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ENTEROS 
(2 semanas) 
 
 
 
 
 
El matemático italiano Giuseppe Peano (1858-
1932) fue uno de los fundadores de la Lógica 
Matemática y de la Teoría de Conjuntos, a la cual 
contribuyó en gran medida con su notación. La 
axiomatización estándar de los números naturales 
se denomina ‹‹Axiomas de Peano›› en su honor. 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS 3º ESO Académicas 
 Alfonso González 
 IES Fernando de Mena 
Dpto. de Matemáticas 
 
 
ENTEROS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del 
autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
I) DEFINICIONES 
 «Números naturales son los números que se utilizan para contar»:  0,1,2,3,4,5...  Hay ¥ 
números naturales, esto es, este conjunto es infinito. 
 Enteros:  0, 1, 2, 3, 4, 5...       Nótese que   
 
Los enteros se suelen representar en la recta real: 
 
Ejemplo 1: 
 
 
 
 
Por ejemplo, 2 5  es VERDADERO porque 2 está a la izquierda de 5 
2 5   es ________ 
 2 5   es ________ 
 2 5    es ________ 
 3 1    es ________ 
 2 2  es ________ 
3 0   es ________
 
Resumen: “Cuanto más negativo es un número, más a la izquierda se sitúa”. En otros términos, 
 “Cuanto más a la izquierda, más pequeño es el número” 
“Un número a la izquierda es menor que uno situado a la derecha”. Por ejemplo, en la 
recta real 2 está a la izquierda de 3, de modo que 2<3. Y al revés, 
“El número más grande siempre estará a la derecha en la recta real”. 
 
 Opuesto de un entero: Por ejemplo, el opuesto de 5 es -5 
 el opuesto de -3 es 3 
 el opuesto de 0 es ________ 
 etc. etc. 
 
 «Valor absoluto de un entero: es el valor numérico sin tener en cuenta su signo». Se representa indicando 
el entero entre dos barras verticales: | | 
Por tanto, un entero consta de dos partes, signo y valor absoluto: 
Recordar: los paréntesis siempre se 
utilizan para definir un conjunto
“contenido en”viene del alemán “zahlen”, que significa "números" 
0 1
2 5 
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En la práctica, solemos omitir el signo + cuando el entero es positivo. 
Ejemplo 2: 7 7  3 3 0 0 
 2 3 5 5   2 3 1 1    etc. etc. 
 ¡Cuidado!: 2 3 2 3 1     ¬ Recordar: Un valor absoluto siempre es > 0 
 
Ejercicios: Ficha 1: 1 a 6 
 
 
 Multiplos y divisores: Puesto que 5 ꞏ8=40, 40 es un múltiplo de 5 (o 40 es divisible por 5) 
 o 40 es también un múltiplo de 8 (o 40 es divisible por 8) 
 o 40 es también un múltiplo de 10 (o 40 es divisible por 10) 
 etc. etc. 
 5 es un divisor de 40, o 5 es un factor de 40 
 o 4 es también un divisor de 40, o 4 es un factor de 40 
 etc. etc. 
Ejemplo 3:  15 0,15,30,45,60,75...

 ¬ el conjunto de todos los múltiplos de 15 (Es un conjunto infinito)
 
 
    div 15 1, 3, 5, 15... ¬ el conjunto de todos los divisores de 15 (Es un conjunto finito) 
 
Ejercicios: Ficha 1: 9 a 12 
 
 «Número primo es todo número natural cuyos únicos divisores son 1 y él mismo». Lo contrario es: 
«Número compuesto es todo número que tenga más de dos factores». (NOTA: El 1 no se considera primo 
ni compuesto). 
 
Se recomienda memorizar la lista de los primeros primos: 
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ... 
 
 
signo 
2 
valor absoluto 
signo
+7
valor absoluto 
0 teóricamente es múltiplo de cualquier número 
en general, 15 n (donde n = 0, 1, 2, 3 ... ) 
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«Descomponer en factores primos o descomponer factorialmente un número es expresarlo como 
un producto de factores primos cuyo resultado sea el número original». Normalmente esta descomposición 
se expresa por medio de potencias, y es única. 
Ejercicios: Ficha 1: 7 y 8 
 
REGLA PRÁCTICA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO n (normalmente "grande") ES PRIMO: 
1er paso: Probar sucesivamente, utilizando los correspondientes criterios de divisibilidad1, si n 
es divisible por 2, 3 y 5. En caso contrario: 
2o paso: Probar (haciendo la división) los siguientes posibles factores primos (7, 11, 13...) 
hasta el primo inmediatamente menor que n . En caso contrario, el número es 
primo. 
 
