3_potencias

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POTENCIAS 
(4 semanas) 
 
 
 
 
 
René Descartes (1596-1650), filósofo, matemático y 
científico francés, que inventó (o al menos popularizó) 
la notación de superíndices para expresar potencias 
(e.g. 2 4 para indicar 2 x 2 x 2 x 2), así como el signo = 
para igualdades. 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS 3º ESO Académicas 
 Alfonso González 
 IES Fernando de Mena 
Dpto. de Matemáticas 
 
 
POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
 
I) REPASO POTENCIAS de EXPONENTE  
Def. : si nÎ, entoces a n es el producto de n factores de a: 
 na a a aꞏ ꞏ ꞏ ꞏa ꞏ ꞏ (1) 
 
 
e.g. 2 ꞏ2 ꞏ2 ꞏ2 ꞏ2=25=32 
Cómo se leen las potencias?: 5 4 =5 elevado a 4 o 5 a la cuarta (potencia), etc. 
En particular: 5 2 =5 al cuadrado 5 3 =5 al cubo 
Caso particular: 
0a 1 , donde a¹0. Será demostrado más tarde. (2) 
 Signo de las potencias de exponente : depende del signo de la base: 
32  42    32    42  
Por lo tanto, «Si la base es positiva, la potencia siempre es positiva» 
 Sin embargo, si la base es negativa: 
   exp parnúmero negativo    exp imparnúmero negativo  
 Casos particulares: n1    exp par1    exp impar1  
Ejercicio: Ficha 1: 1 
 
 Uso de la calculadora para hallar potencias: Por ejemplo, para hacer 5 6 introducimos 5  6 (o xy, x , etc.) 
Ejercicio: Ficha 1: 2 
 
 Propiedades de las potencias: 
1o) Producto de potencias de la misma base: 
m n m na a a ꞏ (3) 
“Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes (y se mantiene la base)” 
Ejemplo 1: 4 52 2 ꞏ porque 
 
 
Nota: Esta propiedad puede generalizarse a tres o más potencias: 
exponente 
base 
n factores 
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 3 2 3a a a ꞏ ꞏ 
2o) Cociente de potencias de la misma base: 
m
m n
n
a
a
a
 (4) 
“Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes (y se mantiene la base)” 
Ejemplo 2: 
7
3
a
a
 porque 
 
Como consecuencia de esta fórmula, probemos que a0=1: 
 
 
Dem: (C.Q.D) 
 
3o) Potencia de una potencia:  
nm m na a ꞏ (5) 
“Para elevar una potencia a un exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes” 
 
Ejemplo 3:  432  porque 
 
Nota: Esta propiedad se puede generalizar:  
243x    
 
4o) Potencia de un producto:  
n n na b a bꞏ ꞏ (6) 
“La potencia de un producto es el producto de las potencias (del mismo exponente)” 
 
Ejemplo 4:  42 3 ꞏ porque 
Observaciones: 
1o) Esta propiedad se puede generalizar:  322 x y  
2o) Esta fórmula se suele aplicar también al revés, para agrupar y después simplificar potencias: 
 6 62 5 ꞏ 
3o) ¡Cuidado!:  2 2 22 3 2 3   Y, en general:  n n nA B A B   . ¿Por qué? 
 
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5o) Potencia de un cociente: 
n n
n
a a
b b
 
 
 
 (7) 
“La potencia de un cociente es el cociente de las 
potencias (del mismo exponente)” 
 
Ejemplo 5: 
5
3
2
   
 
 porque 
Nota: En realidad se suele aplicar al revés, para agrupar bases y simplificar: 
6
6
8
4
 
 
Ejercicio: Ficha 1: 3 
 
 
II) POTENCIAS de EXPONENTE  
Def. : 
n
n
1
a
a
  i.e. ¡El exponente negativo significa la potencia inversa o recíproca! (8) 
Ejemplo 6: 
3
7
a
a
  
Dem: (C.Q.D) 
 Cómo se leen las potencias de exponente negativo?: 5 - 6 =5 elevado a -6 
Casos particulares: (9) 
1 1a
a
  (10) 
n
n
1
a
a 
 
 
Ejercicio: Ficha 2: 1 
 
 
 Estudiemos, con un ejemplo, cómo operar una potencia con base fraccionaria y exponente negativo: 
2
2 1 1
3

 
    
 
 
 
(8) deshacemos el 
"castillo"
(7) 
(7) 
¬ Una potencia (multiplicativa) puede ser 
pasada al otro término cambiada de signo
el INVERSO o RECÍPROCO 
de un NÚMERO 
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Por tanto, en general: 
n n
a b
b a

   
   
   
 (11) 
“Para operar una potencia de base fraccionaria y exponente negativo, 
se da la vuelta a la base y se cambia el signo del exponente” 
Caso particular: 
1
a b
b a

 
 
 
 (12) 
Ejercicio: Ficha 2: (2), 3 a 6 ¬ Potencias de exponente  
 Fichas 3 y 4 ¬ Operaciones con potencias de exponente  
 
 
 
