geometria_plana_rectas(2016)

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Geometría plana Matemáticas 1 
- 1/8 - A.G.Onandía 
P u

 
X 
O 
x

 p

 
R
uyy
uxx









20
10 
Geometría plana. Rectas 
1. Ecuaciones de la recta. 
La ecuación de una recta viene determinada por un punto P(x0,y0,)R
2
 y 
un vector  21,uuu

V
2
 o por dos puntos P(x0,y0) R
2
 y Q(x1,y1) R
2
 que 
viene a ser lo mismo. 
Al vector u

 llamaremos vector director de la recta. 
Un punto cualquiera X(x,y) pertenece a la recta r si el vector PX es proporcional al vector u

. Es 
decir que la recta que pasa por P y tiene como vector director a u

 está determinada por la ecuación: 
RconuPX  

 teniendo en cuenta que pxPX

 se obtiene la ecuación: 
1.1 Ecuación vectorial. 
Poniéndola en coordenadas y componentes (x,y)= (x0,y0,)+  21,uu con R separando las 
componentes obtenemos: 
1.2 Ecuaciones paramétricas. 
Rectas paralelas a los ejes: 
 Rectas paralelas al eje de ordenadas. Tienen como vector director 
 2,0 uu

, por lo que las ecuaciones paramétricas son 
R
uyy
xx







 20
0
 
 La ecuación de estas rectas vienen dadas por 0xx  
 Rectas paralelas al eje de abscisas. Tienen como vector director 
 0,1uu

, por lo que las ecuaciones paramétricas son 
R
yy
uxx








0
10
 
 La ecuación de estas rectas vienen dadas por 0yy  
Rconupx  

 
x=x0 
(x0,0) 
y=y0 
(0,y0) 
Geometría plana Matemáticas 1 
- 2/8 - A.G.Onandía 
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el 
punto P(3,2) y tiene la misma dirección que el vector  2,1u

. Obtener 3 puntos de r.y 
comprobar si los puntos A(7,-6) y B(-3,7) pertenecen a r. 
 
 Despejando  de cada ecuación paramétrica e igualándolas: 
1.3 Ecuación continua. 
Si en lugar de conocer el vector director tenemos dos puntos se transforma en: 
 
01
0
01
0
yy
yy
xx
xx





 
Operando estas igualdades, agrupando términos y ordenándolos 
     02010121020  uxuyyuxuuyyuxx 
Llamando A= 2u , B= 1u y C= 2010 uxuy  obtenemos la 
1.4 Ecuación general o implícita. 
De esta forma un vector director es ),( ABu 

. 
1.5 Ecuación en forma punto pendiente. 
 Partiendo de de la ecuación continua de la recta r 
despejando y-y0, obtenemos: 
  0
1
2
0 xx
u
u
yy  
 En la gráfica adjunta, observamos: 
 
1
2
u
u
mtg  
teniendo en cuenta que m (= pendiente de una recta) es la tangente trigonométrica del ángulo que 
forma la recta con la dirección positiva del eje abscisas, nos permite escribir la ecuación punto 
pendiente: 
 
2
0
1
0
u
yy
u
xx 


 
α α 
2u 
r 
•  00 , yxP 
1u 
u

 
0 CByAxr 
  00 xxmyy  
Geometría plana Matemáticas 1 
- 3/8 - A.G.Onandía 
P u

 
X 
O 
x

 p

 
n

 
1.6 Ecuación explicita. 
 Se obtiene de la ecuación punto pendiente sin más que despejar la y: 
   0000 ymxmxyxxmyy  llamando 00 ymxn  obtenemos la ecuación 
explícita: 
Ejemplo: Dadas las rectas R
y
x
r 





 