Ejercicios: Ficha 1: 14 a 18 
 
 «Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números  es el menor múltiplo común a todos ellos». 
Ejemplo 4:  30 30,60,90...

 
  18 18,36,64,72,90...

 
 
 «Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números  es el mayor de los divisores comunes a todos 
ellos». 
Ejemplo 4:    div 30 1,2,3,5,6,10,15,30... 
    div 18 1,2,3,6,9,18... 
 
 
1 Puede ser oportuno recordar aquí los tres criterios de divisibilidad más comúnmente utilizados: 
Un número  es divisible por 2 si su última cifra es par o 0 
Un número  es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3 
Un número  es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5 
Otros criterios de divisibilidad a tener en cuenta: 
Un número  es divisible por 7 si la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble 
de la cifra de las unidades es 0 o 7

 
Un número  es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares 
y la de los impares es 0 o 11

 
MCM (18,30)=90 
MCD(18,30)=6
obtención APLICANDO 
LA DEFINICIÓN 
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En resumen, el método anterior para obtener el MCM de varios números aplicando la definición consiste 
en ir haciendo a la par sendas listas de sus múltiplos, hasta encontrar el primer duplicado, el cual, por 
definición, será el MCM. En el caso del MCD, hay que hacer listar todos sus divisores y seleccionar el mayor 
duplicado, que, por definición, será el MCD. 
Ni que decir tiene que este método puede ser muy prolijo y tedioso, sobre todo para "grandes" números, 
especialmente en el caso del MCD. El método por descomposición factorial que veremos a continuación 
es mucho más práctico: 
 
MÉTODO PRÁCTICO PARA ENCONTRAR EL MCD y MCM DE DOS o más ENTEROS: 
Ejemplo 4: 30 2 3 5 ꞏ ꞏ 
 218 2 3 ꞏ 
 
 
 30 2 3 5 ꞏ ꞏ 
 218 2 3 ꞏ 
 
 
En efecto, el MCM, 90, por definición debe ser el múltiplo más pequeño común a ambos, 18 y 30. Es decir, 90 
es el número más pequeño que contiene a 18 y 30 como factores. Por consiguiente, el MCM será el número 
más pequeño que contiene cada factor de estos números. ¿Y por qué hay que elegir los factores al mayor 
exponente? De acuerdo con su factorización correspondiente, vemos que por ejemplo 30 contiene una copia 
del factor 3 y 18 tiene dos copias. Puesto que el MCM debe contener todos los factores de ambos números, el 
MCM debe contener las dos copias de 3. 
Por su parte, el MCD,6, es el divisor más grande que divide a ambos, 18 y 30. En otras palabras, 6 es el número 
que contiene a todos los divisores comunes a ambos (que son 2 y 3). Es decir, el MCD es el producto de todos 
los factores que 18 y 30 tienen en común: 2 ꞏ3=6. 
Observaciones y consejos: 
1o) ¡No nos confundamos!: El MCD es siempre menor que el MCM. 
2o) Existe una relación entre el MCD y MCM de dos números: 
    MCM a,b MCD a,b a bꞏ ꞏ (1) 
Esta fórmula es utilísima para comprobar si nuestro MCD y MCM son correctos. ¡Pero solo es 
válida para dos números! ¿Serías capaz de razonar el por qué de esta fórmula? 
MCM (18,30)=2 ꞏ32 ꞏ5=90
obtención POR 
DESCOMPOSICIÓN 
FACTORIAL 
1O) Descomponer todos los números en 
factores primos. 
2O) Señalar los factores comunes y no 
comunes, al mayor exponente. 
3O) El MCM será su producto. 
MCD (18,30)=2 ꞏ3=6
1O) Descomponer todos los números en 
factores primos. 
2O) Señalar los factores comunes al menor 
exponente. 
3O) El MCD será su producto. 
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3o) Cuando el MCD de varios números resulta ser 1, se dice que tales números son "primos entre sí". 
Por ejemplo, considérese 14=2 ꞏ7 y 15=3 ꞏ5. No existe ningún factor primo común a ambos. Puesto 
que 1 es el divisor universal, el MCD en este caso es precisamente 1. ¿Y su MCM? 
Ejercicios: Ficha 2: 1 a 5 
 Ficha 5: 1 a 16 ¬ Problemas de planteamiento sobre MCD y MCM 
 
II) OPERACIONES BÁSICAS con ENTEROS 
II.1) SUMA & RESTA: De acuerdo con el signo del minuendo y sustraendo, caben 4 casos: 
 