III) NOTACIÓN CIENTÍFICA 
Las calculadoras utilizan notación científica para mostrar números con más cifras que las que caben en su 
pantalla. Veamos un par de ejemplos, uno de un número "grande" y otro "pequeño": 
 
4 444 444 444 2 = 1,975308642 ꞏ 10 19 = 19 753 086 420 000 000 000 
 
 
 
 
 
0 000000001. = 3,16227766 ꞏ 10 - 5 = 0,0000316227766 
 
 
 
 
Def. : a b c d e ... · 10
n, (13) 
 
 
Ejercicios: Ficha 5: 1 y 2 
 
¿Cuál es la utilidad de la notación científica? 
1o) Como hemos visto arriba, es especialmente cómoda a la hora de expresar números muy "grandes" o 
muy "pequeños". 
10 cifras notación científica parte significativa 
¿Cómo se lee en voz alta? 
“uno coma nueve siete ... dos por diez elevado a diecinueve” 
¡Intenta leerlo en voz alta! 
8 ceros notación científica 
parte significativa 
¿Cómo se lee en voz alta? 
“tres coma uno seis ... seis por diez elevado a menos cinco” 
parte decimal 
parte entera 
(un solo dígito, ¹0) 
nÎ , 2 dígitos 
n > 0el número es “grande” 
n < 0 el número es “pequeño” 
la INVERSA o RECÍPROCA 
de una FRACCIÓN 
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2o) Pero también es muy cómoda para trabajar con números muy "grandes" o muy "pequeños", como 
veremos en los siguientes subapartados: 
 
Operaciones en notación científica: 
a) Producto y cociente: Es muy sencillo en notación científica: multiplicamos o dividimos, 
separadamente, las partes significativas y las potencias de 10 (esto último 
usando convenientemente la propiedad del producto de potencias de la misma 
base, es decir, sumando -en el caso del producto- o restando -en la división- 
los exponentes). 
¡Atención! En muchos casos tendremos que recomponer el resultado de modo que haya solo un dígito en la 
parte entera, como en el ejemplo 7a: 
 
Ejemplo 7: a)    6 5 11 122 25 10 5 5 10 12 375 10 1 2375 10 , ꞏ ꞏ , ꞏ , ꞏ , ꞏ 
 b) 
8
10
2
8 42 10
4 21 10
2 10 

, ꞏ
, ꞏ
ꞏ
 
b) Suma y resta: En este caso normalmente tendremos que preparar los sumandos, expresándolos en la 
misma potencia de 10 como factor común. Y a continuación sumaremos o restaremos 
sus partes significativas, dejando la misma potencia de 10: 
¡Atención! En la mayoría de los casos tendremos que recomponer el resultado de modo que haya solo un 
dígito en la parte entera. 
 
Ejemplo 8: a) 20 206 5 10 4 5 10 , ꞏ , ꞏ 
 b) 17 174 2 10 2 1 10  , ꞏ , ꞏ 
 c) 24 207 00055 10 4 5 10 , ꞏ , ꞏ 
 (Sol: 7,0001 ꞏ 10 24) 
 
 
 
¿Como trabajar en notación científica con la calculadora (científica)?: 
1o) En primer lugar tenemos que ver cómo programar nuestra calculadora para trabajar en modo de notación 
científica (SCI Mode) -normalmente presionando repetidamente la tecla MODE -, y seleccionando a 
continuación el número deseado de dígitos decimales (0 a 9). 
2o) Después hay que detectar el botón que se emplea para introducir exponentes -normalmente la tecla EXP -: 
REGLA GENERAL: 
“Si tenemos que expresar ambas potencias de 10 con el mismo exponente, 
siempre elegiremos el mayor exponente” 
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Ejemplo 9: Para escribir 76 24 10, ꞏ , presionamos 6.24 EXP 7 
 Para escribir 76 24 10 , ꞏ , presionamos 6.24 EXP  7 
Ejercicios: Ficha 5: 3 ¬ Operaciones en notación científica; 4 a 8 ¬ Problemas en notación científica 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSOGONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
FICHA 1: Potencias de exponente IN (Repaso 2º ESO) 
 
 
RECORDAR: 
Definición de potencia 
 
 
1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias: 
a) 5 2 
b)    52 
c) 4 3 
d)    4 3 
e) 5 1 
f)    5 1 
g)    6 1 
h)   371  
i) 0 3 
j)    2 2 
k)    0 5 
l)    4 2 
m)  4 2 
n)    3 3 
o)  3 3 
p) 34 1 
q)    561 
r)    571 
s) 





3
2
1
 
t) 





2
3
1
 
u) 2 9 
v)    2 9 
w) 





2
2
3
 
x) 3 9 
y)    3 9 
z) 2 4,0 
) 2 60  
) 0 2  
 
Consecuencias:   parnºnegativo =   imparnºnegativo = 
 
 
n 1    par 1    impar 1 
(Completar estas fórmulas con ayuda del profesor y añadir al formulario) 
 