35
23
 y 0932  yxs hallar: 
a) La ecuación continua, punto pendiente y general de r. 
b) Las ecuaciones paramétricas, continua y punto pendiente de s. 
1.7 Ecuación segmentaria. 
 Si una recta r corta a los ejes cartesianos en los puntos 
A(a,0) y B(0,b) su vector director es  bau ,

 y su ecuación 
continua quedará: 
b
y
a
ax 0



 desarrollándola se obtiene la 
ecuación segmentaria: 
Ejemplo: Hallar la ecuación segmentaría de la recta que pasa por los puntos P(3,-1) y Q(2,3). 
1.8 Ecuación normal. 
 Si queremos dar la determinación de la recta a partir de un 
punto P(x0,y0) y un vector perpendicular (normal) a r  BAn ,

, los 
puntos de la recta son los que verifican que 0PXn

, teniendo en 
cuenta que 
pxPXxPXp

 obtenemos   0 pxn

 poniéndolo en 
componentes y coordenadas obtenemos la ecuación normal: 
 
 Desarrollándola tenemos   000  ByAxByAx , de lo que se deduce comparándola con 
la ecuación general de la recta que: 
“Si la ecuación general de la recta es 0 CByAxr , el vector  BAn ,

 es perpendicular a r.” 
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,-1) y B(0,-3) en todas sus 
formas. 
A(a,0) 
B(0,b) 
o 
b 
a 
r 
nmxy  
1
b
y
a
x
 
     000  yyBxxA 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 209 nº 9 a), nº 10 a) b), nº 12, nº 13 a) d), nº 14, nº 15, nº 16
Alberto
Texto tecleado
(haz de rectas que pasa por un punto)
Geometría plana Matemáticas 1 
- 4/8 - A.G.Onandía 
2. Posiciones relativas de dos rectas. 
 Dos rectas en el plano pueden estar situadas de tres formas diferentes: secantes, paralelas o 
coincidentes: 
 Sean dos rectas r y s dar las posiciones relativas de ellas es determinar si las rectas son 
secantes, paralelas o coincidentes. 
 Para ello lo más sencillo es ponerlas en forma general o implícita: 
0 CByAxr y 0'''  CyBxAs 
 De esta forma un vector director r de es ),( ABu 

 y por tanto la pendiente es 
B
A
m  , y un 
vector director de s es  ',' ABv 

 y su pendiente 
'
'
'
B
A
m  . 
 Teniendo en cuenta que dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores 
proporcionales (tienen la misma pendiente), serán secantes si no lo son y además coincidentes si 
tienen más de un punto en común, tendremos: 
 Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes 
 En el caso de rectas secantes el punto de corte se obtiene resolviendo el sistema formado las 
ecuaciones de las dos rectas. 
Ejemplo: Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas, y en el caso que sean 
secantes hallar el punto de corte. 
 
03104
0452
)


yxs
yxr
a 
0642
032
)


yxs
yxr
b 
083
064
)


yxs
yxr
c 
Ejemplo: Dadas las rectas R
y
x
r 





 


42
25
, R
y
x
s 





 


21
4
 y 
R
y
x
t 





 


26
3
, estudiar la posición relativa y hallar el punto de corte, si es 
posible, en los siguientes casos: 
 a) r y s b) r y t 
 
''' C
C
B
B
A
A
 
''' C
C
B
B
A
A
 
''' C
C
B
B
A
A
 
r 
s 
r 
s 
r 
s 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 210 nº 35, nº 36, nº 37, nº 38
Geometría plana Matemáticas 1 
- 5/8 - A.G.Onandía 
2.1 Condición de perpendicularidad. 
o sea que 
m
m
1
'  . Dos rectas r y s son perpendiculares cuando 
“las pendientes de dos rectas perpendiculares son inversa y opuestas” 
 Si tenemos las rectas en forma general tendríamos 
B
A
B
A

