C
 
 
 
En la práctica, la unidad habitual para la magnitud del campo eléctrico es el [V/m]. 
 
 
1.15.4.2 | Otra forma de expresar la unidad de energía 
 
La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energía 
que es útil en muchos cálculos con los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula 
con carga q se desplaza de un punto en el que el potencial es Va a otro en que es Vb, el 
cambio en la energía potencial U es: 
 
𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = 𝑞(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏) = 𝑞𝑉𝑎𝑏 
 
Si la carga q es igual a la magnitud de la carga del electrón, e = 1,602x10-19 C, y la 
diferencia de potencial es 1 V, el cambio en la energía es: 
 
𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = 1,602x10
−19 C (1V) 
 
𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = 1,602x10
−19 J 
 
Esta cantidad de energía se define como 1 electrón volt (1 eV): 
 
1 𝑒V = 1,602x10−19 J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Electrón volt 
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62 
1.15.5 |Cálculo del potencial eléctrico 
 
Cuando se calcula el potencial debido a una distribución de carga, si se conoce la 
distribución de carga se emplea la ecuación (1.42) o la (1.43). O si se conoce como varía 
el campo eléctrico con la posición, se usa la ecuación (1.44) estableciendo que el 
potencial es igual a cero en algún lugar conveniente. Algunos problemas requieren una 
combinación de estos enfoques. 
Conforme analicemos los siguientes ejemplos, compárelos con aquellos 
relacionados con el cálculo del campo eléctrico y verá que es mucho más fácil calcular 
potenciales eléctricos escalares que campos eléctricos vectoriales. 
 
1.15.5.1 |Potencial por integración de una carga puntual 
 
Calculemos el potencial eléctrico a una distancia r de una carga puntual q, por 
medio de la integración del campo eléctrico utilizando la ecuación (1.44). En este 
proceso debemos llegar a la ecuación (1.41) que utilizamos para definir el potencial en 
un punto producido por una carga q. Sin embargo el objetivo analizar el proceso de 
integración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
𝑑𝑟 
Figura 34. Cálculo de la energía potencial por integración de E para una sola carga puntual. 
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63 
Para obtener el potencial V a una distancia r de la carga puntual, se establece 
que el punto a en la ecuación (1.44) sea la distancia r, y que el punto b esté en el infinito 
(figura 33). Para este caso, elegimos que el potencial sea cero a una distancia infinita. 
 Para resolver la integral, podemos elegir cualquier camino entre los puntos a y b 
(que se encuentra en el infinito). El más conveniente es una línea recta radial como se 
muestra en la figura 34, de manera que dl esté en la dirección radial. Si q es positiva, E 
y dl siempre son paralelos, por lo que  = 0 y la ecuación (1.44) nos queda: 
 
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
= ∫ 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 
 
𝑉𝑎 − 0 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟
∞
𝑎
= ∫
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑑𝑟
𝑟2
 
∞
𝑎
 
 
𝑉𝑎 =
𝑞
4𝜋𝜀0
∫
𝑑𝑟
𝑟2
 
∞
𝑎
 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
 (𝑛 ≠ −1) 
 
𝑉𝑎 = −
𝑞
4𝜋𝜀0
1
𝑟
|
𝑎
∞
= 0 − (−
𝑞
4𝜋𝜀0
1
𝑟
) 
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟
 
 
Este resultado concuerda con la ecuación (1.41). Si q es negativa, E se dirige 
radialmente hacia la carga, en tanto que dr sigue yendo en forma radial, por lo que  = 
180°. Como cos (180°) = -1, se agrega un signo menos al resultado anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potencial a partir de la 
integral de campo de 
una carga puntual 
V(r) 
x 
y 
Figura 35. Gráfica generada por 
computadora del potencial eléctrico 
V(r) debido a una carga positiva 
ubicada en el origen del plano xy. Los 
potenciales en los puntos del plano xy 
se trazan verticalmente de manera de 
generar la gráfica. El valor infinito de 
V predicho por ecuación (1.41) para r 
= 0 no se gráfica. 
 