 
2. Utilizar la calculadora, cuando proceda, para hallar el valor de las siguientes potencias: 
a) 12 2 
b)    122 
c) 7 3 
d)    7 3 
e) 73 1 
f)    15 1 
g) 0 35 
h)    10 2 
i)  10 2 
n
(n veces)a a a ꞏ a ...... a a  ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ
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j)    5 3 
k)  5 3 
l) 
 2  
m) 
9
1
2
   
 
 
n) 5 4 
o) 5 5 
p)    3 7 
q) 
7
2
3
   
 
 
r)   23   
s)  23   
t) 23  
 
 
 
Operaciones con potencias de exponente IN: 
RECORDAR: 
 
 
 
 
 
 
(Añadir estas fórmulas al formulario) 
 
3. Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia única (no vale 
usar calculadora, salvo para comprobar, una vez finalizado todo el ejercicio, los resultados): 
1) 7 52 ꞏ2  
2) 
 10
 8
3
3
 
3)  5 42  
4) 3 3 3ꞏ2 
5) 2 3 5a ꞏa ꞏa  
6)  
4235    
 
7) 5 55 ꞏ7  
8) 
 5
 5
8
4
 
9) 
14
14
 9
 3
 
10) 3 5 32 ꞏ2 ꞏ2  
11) 
 313ꞏ3
9
 (Sol: 330) 
12) 
6 
6
7
 14
 
13) 
11 
76
5
 5ꞏ 5
 
14)   232 2ꞏ2 
15) 




 3ꞏ 3
 3
2
2
8
 (Sol: 33) 
16)     232 42 aꞏaꞏ 2 (Sol: (2a)8) 
17)   057ꞏ5 2 
18) 
3 6
3 3
ꞏ
5 5
       
   
 
19) 
 9
2 2
ꞏ
3 3
        
   
 
 
m n m n n n n
nm n
m n
n n
 nm m n 0
 
a a a (a b) a b
a a a
 a 
ba b
 a a a 1 
 



    
   
 
 
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20) 
15
3
 1
3
1
3
 
 
  
 
 
 
 
21) 22ꞏ4  (Sol: 25) 
22)   22ꞏ4  (Sol: 26) 
23) 53ꞏ27  (Sol: 316) 
24) 2125 ꞏ5  (Sol: 57) 
25) 
2 4 2 2
ꞏ
3 3
8
27
   
   
     (Sol: (2/3)3) 
 
26)    
4
2 2
2
3
3 ꞏ 3ꞏ9 ꞏ
3
  
27) 3 2ab · a b = 
28) 2 29xy ꞏ3x y = 
29)      2    3 22 · 2 3· 2 +4= (Sol: 10) 
30) 
3
2
18
18 ꞏ3
 (Sol: 6) 
31)  22x  
32)    4 2ꞏ  22 · 3 = (Sol: 28) 
33)    
8
6 7
10
2
2 2 4 =
8
ꞏ ꞏ ꞏ (Sol: 25) 
34) 
32 0
3
3 3
5 5
=
9
25
        
     
 
 
 
ꞏ
 
(Sol: 1) 
35)    22 210 - 2ꞏ 3 +5ꞏ 6+2   
(Sol: 12) 
36) 
310
11
43 0
2 2
93
=
4 4
9 9
 
  
 
        
     
:
ꞏ
 
(Sol: (2/3)3) 
37) 
3 2
7 7 45 7 17
4 3
4 4 4 4 16
         
   
ꞏ ꞏ ꞏ 
(Sol: 12) 
38) 
3 2
5 5 45 5 17
4 3
4 4 4 4 16
                
     
ꞏ ꞏ ꞏ 
(Sol: 12) 
39) 
   
 
6 44 2
8 6
8
2 2 8
4 4
1
3 3
   
       
   
: ꞏ
: ꞏ
 
(Sol: 32) 
40) 
   
2 63
5
3 3 9
=
81
       
ꞏ ꞏ
 
(Sol: 34) 
41)               
3 2
9 25 · 2 : 3 1 9 
(Sol: 7) 
42)      3 0 123 2 + 5 ꞏ2 + 3 + 4 : 1+ 4      
 (Sol: -1) 
43)    22 26 + 2ꞏ3 +3 ꞏ 2 : 3 81  
 (Sol: 1) 
 
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44) 
333 = (Sol: 327) 
45) 10 1010 + 9 10 =ꞏ 
 (Sol: 1011) 
46) 
2
2 4132 8 8 =ꞏ ꞏ 
 (Sol: 0) 
 
 
4. 25 no puede ser igual a 13. ¿Dónde está el fallo?: 
 
 2 2 2
2
2 3 = 2 + 3 = 4 + 9 = 13
 5
 25

| |
| |
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FICHA 2: Potencias de exponente Z 
 
 
RECORDAR: 
 
 
 
(Añadir estas fórmulas al formulario) 
 
 
 
 
1. Teniendo en cuenta las fórmulas anteriores, operar las siguientes potencias de exponente entero (sin usar 
calculadora), dejando el resultado en forma entera o fraccionaria (Véase el 1er ejemplo): 
1) -1
1 2
2
 
2) -22 
3) 1- 3 
4) 5- 2 
5) 2- 3 
6)    2- 3 
7)  
 
