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LOGARITMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 John Neper (1550-1617) Henry Briggs (1561-1630) 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO 
 Alfonso González 
 IES Fernando de Mena 
Dpto. de Matemáticas 
LOGARITMOS 4º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
I) DEFINICIÓN de LOGARITMO en BASE a (logan) 
La enorme complejidad de los cálculos que se presentaron durante el siglo XVI en los estudios 
astronómicos dio lugar a numerosos intentos de simplificación, entre ellos la sustitución de multiplicaciones 
por sumas. Se debe al escocés John Napier (en latín, Neper) la invención en aquella época de los logaritmos, 
lo cual trajo consigo la función logarítmica. En cambio, el reciente desarrollo de la electrónica ha originado que 
en la actualidad prácticamente haya desaparecido la importancia de su utilización como técnica de cálculo, 
aunque no como concepto matemático. 
 
 
Definición: «El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para 
obtener dicho número» 
 
 
 
 , con a>0, a¹1 (1) 
 
 
 
(Nótese que hay cierta analogía con la conocida definición de n a = x como inversa de xn ) 
 
Ejemplos: log 2 4=2 pq 2
2=4 
 log 2 8=3 pq 2
3=8 
 log 2 16=4 pq 2
4=16 
 log 3 81= pq 
 log 1 0 100= pq 
 log 2 64= pq 
 log 2 1/2= pq 
 log 9 3= pq 
 log 3 (-9)= pq 
 
 
 
Observaciones: 
1º) «No existe el logaritmo de un número negativo». ¿Por qué? 
2º) Pero podemos añadir: «…pero un logaritmo puede ser negativo». ¿Cuándo? 
3º) alog a 1 (porque a1=a) «El logaritmo de la base siempre es 1» 
alog 1 0 (porque a0=1) «El logaritmo de 1, sea cual sea la base, siempre es 0» 
4º) Los logaritmos decimales (los más utilizados) son aquellos cuya base es 10. En este caso, por 
convenio, no se escribe la base: 
 Ejemplos: log10000= pq 
 log1000= pq 
 log0,1= pq 
 log0,01= pq 
 log0,0001= pq 
 log1= pq 
 log10= pq 
 log (-100)= pq 
 
 
 
x
alog N x a N 
base 
argumento o antilogaritmo 
logaritmo
LOGARITMOS 4º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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5º) Caso particular: LOGARITMOS NEPERIANOS1: Son los que utilizan como base el número 
irracional e2,718281828459…, llamado constante de Euler2. Tienen una notación especial: 
 logex= lnx, o también logex=Lnx 
 
Por tanto, (2) 
 
Ejemplos: Lne=1 pq e1=e 
 Ln1=0 pq e0=1 
 Lne2=2 pq 
 etc…. 
 
6º) Las calculadoras normalmente disponen de sendas teclas log y ln para calcular logaritmos decimales o 
neperianos ¿Cómo obtener logaritmos en cualquier base?: 
 
 logx lnx logax 
DERIVE LOG(x,10) LN(x) o LOG(x) LOG(x,a) 
GRAPH log(x) ln(x) logb(x,a) 
CALCULADORA log x ln x log x : log a 
NOTA: La última fórmula, llamada del cambio de base, se explicará el próximo curso. 
Ejercicio final tema: 1 a 3 
 
Reseña histórica: 
Como ya hemos indicado, el matemático escocés John Neper (1550-1617) fue el inventor hacia 1594 de los logaritmos –
fue él quien acuñó esa palabra− para simplificar los tediosos cálculos de productos en Trigonometría esférica aplicada a la 
Astronomía, pero empleaba una base incómoda, en concreto 107. Neper también popularizó su curiosa máquina de multiplicar, 
llamada «Rodillos de Neper». Su contemporáneo Henry Briggs (1561-1630), catedrático de Oxford, le sugirió en 1615 el empleo 
 
1 Se llaman así en honor a John Neper (1550-1617), matemático escocés que, como ya se ha dicho, ideó los logaritmos 
para simplificar cálculos. 
2 El número e, llamado constante de Euler -en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783)-, surge como 
límite de la siguiente sucesión: 
n
n
1
a 1
n
   