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64 
1.15.5.2 |Potencial de una Esfera conductora con carga 
 
Suponga que se tiene una esfera maciza conductora de radio R que posee una 
carga total q. Determinemos el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro 
de la esfera. 
Para nuestro cometido, usaremos la ley de Gauss para encontrar el campo 
eléctrico en todos los puntos para esta distribución de carga. Luego el resultado se 
empleará para determinar el potencial en todos esos puntos. 
Entonces, tomemos como origen coordenado el centro de la esfera. Como ya se 
estudió, en todos los puntos fuera de la esfera el campo es el mismo como si fuera 
creado por una carga ubicada en el centro de la esfera. Como se conoce E en todos los 
puntos a una distancia r desde el centro de la esfera, se determina V como función de 
r. Se considera V = 0 en el infinito, como se hizo para una carga puntual. Por lo tanto, el 
potencial en un punto exterior de la esfera a una distancia r de su centro es el mismo 
que el potencial debido a una carga puntual q en el centro: 
 
 
𝑉 =
1
40
𝑞
𝑟
 
 
El potencial en la superficie de la esfera es: 
 
𝑉 =
1
40
𝑞
𝑅
 
 
 
 
Figura 36. Magnitud del campo eléctrico E y el potencial V en puntos dentro y fuera de una 
esfera conductora con carga positiva 
Potencial que genera 
una esfera cargada 
para cualquier punto 
fuera de la esferaPotencial que genera 
una esfera cargada 
para cualquier punto 
sobre la superficie 
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65 
En el interior de la esfera, E es igual a cero en todas partes; de otra manera, la 
carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si una carga de prueba se desplaza 
de un punto a otro en el interior de la esfera, no se efectúa ningún trabajo sobre la carga. 
Esto significa que el potencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera 
y es igual a su valor en la superficie. 
 
1.15.5.2.1 |Ionización y Efecto Corona 
 
Los resultados obtenidos para la esfera conductora con carga tienen numerosas 
consecuencias prácticas; una de ellas se relaciona con el potencial máximo que puede 
aplicarse en un conductor en el aire. Este potencial está limitado porque las moléculas 
del aire se ionizan y se convierte en un conductor a una magnitud aproximada de campo 
eléctrico de 3x106 V/m (3 kV/mm). Supongamos que q es positiva. Si comparamos las 
expresiones del campo y el potencial para la superficie de la esfera conductora con 
carga, se observa que: 
𝑉𝑠𝑢𝑝 = 𝐸𝑠𝑢𝑝𝑅 
 
Entonces, si Em representa la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se 
vuelve conductor, lo que se conoce como resistencia dieléctrica del aire, entonces el 
potencial máximo Vm que se puede aplicar a un conductor esférico es: 
 
𝑉𝑚 = 𝐸𝑚𝑅 
 
Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, Vm = (3x106 V/m)(10-2 m) 
= 30.000 V. Esto significa que la cantidad de carga acumulada de la esfera en el aire no 
debe producir un potencial mayor a 30.000 V, aproximadamente; caso contrario, si se 
intenta aumentar carga adicional, el potencial aumentaría provocando que el aire 
circundante se ionice y se convirtiera en conductor, por lo que la carga adicional 
escaparía al aire. Esta corriente resultante y el resplandor asociado a ella (visible en la 
oscuridad) se llama efecto corona. 
 
