INTRODUCCION A LA CONTABILIDAD Y FINANZAS (25)

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Teoría de la 
utilidad
Consideremos que cada inversor puede asignar una
puntuación de bienestar a las carteras de activos que
enfrenta y que compiten en función del rendimiento
esperado E(r) y el riesgo σ2 obteniendo así una función de
utilidad de la forma:
𝑈 = 𝐸 𝑟 −
1
2
𝐴 𝜎2
Donde: U es el valor de utilidad y A un índice de la aversión
al riesgo del individuo. El factor 1/2 es solo una convención
escalar. Si se asume normalidad en los retornos esperados,
el desvío estándar 𝜎2 es una medida aceptable del riesgo.
Para la elección de la cartera de riesgo el inversor utiliza un
criterio llamado de media-varianza (M-V) que se puede
establecer de la siguiente manera:
Un portafolio A dominará a otro B si:
𝐸 𝑟𝐴 ≥ 𝐸(𝑟𝐵)
𝜎𝐴 ≤ 𝜎𝐵
con alguna de las condiciones estrictas. 
Para cada nivel de utilidad, puede construirse el conjunto de
carteras que dejarían indiferente al inversor en función de
este criterio, obteniéndose curvas de indiferencia.
La cartera Q, por ejemplo, brinda la misma utilidad que P en
un intercambio entre riesgo y rendimiento.
Supongamos que el inversor ya ha decidido la composición de
su cartera de riesgo P y ahora su preocupación es la
asignación de capital, es decir, la proporción del presupuesto
de inversión, y, que se asignará a P . El porcentaje restante,
1-y, será aplicado en el activo libre de riesgo, F. La tasa de
retorno esperada del nuevo portafolio C conformado será:
𝐸 𝑟𝐶 = 𝑦 𝐸 𝑟𝑃 + 1 − 𝑦 𝑟𝑓
Reagrupando términos:
𝐸 𝑟𝐶 = 𝑟𝑓 + 𝑦 𝐸 𝑟𝑃 − 𝑟𝑓
𝜎𝐶
2 = 𝑦2 𝜎𝑃
2
Y su varianza:
Representemos el set de pares factibles de rendimiento
esperado y desvío estándar de todas las carteras que
resultan de diferentes valores de 𝑦.
La gráfica es una línea recta que se origina en 𝑟𝑓 y atraviesa
el punto etiquetado como P. Se denomina línea de asignación
de capital (CAL) y representa todas las combinaciones de
riesgo-rendimiento disponibles para los inversores.
La pendiente de la CAL, denotada como S, es igual al
aumento en el rendimiento esperado de la cartera completa
por unidad de desvío estándar adicional. En otras palabras,
rendimiento incremental por riesgo incremental. Por esta
razón, representa la relación recompensa-riesgo y se la
conoce como ratio de Sharpe.
σP
Busquemos un portafolio 𝐶 que sea óptimo. Es decir, el
inversor elija de su línea de alocación de capital (CAL) el
portafolio (en definitiva, la proporción y) que maximice su
utilidad. El problema a resolver será entonces:
max
𝑦
𝑈 = 𝐸 𝑟𝐶 −
1
2
𝐴 𝜎𝐶
2 =𝑟𝑓 + 𝑦 𝐸 𝑟𝑃 − 𝑟𝑓 −
1
2
𝐴 𝑦2 𝜎𝑃
2
Derivando la función 𝑈 respecto de 𝑦 e igualando a cero,
obtenemos que el máximo se alcanza cuando:
𝑦∗ = 𝐸 𝑟𝑃 − 𝑟𝑓 /𝐴 𝜎𝑃
2.
Gráficamente, el resultado se obtendría al encontrar el
punto tangente entre la CAL y una de las curvas de
indiferencia del inversor.
Es decir que la elección para y*, la fracción de capital a
invertir en activos de riesgo óptima, está determinada por la
aversión al riesgo (la pendiente de las curvas de
indiferencia) y el ratio de Sharpe (la pendiente del conjunto
de oportunidades).
Markowitz 
y el Poder de 
las Covarianzas
Harry Markowitz publicó en 1952 un modelo formal de
selección de portafolios óptimos que incorpora el principio
de diversificación.
El primer paso del plan es determinar las oportunidades de
riesgo-retorno disponibles para el inversionista.
Estas se resumen en la frontera de mínima-varianza de los
activos de riesgo. La idea principal detrás de esta frontera
es que, para cualquier nivel de riesgo, el individuo estará
interesado solamente en aquél portafolio que brinde el
mayor retorno esperado.
Alternativamente, la frontera es el set de carteras que
minimiza la varianza para cada rendimiento esperado
objetivo.