Ejemplo 5: 5 + 2 = 
 5 - 2 = 
 - 5 + 2 = 
 - 5 - 2 = 
 
Ejercicios: Ficha 3: 1 a 6 
 
II.2) PRODUCTOS & COCIENTES: Recordar la regla de los signos: 
 
Ejemplo 6: 15 ꞏ 3 = 
 15 ꞏ (-3) = 
 -15 ꞏ 3 = 
-15 ꞏ (-3) = 
 
15 : 3 = 
 15 : (-3) = 
 -15 : 3 = 
-15 : (-3) = 
 
Ejercicios: Ficha 3: 7 a 10 
 
 
 
minuendo 
sustraendo
dividendo 
cociente divisor 
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III) JERARQUÍA de OPERACIONES 
Algunas expresiones contienen varios operadores. Para proceder correctamente utilizamos las siguientes 
reglas: 
 
1o) Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. A continuación, las potencias y raíces. 
Después sería el turno de los productos y divisiones. Y finalmente serían las sumas y restas. Todo ello se 
resume en el siguiente diagrama: 
 
 
 
En el caso de los paréntesis, otra opción puede ser eliminarlos previamente de forma correcta: 
 
 Por ejemplo,  7 1 3    (Sol: 5) 
2o) Si hay varios operadores con la misma jerarquía, se procede siempre de izquierda a derecha: 
 Por ejemplo, 49 7 7 : ꞏ (Sol: 49) 
3o) Si una expresión contiene paréntesis anidados, siempre se procede desde dentro hacia fuera: 
 
 Por ejemplo,  2 6 1 3       (Sol: - 2) 
4o) Cuando utilicemos la calculadora para realizar operaciones aritméticas, debemos saber que esta ya lleva 
incorporadas en sus circuitos estas reglas de la jerarquía. Sin embargo, la máquina no puede adivinar 
nuestras intenciones, por lo que muchas veces deberemos utilizar paréntesis que, normalmente no 
escribiríamos sobre el papel: 
 
 Por ejemplo, 15 3 2:  15 3 2  7 
 Pero, 
15
3 2
  15 3 2  3 
 
 
Ejercicios: Ficha 4: 1 
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FICHA 1: Concepto de nº entero, múltiplo y divisor, nº primo 
 
Concepto de nº entero (): 
1. Escribir los  del 7 al 23: 
2. Representar en la recta real los siguientes : 5, -4, 2, 0, -1, 1 
 
 
 
A la vista de lo anterior, ordenarlos de menor a mayor: 
 
3. Ordenar de menor a mayor los siguientes : -34, 23, 7, 100, -33, 0, 24, -2, 14, -1, 132, -1000 
 
4. Escribir los  del -8 al 9: 
5. Definir el opuesto de un número entero. Dar dos ejemplos. 
 
Escribir los opuestos de los siguientes  (véase el primer ejemplo): 
a) 7  -(+7)=-7 
b) -7  
c) 143  
d) -25  
e) 0  
f) -1  
g) 45  
h) 2  
i) -57  
6. Definir el valor absoluto de un entero. Indicar dos ejemplos. 
 
Indicar el valor absoluto de los siguientes : 
a) |5|= 
b) |-3|= 
c) |57|= 
d) |-23|= 
e) |0|= 
f) |-1|= 
g) |-114|= 
h) |12|= 
i) |-37|= 
j) |5-2|= 
k) |1-3|= 
l) |-4-3|= 
m) 1 3  
 
 
Múltiplos y divisores. Nos primos y compuestos: 
7. Descomponer en factores primos: 
a) 65 b) 90 c) 125 
 
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d) 492 e) 671 f) 1135 
g) 1080 h) 441 i) 4950 
8. Algunas descomposiciones se pueden hacer por tanteo. Véase el primer ejemplo: 
a) 900=9ꞏ100=9 ꞏ10 ꞏ10=32 ꞏ2 ꞏ5 ꞏ2 ꞏ5=22 ꞏ32 ꞏ52 
b) 99= (Soluc: 32ꞏ11) 
c) 1000= (Soluc: 23ꞏ53) 
d) 500= (Soluc: 22ꞏ53) 
e) 160= (Soluc: 25ꞏ5) 
f) 98= (Soluc: 2ꞏ72) 
g) 250= (Soluc: 2ꞏ53) 
h) 146= 
i) 130= 
j) 380= (Soluc: 22ꞏ5ꞏ19) 
k) 360= (Soluc: 23ꞏ32ꞏ5) 
 
9. Hallar los seis primeros múltiplos de los siguientes números: 
a) 6 6,

 
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b) 15

 
c) 120

 
d) 500

 
10. Hallar todos los divisores de los siguientes números: 
a) 12 
 
 
 
b) 36 
 
 
 
c) 75 
 
 
 
 
 
d) 23 
 
 
 
 
 
11. a) Hallar todos los divisores de 42 y sus múltiplos positivos menores que 300. 
 
 
b) Indicar todos los divisores (positivos) de 24 y los múltiplos (positivos) de 24 de dos cifras. 
 
