Geometria_afin_en_el espacio(2018)

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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 1/24 - A.G.Onandía 
 
A 
 X 
O 
 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos 
1. Ecuaciones de la recta 
La ecuación de una recta viene determinada por un punto 
A(x0,y0,z0)R
3
 y un vector  321 ,, uuuu

V
3
 o por dos puntos A(x0,y0,z0) , 
B(x1,y1,z1) R
3
 que viene a ser lo mismo. Al vector u

 llamaremos vector 
director de la recta. 
Un punto cualquiera X(x,y,z) pertene a la recta r si el vector AX es proporcional al vector u

. Es 
decir que la recta que pasa por A y tiene como vector director a u

 está determinada por la 
ecuación: RconuAX  

 teniendo en cuenta que axAX

 se obtiene la ecuación: 
1.1 Ecuación vectorial Rconuax  

 
Poniéndola en coordenadas y componentes (x,y,z)= (x0,y0,z0)+  321 ,, uuu con R separando 
las componentes obtenemos: 
1.2 Ecuaciones paramétricas R
uzz
uyy
uxx













30
20
10
 
Despejando  de cada ecuación e igualándolas: 
1.3 Ecuación continua 
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx 




 
Si en lugar de conocer el vector director tenemos dos puntos se transforma en: 
 
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx








 
Operando estas igualdades, agrupando términos y ordenándolos obtenemos las 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 2/24 - A.G.Onandía 
 
1.4 Ecuaciones cartesianas o implícitas 






0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
r 
Como veremos más adelante ésta es una forma de representar una recta como intersección de dos 
planos. 
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,-1,-1) y tiene por vector 
director u

(0,-1,2) en sus diferentes expresiones. 
a) Ecuación vectorial (x,y,z)=(-1,-1,-1)+(0,-1,2) R 
b) Ecuaciones paramétricas R
z
y
x












21
1
1
 
c) Ecuación continua 
2
1
1
1
0
1 




 zyx
 
d) Ecuaciones cartesianas 





032
01
zy
x
 
Ejemplo 2: Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1,-1,2) y B(0,-3,-2) 
4
2
2
1
1
1







 zyx
 siendo (-1,-2,-4) el vector director. 
Geometría en el espacio
209
4Solucionario
013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) 
y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.
Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W
AC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -
1
2
3 1
1
2
6 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
3
1
2
1
2
6
1
1
2
5
+ = -
= -
- = -



c
c c
c c
( )
( )



= -
=
=





-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-





→ C 2 2
7
3
, ,
Si W WAC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -
1
2
3 1
1
2
6 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
3
1
2
1
2
6
1
1
2
5
+ = -
= -
- = -



c
c c
c c
( )
( )



= -
=
=





-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-





→ C 2 2
7
3
, ,
014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.
A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)
Respuesta abierta. 
Por ejemplo:
Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:
D = B + ACW = C + ABW 
ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1) 
D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W
015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector 
director indicado.
a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)
a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W
b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W
016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector 
director son:
a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)
a) 
x t
y t
z t
= -
=
= - +





3 10
2
7 6
 b) 
x t
y
z
=
=
=





0
0
017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.
a) A(2, −1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)
a) AB
x y z
= - -
-
-
=
+
-
=
+
( , , )2 4 4
2
2
1
4
1
4
→W
b) AB
x y z
= - - -
-
-
=
-
-
=
-
-
( , , )2 2 2
1
2
1
2
1
2
→W
 Halla dos vectores Wu y Wv tales que:
Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)
¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?
Los vectores Wu y Wv son únicos.
 Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores 
que lo sean.
Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)
 
Hay tres vectores linealmente independientes.
 son vectores linealmente 
independientes.
 comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.
a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)
b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)
a) 
 Los vectores forman una base.
b) 
 
 Los vectores no forman una base.
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Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 3/24 - A.G.Onandía 
 
2. Ecuaciones del plano 
Un plano queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R
3
 y dos vectores 
    3321321 ,,,,, Vvvvvuuuu 

 linealmente independientes o por tres puntos no alineados. 
Los vectores vyu

 se llaman vectores directores del plano. 
Un punto X pertenece al plano  si el vector AX es 
combinación lineal de vyu

 es decir RvuAX   ,

 
teniendo en cuenta que axAX

 obtenemos la ecuación: 
2.1 Ecuación vectorial Rvuax   ,

 
Considerando un sistema de referencia  kjiO

,,, tenemos que A(x0,y0,z0), 
   321321 ,,,,, vvvvuuuu

 sustituyendo en la ecuación anterior nos queda: 
      Rvvvuuuzyxx   ,,,,,,, 321321000

 separando por componentes: 
2.2 Ecuaciones paramétricas R
vuzz
vuyy
vuxx o













,
330
220
11
 
2.3 Ecuación general o implícita 
 Hemos visto que un plano  queda determinado por un punto A(x0,y0,z0)R
3
 y dos vectores 
linealmente independientes     3321321 ,,,,, Vvvvvuuuu 

 que llamamos vectores directores i.e. (A,
vu

, ) (se denomina determinación lineal del plano). 
 Un punto X pertenece al plano  si el vector AX es combinación lineal de vyu

 es decir 
  2,, vuAXRg  es decir 0
321
321
000


vvv
uuu
zzyyxx
 desarrollando por los adjuntos de los elementos 
de la 1ª fila se obtiene una expresión del tipo Ax+By+Cz+D=0 que se denomina ecuación general o 
implícita del plano. 
A 
X 
 
 
O 
 
 
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- 4/24 - A.G.Onandía 
 
Observación: a) si C≠0 entonces los vectores  u C,0,-A y  u 0,C,-B son dos vectores directores. 
 Ejemplo: Sea π≡ 3x+2y+z-4=0, dos vectores directores son:  3,0,1u 