 4
 4 4
1 1 1
2
2 162

   

 
8)    5- 2 
9)    1- 4 
10) 23  
11)   27   
12)  1- 2 
13)  3- 5 
14) 4- 1 
15) 10- 1 
16)    4- 1 
17)    7- 1 
18)    23- 1 
19) 81  
20) - 3x = 
21)    4- a 
22) 3- 10 
23)    2- 9 
24) -10,1  
25) 3- 5 
26) 2- x 
27) 1- x 
28) 20,3   (Sol: 100/9) 
29) 20,3  

 
 (Sol: 9) 
30) 325  
31)   53   
32) 43   
33) 15   
34) 18   
35)   18   
36) 131  
37)   131  
38) 20,5  
39) 
 30,2 

 
40)   5x   
41) 410   
 
 
- n
n
- n n
1 1- 1 a a
aa
a b 1 n a -nb a a
 
       
   
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
2. Completar, con la ayuda del profesor, las siguientes tablas que resumen todos los casos de cálculo con 
potencias: 
 
 EXPONENTE 
 POSITIVO NEGATIVO 
B
A
S
E
 E
N
T
E
R
A
 
P
O
S
IT
IV
A
 
3 2 3- 2 
N
E
G
A
T
IV
A
 
   3 2 
  4 2  
   3- 2 
  4 -2  
Añadir ambas tablas al formulario matemático. 
 
3. Teniendo en cuenta las tablas anteriores, calcular las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el 
resultadoen forma racional: 
a) 





3 
3
5
 
b) 





2 
4
9
 
c) 
2 
1
5
   
 
 
d) 
3 
3
4
   
 
 
e) 





2- 
4
9
 
f) 
2 -
5
6
   
 
 
g) 





1- 
5
2
 
h) 
5 -
1
2
   
 
 
i) 





2 
2
1
 
j) 





2- 
2
1
 
k) 





1- 
3
1
 
l) 





3- 
2
1
 
m) 
2 
1
2
   
 
 
n) 
2 -
1
2
   
 
 
o) 
3 
1
2
   
 
 
p) 
3 -
1
2
   
 
 
q) 





2 
2
3
 
r) 





2- 
2
5
 
s) 





3 
7
4
 
t) 





3- 
2
3
 
u) 
2 
3
2
   
 
 
v) 





0 
3
5
 
w) 
2 -
5
2
   
 
 
x) 
1 -
3
8
   
 
 
y) 
3 
7
2
   
 
 
z) 
3 -
9
2
   
 
 
 
4. Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero, y comprobar el resultado con la 
calculadora: 
a) 22  b) 110   
 EXPONENTE 
 POSITIVO NEGATIVO 
B
A
S
E
 F
R
A
C
C
IO
N
A
R
IA
 
P
O
S
IT
IV
A
 






3 
3
2
 





3- 
3
2
 
N
E
G
A
T
IV
A
 3
2
3
   
 
 
4 
2
3
   
 
 
3 -
2
3
   
 
 
4 -
2
3
   
 
 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
c) 
 2
1
5

 
 
 
 
d) 10,1  (Sol: 10) 
e) 
 1
2
5

 
 
 
 
f) 
7 
1
2

   
  
(Sol: -128) 
g) 2100   
h) 
2 
2
3

   
  
(Sol: 9/4) 
i) 30,2   (Sol: 125) 
j) 1
13


 
(Sol: 3) 
k) 21,3 
 
(Sol: 100/169) 
l) 1010 
 
 
m)  1010 
 
 
n)   1010  
 
 
 
5. REPASO: Operar, indicando todos los pasos necesarios; dejar el resultado en forma entera o fraccionaria (los 
dos últimos en forma decimal): 
1)  35  
2) 35  
3)   35   
4) 35  
5) 35  
6) 
3
5
3

   
 
 
7) 
3
5
3
   
 
 
8) 
3
5
3

   
 
 
9) 53   
10)   53  
11)   53   
12) 53  
13) 
5
3
2

   
 
 
14) 
5
3
2

   
 
 
15) 
5
3
2
   
 
 
16) 30,3   
17) 30,3  

 
18)   110   
19) 44  
20) 44  
21)   44   
22)  44  
23) 
5
3
2

   
 
 
24) 
5
9
2
   
 
 
25) 
5
3
4

   
 
 
26) 43  
27)  43  
28)   43   
29) 13  
30)  03  
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31) 
3
2
3
   
 
 
32) 
3
2
3

   
 
 
33) 
3
2
3

   
 
 
34) 31  
35) 
1
2
3

   
 
 
36) 20,3  
(Sol: 0,09) 
37) 20,3 

 
 S ol : 0,1
 
6. Ídem: 
1) 42   
2) 42  
3)   42   
4)   42  
5) 42   
6) 
4
2
3

   
 
 
7) 
3
5
7
   
 
 
8) 
4
3
5

   
 
 
9) 
37
5
  
10) 
3
7
5

   
 
 
11) 
4
3
5
   
 
 
12) 
43
5

  
13)  
0
12  
14) 
12
0

 
15) 
12
1

 
16)   72  
17) 72   
18) 72   
19) 62   
20)   62   
21) 
7
1
2

 
 