 
 , con nÎ 
Por ejemplo, n=1  a
1
=2 n=100  a
100
@ 
 n=2  a
2
=1,52=2,25 n=1000  a
1 000
@ 
 n=3  a
3
=1,333@2,3704 n=10000  a
10 000
@ 
 (completar) n=4  a
4
=1,254@ n=100000  a
100 000
@ 
 n=5  a
5
@ n    e2 ,718281828459… 
Como ya se ha dicho, es un número irracional, es decir, consta de  cifras decimales no periódicas. 
xLn N x e N 
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ALFONSO GONZÁLEZ 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
de la base 10 y, a su muerte, perfeccionó sus ideas, decantándose por el empleo de dicha base decimal. En 1617 publicó las 
primeras tablas de logaritmos, similares a las actuales, y definió el logaritmo de un número tal y como hoy se conoce. 
El italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) estudió la curva exponencial en 1644 y la relacionó con los logaritmos. 
Posteriormente, el inglés William Jones (1675-1749) sistematizó lo que ya antes se intuía: que la función logarítmica era la 
inversa de la exponencial. 
El sacerdote jesuita belga Grégoire de Saint-Vicent (1584-1667) en 1647 encontró la conexión entre el área encerrada 
bajo la hipérbola y=1/x y los logaritmos, al igual que Newton en 1665. 
Los logaritmos neperianos –que utilizan la base e, siendo e ≅ 2,7182818… un número irracional- reciben tal nombre en 
honor de Neper, si bien él no llegó a utilizar dicha base. Fueron en realidad introducidos por John Speidell en 1619 y 
definitivamente asentados por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) en 1728. 
 
 
II) CÁLCULO LOGARÍTMICO 
III.1) Logaritmo de un producto: Es decir, «El logaritmo de un 
producto es la suma de logaritmos» 
 (3) 
Dem: 
 
 
 
Observaciones: 1) Esta fórmula es válida en cualquier base. 
 2) Esta fórmula se puede generalizar a 3 o más argumentos: 
 log (p q r ) log p log q log r  ꞏ ꞏ etc. 
3) Esta fórmula –y las siguientes que veremos a continuación- nos puede servir para 
comprender cómo surgieron los logaritmos en el siglo XVI como instrumento para 
facilitar los cálculos astronómicos con cantidades elevadísimas para la época (como 
ya indicamos al comienzo del tema). Vamos a explicarlo con un ejemplo: 
Supongamos que queremos hallar el valor de N=1638457 ꞏ1968334 
(Recordar que, antes de la aparición de las calculadoras, operaciones de este tipo 
eran muy laboriosas) Tomamos logaritmos en ambos miembros: 
 
 log1638457+ log1968334= logN 
Se disponía de tablas de logaritmos muy completas, con las que se podía reemplazar 
cada logaritmo por su valor (evidentemente, era más fácil sumar a mano decimales 
que multiplicar números de muchas cifras): 
 6,2144…+6,2940…=logN 
Es decir: 12,5085…=logN 
A continuación, se buscaba en las tablas el caso inverso, es decir, cuál es el número 
cuyo logaritmo es 12,5085… (lo que se conoce como antilogaritmo3): 
 logN=12,5085…N= 3225030620638 
 
3 En la calculadora, para hallar un antilogaritmo, normalmente se utiliza la combinación SHIFT-log: 
 logN=12,5085…N= SHIFT-log 12,5085…=3225030620638 
log (p q) log p log q ꞏ
 
x
a x y x y
a a ay
a
log p x a p
p q a a a log p q x y log p log q (C.Q.D.)
log q y a q

        
  



ꞏ ꞏ ꞏ
conocemos p y q 
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Hoy en día todo esto se nos puede antojar algo laborioso, pero situémonos en 
aquellos tiempos –no muy remotos4-, sin ordenadores ni calculadoras… 
 
III.2) Logaritmo de un cociente: Es decir, «El logaritmo de un cociente 
es la resta de logaritmos» (4) 
Dem: 
 
 
 
 
 
 
III.3) Logaritmo de una potencia: válido "nÎ (5) 
Es decir, «El logaritmo de una 
potencia es el exponente por el 
logaritmo de la base» 
 
Dem: Vamos a probarlo para n : 
 
 
 
 
 
Observaciones: 1) En realidad esta fórmula es válida "n 
 2) Caso particular: LOGARITMO DE UNA RAÍZ: 
 
 (6) 
Es decir: «El logaritmo de una raíz es el inverso del índice multiplicado por el 
logaritmo del radicando» 
 
Ejercicios final tema: 4 y ss. 
 