,  2,1,0v 

 
 Comprobación  1,2,3nkj2i3
210
301
kji
vun





 
 b) fijándonos en la ecuación general del plano y en lasecuaciones cartesianas de una 
 recta es evidente que podemos pensar en una recta como intersección de dos planos. 
2.4 Ecuación del plano que pasa por 3 puntos 
Sean    222111000 ,,,,,),,( zyxCyzyxBzyxA tres puntos no alineados entonces los vectores ACyAB 
son linealmente independientes y los podemos tomar como vectores directores del plano. 
Consideramos el plano  ACABA ,, como hemos viso su ecuación será: 
0
1
1
1
1
222
111
000
020202
010101
000




zyx
zyx
zyx
zyx
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
 
Ejemplo 3: Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano (A, vu

, ) siendo 
A(1,2,5)    6,2,53,1,2  vyu

. Sol. 3y+z-11=0 
Ejemplo 4: Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(0,-3,2) y C(1,0,-2) 
Sol -5x+3y+z+7=0 
Ejemplo 5: Comprobar si los puntos A(1,2,11), B(-1,3,7), C(2,-5,0) y D(-4,2,-4) son coplanarios. Sol Si 
2.5 Ecuación normal 
Otra forma de determinar un plano  es conociendo un punto 
A(x0,y0,z0) y un vector normal a él. ),,( 321 nnnn

 
El plano  está formado por todos los puntos X tal que el vector 
naortogonalesAX

 es decir 0)(0  axnAXn

 que 
se denomina ecuación normal del plano. 
A 
X 
 
 
O 
 
 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 5/24 - A.G.Onandía 
 
Poniendo esta ecuación en componentes obtenemos: 
 
0)(
0)()()(
0),,)(,,(
030201321
030201
000321



znynxnznynxn
zznyynxxn
zzyyxxnnn
 
relacionándolo con la ecuación implícita del plano Ax+By+Cz+D=0 tenemos que n1=A; n2=B; n3=C 
por lo tanto un vector normal al plano es ),,( CBAn

. 
Al vector ),,( CBAn

 se le denomina vector característico del plano. 
Lo que queda claro es que podemos determinar el plano  mediante un punto y un vector ortogonal 
i.e. (A, n

) se denomina determinación normal del plano. 
Recordemos que cuando damos el plano por un punto y dos vectores (A, vu

, ) se denomina 
determinación lineal del plano. 
Ejemplo 6: Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,-1,5) y tiene como vector 
característico (1,-1,3). 
0183
1801512)5,1,2(
03






zyx
DDA
Dzyxn

 
Ejemplo 7: Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,3,1) y B(5,2,-1) es perpendicular al plano 
0523  zyx 
2.6 Ecuación segmentaría 
Es la ecuación del plano referida a los puntos de corte con los ejes cartesianos: 
     cOZbOyaOX ,0,00,,00,0,   
Si hallamos la ecuación del plano que pasa por esos tres puntos podemos obtener una expresión del 
tipo 1
c
z
b
y
a
x
 
Es evidente que los tres puntos verifican esta ecuación. 
Ejemplo 8: Plano determinado por una recta 
11
3
2
1






zyx
r y un punto A(2,0,1) exterior a ella. 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 6/24 - A.G.Onandía 
 











)0,3,1(
)1,1,2(
11
3
2
1
B
uzyx
r

    1,3,11,3,1 vtomarpodemosAB

 
la determinación lineal del plano será  vuA

,, 
  0737,1,373
031
112 

 Dzyxnkji
kji
vun

 
imponiéndole que pase por el punto A(2,0,1) 6+0+7+D=0  D=-13. Solución:  3x+y+7z-13=0 
Ejemplo 9: hallar la ecuación de un plano ’ que contenga la recta 
1
1
3
1
2
1








zyx
r y sea 
perpendicular al plano R
z
y
x









 



 , 
   
    kji
kji
vvunvuv
Au




101
0111,0,1,0,1,1
1,1,11,3,2
''
''




 
La determinación lineal del plano que se demanda es 
 kji
kji
vutoporyvuA 

 34
111
132tan),,(' '''' 

 tomando 
  0834034)1,3,4  zyxAporpasarhaciendoleyDzyxn

 
Ejemplo 10: Dada la ecuación del plano  2x+y-8z=4. Hallar los puntos de corte con los ejes 
coordenados y el área del triángulo que determinan. 
 
 









2
1
,0,0
2
1
0,0
0,4,040,0
0,0,220,0
CzyxOZ
ByzxOY
AxzyOX
 
  2
2
69
8,1,2
2
1
2
1
02
042
2
1
2
1
u
kji
ACABtriángulodelÁrea 

 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 7/24 - A.G.Onandía 
 
Observaciones: Cuando tomamos vectores para la determinación de planos o rectas se pueden 
multiplicar por un número real (simplificar,) pues lo único que nos interesa de ellos es su dirección y 
ésta se mantiene constante. 
Ahora bien, cuando vayamos a calcular áreas o volúmenes no lo podemos hacer ya que en 
estos casos también necesitamos utilizar, por lo menos, la información del módulo. 
Lo que nunca se puede hacer es multiplicar por escalares los puntos, ya que obviamente 
cambiamos de punto. 
En los ejemplos anteriores hemos multiplicado los vectores salvo en el último que teníamos que 
hallar un área. 
Ejercicio 1: Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al 
plano 1 determinado por el punto A(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto B(2,2,2) y tiene por vector 
director (1,2,3). Sol 5x-y-z=0 
Ejercicio 2: Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento que une los puntos A(2,-1,3) y 
B(-4,2,2) y pasa por el punto medio. Sol: 6x-3y+z+5=0 
Relación: “ Ejercicios rectas y planos I ” 
Anaya. Página 166. Ejercicios: 9; 10; 11; 12; 14. 
 Página 167. Ejercicios: 21, 22, 25, 27, 33, 38, 39, 41, 55. 
Geometría en el espacio
209
4Solucionario
013 Halla un punto C en el segmento AB, determinado por los puntos A(−3, 0, 1) 
y B(0, 6, 5), de modo que AC# sea la mitad que CB#.
Sea C c c c( , , )1 2 3 entonces: AC c c c= + -( , , )1 2 33 1W y CB c c c= - - -( , , )1 2 36 5W
AC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -
1
2
3 1
1
2
6 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
3
1
2
1
2
6
1
1
2
5
+ = -
= -
- = -



c
c c
c c
( )
( )



= -
=
=





-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-





→ C 2 2
7
3
, ,
Si W WAC CB c c c c c c
c
= ⋅ + - = ⋅ - - -
1
2
3 1
1
2
6 51 2 3 1 2 3→ ( , , ) ( , , )
11 1
2 2
3 3
3
1
2
1
2
6
1
1
2
5
+ = -
= -
- = -



c
c c
c c
( )
( )