 
Figura 37. Anillo anticorona. Dispositivo que sirve para disminuir el efecto corona en los 
aisladores de Alta Tensión 
(1.46) 
Potencial máximo que 
se puede aplicar a una 
esfera conductora 
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66 
Uno de los fenómenos eléctricos más comunes en las líneas de transmisión de 
alta tensión es el efecto corona. Este tiene lugar cuando la rigidez dieléctrica del aire es 
superada por el gradiente eléctrico del conductor. Cuando el campo eléctrico es lo 
suficientemente intenso en las proximidades del conductor, los electrones que resultan 
de la ionización al azar de las moléculas del aire que se encuentran cerca del conductor, 
se aceleran e ionizan otras moléculas cercanas al conductor generando más electrones 
libres. Estas descargas eléctricas en el aire a escasos centímetros del conductor, se 
manifiesta como un halo luminoso que adopta la forma de una corona y cada vez que la 
tensión sea mayor este aumentará su luminosidad y su temperatura por lo que variará 
el color de un rojizo (en un caso leve) a uno azulado (en un caso más severo). 
Cuando se ioniza el aire y se convierte en conductor, parte de los electrones que 
viajan por el cable pasan a circular por el aire aumentando la temperatura en el gas 
circundante (aire). Este fenómeno implica una pérdida de energía eléctrica. 
El efecto corona también produce una emisión de energía acústica y energía 
electromagnética en el rango de luz visible, ultravioleta y de radiofrecuencias, de forma 
que los conductores pueden generar ruido e interferencias en la radio y la televisión; 
otra consecuencia es la producción de ozono y óxidos de nitrógeno. 
Si un conductor tiene forma irregular, el campo puede ser muy elevado cerca de 
las puntas o los bordes afilados de conductor; en consecuencia, lo más probable es que 
el efecto corona se produzca cerca de esos puntos. 
 
 
1.15.5.3 |Diferencia de Potencial de un Campo Uniforme 
 
Imaginemos un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje –y como se 
muestra en la figura 38. Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos a y b 
separados por una distancia d donde el desplazamiento es dl apunta de a hacia b y es 
paralelo a las líneas de campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 38. Una carga de prueba q0 se mueve del punto a al punto b a lo largo de una 
trayectoria recta dentro de un campo eléctrico uniforme 
𝑑𝑙 
b 
a 
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67 
La ecuación (1.44) es válida para todo tipo de campo eléctrico, sean uniformes o 
variables, pero esta ecuación se simplifica si el campo es uniforme. 
 
𝑉𝑎𝑏 = ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= ∫ 𝐸𝑐𝑜𝑠(0) 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= ∫ 𝐸 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
 
Dado que E es constante nos permite retirarla de la integral, esto conduce a: 
 
𝑉𝑎𝑏 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 
 
𝑉𝑎𝑏 = 𝐸𝑑 
 
 
 
1.15.5.4 |Potencial de una línea de carga infinita 
 
Calculemos el potencial a una distancia r de una distribución de carga lineal 
infinita y uniforme cuya densidad es , figura (39a). 
 
 
Figura 39. Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con carga positiva, y b) un cilindro 
largo con carga positiva. 
 
Como ya conocemos el campo para esta configuración de cargas (ecuación 1.11), 
obtenemos el potencial integrando el campo eléctrico directamente: 
 
𝐸𝑟 =
1
2𝜋𝜀0
𝜆
𝑟
 
Integrando E: 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ �⃗⃗�. 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
 𝑐𝑜𝑚𝑜: �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 𝐸𝑑𝑟, 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ 𝐸𝑑𝑟
𝑟𝑏
𝑟𝑎
 
 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫
1
2𝜋𝜀0
𝜆
𝑟
𝑑𝑟
𝑟𝑏
𝑟𝑎
=
𝜆
2𝜋𝜀0
ln
𝑏
𝑎
 
(1.47) Diferencia Potencial para un campo eléctrico uniforme 
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68 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 =
𝜆
2𝜋𝜀0
ln
𝑟𝑏
𝑟𝑎
 
 
Si se toma el punto b en el infinito como referencia (b = ) y se establece que Vb = 0, 
como se venía trabajando, se encuentra que Va es infinito: 
 
𝑉𝑎 − 0 =
𝜆
2𝜋𝜀0
ln
∞
𝑟𝑎
= ∞ 
 
Esto demuestra que si se trata de definir a Vb como cero en el infinito, entonces Va 
será infinito a cualquier distancia finita de la línea de carga. Por lo que este enfoque 
no es adecuado para problema. Para sortear la dificultad, como se dijo en la sección 
1.15.5, la referencia donde Vb = 0 puede elegirse en cualquier punto que se desee, 
diferente de infinito. 
Por lo tanto, establezcamos Vb = 0 en el punto b a una distancia radial arbitraria r0. 
Así, el potencial Va = V en el punto a a una distancia radial r está dado por: 
 
