INTRODUCCION A LA CONTABILIDAD Y FINANZAS (24)

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Riesgo y 
Rendimiento
Inversión y Retorno (Con o Sin Riesgo)
- Consideramos inversiones en un período, de t=0 a t=1.
- Retorno Total (absoluto, en US$, AR$, €, etc.):
- Retorno Total (relativo, en tanto por uno):
𝑅 =
𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑣𝑒𝑑
𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑑
=
𝑥1
𝑥0
- Tasa de Retorno (en tanto por uno, o en porcentaje):
𝑟 =
𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑣𝑒𝑑 − 𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑑
𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑑
=
𝑥1 − 𝑥0
𝑥0
𝑹 = 𝟏 + 𝒓
𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑣𝑒𝑑 − 𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑑 = 𝑥1 − 𝑥0
Si creemos que un activo va a subir de precio, la estrategia
de inversión sería:
» En t=0 comprar el activo: pagamos x0.
» En t=1 vender el activo: recibimos x1.
Tasa de Retorno:
𝑟 =
𝑥1 − 𝑥0
𝑥0
Ganamos dinero si el precio final es mayor al inicial.
Esta estrategia se conoce como 
estar “comprado”, “largo” o “long”.
Inversión y Retorno – Apostando a la Suba
Si creemos que un activo va a bajar de precio, a veces es 
posible utilizar la siguiente estrategia:
» En t=0 pedir prestado el activo y venderlo: recibimos x0.
» En t=1 recomprar el activo pagando x1 , y devolverlo.
Nuestra ganancia es x0-x1. Por convención, la tasa de retorno 
se calcula como la tasa de retorno para inversiones largas, 
pero con signo negativo:
𝑟 = −
𝑥1 − 𝑥0
𝑥0
Esta estrategia se conoce como 
estar “vendido”, “corto” o “short”. 
Inversión y Retorno – Apostando a la Baja
Algunos inversores utilizan solo capital propio.
Otros pueden pedir prestado dinero, a una tasa de interés
fija, y utilizar los fondos para invertir en activos riesgosos.
A esto se llama “apalancarse”, o también “leverage”.
Por ejemplo, un inversor con USD 1.000 de capital propio,
solicita un préstamo de USD 9.000, y compra acciones con el
total de USD 10.000.
Si las acciones suben 10%, la ganancia es de USD 1.000,
menos el interés del préstamo. Si el interés es pequeño (por
ejemplo, ganancia en muy corto plazo), el retorno es casi del
100% sobre el capital propio: leverage amplifica ganancias.
Pero si las acciones caen 10%, la pérdida de capital propio es
total: leverage amplifica pérdidas.
Inversión y Retorno – Leverage
Podemos definir el riesgo como la magnitud en que el
rendimiento obtenido de una inversión puede diferir del
esperado inicialmente. Es decir, una medida de la
variabilidad, dispersión, o desvío de los resultados obtenidos
respecto de los esperados. De esto se desprende que, a
mayor variabilidad mayor riesgo.
¿Cómo cuantificar el riesgo? Como no se puede saber con
certeza lo que sucederá con los precios futuros, el inversor
utiliza como marco de referencia la información del pasado.
Una de las principales medidas de riesgo es la volatilidad que
muestra un activo. Para una cierta cantidad de días, qué tan
diferentes fueron las variaciones diarias de los precios con
respecto al promedio de dichas variaciones.
Estadísticamente, la volatilidad se mide mediante el desvío
estándar.
Riesgo
- Trabajaremos con activos riesgosos (acciones):
En t=0 elegimos el o los activos.
En t=1 conocemos el resultado de la inversión.
- Los retornos son estocásticos (aleatorios).
- Incorporamos nociones de probabilidad a la descripción de
retorno que vimos anteriormente:
Retorno Esperado: E(r)
Varianza o Desvío Estándar del Retorno: σ2(r) o σ(r)
Activos Riesgosos
Si tenemos que elegir entre dos activos de manera
excluyente: a mayor retorno esperado mejor es el activo, y a
mayor varianza del retorno, peor es el activo.
Consideramos un activo con retorno estocástico y lo
describimos por sus retorno esperado y varianza (o desvío
estándar):
o Buen Activo 
o Mal Activo.
σ(r)
E(r)
Portfolios
Supongamos que tenemos 1, 2, … , N activos disponibles.
Construiremos una cartera (portfolio) con una inversión total
de X0.
Utilizamos wi para representar la fracción del monto total
invertida en el activo i.
𝑤1 +𝑤2 +⋯+𝑤𝑁 = 1
Asumimos que solo podemos comprar activos (posiciones
largas). Es decir: wi > 0.
El monto invertido en el activo i es X0wi
El valor de la cartera en t=1 es:
Por lo tanto, el retorno total de un portafolio será:
¿Y la tasa de retorno?