= -
=
=





-→
c
c
c
1
2
3
2
2
7
3
-





→ C 2 2
7
3
, ,
014 Encuentra un punto D, para que el polígono ABCD sea un paralelogramo.
A(0, 0, 0) B(2, −1, 3) C(−1, 2, 1)
Respuesta abierta. 
Por ejemplo:
Considerando los vectores ABW y ACW, el punto D que buscamos es:
D = B + ACW = C + ABW 
ABW = (2, -1, 3) ACW = (-1, 2, 1) 
D B AC= + = - + - =( , , ) (2 1 3 1, 2, 1) (1, 1, 4)W
015 calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y tiene el vector 
director indicado.
a) A(2, −1, −1) y Wv = (−2, −4, 4) b) A(1, 1, 1) y Wv = (−2, −2, −2)
a) OP OA t v x y z t= + = - - + - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4W W W
b) OP OA t v x y z t= + = + - - -→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2W W W
016 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta, sabiendo que un punto y un vector 
director son:
a) A(3, 0, −7) y Wv = (−10, 2, 6) b) A(0, 0, 0) y Wv = (1, 0, 0)
a) 
x t
y t
z t
= -
=
= - +





3 10
2
7 6
 b) 
x t
y
z
=
=
=





0
0
017 calcula la ecuación continua de la recta que pasa por cada par de puntos.
a) A(2,−1, −1) y B(0, −5, 3) b) A(1, 1, 1) y B(−1, −1, −1)
a) AB
x y z
= - -
-
-
=
+
-
=
+
( , , )2 4 4
2
2
1
4
1
4
→W
b) AB
x y z
= - - -
-
-
=
-
-
=
-
-
( , , )2 2 2
1
2
1
2
1
2
→W
 Halla dos vectores Wu y Wv tales que:
Wu − Wv = (0, 0, 1) Wu + Wv = (1, 0, 0)
¿cuántos vectores en el espacio verifican estas dos condiciones?
Los vectores Wu y Wv son únicos.
 Determina el número máximo de vectores independientes, y elige vectores 
que lo sean.
Wv1 = (1, −1, 0) WWv2 = (0, 1, −1) Wv3 = (3, 0, −3) Wv4 = (1, 1, 1)
 
Hay tres vectores linealmente independientes.
 son vectores linealmente 
independientes.
 comprueba si estas colecciones de vectores son base del espacio o no.
a) Wv1 = (2, −1, 0), Wv2 = (2, 1, 0) y Wv3 = (2, 0, 1)
b) Wv1 = (3, −7, 1), Wv2 = (−1, 4, 0) y Wv3 = (5, −10, 2)
a) 
 Los vectores forman una base.
b) 
 
 Los vectores no forman una base.
833276 _ 0202-0259.indd 209 21/7/09 15:10:01
210
Geometría en el espacio
023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.
Eje X y eje Y: 
Eje X y eje Z: 
Eje Y y eje Z: 
024 Determina la posición de estas rectas:
PQW = (3, 5, -5)
Rango Rango 
Las rectas son paralelas.
025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:
PQW = (-2, -2, -2)
Rango Rango 
Las rectas son secantes.
018 Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.
a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)
a) AB
x y z
x y
x
= -
-
-
= =
+
- = -
- =
( , , )10 2 6
3
10 2
7
6
2 6 10
6 18
→
→
-- -




+ - =
+ + =



10 70
5 3 0
6 10 52 0z
x y
x z
→
W
b) AB
y
z
=
=
=




( , , )1 0 0
0
0
→W
019 obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.
a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)
a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2) 
OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2W W W W
b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)
OP OA AB AC x y z= + + = + - - - +l m l m→ ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2 (( , , )0 1 1W W W W
020 Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.
a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)
b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)
a) π
l
l m
l m
:
x
y
z
= -
= +
= - + +





3 10
2 3
7 6 10
 b) π
l m
m
m
:
x
y
z
= +
=
=





4
4
4
021 Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene 
a la recta de ecuación:
 r
x y z
:
− =
−
−
= +1
1
3
1
4
3
 El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) 
y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.
 APW = (-2, -3, 6)
π:
x y z
x y z
+ - -
-
- -
= - - + =
1 0 2
1 1 3
2 3 6
0 3 12 5 13 0→ π :
022 obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), 
B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).
ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7) 
π:
x y z
x y z
- - +
-
-
= + - - =
1 1 7
4 3 16
4 5 7
0 59 36 8 151 0→ π :
833276 _ 0202-0259.indd 210 21/7/09 15:10:04
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 8/24 - A.G.Onandía 
 
3. Posiciones relativas de dos planos. 
Sean dos planos cualesquiera de ecuaciones 
0
0
22222
11111


DzCyBxA
DzCyBxA


 
Estudiar su posición relativa equivale a discutir el sistema formado por ellos. Utilizando el teorema 
de Rouche-Frobenius: 







222
111
CBA
CBA
M 






2222
1111
*
DCBA
DCBA
M 
 Si RgM=RgM* sistema compatible 
o Si RgM=RgM*=2  3  S.C.I.   soluciones dependiendo de un parámetro  se cortan en 
una recta (ecuaciones cartesianas de la recta)  planos secantes. 
La recta es la solución del sistema  
21 
nnur

 
o Si RgM=RgM*=1  3  S.C.I.   soluciones dependiendo de dos parámetros  las 
ecuaciones son proporcionales  planos coincidentes 
 
 Si RgM≠RgM* sistema incompatible 
o Si RgM=1 y RgM*=2  S.I.  no existe solución  planos paralelos. 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 9/24 - A.G.Onandía 
 
Observación: De aquí se obtiene la condición de paralelismo: 
Si RgM=1 implica que los coeficientes de las variables en ambas ecuaciones son proporcionales y si 
el RgM*=2 quiere decir que no lo son los términos independientes i.e. 
 21212121 ,,, kDDkCCkBBkAA   
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
 
De estos resultados se deducen las fórmulas para obtener las posiciones relativas de dos planos: 
 Planos paralelos ------
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
 
 Planos coincidentes --
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
 
 Planos secantes -------
2
1
2
1
2
1
2
1
C
C
A
A
o
B
B
A
A
 
Ejemplo 11: Hallar la intersección de los planos: 