'
'
  0'' BBAA 
Ejemplo: Hallar una recta paralela y otra perpendicular a





 R
y
x
r 


34
27
 que pasen por el 
punto P(1,-2). 
3. Ángulo formado por dos rectas. 
Sean r y s dos rectas secantes, con vectores directores u

 y v

 
respectivamente. Por definición el ángulo formado por r y s es el 
menor de los ángulos formados por  vu

, y  vu

, es decir: 
      vuvusr

,,,min,  
A partir de la definición, se deducen las siguientes propiedades: 
 Si  sr, , entonces 
vu
vu




cos . 
 Como    vuvu

,,,  son suplementarios sus cosenos son inversos luego tomando el 
valor absoluto nos aseguramos que consideramos el más pequeño. 
 Si las rectas vienen dadas en sus forma general: 0 CByAxr y 
0'''  CyBxAs , entonces: 
2222 ''
''
cos
BABA
BBAA


 
 Si las rectas vienen dadas en su forma explícita nmxyr  , '' nxmys  entonces: 
 
'1
'
mm
mm
tg


 
(esta expresión se deduce directamente de la fórmula para la tangente de una diferencia de 
ángulos) 
Ejemplo: Hallar el ángulo que forman las rectas R
y
x
r 





 


24
 y 0 yxs . 
 (hacerlo con los vectores directores y con las pendientes). 
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,5) y forma un ángulo de 45º con 
la recta 0632  yxr 
Relación: “Ejercicios geometría afín. Rectas” 
u

 
v

 
-u

 
r 
s 
  ),(, srvu 

 
 vu

, 
1' mm 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 209 º 21, nº 22, nº 24, nº 25, nº 31, nº 32, nº 33.
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 210 nº 40, nº 43, nº 44, nº 45.
Geometría plana Matemáticas 1 
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4. Cálculo de distancias. 
4.1 Distancia entre dos puntos. 
 La distancia entre los puntos P(x0,y0) y Q(x1,y1) es el módulo del vector PQ . 
     201
2
01, yyxxPQQPd  
Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos P(-1,2) y Q(6,3). Sol: 25 
4.2 Distancia de un punto a una recta. 
Sea r una recta y P un punto del plano que no está en r. La proyección ortogonal de P sobre r es el 
punto Po que se obtiene como intersección de la recta r y la recta que pasa por P y es perpendicular 
a r. 
 Se define la distancia del punto P a la recta r como la distancia entre P y su proyección 
ortogonal sobre r.   oPPrPd , 
Ejemplo: Calcular la distancia entre el punto P(1,2) y la recta 0153  yxr . 
Resolverlo geométricamente: 
a) Hallar la recta s perpendicular a r pasando por P 
b) Hallar el punto P0=r∩s 
c) Hallar d(P,P0) 
 
FÓRMULA: Si  0 0,P x y r , y 0 CByAxr entonces 
Demostración: 
La vamos a hacer en tres pasos: 
1. Tomamos un punto cualquiera Q(x1,y1) de la recta, 
con lo que los vectores oo QPPPQP ,, verifican: 
PPQPQP oo  
 la distancia que buscamos es   oPPrPd , . 
2. Multiplicamos, escalarmente, la igualdad anterior 
por el vector normal n

, de la recta: 
nPPnQPnQP oo

 . Como 
0 nQPnQP oo

 luego  nPPnPPnPPnQP ooo

,cos 
P 
Q 
Po 
n

 
r 
 
22
00,
BA
CByAx
rPd


 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 211 nº 46, nº 47, nº 48.
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3. Como   1,cos  nPPnPP oo

según sean los sentidos iguales u opuestos. 
 Por esta razón tomamos valores absolutos: 
 nPPnQP o

 luego   nrPdnQP

 , despejando: 
  
n
nQP
rPd 


, poniendo esta expresión en componentes y coordenadas: 
    BAnyyxxQP ,, 1010

 
 obtenemos 
 
 
     