 
𝑉 =
𝜆
2𝜋𝜀0
ln
𝑟0
𝑟
 
 
 
Como ya se dijo, las distribuciones de cargas correspondientes a líneas o planos 
infinitos no son reales pero sirven de modelos simples para casos que si los son. Un 
ejemplo es el potencial cerca de una línea de Alta Tensión en un tramo que sea 
suficientemente recto y que tenga 500 metros de largo. 
 
El campo eléctrico Er con el que se comenzó el desarrollo también se aplica fuera de 
un cilindro conductor largo con carga por unidad de longitud  (figura 39b). De esta 
forma, la ecuación (1.48) también da el potencial para este cilindro, pero sólo para 
valores de r (distancia desde el eje del cilindro) mayores o iguales al radio R del cilindro. 
Si se elige que la referencia r0 sea el radio del cilindro R, entonces V = 0, cuando r = R, 
dicho de otra forma, el potencial en la superficie del cilindro vale cero. Entonces el 
potencial en cualquier punto exterior (r > R) con relación al del cilindro es: 
 
𝑉 =
𝜆
2𝜋𝜀0
ln
𝑅
𝑟
 
 
 
En el interior del cilindro, E = 0 y V tiene el mismo valor (cero) que en la superficie 
del cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
(1.48) 
Potencial de una línea de 
carga infinita para: 
(0 < r0 < ) 
(1.49) 
Potencial de un cilindro con 
carga, para: (r > R) 
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69 
1.15.5.5 |Potencial de un anillo de carga 
 
Suponga que una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme alrededor 
de un anillo delgado de radio a con carga total Q (figura 40). Determinemos el potencial 
en un punto P sobre el eje del anillo a una distancia x del centro del anillo. 
 
 
Figura 40. Por simetría, toda la carga en un anillo con carga Q está a la misma distancia r de un 
punto P situado sobre el eje del anillo 
 
En este caso en especial, podemos aprovechar la simetría que tiene el punto P 
con respecto al anillo cargado. Para esto, dividamos el anillo en segmentos 
infinitesimales y utilicemos la ecuación (1.43) para encontrar V. Como se aprecia en la 
figura, todas las partes del anillo, es decir, todos los elementos de la distribución de 
carga dq, están a la misma distancia r del punto P. Como la distancia entre cada 
elemento de carga dq sobre el anillo y el punto P es constante y vale: 
 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑎2 
Por lo tanto: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∫
𝑑𝑞
𝑟
=
1
4𝜋𝜀0
1
𝑟
∫ 𝑑𝑞 =
1
4𝜋𝜀0
1
√𝑥2 + 𝑎2
∫ 𝑑𝑞 
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
√𝑥2 + 𝑎2
 
 
 
Cuando x es mucho más grande que a, la expresión anterior para V se vuelve 
aproximadamente igual a: 
 
𝑉 ≅
1
4𝜋𝜀0
𝑄
𝑥
 
 
 
Esta expresión corresponde al potencial de una carga puntual Q a una distancia x. 
Así, cuando se desea averiguar el valor del campo en un punto P muy lejos del anillo con 
carga, éste se asemeja al de una carga puntual. 
Como ya se conoce el campo eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje x, 
ecuación (1.7) se podría haber resuelto integrando el campo, sin embargo de esta forma 
es más laboriosa. Es mucho más fácil resolverlo en la forma que lo planteamos. 
 
(1.50) Potencial de un anillo de 
carga 
(1.51) Potencial de un anillo de 
carga 
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70 
1.15.5.6 |Potencial de una línea de carga 
 
Una carga eléctrica Q se encuentra distribuida de manera uniforme a lo largo de 
una línea o varilla delgada de longitud 2a. Determinemos el potencial en el punto P a lo 
largo de la bisectriz o mediatriz perpendicular de la varilla a una distancia x de su centro 
(figura 41). 
 