024
1323
2
1
zyx
zyx


 
.2*2
241
323
rectaunaesRgMRgMRg 







 
Varios métodos de resolución: 
a) kji
kji
nnur 1498
241
323
21





 
hallamos un punto de la recta: para x=0 











2
1
,
4
1
,0
2
1
4
1
024
132
Pzy
zy
zy
 
la recta será 
1 1
4 2
8 9 14
y z
x
 
 

 
b) Se elimina la variable y de las dos ecuaciones dando 7x+4z=2 
se elimina la variable z de las dos ecuaciones dando 9x+8y=2 
después despejando la variable x de estas dos nuevas ecuaciones obtenemos: 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 10/24 - A.G.Onandía 
 
 
4
7
2
1
8
9
4
1
1
8
9
4
1
9
28
4
7
2
1
7
24


















zy
x
y
y
x
z
z
x
 
c) Resolviendo como un sistema compatible e indeterminado: 
llamamos a x=  
4
72
8
92
24
3132














z
y
zy
zy
 por tanto la ecuación será: 













R
z
y
x




4
7
2
1
8
9
4
1
 
Ejercicio 3: Determinar la posición relativa de los planos 
08532
02423
2
1


zyx
zyx


 y dar la ecuación 
de los puntos que tienen en común en caso de tenerlos. 
Sol. r 21   13,23,2ru

 
Ejercicio 4: Idem con 
02846
01423
2
1


zyx
zyx


 Sol. 21  concoincide 
Ejercicio 5: Idem. 
07846
01423
2
1


zyx
zyx


 Sol 21  
Ejercicio 6: calcular la ecuación de dos planos que se corten en la siguiente recta: 
 R
z
y
x













52
3
32
 (idéntico a lo realizado en teoría cuando calculamos las ecuaciones 
cartesianas de una recta) 
Anaya. Página 167. Ejercicio 37. 
Geometría en el espacio
213
4Solucionario
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
r
x y z
x y z: :
1
2
2
1
1
2 5 3 3 0=
+
= −
−
− + + =π
r
x y z
r
x y
x z
r
x
: : :
1
2
2
1
1
2 2
1
2
=
+
=
-
-
= +
- = -




-
→ →
yy
x z
- =
+ - =




2 0
1 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
11 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
-
-
= ≠
-
-



- -→ Rango




=
- -
-
-


 -
-
Rango
2 1 0 2
1 0 1 1
2 5 3 3




= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 
 π2: x − 2y + z + 1= 0b) π1: x − z + 11= 0 
 π2: −2y − z + 11= 0
a) Rango
- -
-





 =
-
- -
1 2 1
1 2 1
1
-
= - ≠
- -
-





-
-
- -
1 0
1 1
1 0
1 2 1 0
1 2 1 1
→ Rango == 2
Los planos son paralelos.
b) 
1 0
0 2
2 0
1 0 1
0 2 1
- -
-
= - ≠
-
- -





 =→ Rango Ranggo
1 0 1 11
0 2 1 11
2
- -
- -





 =
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 
 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 
 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) 
-
-
= ≠
- -
-





 =
-
-
-
- -
6 5
1 1
1 0
6 5 3
1 1 1
→ Rango
-- -
-





 =
-
- -
6 5 3 2
1 1 1 0
2
Los planos son secantes.
b) 
- -
-
-
- -
= - ≠
- -
- -






1 1
2 2
4 0
1 2 1
2 4 2
→ Rango ==
- -
- -





 =
-
-
Rango
1 2 1 1
2 4 2 3
2
Los planos son secantes.
 Estudia la posición relativa de estas rectas:
 Rango 
 Rango 
Las rectas son secantes.
 Estudia la posición relativa de las rectas:
 
 
 
Las rectas se cruzan.
 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
 
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 213 21/7/09 15:10:15
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 11/24 - A.G.Onandía 
 
4. Posiciones relativas de tres planos 
Sean tres planos cualesquiera de ecuaciones: 
0
0
0
33333
22222
11111



DzCyBxA
DzCyBxA
DzCyBxA



 formamos un sistema 
de tres ecuaciones con tres incógnitas y aplicamos el teorema de Roché-Frobeniüs: 











3
2
3
2
3
2
111
C
C
B
B
A
A
CBA
M 











3
2
3
2
3
2
3
2
1111
*
D
D
C
C
B
B
A
A
DCBA
M 
 RgM=RgM* sistema compatible: 
o RgM=RgM*=3  S.C.D.  existe una única solución  tres planos que se cortan en un 
punto (formando un triedro) 
 
 
o RgM=RgM*=2n=3  S.C.I.   soluciones dependiendo de un parámetro  una recta  
 3 planos secantes coincidentes en un recta 
 
3 
2 
1 
3 
2 
1 
3 planos que se cortan 
en un punto 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 12/24 - A.G.Onandía 
 
 2 planos coincidentes y uno secante 
 
 
o RgM=RgM*=1n=3   soluciones dependiendo de dos parámetros  solución un plano  
tres planos coincidentes. 
 
Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos. 
 
 RgM≠RgM* sistema in compatible  no tiene solución: 
o RgM=2 y RgM*=3 los tres vectores característicos no son paralelos 
 2 planos paralelos y otro secante. 
 
 3 planos secantes dos a dos. 
 
Las tres rectas que determinan son paralelas. 
3=2 
1 
1=2=3 
1 
3 
2 
1 3 
2 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 13/24 - A.G.Onandía 
 
o RgM=1 y RgM*=2 los tres vectores característicos son paralelos 
 3 planos paralelos 
 
 
 2 coincidentes y otro paralelo 
 
Se estudian las posiciones relativas de los planos dos a dos. 
 