 
 
22) 
7
1
2
 
  
 
 
23) 
7
1
2

 
  
 
 
 
 
 
 
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FICHA 3: Operaciones con potencias de exponente Z (I) 
 
RECORDAR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSEJO: «Para dividir dos potencias de la misma base entera se recomienda restar el mayor menos el 
menor exponente, dejando la potencia donde estaba el mayor exponente» (De esta forma 
evitamos exponentes negativos) 
Ejemplos: 
6
6 2 4
2
2
2 2 16
2
   
3
5 5 3 2
3 1 1 1
93 3 3
   
2
2 ( 1) 3
1
5
5 5 125
5
 
    
1
1 ( 1) 2
2 1 1 1
2 42 2

    
2
5
7
7

  
NOTA: Si la base es fraccionaria, se recomienda restar siempre el exponente del numerador menos el 
denominador, y dar la vuelta a la fracción cuando corresponda: 
2
3 3
5
5
5 22
2 55
2

 
           
    
 
 
 
1. Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia de exponente 
positivo y base lo más simple posible (no vale usar calculadora): 
a) 5 2- 2ꞏ2 
b) 2 4- 2ꞏ2 
c) 3- 1- 3ꞏ3 
d) 
3
5
 2
 2
 
e) 
5
3
 2
 2
 
f) 
1-
4
 2
 2
 
g) 
3
2-
 2
 2
 
h) 
3
0
 5
 5
 
i) 
4
4
- 3
- 6
 
 
m n m n 0
m
m n - n
n n
- n n
 nm m n
n n n - 1
 
a a a a 1
a 1
 a a
a a
a b
 a a 
b a
 (a b) a b a



  
 
       
   
  
n n
 n
n n
1
a
a a 1
 a
b b a 

    
 
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j) 
3-
0
 4
 4
 
(Sol: 26) 
k) 



 
3 
27 
l) 
2- 
2
3
 3
 
m) 




3- 
22 
n) 



 
2- 
23 
o) 




3 
06 
p) 










  31
2
3
ꞏ
2
3 
q) 










  24
4
1
ꞏ
4
1
 
(Sol: 24) 
r) 












 31
2
3
ꞏ
2
3 
s) 
2 41 1
ꞏ
5 5
         
    
(Sol: 56) 
t) 












4
2
3
2
 
3
2
 
u) 












1
2
3
2
 
3
2
 
v) 












2
3-
2
1
 
2
1
 (Sol: 25) 
w) 












3
2-
5
2
 
5
2
 
(Sol: 2/5) 
x)   238 aꞏa (Sol: a2) 
y) 
 



 5ꞏ 5
 5
3
2
3
 
(Sol: 58) 
z) 
22 2ꞏ2 
) 
-1 4
2
 2 2
ꞏ
3 3
2
3
   
   
    
 
 
  
(Sol: (2/3)5) 
) 
10
7
3
9

 
(Sol: 1/34) 
) 
32
8 17 :
7

     
   
 
(Sol: 72) 
 
 
2. Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como entero o fracción 
(excepto si resulta muy elevado, en cuyo caso se puede dejar como potencia); no vale usar calculadora, salvo 
para comprobar resultados: 
1)   232 (Soluc: 1/64) 
2)   23-2 (Soluc: 64) 
3) 34ꞏ52 (Soluc: 2048) 
4)  
23
2

    (Soluc: 1/64) 
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5)  
2-3
2

    (Soluc: 64) 
6) 











32
5
1(Soluc: 1/15625) 
7) 











2-2
4
3 (Soluc: 256/81) 
8) 











 12
3
5 (Soluc: 25/9) 
9) 











 32
7
4 (Soluc: 117.649/4096) 
10) 











-12
9
2 (Soluc: 81/4) 
11) 




 
5
2
3
6
1
 (Soluc: 1/1024) 
12)  42 48 (Soluc: 16384) 
13)     235 93 (Soluc: 1/9) 
14) 
2
4
8
4
 (Soluc: 4) 
15)   








2
3
2
9
27- (Soluc: 1) 
16) 
6
6
9
18
 (Soluc: 64) 
17) 34 5ꞏ25 (Soluc: 511) 
18) 
 






1
2
2
3-
9 (Soluc: 1/9) 
19) 
2 3 1
2 3 1
ꞏ ꞏ
3 2 2
 
           
     
 (Soluc: 64/243) 
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20) 
 
 2
 32 4
3
=
3 · 3
 (Soluc: 81) 
21) 
 

35 2
3
2 ·2
=
2
 (Soluc: 4096) 
22) 
 


 3
 2
4
=
4
 (Soluc: -1/4) 
23) 
17
15
2
2
 (Soluc: 4) 
24) 
5
7
5
5
 (Soluc: 1/25) 
25) 
2
3
2
2
 (Soluc: 32) 
26) 
-2
3
3
3
 (Soluc: 1/243) 
27) 
-1
2
7
7
 (Soluc: 7) 
28) 
-2
1
7
7
 (Soluc: 1/7) 
29) 
87
84
2
2
 (Soluc: 8) 
30) 
17
15
2
2
 (Soluc: 232) 
31) 
-4
2
2
2
 (Soluc: 1/64) 
32) 
3
2
5
5
 (Soluc: 3125) 
33) 
7 2
3
2 ꞏ2
2