 
12. a) Indicar, ordenados, todos los múltiplos (positivos) de 75 de tres cifras: 
75  
b) Hallar todos los divisores de 85: 
Div(85)  
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13. El cociente de dos números enteros positivos es 2/3 y su producto es 216. ¿De qué números se trata? (Ayuda: 
factorizar 216 y tantear). (Sol: 12 y 18) 
 
 
 
 
14. Definir número primo, e indicar tres ejemplos. 
 
 
 
 
 
Definir número compuesto, e indicar tres ejemplos. 
 
 
 
 
 
Averiguar, razonadamente, si los siguientes números son primos o compuestos;en caso de ser compuestos, 
indicar su factorización (Obsérvese el 1er ejemplo): 
a) 91  Como 91 9,.. , basta con ensayar posibles divisores primos menores de 9: 
91 NO es divisible por 2 
91 NO es divisible por 3 
91 NO es divisible por 5 
91 SÍ es divisible por 7 (ver división al margen) 
 
b) 51 
 
 
c) 59 
 
 
 
 
d) 73 (Soluc: Primo) 
 
 
 
e) 79 
 
 
 
 91=7 ꞏ13 es COMPUESTO 
() 
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f) 87 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
g) 89 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 107 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
i) 119 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
 
j) 127 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) 131 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) 133 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
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m) 137 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
n) 139 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
 
 
o) 141 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
p) 143 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
q) 149 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
r) 151 (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
 
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s) 187 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
t) 207 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
u) 1183 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
 
v) 6513 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
 
 
w) 2 135 528 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
x) 2 10 -1 (Soluc: Compuesto) 
 
 
 
 
15. Completar los siguientes conjuntos: 
nos primos entre 45 y 67={ 
div (44 )={ 
9

 entre 70 y 130={ 
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16. Hallar todos los divisores de 113. Razonar la respuesta, indicando el proceso seguido. ¿Es un número 
primo o compuesto? (Soluc: Primo) 
 
 
 
 
17. Construir, razonadamente, la criba de Eratóstenes para los primeros 100 números naturales, indicando 
además la factorización de aquellos que sean compuestos (Obsérvense algunos ejemplos): 
 
1= nº especial 
2= 
3= 
4= 
5= 
6= 
7= 
8= 
9= 
10= 
11= PRIMO 
12= 
13= 
14= 
15= 
16= 
17= 
18= 2 ꞏ9= 2 ꞏ3 2 
19= 
20= 
21= 
22= 
23= 
24= 
25= 
26= 
27= 
28= 
29= 
30= 2ꞏ3ꞏ5 
31= 
32= 
33= 
34= 
35= 
36= 
37= 
38= 
39= 
40= 
41= 
42= 
43= 
44= 
45= 
46= 
47= 
48= 
49= 
50= 
51= 
52= 
53= 
54= 
55= 
56= 
57= 
58= 
59= 
60= 
61= 
62= 
63= 
64= 
65= 
66= 
67= 
68= 
69= 
70= 
71= 
72= 
73= 
74= 
75= 
76= 
77= 
78= 
79= 
80= 
81= 
82= 
83= 
84= 
85= 
86= 
87= 
88= 
EJERCICIOS de ENTEROS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
89= 
90= 
91= 7ꞏ13 
92= 
93= 
94= 
95= 
96= 
97= 
98= 
99= 
100= 
 
 
 
 
 
18. a) ¿Es posible que un número sea divisible por 9 pero no por 3? Razonar la respuesta. Indicar ejemplos. 
 
 
 
b) ¿Es posible que un número sea divisible por 3 pero no por 9? Razonar la respuesta. Indicar ejemplos. 
 
 
 
c) ¿Podemos concluir que 210 es divisible por 15, sin necesidad de dividirlo por 15? 
 
 
 
 
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FICHA 2: MCD y MCM de enteros 
1. a) Definir MCD de dos o más enteros, e indicar, previa descomposición factorial, cuál es la forma de calcularlo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escribir todos los divisores de 36 y 24, y señalar cuál es el mayor de ellos común a ambos. 
 