Ejemplo 12: Hallar los valores de K para que los planos 1 x+y+kz=1, 2 Kx+y+z=1 y 3 
2x+y+z=K tengan una recta en común. Hallar su vector director. 
Solución: 
123  recta  S.C.I. dependiendo de un parámetro  RgM=RgM*=2 











k
k
k
M
112
111
111
* 21023
112
11
11
2  kkkkk
k
M 
 si k=1 2*0
112
111
111
0
12
11
 RgMRgMorlando y por lo tanto los planos se cortan 
en una recta cuyo vector director será el producto vectorial de los vectores característicos L.I. 
 1,1,0
112
111
32
 kj
kji
nnur 

 
3 
2 
1 
3=2 
1 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 14/24 - A.G.Onandía 
 
 si k=2 
1 1 1
1 1
0 2 1 1 0 2 * 3
2 1
2 1 2
orlando RgM RgM      sistema icompatible. 
 Solución k=1. 
Ejemplo 13: Se consideran los planos 1 x+ky+z=k+2, 2 x+y+kz=-2(k+1), 3 kx+y+z=k. 
Determinar según los valores de k, las posiciones relativas de los planos (i.e. dar la interpretación 
geométrica del sistema de ecuaciones). 
Sol. 











11
11
11
k
k
k
M 













kk
kk
kk
M
11
)1(211
211
*     12012 2  kkkkM 
 si k≠-2  k≠1  RgM=RgM*=3  S.C.D.  tres planos que se cortan en un punto ( que es la 
solución del sistema) 
 si k=1 RgM=1≠RgM*=2  S.I. 
Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2: 
12 1/1=1/1=1/1≠-3/4  12 
13  13 
por tanto los tres planos son paralelos 
 si k=-2  RgM=RgM*=2  S.C.I. dependiendo de un parámetro  la solución es una recta 
Estudiamos las posiciones relativas de los planos 2 a 2: 
12  1 y 2 secantes 
13  1 y 3 secantes 
23  1 y 3 secantes 
Luego tres planos no coincidentes que se cortan a lo largo de una recta. 
Anaya. Página 167. Ejercicio 32. 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 15/24 - A.G.Onandía 
 
5. Haz de planos que pasan por un punto. 
Se llama haz de planos de vértice B, al conjunto de todos los planos que pasan por B. 
Sea B(x0, y0, z0) y  Ax+By+Cz+D=0 un plano perteneciente al haz de planos de vértice B, se 
verifica: Ax0+By0+Cz0+D=0  D=-(Ax0+By0+Cz0) y sustituyendo Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0  
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 
y dando los posibles valores a A, B, C se obtienen todos los planos del haz de planos. 
6. Haz de planos paralelos. 
Se llama haz de planos paralelos a uno dado, al conjunto de todos los planos que son paralelos a 
ese plano. 
El vector característico (normal) de todas es el mismo ),,( CBAn

, entonces su ecuación es 
Ax+By+Cz+D=0 
y dando todos los posibles valores a D se obtienen todos los planos. 
Ejemplo 14: Hallar un plano paralelo al plano 3x-2y+z-3=0 que pase por el punto P(1,-2,0). 
Solución: la determinación normal del plano buscado es (  0,2,1),1,2,3(  Pn

) luego la ecuación del 
haz de planos es: 3x-2y+z+D=0, le imponemos que pase por el punto P  3+4+D=0  D=-7 
Sol: 3x-2y+z-7=0 
7. Haz de planos secantes. 
Planos que contienen una recta. 
Dados dos planos 
0
0
22222
11111


DzCyBxA
DzCyBxA


, secantes, se llama haz de planos secantes al 
conjunto de todos los planos que contienen a la recta de 12. 
La ecuación es: 1+2=0      022221111  DzCyBxADzCyBxA  dando 
valores a  y  vamos obteniendo todos los planos. 
Su figura gráfica es similar a un libro abierto. 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 16/24 - A.G.Onandía 
 
Ejemplo 15: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,3) y contiene a la recta : 
012
2
2
1


zyx
zyx


 
Solución mediante haz de planos: 
haz de planos    0122  zyxzyx  le imponemos que pase por el punto P(2,-1,3)  
4+=0  =-4 para =1  =-4  sol. 7x+5y-5z+6=0 
Este tipo de ejercicios ya lo hemos resuelto anteriormente calculando un vector director del plano 
como producto vectorial de los vectores característicos de los planos que determinan la recta. Luego 
hallamos un punto de la recta y tomamos como segundo vector director el vector que une los dos 
puntos que junto con el punto del enunciado nos permite hallar la ecuación del plano buscado. 
   1,1,03,3,033
112
111
21
ucomotomarpodemoskj
kji
nnu



  
Calculamos un punto de la recta: hacemos z=0 y resolvemos el sistema 





12
2
yx
yx
  Q(1/3,-5/3,0) 
luego  PQuP ,,   9,2,53,
3
2
,
3
5






PQ 
 0 1 1 7 5 5 7,5, 5 7 5 5 0
5 2 9
i j k
n u PQ i j k x y z D             imponiendo que pase por P 
obtenemos D=6  sol. 7x+5y-5z+6=0
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 17/24 - A.G.Onandía 
 
8. Posición relativa entre recta y plano. 
Partimos de que la recta viene dada como su determinación lineal  uAr

, 
Sean la recta 
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx
r





 y el plano  Ax+By+Cz+D=0, estudiando la relación 
que existe entre el vector característico del plano n

 y el vector director de la recta u

 tenemos: 
 si u

 n

  u

. n

=0 
o A entonces r está en  (r)  r1 
o A entonces r es paralela a  (r)  r2 
 si u

 no es perpendicular con n

  u

. n

≠0  r corta 
a   r=P  r3. 
Observación: se cortan perpendicularmente si u

 n

  u

 n

= 0

  u

 y n

 proporcionales. 
Esta es la manera más recomendable de realizar el estudio. 
Ahora bien, si la recta viene dada por intersección de dos planos podemos hacerlo estudiando la 
posición de los tres planos que ya hemos estudiado en el apartado 7, teniendo en cuenta que el 
RgM2, pues la recta está determinada por dos planos con vectores característicos L.I. así tenemos: 
0
0
0
3333
2222
1111






 DzCyBxAy
DzCyBxA
DzCyBxA
r  
 RgM=RgM* sistema compatible 
o RgM=RgM*=3  S.C.D.  solución un punto  r corta a . 
o RgM=RgM*=2  S.C.I.  solución una recta  r está en . 
 RgM≠RgM* sistema incompatible 
o RgM=2 y RgM*=3  S.I.  no hay solución  r es paralela a . 
 
r1 
r2 
r3 
P 
A 
● 
● 
 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 18/24 - A.G.Onandía 
 