22
1100
22
1010
22
1010 ,,
,
BA
ByAxByAx
BA
ByByAxAx
BA
BAyyxx
n
nQP
rPd










 

 
 como   CByAxCByAxrQ  1111 0 y sustituyendo: 
  
22
00
,
BA
CByAx
rPd


 que es lo que se quería demostrar. 
Ejemplo: Hallar la distancia del punto P(1,-4) a la recta 0532  yxr 
Ejemplo: Calcular el área del triángulo de vértices A(0,-1), B(8,3) y C(6,-1). Sol: 12 u2. 
4.3 Distancia entre dos rectas. 
 Veamos los casos posibles: 
 Si r y s son coincidentes la distancia entre ellas es cero. 
 Si r y s son secantes la distancia entre ellas es cero. 
 Si r y s son paralelas, los puntos de una de ella equidistan de la otra. Así d(r,s) se define 
como d(P,s) siendo P un punto cualquiera de r. 
 Si las rectas vienen dadas en su forma general: 
0 CByAxr y 0'''  CyBxAs , entonces: 
 
Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas: 0832;0532  yxsyxr . Sol: 13 
Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas: R
y
x
syyxr 





 


21
62
053 Sol:
5
103 
Nota: Para aplicar la fórmula hay que poner las dos rectas con los mismos coeficientes de las 
variables. 
 
r 
s 
P d 
d 
d 
 
22
'
,
BA
CC
srd


 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 211 nº51, nº 52, nº 54.
Geometría plana Matemáticas 1 
- 8/8 - A.G.Onandía 
5. Lugares geométricos. 
Un lugar geométrico en el plano es el conjunto de puntos que cumplen una determinada 
condición. 
5.1 Mediatriz de un segmento. 
 La mediatriz del segmento de extremos P y Q, es el 
lugar geométrico de los puntos que equidistan (están a igual 
distancia) de los puntos P y Q. 
   QXdPXd ,,  
 Es la recta perpendicular al segmento PQ que pasa por su 
punto medio. 
Ejemplo: Calcular la mediatriz del segmento de extremos A(3,-2) y B(4,1). 
Geométricamente y por distancias. Sol: m≡ x+3y-2=0 
5.2 Bisectriz de un ángulo. 
 Si r y s son dos rectas paralelas, el lugar 
geométrico de los puntos que equidistan de ambas 
se llama paralela media. 
 Si r y s son dos rectas secantes, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas 
está formado por dos rectas perpendiculares llamadas 
bisectrices de los ángulos que determinan r y s. 
 Si las rectas vienen dadas en su forma general: 
0 CByAxr y 0'''  CyBxAs , la 
ecuación de las bisectrices viene dada por: 
2222 ''
'''
BA
CyBxA
BA
CByAx





 
Ejemplo: Calcular las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas: 
031250543  yxsyyxr Sol: 7x-56y+40=0 32x+4y-25=0 
Ejemplo: Determinar un punto P’ simétrico de P(3,-2) respecto de la recta 082  yxr 
Resolución: a) Hallar s perpendicular a r pasando por P x+2y+1=0 
 b) Hallar Q=r∩s Q(-17/5, 6/5) 
 c) Hallar P’ teniendo en cuenta que Q es el punto medio del segmento PP’ P’(-49/5, 22/5) 
Ejemplo: Un vértice de un cuadrado es el punto P(3,11) y una de sus diagonales se halla sobre la 
recta x-2y+4=0. Hallar las coordenadas de los otros vértices del cuadrado. Sol. (3,11), (12,8), (9-1) y (0,2). 
Relación: “Ejercicios geometría plana euclídea” 
P Q 
X 
X 
MPQ 
r 
s 
bisectriz 
bisectriz 
X 
X 
Paralela media 
X 
r 
s 
Alberto
Texto tecleado
Ejercicios del libro página 211 nº 58, nº 59, nº 60, nº 64, nº 67, nº 70, nº 73, nº 79, nº 80, nº 86, nº 92, nº 94.