 
 
 
c) Calcular, previa descomposición, el MCD de 36 y 24, y comprobar que se obtiene idéntico resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
2. a) Definir MCM de dos o más enteros, e indicar, previa descomposición factorial, cuál es la forma de calcularlo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escribir los diez primeros múltiplos de 20 y 50, y señalar cuál es el menor de ellos común a ambos. 
 
 
 
 
c) Calcular, previa descomposición, el MCM de 20 y 50, y comprobar que se obtiene idéntico resultado. 
 
 
 
 
 
 
3. Obtener, previa descomposición, el MCD y MCM de los siguientes grupos de números; en el caso de una 
pareja, comprobar con la fórmula MCM(a,b) ꞏ MCD (a,b) = a ꞏ b (Véase el 1er ejemplo): 
a) 12 y 225 
 
 
 
 
 Comprobación: MCD(12,225)ꞏMCM(12,225)=3ꞏ900=2700=12ꞏ225 
¿Qué utilidad tiene la fórmula anterior en la práctica? 
12=2 2 ꞏ3 
225=3 2 ꞏ5 2 
MCM(12,225)=22ꞏ32ꞏ52=900 
comunes y no comunes 
al mayor exponente 
12=2 2 ꞏ3 
225=3 2 ꞏ5 2 
MCD(12,225)=3 
comunes al menor exponente 
225 5 
 45 5 
 9 3 
 3 3 
 1 
 12 2 
 6 2 
 3 3 
1
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b) 8 y 12 (Soluc: MCM=24; MCD=4)
 
 
 
c) 8 y 3 (Soluc: MCM=24; MCD=1)
 
 
 
d) 8 y 36 (Soluc: MCM=72; MCD=4)
 
 
 
e) 75 y 45 (Soluc: MCM=225; MCD=15) 
 
 
 
f) 30 y 63 (Soluc: MCM=630; MCD=3) 
 
 
 
g) 12, 18 y 15 (Soluc: MCM=180; MCD=3) 
 
 
 
 
h) 54 y 36 (Soluc: MCM=108; MCD=18) 
 
 
 
i) 12, 15 y 40 (Soluc: MCM=120; MCD=1) 
 
 
 
j) 84 y 120 (Soluc: MCM=840; MCD=12) 
 
 
 
 
k) 150 y 225 (Soluc: MCM=450; MCD=75) 
 
 
 
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l) 120, 180 y 300 (Soluc: MCM=1800; MCD=60) 
 
 
 
 
 
 
m) 24 y 83 (Soluc: MCM=1992; MCD=1) 
 
 
 
 
n) 330 y 495 (Soluc: MCM=990; MCD=165) 
 
 
 
 
 
 
 
o) 91 y 245 (Soluc: MCM=3185; MCD=7) 
 
 
 
 
 
p) 56 y 140 (Soluc: MCM=280; MCD=28) 
 
 
 
 
 
q) 91 y 98 (Soluc: MCM=1274; MCD=7) 
 
 
 
 
 
r) 89 y 121 (Soluc: MCM=10769; MCD=1)s) 133 y 49 (Soluc: MCM=931; MCD=7) 
 
 
 
 
 
 
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t) 40, 120 y 300 (Soluc: MCM=600; MCD=20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u) 149 y 173 (Soluc: MCM=10 877; MCD=1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v) 60 y 72 (Soluc: MCM=360; MCD=12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. a) ¿113 es primo o compuesto? Explicar el proceso seguido (posibles divisiones, al margen). 
 
 
 
b) A la vista de lo anterior, obtener, previa descomposición factorial, el MCD y mcm de 113 y 226. 
 (Soluc: Primo; MCM=226; MCD=113) 
 
 
 
5. TEORÍA: a) Un alumno contesta en un examen que MCD(12,30)=36 y MCM(12,30)=6. Sin calcular nada 
previamente, razonar que ello no puede ser posible. 
 
b) Indicar la fórmula que expresa a qué es igual el producto del mcd y mcm de dos números ¿Qué 
utilidad tiene? Explicarlo con un ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) De dos números sabemos que el producto de su mcd por su mcm es 216. Si uno de los números 
es 36, ¿cuál será el otro? Hallar, sin necesidad de factorizarlos, el mcd y mcm (Justificar 
razonadamente las respuestas). (Soluc: 6; 6 y 36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Sabemos que el producto de dos números enteros es 117, que su mcd es 1 y que uno de ellos es 
primo ¿Qué números son? (Justificar razonadamente las respuestas). (Soluc: 9 y 13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Definir números primos entre sí e indicar un ejemplo. ¿Cómo es su MCD y mcm? 
 