𝑋1 = 𝑅𝑃 𝑋0 = 𝑤1𝑋0 𝑅1 +⋯+𝑤𝑁𝑋0 𝑅𝑁=෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖𝑅𝑖𝑋0
𝑟𝑃 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑤𝑖𝑋0𝑅𝑖 − 𝑋0
𝑋0
=
σ𝑖=1
𝑁 𝑤𝑖𝑅𝑖𝑋0
𝑋0
−
𝑋0
𝑋0
=෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖(1 + 𝑟𝑖) − 1
𝑅𝑃 =෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖 𝑅𝑖
𝑟𝑃 =෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖 𝑟𝑖
El retorno total y la tasa de retorno de un portfolio son
sumas ponderadas de los retornos totales y de las tasas de
retorno de los activos individuales.
La importancia de cada activo es proporcional a la inversión
inicial en ese activo.
Consideremos 2 activos A y B. Armamos distintos portafolios
asignando diferente peso a cada activo.
Calculamos los retornos esperados y las varianzas resultantes
de cada portafolio:
𝑟𝑝 = 𝑤 𝑟𝐴 + 1 − 𝑤 𝑟𝐵
𝐸(𝑟𝑝) = 𝑤 𝐸(𝑟𝐴) + 1 − 𝑤 𝐸(𝑟𝐵)
𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑝 = 𝑤
2 𝜎𝐴
2 + (1 −𝑊)2 𝜎𝐵
2 + 2 𝑤 1 − 𝑤 𝜎𝐴,𝐵
𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑝 = 𝑤
2 𝜎𝐴
2 + (1 −𝑊)2 𝜎𝐵
2 + 2 𝑤 1 − 𝑤 𝜌𝐴,𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵
Diversificación con Dos Activos
Ejemplo:
Supongamos que los activos A y B se describen como:
y tienen correlación ρ. 
¿Cómo cambian las características del portafolio cuando
cambia w?
𝐸 𝑟𝑝 = 𝑤 0,25 + 1 − 𝑤 0,10 = 0,15 𝑤 + 0,10
𝜎𝑝
2 = 𝑤2 0,752 + (1 − 𝑤)2 0,25" + 2 𝑤 1 − 𝑤 𝜌 0,75 0,25
Asset E(r) σ(r)
A 25% 75%
B 10% 25%
Dada la tabla de varianzas y esperanzas de la slide anterior,
¿cómo es la curva de varianza y valor esperado del portfolio
para los siguientes valores de la función de correlación?
1. Correlación perfecta: 𝜌 = 1
1. Correlación inversa: 𝜌 = −1
2. Sin correlación: 𝜌 = 0
34
𝜌𝐴,𝐵 = 1
E(j) DESV(j) wj E(Rp) DESV(Rp)
A 25% 75% 0,00 10,00% 25,00%
B 10% 25% 0,05 10,75% 27,50%
0,10 11,50% 30,00%
0,15 12,25% 32,50%
0,20 13,00% 35,00%
0,25 13,75% 37,50%
0,30 14,50% 40,00%
0,35 15,25% 42,50%
0,40 16,00% 45,00%
0,45 16,75% 47,50%
0,50 17,50% 50,00%
0,55 18,25% 52,50%
0,60 19,00% 55,00%
0,65 19,75% 57,50%
0,70 20,50% 60,00%
0,75 21,25% 62,50%
0,80 22,00% 65,00%
0,85 22,75% 67,50%
0,90 23,50% 70,00%
0,95 24,25% 72,50%
1,00 25,00% 75,00%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
E(
R
p
)
DESV(Rp)
35
𝜌𝐴,𝐵 = −1
Cuando 𝜌𝐴,𝐵 = −1 podemos construir un portfolio sin riesgo.