 (Soluc: 4) 
34) 
5 33 ꞏ3
9

 (Soluc: 1) 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
35) 
3 4
2
5 ꞏ5
5

 (Soluc: 1/125) 
36) 
4 6
27
3 ꞏ3
 (Soluc: 243) 
37) 
-2 4
-1 3
2 ꞏ2
2 ꞏ2
 (Soluc: 64) 
38) 
3 3
-1 2
7 ꞏ7
7 ꞏ7

  (Soluc: 343) 
3. Ídem: 
1) 


653
0357
2222
2222 (Soluc: 1) 
2) 
3 -2 4
-3 -5 8
3 3 3
3 3 3 3
 

  
 (Soluc: 81) 
3) 
3 3 -1
-2 0 6
2 4 2 8
2 8 8 2
  

  
 (Soluc: 1024) 
4) 
 
5 -2 4
22 2 3
2 2 9 3
2 2 3 3

 
  

  
 (Soluc: 2) 
5) 
3 4 2 1
1 2 2 3
2 2 5 5
2 2 5 5

  
  

  
 (Soluc: 1.000.000) 
6) 


43
30653
232216
82242 (Soluc: 294) 
7) 


27125525
455315
3
2322
 
 (Soluc: 243/5) 
8) 
 

22 2
1 2
12·6 · 2
=
9·3 ·4
 (Soluc: 9/16) 
9) 
 


2 4 4
 2 1
2 · 5 · 3 · 32
=
125 · 27 ·9
 
TIPO 
EXAMEN 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
 
 (Soluc: 2/5) 
10)  
 
6 1 2
2
32
3 3 9
1
3 27
3
 



        
2
· ·
· ·
 (Soluc: 6561) 
 
11) 




4513
5422
3737
37373 (Soluc: 3) 
12) 




23514
23218
75357
37573 (Soluc: 3) 
13) 
 





223
2322
3 ꞏ 275
455515 (Soluc: 243/5) 
14) 
   232 1
6 0
27 81
3 3



  



 (Soluc: 338) 
15)    3 22 22 2 10
3 4

     ꞏ (Soluc: -1/6) 
16) 
 
432 12
6 18 0
7
5 75
1 1 1
1
3 3 3


 
   
     
     
     
ꞏ
ꞏ : ꞏ
 (Soluc: 1) 
17) 
2 9 1
3 6
9 2 8
4 12 3 8


 

  
 (Soluc: 27 ꞏ3 9 ) 
 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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FICHA 4: Operaciones con potencias de exponente Z (II) 
1. Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como entero o fracción (salvo 
si es muy elevado, en cuyo caso puede dejarse como potencia); no vale usar calculadora: 
1) 
















 243
5
4
2
5 (Soluc: 28/510) 
2) 










46
3
10
5
6 (Soluc: 310ꞏ22/510) 
3) 

 
2
4)(2)(2 143 (Soluc: 1/4) 
4) 3 2( 1) +( 1) +( 1)=   (Soluc: -1) 
5) 3 22 ꞏ( 1) 4 ꞏ( 1) +2 ꞏ( 1)=    (Soluc: -8) 
6) 











1
2-3
2
4
1
2
1
 (Soluc: 1) 
7) 4 3 22 ꞏ( 2) +3 ꞏ( 2) 4 ꞏ( 2) 3 ꞏ( 2)=      (Soluc: -2) 
8) 

























7
32
31
2
3
1
3
25
4
5
9
4
 
 
 (Soluc: 3/10) 
9) 









































28-5
3-52
3
2
:
3
2
3
2
3
2
 (Soluc: (2/3)15) 
10) 


























5
1
:
5
1
ꞏ
5
1
5
1
:
5
1
103
95
 (Soluc: 1/512) 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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11) 


 





4
2)(
8
1
5
6 (Soluc: 10000/81) 
 
12) 


    
    
     
 
 
 
 22 3
1
3 3
·
5 5
=
5
3
 (Soluc: 3/5) 
13) 
-2
22 3
3
2
=
2 2
ꞏ
3 3
 
 
 
    
    
     
 (Soluc: 6561/256) 
14) 




















 5334
5
3
4
1
3
5
3
2 (Soluc: -900) 
15) 














3
3
2
1)(
2
5
21
7
15 







 
35
323763
- :Soluc 
16) 

















4
52
7
2
7
2
7
2
 (Soluc:8/343) 
17) a2ꞏa-2ꞏa3= (Soluc: a3) 
18) a2ꞏa-2+a3= (Soluc: 1+a3) 
19) 
 



3
0 5
2
2
 (Soluc: 8) 
20) 
 5
3
2)(5
2
 (Soluc:800000) 
21) 




82100
54)(22
2
3531
 (Soluc: 5ꞏ213) 
TIPO 
EXAMEN 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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22) 