 
 
 
 
f) Si un número divide a otro, ¿cuál será el MCD y mcm de ambos? Indicar un ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
g) ¿Por qué a la hora de calcular el MCD y mcm de, por ejemplo, de 11 y 48, no es necesario 
factorizar 48? ¿Cuál será en concreto el MCD y mcm? (Soluc: 1 y 528) 
 
 
 
 
 
 
 
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FICHA 3: Operaciones básicas con enteros 
 
Operaciones con enteros: Sumas y restas: 
1. Simplificar (véase el primer ejemplo): 
a) –(–14)= 14 
b) –(–5)= 
c) –(+5)= 
d) –(–2)= 
e) +(–8)= 
f ) +(+6)= 
g) –(–43)= 
h) +(–1)= 
i ) –(+1)= 
 
2. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda, cuando proceda, simplificar signos 
primero): 
a) 5+15= 
b) –5+9= 
c) –17+12= 
d) –2–15= 
e) –23+38= 
f) –18–7= 
g) –5+20= 
h) 40–(–5)= 
i ) –2–(–1)= 
j ) 12+(–3)= 
k) –7–(–5)= 
l ) 32+(–6)= 
m) |3–7|= 
n) |–1+6|= 
o) |–2–5|= 
 
3. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda simplificar signos primero; véase el 
ejemplo): 
a) 1+8–7= 
b) –5–(–7)+12=–5+7+12= 14 
c) 8+13–(–1)= 
d) –(–4)–7+(–3)= 
e) 12–(–2)–11= 
f ) –3+9–(–2)= 
g) –5+2–(–3)= 
h) 4–(–10)–(–5)= 
i) –2+(–1)+14= 
j ) 1–(–2)+(–3)= 
k) |2–3+6|= 
l ) |–3+2–1|= 
m) 3–|5–2 |= 
 
4. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda simplificar signos primero): 
a) 11–8+14–7= 
b) –15–(–2)+1–2= 
c) 18+3–(–2)–5= 
d) –(–14) –(–7)+(–13)+2= 
e) 1–2–(–2)–1= 
f) –13+19–2+7= 
g) –15–(–2)–(–3)+1= 
h) 14–(–11)–(–15)–8= 
i) –12+(–11)–14+3= 
j) 10–(–12)–(–3)–(–5)= 
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5. Cálculo mental: Efectuar, directamente, las siguientes sumas y restas encadenadas: 
a) 18+6–4+2+1= 
b) 12–8–7+5–1= 
c) 21+13–8–2+5+6= 
d) –23+21–12–5+1–3= 
e) –7–4–12–8+4–9+1= 
f) 45–20–15+2–7–9+4= 
g) –1–2–3–4–5–6–7–8–9= 
h) 1–2+3–4+5–6–7+8–9= 
 
6. Efectuar las siguientes sumas y restas combinadas efectuando primero el interior de los paréntesis, y 
simplificando en todo momento (véase el primer ejemplo): 
a) 11–(8+14–7)=11–15= –4 
b) 10–(8–7)+(–9–3)= (Soluc: -3) 
c) 15–[7–(–3)]= (Soluc: 5) 
d) (–8–2) –(6–3)= (Soluc: -13) 
e) –2–[7–(–7)+(–1)]= (Soluc: -15) 
f) [4–2+(–13)]–(8–3)= (Soluc: -16) 
g) 12+(15–3)–(–1–18)= (Soluc: 43) 
h) –4–[34–(–2)]–(–|–5|) = (Soluc: -35) 
i) 9+3–{–[14–(–5)]–8}= (Soluc: 39) 
j)  3 2 + 5 4 1 2 =         (Soluc: -7) 
 
Operaciones con enteros: Productos y cocientes: 
7. Multiplicar: 
a) 2 ꞏ (–4)= 
b) (–3) ꞏ (–5)= 
c) (–5) ꞏ5= 
d) (–1) ꞏ (–2)= 
e) 6 ꞏ (–8)= 
f) 3ꞏ (–6)= 
g) (–7) ꞏ (–4)= 
h) 3 ꞏ (–1)= 
i) (–4) ꞏ5 ꞏ (–1)= 
j) 3 ꞏ (–2) ꞏ7= 
k) (–4) ꞏ (–2) ꞏ (–3)= 
l) (–1) ꞏ (–1)= 
m) 3 ꞏ4 ꞏ (–6)= 
n) 2 ꞏ (–2) ꞏ (–2)= 
o) 3 ꞏ (–2) ꞏ (–1) ꞏ4= 
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8. Dividir: 
a) 15 :5= 
b) (–12) :4= 
c) (–14) : (–7)= 
d) (–42) :6= 
e) 21: (–3)= 
f) (–18) : (–3)= 
g) (–63) :9= 
h) 40 : (–5)= 
i) (–2) : (–1)= 
j) 12 : (–3)= 
k) (–75) : (–5)= 
l) 32 : (–8)= 
 