Las carteras constituidas por activos únicos serán
ineficientes (la diversificación de las inversiones conduce a
portafolios con mayores rendimientos esperados y menores
varianzas).
Por otro lado, un individuo seleccionará solo carteras que se
ubiquen en la parte del gráfico que se encuentra por encima
de la varianza mínima global. La misma recibe el nombre de
frontera eficiente dado que para cualquier portafolio en la
porción inferior existe otro con el mismo desvío estándar y
con un mayor rendimiento esperado.
La segunda parte del plan de optimización implica incluir el
activo libre de riesgo.
Buscamos la línea de asignación de capital con el ratio de
Sharpe más alto que es tangente a la frontera eficiente. El
punto de tangencia P, es la cartera de riesgo óptima.
Ahora examinemos el efecto de la diversificación.
Recordemos este resultado de la clase anterior:
Cuando la covarianza promedio entre los rendimientos de los
activos es cero, como lo es cuando todo el riesgo es
específico de la firma, la varianza de la cartera puede
reducirse a cero.
El segundo término en el lado derecho de la ecuación es cero,
mientras que el segundo tiende a cero cuando N es grande.
Por lo tanto, cuando los retornos de los activos no están
correlacionados, el poder de la diversificación para reducir
el riesgo de la cartera es ilimitado.
𝑉𝐴𝑅 𝑟𝑝 =
1
𝑁
𝑉𝐴𝑅(𝑟𝑝) + 1 −
1
𝑁
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑝)
Sin embargo, el caso más importante es aquel en el que los
factores de riesgo en toda la economía imparten una
correlación positiva entre los rendimientos de las acciones.
En este caso, a medida que la cartera se diversifica más (N
aumenta), su varianza sigue siendo positiva. Aunque el riesgo
específico de la empresa, representado por el primer
término en la ecuación tiende a cero, el segundo simplemente
se aproxima a 𝐶𝑜𝑣 a medida que N es mayor.
Por lo tanto, el riesgo que no se puede reducir de una
cartera diversificada depende de la covarianza de los
rendimientos de los activos componentes, que a su vez es una
función de los factores sistemáticos de la economía.
Tal vez la información más significativa del análisis sea la
siguiente:
Cuando tengamos carteras diversificadas, la contribución al
riesgo del portafolio por parte de un activo particular
dependerá de la covarianza del retorno de ese activo con el
de los restantes, y no de su varianza.
La conclusión más sorprendente que surge de la Teoría de
Carteras es que un administrador ofrecerá el mismo
portafolio de riesgo P a todos los clientes.
El grado de aversión al riesgo del inversor entra en juego
solo en la asignación de capital, la selección del punto
deseado a lo largo de la CAL. El individuo con mayor aversión
al riesgo invertirá más en el activo libre de riesgo y menos
en la cartera P óptima que un cliente con menor aversión al
riesgo. Sin embargo, ambos utilizarán a P como su vehículo
de inversión de riesgo óptimo.
Propiedad de Separación
Este resultado se llama Propiedad de Separación y fue
señalada por primera vez en 1958 por James Tobin.
Nos dice que el problema de elección de cartera puede estar
separado en dos tareas independientes:
a) La primera, puramente técnica, es la determinación de la
cartera de riesgo óptima. Dada una lista de entradas
común (retornos, varianzas y covarianzas) la mejor cartera
de riesgo es la misma para todos los individuos,
independientemente de su grado de aversión al riesgo.
b) La segunda tarea, la asignación de capital, depende de la
preferencia personal. Aquí el inversor es el que toma las
decisiones.
Dicho de otra manera, los inversores con diferentes grados
de aversión al riesgo se verían satisfechos con un universo
de solo dos fondos mutuos:
- Uno del mercado monetario para inversiones libres de
riesgo.
- Otro constituido por la cartera de riesgos óptima P,
determinada por el punto de tangencia de la CAL y la
frontera eficiente.
Capital
Asset
Pricing
Model
Harry Markowitz sentó las bases de la gestión moderna de
portafolios en 1952. El CAPM se publicó doce años después
en artículos de William Sharpe (1964), John Lintner (1965),
Jan Mossin (1966) y Fisher Black (1972). El tiempo para esta
gestación indica que el salto de la Teoría de Selección de
Carteras alCAPM no es trivial.
El modelo brinda una relación precisa entre el riesgo de un
activo y su rendimiento esperado. Esta relación cumple dos
funciones vitales. Primero, proporciona una tasa de
referencia para evaluar posibles inversiones. En segundo
lugar, permite efectuar una estimación sobre el retorno
esperado de los activos que aún no se han comercializado.
Aunque el CAPM ha presentado importantes contradicciones
empíricas, es utilizado ampliamente debido a la información
que ofrece y a que su precisión se considera aceptable para
algunas aplicaciones.
