vectores rectas y planos

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Rectas y planos en 
Ecuaciones de la recta en 
Sabemos que una recta en puede expresarse por la ecuación: 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Pero ¿qué representa esta ecuación en ? En es un plano paralelo al eje 𝑧, 
en es una recta: 
 la dirección de la recta con ecuaciones: 
Vectorial: 
Cartesiana: λ ∈ ℝ, y 
la simétrica al despejar e igualar: 
Para definir un plano es suficiente conocer un vector perpendicular al plano y un punto del mismo. ¿Qué datos permiten definir una recta en ? 
Para definir en forma vectorial una recta en , es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta. 
Ecuación vectorial de la recta Dados un vector y un punto , nos proponemos hallar la ecuación de la recta 𝑟 que pasa por el punto y es paralela al vector . 
Consideremos un punto 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧) perteneciente a la recta r. El vector resultará paralelo al vector director : 
 = es decir: , por lo que las coordenadas (x,y,z) de los puntos sobre la recta son:
 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 :
 , λ ∈ ℝ
Ejemplo Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝑀(3,2,1) y 𝑆(−1,1,0). 
Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director: 
 = (−4,−1,−1) 
Podemos tomar cualquiera de los dos puntos dados cómo punto de paso, por ejemplo 𝑀. Entonces la ecuación es: 
(𝑥,𝑦,𝑧) = (3,2,1) + λ(−4,−1,−1) , λ ∈ ℝ 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑀𝑆 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Cartesiana 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 :
 , λ ∈ ℝ si descomponemos componente a componente la ecuación vectorial:
 λ ∈ ℝ, por ejemplo: 
Estas son ecuaciones paramétricas, ya que aparece en ellas el parámetro λ. Si despejamos este parámetro e igualamos:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 l𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 
 
Ejemplo Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos 𝑀(3,2,1) y 𝑆(−1,1,0). 
Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director: 
 = (4,1,1) 
 
Posiciones Relativas entre rectas:
Dos rectas son paralelas si sus direcciones son paralelas es decir si sus direcciones son una múltiplo de la otra
Dos rectas son Perpendiculares si sus direcciones son ortogonales es decir si el producto escalar es cero.
Dos rectas en el espacio son alabeadas es decir están en planos paralelos si, no son paralelas y no se intersectan en un punto.
Planos en 
Dada una dirección en , existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única. 
Nos proponemos hallar la ecuación del plano 𝜋 que pasa por , 𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0) y es perpendicular al vector = (𝑎,𝑏,𝑐). El vector se denomina vector normal del plano. 
¿Qué condición debe cumplir un punto 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧) para estar en el plano 𝜋? Si armamos el vector , éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano: 
𝑃(𝑥,𝑦,𝑧) ∈ 𝜋 ⇔ ⊥ ⇔ = 0 
.(𝑎,𝑏,𝑐) = 0 
𝑎 = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 
Ecuación segmentaria del plano Dada la ecuación general de un plano: 
𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Si 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 son distintos de cero, es posible obtener otra ecuación del plano como sigue: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = −𝑑 dividimos por –d; llamamos p=-d:a; q=-d:b y r= -d:c
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 :
 =1
Ecuación vectorial paramétrica del plano:
Dados dos vectores ) y ) no paralelos y un punto ) , nos proponemos hallar la ecuación del plano 𝜋 que pasa por y es paralelo a 
¿Cómo podemos obtener un vector perpendicular al plano conociendo dos vectores paralelos a dicho plano? 
 podemos con la normal y el punto escribir ecuación general del plano o si P(x,y,z) es un punto del plano 𝜋, ∃𝛼,𝛽 ∈ ℝ :
Ecuación vectorial del plano:
 luego:
 y despejando:
 , 𝑐𝑜𝑛 𝛼,𝛽 ∈ ℝ 
Ángulo entre planos:
El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus respectivos vectores normales.
Posiciones relativas entre planos:
Dos planos son paralelos si sus normales son paralelas, es decir si una es múltiplo de la otra.
Dos planos son ortogonales si sus normales son ortogonales, es decir si su producto escalar es cero
Posiciones relativas entre rectas y planos:
Una recta es paralela a un plano si la dirección de la recta y la normal del plano son ortogonales, es decir si la dirección de la recta y la normal del plano tienen producto escalar igual a cero.
Una recta es ortogonal a un plano si la dirección de la recta y la normal del plano son paralelas, es decir una es múltiplo de la otra.
Ángulo entre recta y plano:
El ángulo entre una recta y el plano es el complemento del ángulo que se forma entre la normal del plano y la dirección de la recta.