rectas-planos-espacio

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Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio www.vaxasoftware.com
 
Ecuaciones de la recta en el espacio 
 
Si una recta pasa por el punto y tiene la dirección del vector ) , ,( 000 zyxP ) , ,( zyx vvvV , tenemos: 
 
Ecuación vectorial de la recta 
 
VOPOX ⋅+= λ ⇒ ) , ,() , ,() , ,( 000 zyx vvvzyxzyx ⋅+= λ 
 
Ecuaciones paramétricas de la recta 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+=
⋅+=
⋅+=
z
y
x
vzz
vyy
vxx
λ
λ
λ
0
0
0
 
 
Ecuación continua de la recta 
 
zyx v
zz
v
yy
v
xx 000 −=−=− 
 
Ecuaciones implícitas de la recta (como intersección de dos planos) 
 
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
 
 Vector director de la recta: ) , ,() , ,( 222111 CBACBAV ×= 
 Haz de planos que contienen a la recta: 0)()( 22221111 =+++++++ DzCyBxADzCyBxA βα 
 
Ecuaciones del plano en el espacio 
 
Si un plano pasa por el punto y tiene la dirección de ) , ,( 000 zyxP
los vectores ) , ,( zyx uuuU y ) , ,( zyx vvvV , tenemos: 
 
Ecuación vectorial del plano 
 
VUOPOX ⋅+⋅+= µλ → ) , ,() , ,() , ,() , ,( 000 zyxzyx vvvuuuzyxzyx ⋅+⋅+= µλ 
 
Ecuaciones paramétricas del plano 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
zz
yy
xx
vuzz
vuyy
vuxx
µλ
µλ
µλ
0
0
0
 
 
Ecuación general del plano 
 
0 0
0
0
0
=+++→=
−
−
−
DCzByAx
vuzz
vuyy
vuxx
zz
yy
xx
 
Vector perpendicular (normal o característico) del plano: ) , ,( CBAV =π 
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	Si una recta pasa por el punto y tiene la dirección del vec
	Ecuación vectorial de la recta
	Ecuaciones paramétricas de la recta
	Ecuación continua de la recta
	Ecuaciones implícitas de la recta (como intersección de dos 
	Si un plano pasa por el punto y tiene la dirección de
	los vectores y , tenemos:
	Ecuación vectorial del plano
	Ecuaciones paramétricas del plano
	Ecuación general del plano