Figura 41. Línea de carga 
 
Podemos utilizar nuevamente la ecuación (1.43) para integrar la distribución de 
carga. A diferencia de la situación anterior (anillo de carga), cada elemento de carga dQ 
está a una distancia distinta del punto P, por lo que deberíamos integrar con respecto a 
la distancia r variable, pero como r es igual a: 
 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Pero es la componente y la que hace variar r, por lo que deberíamos integrar con 
respecto a dy. Un diferencial de carga dq producirá un diferencial de potencial dV por 
tanto: 
 
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑑𝑄
𝑟
 
Como: 
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑦 𝑦 𝜆 =
𝑄
2𝑎
 
 
𝑑𝑄 =
𝑄
2𝑎
𝑑𝑦 
 
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑑𝑦
2𝑎√𝑥2 + 𝑦2
 
Integrando de -a a a: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
2𝑎
∫
𝑑𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
𝑎
−𝑎
 
 
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71 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
2𝑎
ln (√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦)|
−𝑎
𝑎
 
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
2𝑎
[ln (√𝑥2 + 𝑎2 + 𝑎) − ln (√𝑥2 + 𝑎2 − 𝑎)] 
 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
2𝑎
ln
(√𝑥2 + 𝑎2 + 𝑎)
(√𝑥2 + 𝑎2 − 𝑎)
 
 
 
Como es de esperarse, si x tiende a infinito, el punto P está infinitamente lejos de 
toda la carga, por lo que es de esperar que V tienda a cero. 
 
 
1.15.5.7 |Potencial de un disco de carga 
 
Calculemos por último el potencial eléctrico que produce un disco de radio R con 
densidad superficial de carga  positiva y uniforme, en un punto P a lo largo del eje del 
disco a una distancia x de su centro. 
Ya tratamos esta situación cuando se determinó el campo eléctrico para la misma 
distribución de cargas. En este sistema debemos encontrar el potencial a lo largo del eje 
de simetría de una distribución de carga continua como lo ilustra la figura 42. 
Representaremos la distribución de carga como un conjunto de anillos 
concéntricos de carga dQ. Obtuvimos la ecuación (1.50) para calcular el potencial 
eléctrico de un solo anillo sobre su eje de simetría, solo restará sumar las contribuciones 
de todos los anillos que conformarían el disco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 42. Línea de carga 
 
Un anillo cualquiera tiene una carga dQ, radio interior r y radio exterior r + dr. Su área 
dA es aproximadamente igual a su ancho dr multiplicado por su longitud de 
circunferencia 2r, o sea: 
𝑑𝐴 ≈ (2𝜋𝑟)𝑑𝑟 
Como: 
𝑑𝑄 =  𝑑𝐴 
(1.52) 
Potencial de una línea de 
carga 
R 
r 
dr 
x 
dV 
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72 
 
𝑑𝑄 =  (2𝜋𝑟)𝑑𝑟 
 
Un anillo con un diferencial de carga dQ produce un diferencial de potencial dV en el 
punto P, entonces empleando la ecuación (1.43): 
 
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑄
√𝑥2 + 𝑟2
 
 
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 (2𝜋𝑟)𝑑𝑟
√𝑥2 + 𝑟2
 
Integrando de 0 a R: 
 
𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∫
 (2𝜋𝑟)𝑑𝑟
√𝑥2 + 𝑟2
𝑅
0
=

2𝜀0
∫
 𝑟𝑑𝑟
√𝑥2 + 𝑟2
𝑅
0
 
 
Resolviendo la integral nos queda: 
 
𝑉 =

2𝜀0
(√𝑥2 + 𝑅2 − 𝑥) 
 
 
 
1.15.6 |Superficies equipotenciales 
 
Las líneas de campo nos ayudan a visualizar los campos eléctricos. En forma 
similar, el potencial en varios puntos de un campo eléctrico puede representarse 
gráficamente por medio de superficies equipotenciales (que se encuentran al mismo 
potencial). Éstas utilizan la misma idea fundamental que los mapas topográficos que 
emplean los excursionistas y alpinistas (figura 43). 
(1.53) Potencial de un disco con carga uniforme 
Figura 43. Curvas de 
nivel de una zona 
montañosa. Cada cur-
va se encuentra a una 
altura determinada. 
 