Observación: Para hallar la solución ( o estudio de las posiciones relativas) de una recta dada 
mediante su determinación lineal, y un plano, es muy recomendable poner la recta en paramétricas y 
sustituirlas en la ecuación del plano. 
Ejemplo 16: Determinar la posición relativa de la recta 
3
3
1
4
7
2








zyx
r y el plano 
05523  zyx y su intersección si existe. 
Solución:     3,1,7,3,4,2 ruAr

  5,2,3 n

 
Calculamos   7,1, 3 3,2, 5 4 0ru n         r corta a  
Pasamos la recta a paramétricas: R
z
y
x













33
4
72
 las sustituimos en la ecuación del plano  
3(2-7)+2(4+)-5(3-3)+5=0  =1 la solución es P(-5,5,0) 
Observación: Se puede hacer directamente pasando la recta a paramétricas, sustituyendo en la 
ecuación del plano y estudiando el resultado obtenido: 
 k=t (k≠0) ecuación resoluble  tiene sol  se cortan. 
 0=0 es una identidad   soluciones  coinciden. 
 k=0 (k≠0) ecuación imposible  no tiene sol  son paralelos. 
Ejemplo 17: Determinar la posición relativa de la recta 






04
06723
zyx
zyx
r y el plano 
083  zyx dando los puntos comunes si los tiene. 
Solución:      1,4,545
111
7231,1,17,2,3 

 kji
kji
ur

  1,1,3 n

 
  5, 4,1 3, 1,1 20 0ru n       r corta a . 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 19/24 - A.G.Onandía 
 
Ponemos la recta en paramétricas z= y resolvemos 





4
6723


yx
yx
 obteniendo 











z
y
x
46
52
 
sustituyendo en el plano 3(5-2)-(6-4)+-8=0  20-20=0  =1 
Sol: P=r=(3,2,1) 
Haciéndolo por rangos RgM=RgM*=3 sistema compatible determinado  se cortan en un punto que 
se obtiene resolviendo el sistema por Cramer x=3, y=2, z=1. 
Ejemplo 18: Dada la recta 






122
2
zyx
zyx
r y el plano  2x-y+mz=1 determinar sus posiciones 
relativas dependiendo de los diferentes valores del parámetro m. 
Solución (tres estrategias) 
Estrategia 1: 
Ponemos la recta en paramétricas y sustituimos en el plano. 
















z
Ry
x
r
3
4
1
3
1
1
 sustituyendo en el plano 
 
 











escoincidentmsi
corsemsi
mm
002
tan2
021
3
4
1
3
1
12  
Estrategia 2: 
Por rangos: A=-3(m-2) A=0  m=2 
 m≠2  RgM=RgM*=3  se cortan 
 m=2  RgM=2=RgM*  recta contenida en el plano 
Estrategia 3: 
Comparando los vectores director de la recta y característico del plano. 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 20/24 - A.G.Onandía 
 
     3,4,134
212
1112,1,21,1,1 

 kji
kji
ur

 
  1, 4, 3 2, 1, 6 3 0ru n m m        
 m=2  0 nur

  paralelos o coincidentes. Tomamos un punto de la recta para ello hacemos 
z=0 y resolvemos 





12
2
yx
yx
 obteniendo A(1,1,0) 
veamos si está en  2.1-1+0=1  la recta está contenida en el plano. 
 m≠2  0 nur

  se cortan. 
Ejercicio 7: Hallar el valor de m para que la recta 






1
1
zx
yx
r y el plano  x+my-z-6=0 
a) sean paralelos 
b) sean perpendiculares 
solución: 












1
1
z
y
x
r    1,1,01,1,1  rr Pu

  1,,1 mn

 
a)     m21,m,11,1,1nu r  

 
 si m=2  paralelos o coincidentes ¿Pr? 0+2+1+6≠0  recta paralela al plano 
 si m≠2  se cortan 
sol paralelos para m=2 
b) se cortan perpendicularmente  nur

  naproporcialesur

 1/1=m/-1=-1/-1  m=-1 
solución se cortan perpendicularmente para m=-1. 
Si lo hacemos con productos vectoriales: 
      1010,0,011
11
111 

 mmkmim
m
kji
nur 

 
Anaya. Página 167. Ejercicio 34.
212
Geometría en el espacio
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 
 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 
 π2: −2y − z + 11= 0
a) 
Los planos son paralelos.
b) 
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 
 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 
 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) 
Los planos son secantes.
b) 
Los planos son secantes.
026 Estudia la posición relativa de estas rectas:
r
x y z
x y z
s
x y z
x y z
: :
− + − =
+ − =




+ − + =
− +
2 0
2 0
2 0
2 ==



0
- -
-
-
= ≠-
-
1 21
2 1 1
1 1 1
1 0 → Rango 
- -
-
-
-






-
- -
- -
- -
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 2 1

= 3
- -
-
-
-
=
-
- -
- -
- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
0 → Rango 
- -
-
-
-





-
- -
- -
- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0

= 3
Las rectas son secantes.
027 Estudia la posición relativa de las rectas:
 
r
y z
x z
s
y z
x y z
: :
− − =
− + =




− + =
− + − =
3 0
2 1 0
0
3 1 0



 
r
y z
x z
s
y z
x y z
: :
− − =
− + =




− + =
− + − =
3 0
2 1 0
0
3 1 0



0 1 1
2 0 1
1 3 1
3 0
0 1 1
2 0 1
0 1 1
1 3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
= ≠
-
-
-
-
→ Rango
--






=
1
3
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
9 0
-
- -
- -
-
- -
-
-
- -
= ≠ → Rango
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
-
- -
- -
-
- -
-
-
- -






= 4
Las rectas se cruzan.
028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
 r
x y z
x y z
x z: :
+ − + =
− + − + =




+ + =
2 0
3 1 0
1 0π
-
- -
-
- -
-
- - = ≠
-
- -


1 1 1
1 3 1
1 0 1
6 0
1 1 1
1 3 1
1 0 1
→ Rango




=
-
- -
-
- -
Rango
1 1 1 2
1 3 1 1
1 0 1 1






= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 212 21/7/09 15:10:12
Geometría en el espacio
213
4Solucionario
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
r
x y z
x y z: :
1
2
2
1
1
2 5 3 3 0=
+
= −
−
− + + =π
r
x y z
r
x y
x z
r
x
: : :
1
2
2
1
1
2 2
1
2
=
+
=
-
-
= +
- = -