 
9. Efectuar los siguientes productos y cocientes combinados: 
a) 2 ꞏ8 :4= 
b) (–15) :5 ꞏ12= 
c) 8 : ( –2) ꞏ (–1)= 
d) –(–14) : (–7) ꞏ (–3)= 
e) 12 : [–(–2)]ꞏ (–11)= 
f) (–3) ꞏ9 : (–3)= 
g) (–75) :5 : (–3)= 
h) 64 : (–8) : [–(–4)]= 
i) –4 ꞏ (–1) :2= 
j) 21 : (–7) : (–3)= 
 
10. Cálculo mental: efectuar mentalmente: 
a) 309 :3= 
b) 78 :2= 
c) 156 :2= 
d) 96 :2= 
e) 506 :2= 
f) 17ꞏ3= 
g) 5 :2= 
h) 78 :3= 
i) 147 : (–3)= 
j) 306 :6= 
k) 102 :3= 
l) (–156) :3= 
m) 3 ꞏ25= 
n) 1012 :2= 
o) 78 :3= 
p) 84 :21= 
q) 36 :3= 
r) 102 :3=
 
 
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FICHA 4: Operaciones combinadas con enteros. Jerarquía 
 
 
1. Realizar las siguientes operaciones combinadas con números enteros, indicando todos los pasos: 
1) (–3 + 6 + 18) : (–3) = (Soluc: -7) 
2) (–4) – (–6) : (–3) = (Soluc: -6) 
3) 5 : (–5) – (–7) ꞏ 2 = (Soluc: 13) 
4) (–11) –3 ꞏ (–4) : (–6) – (–9) = (Soluc: -4) 
5) [2 – (–5) – 3] ꞏ (–2) = (Soluc: -8) 
6) [6 – (–1) – (–13)] : (–5) = (Soluc: -4) 
7) [(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3) = (Soluc: -1) 
8) [(–5) ꞏ (–3) ꞏ 4 + 12] : [–12 – (–3)] = 
 (Soluc: -8) 
9) –4 + 6 ꞏ (–2 + 5) : (–9) + 2 ꞏ 3 = 
 (Soluc: 0) 
10) –18 – [4 + (–6)] : 2 + 5 = 
 (Soluc: -12) 
11) {[–4 + 6 ꞏ (–2 + 5)] : (–7) + 2} ꞏ 3 = 
 (Soluc: 0) 
12) 18 : [6 – 3 ꞏ (–4 : 2 + 1)] – 3 = 
 (Soluc: -1) 
13) (–5) – (–9) – 4 ꞏ (–3) : (–2) : (–6) = 
 (Soluc: 5) 
14) 3 – 6 : 2 ꞏ (–3) : [–2 + (–1)]= 
 (Soluc: 0) 
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15) [(–4 + 6 : 3 + 1) ꞏ (6 – 4 : 2) + 8] : (–2) = 
 
 
 
 
 
 (Soluc: -2) 
16) 2 + 4 : 2 – 3 ꞏ (–5) + 6 – 3 : (5 – 2 ꞏ 3 ) = 
 
 (Soluc: 28) 
17) (–2) ꞏ [8 – 6 ꞏ (–3 + 12 : 2 ) : (–3) + 1] + (–3) = 
 
 
 (Soluc: -33) 
18)    – 5 2 – 8 – 2 3 – 3 1 1 6 –2        : ꞏ : 
 
 
 
 (Soluc: 2) 
19) 25 : [– 7 – (– 2)] – (– 5 ) ꞏ 4 ꞏ |– 2| = 
 
 
 (Soluc: 35) 
20)              32 8 3 2 81 9 =: · : 
 
 (Soluc: 7) 
21)      14 4 4 12 2 3 1 2 1              ꞏ : : : 
 
 (Soluc: -11) 
22)      2 14 8 2 9 13 9 13 2         : ꞏ : 
 
 (Soluc: 40) 
TIPO 
EXAMEN 
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23)  30 15 2 7 12 2 14 1 5        : ꞏ : : 
 