322
2133
ꞏ3ꞏ166
3)ꞏ(ꞏ12ꞏ82
 (Soluc: 9/4) 
23) 
 



33653
15424
3ꞏꞏ3ꞏ218
ꞏ2ꞏ3ꞏ2ꞏ96 (Soluc: 2) 
24) 








6
3
214
ꞏ8
2
1
ꞏ16ꞏ84 (Soluc: 1/4)
 
25) 
 
 























4 42
3 432
2 432
5
1
:
5
1
555
555
 (Soluc: 1/125) 
26) 




































2
122
122
3
3
2
8
5
3
2
5
5
2
3
5
2
3
 (Soluc: 2/15) 
27) 
   
22 1
26 5
2 4
3 9
2 2 4 36
 

    
    
      


  
 (Soluc: 1/81) 
28) 
 
 
24 3 0
32 2
2 4 5 5
100 5

 
ꞏ ꞏ ꞏ
ꞏ
 (Soluc: 125) 
29) 
32 2 1
8 23
9
9 3 2
              
       
ꞏ ꞏ ꞏ (Soluc: 2/3) 
30) 
0 1
32 4
3 2
2 3
3 3
2 2


   
   
    
        
     
ꞏ
ꞏ
 (Soluc: 27/8) 
31) 
 
8
232 3
1
2
4 64


 
 
  
 
  
ꞏ
 (Soluc: 214) 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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32) 
4
5
42 1
9
1
25
3 5
5 3

 
  
  
    
    
     
ꞏ
ꞏ
 (Soluc: 5/3) 
33) 




















 3423
3
1
3
1
3
1
3
1 (Soluc: -9) 
34)  
2 3 5 04
23 4 9 1 1
25
25 3 2 2 2
                   
        
ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ 
 (Soluc: 8/27) 
35) 


364816327
108318126
22
2223
 
 
 
 (Soluc: 1944) 
36) 
32 2 0 2
2 54 4 9 4 32 9
9 9 4 9
 

                  
         
ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ ꞏ 
 
 (Soluc: 4/9) 
2. TEORÍA: ¿Qué potencia es mayor:      2 3 40,8 , 0,8 o 0,8   ? Clasificarlas de menor a mayor. 
 
 
 
 
3. TEORÍA: Probar que 0a)(a 33   ¿Cuánto valdrá 44 a)(a   ? 
 
 
 
 
 
4. TEORÍA: Probar que 
5 5
1 1
0
a a
 
        
   
 ¿Cuánto valdrá 
4 4
1 1
a a
 
       
   
? 
 
 
 
 
 
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5. TEORÍA: ¿V o F? Razonar la respuesta: 
a) 32 6  (Soluc: F) 
b) 
777 532  (Soluc: F) 
c) 
743 222  (Soluc: F) 
d)  22 33  (Soluc: F) 
e)   33 33  (Soluc: V) 
f)   33 x2x2  (Soluc: F) 
g) 
3
31 4
4
   
 
 (Soluc: F) 
h) 5 51,2 10 12 ꞏ (Soluc: F) 
i) 10 109 10 90ꞏ (Soluc: F) 
j)      3 3 32 3 2 3   ꞏ ꞏ (Soluc: F) 
k) 2x x6 36 (Soluc: V) 
 
 
 
CURIOSIDAD MATEMÁTICA: La notación actual con exponentes para indicar las potencias se debe al 
matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650). Hasta entonces, por ejemplo, para designar 
un cubo se escribía x x x, lo cual resultaba, obviamente, muy poco práctico. 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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FICHA 5: Notación científica 
1. Pasar a notación estándar los siguientes números expresados en notación científica: 
a) 3ꞏ108= 
b) 4ꞏ10-6= 
c) 2,5ꞏ105= 
d) 7,5ꞏ10-4= 
e) 1,84ꞏ103= 
f) 1ꞏ10-7= 
g) -6,343ꞏ108= 
h) 1,903ꞏ10-2= 
i) 1,23ꞏ1010= 
j) 1,04ꞏ10-9= 
k) 5,3502ꞏ1012= 
l) 7,5ꞏ101= 
m) 6,3ꞏ100= 
n) 1,0003ꞏ10-1= 
o) 1ꞏ10-1= 
p) 1,235ꞏ105= 
q) 1ꞏ1012= 
r) 1,6ꞏ10-6= 
s) -3,4545ꞏ108=
 
2. Pasar a notación científica los siguientes números: 
a) 300 000 000= 
b) 456= 
c) 0,5= 
d) 0,0000000065= 
e) 18 400 000 000= 
f) 0,000001= 
g) -78 986,34= 
h) 0,0000093= 
i) 1 230 000 000 000= 
j) 14 billones €= 
k) 150 millones $= 
l) 7,3= 
m) 73= 
n) 0,00010001= 
o) 10= 
p) 1= 
q) 0,011001= 
r) 16 730 000= 
s) -345,45=
 
3. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo resultado): 
- Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias. 
- Utilizando la calculadora científica. 
a) 2,5ꞏ107+3,6ꞏ107= 
b) 4,6ꞏ10-8+5,4ꞏ10-8= 
c) 1,5ꞏ106+2,4ꞏ105= 
d) 2,3 ꞏ10 9+3,25 ꞏ10 12 = 
e) 3,2ꞏ108-1,1ꞏ108= 
f) 4,25ꞏ107-2,14ꞏ105= 
g) 7,28ꞏ10-3-5,12ꞏ10-3= 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
h) (2ꞏ109)ꞏ(3,5ꞏ107)= 
i) 
7
9
2ꞏ10
8,4ꞏ10 
j)    
8-
5-3
2ꞏ10
4ꞏ10ꞏ3,2ꞏ10 
k) (2ꞏ105)2= 
l) 232 000 000  (Soluc: 1,024 ꞏ10 15) 
m) 10 1010 9 10 ꞏ (Soluc: 1ꞏ10 11) 
n) 3 75,5 10 2,2 10  ꞏ ꞏ (Soluc: 5,50022ꞏ10- 3) 
o) 2 22,5 10 2,5 10  ꞏ ꞏ 
p) 7 37,23 10 7,23 10  ꞏ ꞏ (Soluc: -7,229277ꞏ10- 3) 
q) 
7
6
5 10
2 10 

ꞏ
ꞏ
 (Soluc: 2,5 ꞏ10 13) 
r) 
  25
10 10
1,2 10
10 9 10



ꞏ
ꞏ
 (Soluc: 1,44 ꞏ10- 21) 
s)   53 72 10 0,5 10  ꞏ ꞏ ꞏ (Soluc: 1,6 ꞏ10 9)
RECORDAR: En las calculadoras científicas la tecla EXP sirve para expresar en cualquier momento un 
número en notación científica. Pero es más recomendable, mediante la tecla MODE, poner la 
calculadora en modo SCI (scientific), con lo cual trabajará siempre en notación científica. 
Además, la calculadora suele pedir el número de cifras significativas con las que queremos 
trabajar. 
4. a) La estrella más cercana a nuestro sistema solar es -Centauri, que está a una distancia de tan solo 4,3 
años luz. Expresar, en km, esta distancia en notación científica. (Dato: velocidad de la luz: 300 000 km/s) 
 (Soluc: 4,068ꞏ1013 km) 
 
 
 
EJERCICIOS de POTENCIAS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
b) ¿Cuántos años tardaría en llegar una nave espacial viajando a 10 km/s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. a) Calcular el volumen aproximado (en m3) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 6 371 km, 
dando el resultado en notación científica con dos cifras decimales. )( 3r π
3
4
:esferaladeVolumen 
 (Sol: 1,08ꞏ1021 m3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hallar la superficie aproximada (en m2) de la Tierra. (Sol: 5,10ꞏ1014 m2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0,0000277 kg. ¿Cuántos 
granos hay en 1000 toneladas de arroz? Utilícese notación científica. (Soluc: 3,61ꞏ1012 granos) 
 
 
 
 
 
7. La luz del sol tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar a la Tierra. Calcular (en km) la distancia Tierra-Sol. 
(Soluc: 1,5ꞏ108 km) 
 
 
 
 
 
 
 
8. Rellenar la siguiente tabla para una calculadora de 10 dígitos en notación entera y 10+2 dígitos en notación 
científica: 
 SIN NOTACIÓN CIENTÍFICA CON NOTACIÓN CIENTÍFICA 
Nº MÁXIMO que 
puede representar 
 MÍNIMO (positivo) 
que puede 
representar 
 
 
 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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CUADRO-RESUMEN de FRACCIÓN GENERATRIZ 
 
 
 DECIMAL EXACTO PERIÓDICO PURO PERIÓDICO MIXTO 
 
 
Ejemplos: 
 
224 56
2,24
100 25
  
224 2 222 74
2,24
99 99 33
 
   
224 22 202 101
2,2 4
90 90 45
 
   
 
 
 
 
 
CUADRO-RESUMEN de POTENCIAS5 propiedades básicas Propiedades que se deducen 
 
 
También es importante saber que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IDENTIDADES NOTABLES 
 
2B2AB)B)(A(A
2B2AB2A2B)(A
2B2AB2A2B)(A



 
nº sin coma decimal
1 0...0
tantos 0 como cifras 
decimales 
nº sin coma decimal parte entera
9...9

tantos 9 como cifras 
periódicas 
nº sin coma decimal parte entera y anteperíodo
9...9 0...0

tantos 9 como cifras 
periódicas 
tantos 0 como cifras 
anteperiódicas 
 
   
 
 
 11- 
negativa base 11- 
negativa base 11 
impar
imparpar
paralgo 



 
m n m n
m
m n
n
 nm m n
n n n
n n
n
1º ) a a a
a
2º ) a
a
3º ) a a
4º ) (a b) a b
a a
5º ) 
b b
 


 


  
   
 

0
n 1
n
n
n
n n 1
1º ) a = 1
1 1
2º ) a Caso part.: a
aa
1
3º ) a
a
a b a b
4º ) Caso part.:
b a b a
 
 

 
 
  
 

                    