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73 
En un mapa topográfico las curvas de nivel unen puntos que se encuentran a la 
misma elevación. Se puede dibujar cualquier número de ellas, pero lo común es tener 
sólo algunas curvas de nivel a intervalos iguales de elevación. Si una masa m se moviera 
sobre el terreno a lo largo de una curva de nivel, la energía potencial gravitacional mgh 
no cambiaría porque la elevación h sería constante. Así, las curvas de nivel en un mapa 
topográfico son en realidad curvas de energía potencial gravitacional constante. Las 
curvas de nivel están muy cerca unas de otras en las regiones en las que el terreno está 
muy inclinado y hay grandes cambios en la elevación en una distancia horizontal 
pequeña; en cambio, las curvas de nivel están muy separadas en los sitios en que el 
terreno tiene poca pendiente. Una pelota que se suelta cuesta abajo experimentaría la 
mayor fuerza gravitatoria ahí donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. 
 
Por analogía con las curvas de nivel en un mapa topográfico, una superficie 
equipotencial es una superficie tridimensional sobre la que el potencial eléctrico V es el 
mismo en todos los puntos. 
 
Si una carga de prueba q0 se desplaza de un punto a otro sobre tal superficie, la 
energía potencial eléctrica q0V permanece constante. En una región en la que existe un 
campo eléctrico, es posible construir una superficie equipotencial a través de cualquier 
punto. Los diagramas por lo general muestran sólo algunas superficies equipotenciales 
representativas, a menudo con iguales diferencias de potencial entre superficies 
adyacentes. Ningún punto puede estar en dos potenciales diferentes, por lo que las 
superficies equipotenciales para distintos potenciales nunca se tocan o intersecan. 
 
1.15.6.1 |Superficies equipotenciales y líneas de campo 
 
Como la energía potencial no cambia a medida que una carga de prueba se 
trasladasobre una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo sobre 
esa carga. 
 
Por lo que se concluye que las líneas de campo deben ser perpendiculares a las 
superficies equipotenciales en cada punto, de manera que la fuerza eléctrica siempre es 
perpendicular al desplazamiento de una carga que se mueva sobre la superficie. Las 
líneas de campo y las superficies equipotenciales siempre son perpendiculares entre sí. 
 
En general, las líneas de campo son curvas, y las equipotenciales son superficies 
curvas. Para el caso especial de un campo uniforme, en el que las líneas de campo son 
rectas, paralelas y están igualmente espaciadas, las superficies equipotenciales son 
planos paralelos perpendiculares a las líneas de campo. 
La figura 44 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas de campo en el 
plano de las cargas están representadas por líneas azules, y las intersecciones de las 
superficies equipotenciales con este plano (es decir, las secciones transversales de estas 
superficies) se indican con líneas naranjas. Las superficies equipotenciales reales son 
tridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y una línea de campo, las dos 
son perpendiculares. 
 
 
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74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 44. Secciones transversales de superficies equipotenciales (líneas naranjas) y líneas de 
campo eléctricas (líneas azules). a) campo uniforme. b) carga puntual. 
 
 
Figura 45. Secciones transversales de superficies equipotenciales (líneas naranjas) y líneas de 
campo eléctricas (líneas azules) para un dipolo eléctrico. 
 
En las figuras 44b y 45 se aprecia que en las regiones en que la magnitud de E es 
grande, las superficies equipotenciales están cerca entre sí porque el campo efectúa una 
cantidad relativamente grande de trabajo sobre una carga de prueba en un 
desplazamiento pequeño. Éste es el caso cerca de la carga puntual en la figura 44b o 
entre las dos cargas puntuales en la figura 45; observe que en estas regiones las líneas 
de campo también están más próximas. Ésta es una analogía directa con la fuerza de la 
gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones de un mapa topográfico donde las 
curvas de nivel están más cerca una de otra. A la inversa, en las zonas en que el campo 
Superficie equipotencial 
 Línea de campo 
 
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75 
es más débil, las superficies equipotenciales están más separadas; en la figura 45 esto 
ocurre en radios mayores, a la izquierda de la carga negativa o a la derecha de la positiva. 
 