 
 (Soluc: -5) 
24)      20 16 2 7 3 8 4 2 2 3          : ꞏ : ꞏ 
 
 
 (Soluc: 16) 
25)      18 15 33 30 11 13 16 15 5        : : : 
 
 
 (Soluc: 1) 
26)   218 15 6 2 9 2 3 20 3 121           : : ꞏ 
 
 
 (Soluc: -25) 
27)      5 3 9 3 9 2 2 8 2 4          : ꞏ : ꞏ 
 
 
 (Soluc: -20) 
28)         23 9 6 2 3 | 4 | 144 15 16 7               ꞏ : ꞏ 
 
 
 (Soluc: -44) 
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29)          4 7 3 36 3 1 2 4 7 4 7 1 2                : ꞏ : : 
 
 
 (Soluc: -1) 
30)       2 3 02 3 9 13 : 7 9 4 17 1 361 39 39                ꞏ ꞏ 
 
 
 (Soluc: -683) 
31)     212 12 2 8 2 3 3 81          : : ꞏ 
 
 
 (Soluc: 3) 
 
 
 
 
 
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FICHA 5: 16 Problemas de aplicación de números enteros 
 
1. Ana tiene ahorrados 30 €. Un fin de semana sale al cine con unos amigos y se gasta 7 €, le compra un regalo 
que le cuesta 12 € a una amiga y paga el billete de tren, que le supone 3 €. Si al llegar a casa su padre le da 
sus 15 € semanales, ¿cuánto le queda finalmente? (Plantear la solución como una única operación con 
enteros) (Soluc: 23 €) 
 
 
2. Tres barcos zarpan del mismo puerto: el primero cada 5 días, el segundo cada 9 días y el tercero cada 15 
días. Si coincidieron un determinado día, ¿cuándo volverán a coincidir? (Soluc: a los 45 días) 
 
 
 
3. Se desea cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide 330 cm de ancho por 390 cm 
de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grandes posibles y sin cortar ninguna. 
a) ¿Cuál debe ser el tamaño de las baldosas? b) ¿Cuántas baldosas se necesitan? (Soluc: 30 x 30 cm; 143 
baldosas) 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS de ENTEROS 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
4. Un rollo de cable mide más de 150 metros y menos de 200 metros. ¿Cuál es su longitud exacta, sabiendo que 
se puede dividir en trozos de 15 metros y también en trozos de 9 metros? (No vale resolverlo por tanteo) 
(Soluc: 180 m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo 
número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas 
necesarias? ¿Cuántos botes irán en cada caja? [Soluc: Harán falta 12 cajas (5 de tomates y 7 de pimientos) y cada 
caja contendrá 25 botes] 
 
 
 
 
6. La longitud de la rueda delantera de un minitractor es 
70 cm y la trasera 170 cm. Se hace una señal ( X ) en la 
parte de ambas ruedas en contacto con el suelo. 
¿Después de cuántas vueltas de cada rueda volverán a 
coincidir las señales? (Soluc: 7 vueltas de la grande y 17 
de la pequeña) 
 
 
 
 
 
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170 cm 70 cm 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
7. Un comerciante desea repartir en cajas iguales 84 manzanas y 120 naranjas, sin que sobre ninguna pieza de 
fruta, de modo que cada caja contenga el mismo nº de manzanas o el mismo nº de naranjas, y también 
contenga el mayor nº posible de piezas de fruta. ¿Cuántas piezas de fruta ha de contener cada caja? ¿Cuál 
será el nº de cajas necesarias? (Soluc: 12 piezas de fruta en cada caja, y 17 cajas en total) 
 
 
 
 
 
8. Una empresa dispone de tres autobuses. Debido a su diferente antigüedad, el primero se revisa cada 12 
semanas, el segundo cada 50 semanas, y el tercero cada 15 semanas. Si se llevan a revisar el mismo día, 
¿cuándo volverán a coincidir? (Soluc: Al cabo de 300 semanas) 
 
 
 
9. (*) Cubrimos totalmente un terreno rectangular de 
40 x 96 m en parcelas cuadradas iguales y 
plantamos en cada una de ellas tres árboles. ¿Cuál 
es el número mínimo de árboles que podríamos 
sembrar? (Soluc: 180 árboles) 
 
 
 
 
 
96 m 
40 m 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
Problemas de repaso de MCD y mcm 
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(Sol: 1 m) 
(Sol: 36 libros)
(Sol: 16 cm de lado; 216 baldosas) 
(Sol: 144) 
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16. 
 
 
 
No vale por tanteo.
(Sol: 11:30) 
(Sol: El 1 de diciembre)
(Sol: 36 m) 
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