-
→ →
yy
x z
- =
+ - =




2 0
1 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
11 0
2 1 0
1 0 1
2 5 3
-
-
= ≠
-
-



- -→ Rango




=
- -
-
-


 -
-
Rango
2 1 0 2
1 0 1 1
2 5 3 3




= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 
 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 
 π2: −2y − z + 11= 0
a) Rango
- -
-





 =
-
- -
1 2 1
1 2 1
1
-
= - ≠
- -
-





-
-
- -
1 0
1 1
1 0
1 2 1 0
1 2 1 1
→ Rango == 2
Los planos son paralelos.
b) 
1 0
0 2
2 0
1 0 1
0 2 1
- -
-
= - ≠
-
- -





 =→ Rango Ranggo
1 0 1 11
0 2 1 11
2
- -
- -





 =
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 
 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 
 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) 
-
-
= ≠
- -
-





 =
-
-
-
- -
6 5
1 1
1 0
6 5 3
1 1 1
→ Rango
-- -
-





 =
-
- -
6 5 3 2
1 1 1 0
2
Los planos son secantes.
b) 
- -
-
-
- -
= - ≠
- -
- -






1 1
2 2
4 0
1 2 1
2 4 2
→ Rango ==
- -
- -





 =
-
-
Rango
1 2 1 1
2 4 2 3
2
Los planos son secantes.
 Estudia la posición relativa de estas rectas:
 Rango 
 Rango 
Las rectas son secantes.
 Estudia la posición relativa de las rectas:
 
 
 
Las rectas se cruzan.
 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
 
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 213 21/7/09 15:10:15
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 21/24 - A.G.Onandía 
 
9. Posiciones relativas de dos rectas. 
Tomamos las rectas expresadas en sus determinaciones lineales    ssrr uPsyuPr

,, 
 Si sr uu

 Rg( sr uu

, )=1  vectores proporcionales  0

 sr uu 
o Prs  Rg( srsr PPuu ,,

)=1  S.C.I.   soluciones dependiendo de un parámetro  r y s 
coincidentes 
 
o Prs  Rg( srsr PPuu ,,

)=2  S.I.  no hay soluciones  r y s son paralelas 
 
 sr uparalelosnou

  Rg( sr uu

, )=2  vectores no proporcionales  0

 sr uu 
o Rg( srsr PPuu ,,

)=2  S.C.D.  una solución  r y s son secantes (se cortan) 
 
 
 poner las rectas en paramétricas y resolver el sistema obtenido en función de los parámetros de 
r y s. 
s 
r 
 
Pr 
Ps 
● 
● 
r=s 
 
● 
● 
Ps 
Pr 
s 
r  
● ● 
Pr 
Ps 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 22/24 - A.G.Onandía 
 
o Rg( srsr PPuu ,,

)=3  S.I.  no tiene solución  r y s se cruzan. 
 
Se sabe si al proceder como en el apartado anterior el sistema no tiene solución. 
Se llega a esta conclusión por exclusión de los casos anteriores. 
La estrategia a seguir para resolver estos problemas es: 
1º comprobar si los vectores directores de las rectas son proporcionales. 
2º si afirmativo: pueden ser paralelas o coincidentes, para discriminarlo tomamos un punto de una 
recta y vemos si está en la otra. 
3º si falso: resolvemos el sistema de 3x2 (poniendo las rectas en paramétricas). 
Este método es especialmente útil para hallar el punto de corte entre dos rectas 
Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas: 
 
1
5
2
4
3
2








zyx
r 
1
5
4
4
2




zyx
s 
Solución:    5,4,21,2,3  rr Pu

    5,4,01,4,2 
ss
Pu

 
¿ sr uu

? 
4
2
2
3
  se cortan o se cruzan 
Hacemos el vector    54,110,8,2 sr PP y calculamos el Rg( srsr PPuu ,,

)  
078
541
142
123



  Rg( srsr PPuu ,,

)=3  las rectas r y s se cruzan. 
Ejemplo 20: Dar la posición relativa y los puntos en común si los tiene las rectas: 
 
1
5
2
4
3
2








zyx
r 
1
5
4
2
2
1 





zyx
s 
r 
1 
s 
2 
● 
● 
Pr 
Ps 
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 23/24 - A.G.Onandía 
 
Solución:    5,4,21,2,3  rr Pu

    2,4,1 1,2,5s su P 
¿ sr uu

? 
4
2
2
3
  se cortan o se cruzan 
 
3 2 1
1,6,0 2 4 1 0
1 6 0
r sP P
 
  

  Rg( srsr PPuu ,,

)=2  r y s se cortan. 
Para hallar el punto de corte expresamos las rectas en paramétricas: 












5
24
32
z
y
x
r 












5
42
21
z
y
x
s  resolvemos 






55
4224
2132
  








0
642
123



 como es un 
S.C.D. tomamos dos ecuaciones y lo resolvemos  =1 y =-1  el punto de corte es P(-1,-2,4). 
En el caso que las rectas nos vengan dadas como intersección de dos planos es recomendable sacar 
los vectores directores y estudiarlas como lo acabamos de ver. 
Pero también se puede estudiar las posiciones relativas estudiando el sistema formado por las 
cuatro ecuaciones, teniendo en cuenta que el rango mínimo tiene que ser dos pues las rectas deben 
estar determinadas por dos planos L.I. así 
Sea 






0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
r y 






0
0
4444
3333
DzCyBxA
DzCyBxA
r entonces 
 















444
333
222
111
CBA
CBA
CBA
CBA
M 















4444
3333
2222
1111
*
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
M 
 RgM=RgM*  Sistema compatible 
o RgM=RgM*=3  S.C.D.  Una solución  rectas secantes. 
o RgM=RgM*=2  S.C.I.   sol. dependiendo de 1 param.  rectas coincidentes. 
 RgM≠RgM*  Sistema incompatible 
o RgM=3 y RgM*=4  se cruzan. 
o RgM=2 y RgM*=3  rectas paralelas. 
Relación: “ Ejerciciosrectas y planos II ” 
Geometría en el espacio
211
4Solucionario
023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados.
Eje X y eje Y: 
x y z
z1 0 0
0 1 0
0 0= =→
Eje X y eje Z: 
x y z
y1 0 0
0 0 1
0 0= =→
Eje Y y eje Z: 
x y z
x0 1 0
0 0 1
0 0= =→
024 Determina la posición de estas rectas:
r x y z t
s
x y z
: ( , , ) ( , , ) ( , , )
:
= − +
− = = +
0 5 3 1 1 1
3
2 2
2
2
r P
u
: ( , , )
( , , )
0 5 3
1 1 1
-
=