Supuestos del Modelo
Comportamiento de los Individuos
1) Los inversores son racionales, optimizadores de media-
varianza. Son aversos al riesgo y eligen carteras que
maximizan su utilidad esperada de la riqueza.
2) Su horizonte de planificación es un solo período.
3) Tienen expectativas homogéneas (idénticos datos de
entrada). Sus opiniones coinciden acerca de los valores
de los activos al final del período. Presentan una
distribución de probabilidad común para los rendimientos
esperados de los mismos.
Estructura del Mercado
4) Todos los activos se mantienen en poder de los individuos
y se negocian en bolsas públicas.
5) Un inversionista puede tomar una posición larga o corta
de cualquier tamaño en cualquier activo, incluido el libre
de riesgo.
6) Todo individuo puede pedir prestado o prestar la
cantidad que desee a la tasa de interés libre de riesgo.
7) La información del mercado se encuentra disponible
públicamente.
8) No existen impuestos ni costos de transacción.
29
En CAPM los retornos esperados no son independientes de las
varianzas y covarianzas, ya que todos los agentes saben que la
diversificación tiene valor. Se puede probar que:
𝑬 𝒓𝒊 = 𝒓𝒇 + 𝜷𝒊 [𝑬(𝒓𝒎) − 𝒓𝒇]
Donde:
E(ri): valor esperado del retorno del activo i.
rf: retorno del activo libre de riesgo (risk free).
E(rm): valor esperado del retorno del mercado.
[E(rm) – rf]: prima de riesgo de mercado (equity risk premium)
Βi: beta del activo i.
29
Fórmula CAPM
30
La beta de un activo se calcula como:
𝛽𝑖 =
𝐶𝑜𝑣 (𝑟𝑖 , 𝑟𝑚)
𝜎𝑚
2
De esta manera, la interpretación de la fórmula de CAPM es la
siguiente:
El retorno esperado de un activo depende de su contribución
al riesgo de mercado.
Notar que:
𝛽𝑚 =
𝐶𝑜𝑣 (𝑟𝑚, 𝑟𝑚)
𝜎𝑚
2 =
𝜎𝑚
2
𝜎𝑚
2 = 1
30
3131
β > 0 (La Mayoría de los Stocks)
Si β > 0, dado que:
𝐸 𝑟𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖 [𝐸(𝑟𝑚) − 𝑟𝑓]
Entonces:
𝐸 𝑟𝑖 > 𝑟𝑓
- Un activo riesgoso con beta positivo (covarianza positiva 
con el mercado) tiene retorno adicional al activo libre de 
riesgo.
- Un inversor demanda esta compensación (retorno
adicional) para aceptar activos que son poco eficientes
como diversificación.
3232
β = 0 
Si β = 0, dado que:
𝐸 𝑟𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖 [𝐸(𝑟𝑚) − 𝑟𝑓]
Entonces:
𝐸 𝑟𝑖 = 𝑟𝑓
- Un activo riesgoso con cero covarianza con el mercado
debe tener el mismo retorno que el activo libre de riesgo.
- No hay compensación (retorno adicional) por riesgo que
pueda ser diversificado.
3333
β < 0 
Si β < 0, dado que:
𝐸 𝑟𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖 [𝐸(𝑟𝑚) − 𝑟𝑓]
Entonces:
𝐸 𝑟𝑖 < 𝑟𝑓
- Un activo riesgoso con beta negativo (covarianza negativa
con el mercado) es muy útil como diversificación.
- Los inversores están dispuestos a pagar un alto precio
inicial ( aceptando menor retorno).
Podemos ver la relación de retorno esperado-beta como una
ecuación de recompensa-riesgo.
Los inversores aversos al riesgo miden el riesgo de la
cartera óptima por su varianza. Por lo tanto, esperaríamos
que la prima de riesgo de los activos individuales dependiera
de la contribución de dicho activo al riesgo del portafolio. La
beta mide esa contribución y, por lo tanto, la prima de riesgo
requerida es una función de la misma.
Fuente : Bodie, Kane and Marcus . Investments Tenth Edition. McGraw-Hill.
E(rM) - rf = Slope of SML
E(rM)
r
SML
𝛽 =1.0 𝜷
E(r)
Figura CAPM I - The Security Market Line
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Dos rectas: Security Market Line (SML) y Capital Market
Line (CML).
- Ambas miden retorno esperado como función del riesgo.
- Security Market Line: el riesgo lo mide la covarianza
(porque medimos riesgo de activos que aún vamos a
mezclar con otros).
- Capital Market Line: el riesgo lo mide varianza, porque
medimos riesgo del portfolio final, que ya no vamos a
mezclar.
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