1.15.6.2 |Superficies equipotenciales y conductores 
 
El siguiente es un enunciado importante acerca de las superficies 
equipotenciales: 
 
Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siempre 
es una superficie equipotencial. 
 
Como el campo eléctrico E siempre es perpendicular a una superficie 
equipotencial, entonces cuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico 
justo afuera de un conductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto 
(figura 46) 
 
 
Figura 46. En todos los puntos de la superficie de un conductor, el campo eléctrico debe ser 
perpendicular a la superficie 
 
Se sabe que E = 0 en todos los puntos del interior del conductor; caso contrario, 
las cargas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superficie, 
la componente de E tangente a la superficie es cero. Se deduce que la componente 
tangencial de E también es igual a cero inmediatamente afuera de la superficie. Así, es 
perpendicular a la superficie en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración. 
 
 
 
 
 
 
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76 
APLICACIONES 
 
Precipitador electrostático 
El precipitador electrostático se trata de un equipo que, como su nombre indica, 
emplea la fuerza electrostática para separar las partículas de polvo que arrastra una 
corriente de aire controlada. Los humos que contienen partículas en suspensión se 
hacen pasar por una cámara que contiene placas de acero, denominadas electrodos 
colectores, colocadas de forma vertical en la dirección paralela al flujo de los humos, 
formando entre ellas una serie de pasillos. En cada pasillo se sitúa un conjunto de 
alambres verticales (electrodos de descarga) situados en un plano paralelo y 
equidistante a las placas. Los electrodos de descarga de todos los pasillos están 
soportados por una estructura única. Esta estructura se apoya en aisladores que quede 
aislada eléctricamente del resto de componentes, los cuales están conectados a tierra. 
La estructura aislada que soporta todos los electrodos de descarga está alimentada por 
una tensión continua negativa, que puede alcanzar valores del orden de 50/60kV, desde 
un conjunto transformador-rectificador. Como los colectores o placas, están conectados 
a tierra, se crea un campo eléctrico intenso entre los electrodos de descarga y las placas. 
El campo eléctrico es mucho más intenso en la proximidad de los electrodos de 
descarga, tan intenso que en esa zona tiene lugar una descarga eléctrica. En la 
obscuridad se puede apreciar una luminosidad tenue azulada, del orden de 1 mm de 
espesor, alrededor del electrodo. A esto se le denomina el efecto corona. El gas se ioniza 
en esta zona y se forman una gran cantidad de iones positivos y negativos. Los iones 
positivos son atraídos y atrapados inmediatamente por los electrodos de descarga, 
cargados negativamente. Los iones negativos, sin embargo, tienen que atravesar todo 
el espacio que hay entre los electrodos de descarga y las placas (electrodos colectores, 
polo positivo). Por lo tanto, se produce un flujo de iones negativos desde los electrodos 
de descarga. En el camino hacia las placas, los iones negativos chocan con las partículas 
de polvo y se adhieren a ellas. Estas partículas, por lo tanto, quedan cargadas 
eléctricamente y comienzan a moverse hacia las placas en la misma dirección que los 
iones negativos. La fuerza eléctrica que actúa sobre cada partícula es mucho mayor que 
la fuerza gravitatoria y por tanto su “velocidad de migración” hacia la placa es mucho 
mayor que la “velocidad de sedimentación” y, si se diseña adecuadamente el 
precipitador, también será adecuada para competir con la velocidad de avance de los 
humos. El polvo se adhiere a las placas colectoras y mediante un golpeo periódico se 
consigue que la capa de polvo depositada sobre ellas se desprenda y se deslice hacia 
una tolva recolectora situada en la parte inferior.