W
s Q
v
: ( , , )
( , , )
3 0 2
2 2 2
-
=



W
PQW = (3, 5, -5)
Rango 
1 1 1
2 2 2
1





 = Rango 
1 1 1
2 2 2
3 5 5
2
-
-
-






=
Las rectas son paralelas.
025 Determina las posiciones relativas de las siguientes rectas:
r x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +2 2 2 1 1 1
s x y z t: ( , , ) ( , , ) ( , , )= +0 0 0 1 0 0
r
P
u
:
( , , )
( , , )
2 2 2
1 1 1=



W
s
Q
v
:
( , , )
( , , )
0 0 0
1 0 0=



W
PQW = (-2, -2, -2)
Rango 
1 1 1
1 0 0
2





 = Rango 
- - -
- - -
- - -






=
1 1 1
1 0 0
2 2 2
2
Las rectas son secantes.
 Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por cada par de puntos.
a) A(3, 0, −7) y B(−7, 2, −1) b) A(0, 0, 0) y B(1, 0, 0)
a) 
b) 
 obtén la ecuación vectorial del plano en cada caso.
a) A(2, −1, −1), B(0, −5, 3) y C(1, 1, 1) b) A(1, 1, 1), B(−1, −1, −1) y C(1, 2, 2)
a) ABW = (-2, -4, 4) ACW = (-1, 2, 2) 
OP OA AB AC x y z= + + = - - + - - +l m l→ ( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 1 2 4 4 mm ( , , )-1 2 2
b) ABW = (-2, -2, -2) ACW = (0, 1, 1)
 Halla las ecuaciones paramétricas del plano correspondiente.
a) A(3, 0, −7), Wu = (−10, 2, 6) y Wv = (0, 3, 10)
b) A(0, 0, 0), Wu = (1, 0, 0) y Wv = (4, 4, 4)
a) b) 
 Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P (−1, 0, 2) y contiene 
a la recta de ecuación:
 
 El plano está definido por P (-1, 0, 2), el vector director de la recta Wv2 = (1, -1, 3) 
y el vector APW, con A (1, 3, -4) ∈ r.
 APW = (-2, -3, 6)
 obtén la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, −7), 
B(5, −2, 9) y C(5, −4, 0).
ABW = (4, -3, 16) ACW = (4, -5, 7) 
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212
Geometría en el espacio
029 Halla la posición relativa de la recta y el plano:
La recta y el plano se cortan en un punto.
030 Halla la posición relativa de estas parejas de planos.
a) π1: −x + 2y − z = 0 
 π2: x − 2y + z + 1= 0
b) π1: x − z + 11= 0 
 π2: −2y − z + 11= 0
a) 
Los planos son paralelos.
b) 
Los planos son secantes.
031 Estudia la posición relativa de los planos.
a) π1: −6x + 5y −3 z + 2 = 0 
 π2: x − y + z = 0
b) π1: x − 2y − z + 1= 0 
 π2: −2x + 4y − 2 z + 3 = 0
a) 
Los planos son secantes.
b) 
Los planos son secantes.
026 Estudia la posición relativa de estas rectas:
r
x y z
x y z
s
x y z
x y z
: :
− + − =
+ − =




+ − + =
− +
2 0
2 0
2 0
2 ==



0
- -
-
-
= ≠-
-
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 0 → Rango 
- -
-
-
-






-
- -
- -
- -
1 2 1
2 1 1
1 1 1
1 2 1

= 3
- -
-
-
-
=
-
- -
- -
- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0
0 → Rango 
- -
-
-
-





-
- -
- -
- -
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 1 2
1 2 1 0

= 3
Las rectas son secantes.
027 Estudia la posición relativa de las rectas:
 
r
y z
x z
s
y z
x y z
: :
− − =
− + =




− + =
− + − =
3 0
2 1 0
0
3 1 0



 
r
y z
x z
s
y z
x y z
: :
− − =
− + =




− + =
− + − =
3 0
2 1 0
0
3 1 0



0 1 1
2 0 1
1 3 1
3 0
0 1 1
2 0 1
0 1 1
1 3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
= ≠
-
-
-
-
→ Rango
--






=
1
3
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
9 0
-
- -
- -
-
- -
-
-
- -
= ≠ → Rango
0 1 1 3
2 0 1 1
0 1 1 0
1 3 1 1
-
- -
- -
-
- -
-
-
- -






= 4
Las rectas se cruzan.
028 calcula la posición relativa de la recta y el plano:
 r
x y z
x y z
x z: :
+ − + =
− + − + =




+ + =
2 0
3 1 0
1 0π
-
- -
-
- -
-
- - = ≠
-
- -


1 1 1
1 3 1
1 0 1
6 0
1 1 1
1 3 1
1 0 1
→ Rango




=
-
- -
-
- -
Rango
1 1 1 2
1 3 1 1
1 0 1 1






= 3
La recta y el plano se cortan en un punto.
833276 _ 0202-0259.indd 212 21/7/09 15:10:12
Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Matemáticas 2 
- 24/24 - A.G.Onandía 
 
Anaya. Página 166. Ejercicios: 16, 17, 18, 30, 45, 46b, 54, 60, 67, 69, 70. 
 Página 171. Autoevaluación ejercicio 6. 
“Perpendicular común” Ejercicio 9 y 11 de “Rectas y Planos III” 
 Anaya. Página 196. Ejercicios 32; 38; 51. 
“Proyecciones ortogonales” Anaya. Página 197. 
Punto sobre plano. Ejercicio 42. 
Punto sobre recta. Ejercicios 34; 44. 
Recta sobre plano. Ejercicio 50. 
Ejercicios finales antes de distancias. 
 Anaya. Página 195-196-197. Ejercicios 23; 31; 47.