E(j) DESV(j) wj E(Rp) DESV(Rp)
A 25% 75% 0,00 10,00% 25,00%
B 10% 25% 0,05 10,75% 20,00%
0,10 11,50% 15,00%
0,15 12,25% 10,00%
0,20 13,00% 5,00%
0,25 13,75% 0,00%
0,30 14,50% 5,00%
0,35 15,25% 10,00%
0,40 16,00% 15,00%
0,45 16,75% 20,00%
0,50 17,50% 25,00%
0,55 18,25% 30,00%
0,60 19,00% 35,00%
0,65 19,75% 40,00%
0,70 20,50% 45,00%
0,75 21,25% 50,00%
0,80 22,00% 55,00%
0,85 22,75% 60,00%
0,90 23,50% 65,00%
0,95 24,25% 70,00%
1,00 25,00% 75,00%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
E(
R
p
)
DESV(Rp)
rAB=0
E(j) DESV(j) wj E(Rp) DESV(Rp)
A 25% 75% 0,00 10,00% 25,00%
B 10% 25% 0,05 10,75% 24,04%
0,10 11,50% 23,72%
0,15 12,25% 24,04%
0,20 13,00% 25,00%
0,25 13,75% 26,52%
0,30 14,50% 28,50%
0,35 15,25% 30,87%
0,40 16,00% 33,54%
0,45 16,75% 36,44%
0,50 17,50% 39,53%
0,55 18,25% 42,76%
0,60 19,00% 46,10%
0,65 19,75% 49,53%
0,70 20,50% 53,03%
0,75 21,25% 56,60%
0,80 22,00% 60,21%
0,85 22,75% 63,86%
0,90 23,50% 67,55%
0,95 24,25% 71,26%
1,00 25,00% 75,00%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
E
(R
p
)
DESV(Rp)
Comparando Correlaciones
Retorno del Portfolio:
𝑟𝑝 =෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖 𝑟𝑖
Retorno Esperado del Portfolio:
𝐸 𝑟𝑝 = 𝑤1 𝐸 𝑟1 +⋯+𝑤𝑁 𝐸 𝑟𝑁 = ෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖 𝐸(𝑟𝑖)
Varianza del Portfolio:
𝜎𝑝
2 = 𝐸( 𝑟𝑝 − 𝐸 𝑟𝑝
2
= ෍
𝑖=1
𝑁
𝑤𝑖
2 𝜎𝑖
2 + ෍
𝑗=1,𝑖≠𝑗
𝑁
𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜌𝑖,𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗
Estadística de un Portfolio con N Activos
Varianza del Portfolio
La varianza de un portfolio compuesto por dos acciones es la
suma de estos cuatro cuadrantes.
2
2
2
2
211221
1221
211221
12212
1
2
1
σx
σσρx x 
σxx
2Acción 
σσρxx 
σxx
σx1Acción 
2Acción 1Acción 
=
=
𝑤1
2𝜎1
2
𝑤2
2𝜎2
2𝑤2𝑤1𝜎2,1=
𝑤2𝑤1𝜌2,1𝜎2𝜎1
𝑤1𝑤2𝜎1,2=
𝑤1𝑤2𝜌1,2𝜎1𝜎2
Varianza del Portfolio: Aproximación Matriz
ACCIÓN
Los cuadrados pintados
representan a las
varianzas, el resto a
las covarianzas
1
2
3
4
5
6
N
1 2 3 4 5 6 N
ACCIÓN
Para calcular la
varianza del portfolio,
simplemente sumar los
cuadrados.
Consideremos ahora un portfolio formado por N activos en
donde invertimos la misma proporción de riqueza (1/N) en
cada uno de ellos.
Si aplicamos el método de la matriz, vemos que hay N
términos que involucran a la varianzas individuales, y (𝑁2 −
𝑁) términos que involucran a los pares de covarianzas.
Entonces, podemos calcular varianza y covarianza promedio
del portafolio como:
Diversificación con Muchos Activos
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑝) =෍
𝑗=1
𝑁
෍
𝑗≠𝑗
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑖 , 𝑟𝑗)
𝑁2 −𝑁
𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑝) =෍
𝑖=1
𝑁
𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑖)
𝑁
𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑝 =
1
𝑁
2
෍
𝑖=1
𝑁
𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑖) +
1
𝑁
2
෍
𝑗=1
𝑁
෍
𝑖≠𝑗
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑖 , 𝑟𝑗)
𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑝 =
1
𝑁
2
𝑁𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑝) +
1
𝑁
2
𝑁2 −𝑁 𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑝)
𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑝 =
1
𝑁
𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑝) + 1 −
1
𝑁
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑝)
Cuando N tiende a infinito, la varianza del portfolio tiende a la 
covarianza promedio de los activos que lo componen.
¿Entonces…es el riesgo de un activo 
su desvío standard?
• No exactamente.
• Dado que un inversor puede formar portafolios, y que
estos eliminan una parte del riesgo de sus activos
integrantes, la medida apropiada del riesgo de un activo
es su contribución al riesgo de un portafolio diversificado.
Factores de riesgo que afectan a todos los activos en
el mercado.
Ejemplos:
• Recesión
• Inestabilidad política
También llamado: riesgo de mercado o riesgo no
diversificable.
Riesgo Sistemático
Factores de riesgo que afectan solo a algunos activos.
Ejemplos:
• Pérdida de market share (competencia).
• Problemas de management.
• Problemas sectoriales.
• Riesgo cambiario.
Sinónimos: riesgo idiosincrático, riesgo específico o 
riesgo diversificable.
Riesgo No Sistemático
Taxonomía de Riesgos
• Riesgo diversificable: puede eliminarse formando
portafolios.
• Riesgo no diversificable: permanece aún luego de haber
formado un portafolio muy diversificado.
𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛
𝑈𝑛 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜
=
𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜
𝑁𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒
+
𝑅𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒
Systematic Risk
Market Risk
Non-diversifiable Risk
Non-systematic Risk
Firm-Specific Risk
Idiosyncratic Risk 
Diversifiable Risk
Assets
Portfolio 
Risk 
In a large portfolio the variance terms are effectively 
diversified away, but the covariance terms are not. 
Portfolio Risk