 
4 Por ejemplo, el uso generalizado de las calculadoras se produjo en la década de los 70 del siglo pasado… 
p
log log p log q
q
 
nlog p n log p ꞏ
n términos 
nlogp log(pꞏpꞏpꞏ.....ꞏp) logp logp ......... logp nꞏlogp (C.Q.D.)     
n términos
1/nn
1
log p log p logp (C.Q.D.)
n
  ꞏ
(3)
(5)
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20 EJERCICIOS de LOGARITMOS 4º ESO Acad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición de logaritmo: xlog N = x a =Na ⇔ (donde a>0, a¹1) 
 
Sistemas de logaritmos más utilizados: 
NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN 
Logaritmo decimal a=10 log 
xlog N=x 10 =N⇔ 
Logaritmo neperiano1 a=e Ln, ln xln N=x e =N⇔ 
 
 
 
 
 
1. Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: 
 
1 En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos. 
a) log3 9 
b) log3 81 
c) log31/9 
d) log3(-9) 
e) 2log 2 
f) 2log 8 
g) log 1000 
h) log4 2 
i) log4 64 
j) log 0,01 
k) log41/16 
l) log5 0,2 
m) log4 256 
n) log41/64 
o) log2 0,125 
p) log41 
q) log2 1024 
r) log21/64 
s) 3log 27 
t) log2 log2 4 
(Soluc: a) 2; b) 4; c) -2; d)  ; e) 1/2; f) 3/2; g) 3; h) 1/2; i) 3; j) -2; k) -2; l) -1; m) 4; n) -3; o) -3; p) 0; 
q) 10; r) -6; s) 3/2; t) 1) 
 
2. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado: 
a) 10000 b) 1000000 c) 0,001 d) 1/1000000 e) 108 f) 10-7 
g) 10 h) 1 
(Soluc: a) 4; b) 6; c) -3; d) -6; e) 8; f) -7; g) 1; h) 0) 
 
3. Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: 
a) log2 8=x 
b) log21/8=x 
c) log 100=x 
d) log3 x=3 
e) lnx=2 
f) log3 x=-2 
g) logx 49=2 
h) logx 8=3 
i) ln e3=x 
j) logx 64=1 
k) logx 25=-1 
l) log1/100100=x 
m) logx 0,01=2 
n) ln x=-1/2 
o) log1/36x=2 
p) logx 2=0 
q) log0,25 x=2 
r) log2 (-16)=x 
s) logx 125=-3 
t) log3 log3 3=x 
u) logx 1=0 
(Soluc: a) 3; b) -3; c) 2; d) 27; e) e2; f) 1/9; g) 7; h) 2; i) 3; j) 64; k) 1/25; l) -1; m) 0,1; n) e/e; o) 1/1296; 
p)  ; q) 0,0625; r)  ; s) 1/5; t) 0 u) "xÎ (0 ,¥ )- {1}) 
 
donde e @ 2,718281828459… se llama 
número de Euler; es un número irracional. 
Ejercicios de LOGARITMOS 4º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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Cálculo logarítmico: 
 Fórmulas del cálculo logarítmico: log( p·q)=log p+log q 
 
p
log =log p log q
q
 
 
nlog p =n·log p n
1
log p = log p
n
 (todas son válidas en cualquier base) 
 
Casos particulares: 
xlog a = x
a 
xlog xaa
 
xln e = x
 
xln xe 
 
log a =1
a 
log 1=0
a 
ln e =1 ln 1=0 
 
4. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer doble comprobación, algebraica y con calculadora, de 
los últimos de cada columna): 
1. 6
1
log
36
 
2. 4
3log 27 
3. 
3
243
log
3
 
4. 
a
1
log
a
 
5. ln e2 
6. 
4 5
1
log
64
 
7. 33log 9 
8. 1ln
e
 
9. 4log 2 
10. 8log 2 
11. 8log 32 
12. 3ln e 
13. 2log 64 
14. 4
1
log
64
 
15. 3 5
3
log
81
 
16. 3
3
log
9
 
17. eln
e
 
18. 4log ( 4) 
19. 3
2log 32 
20. 
3log 27 
21. 
5
2
64
log
8
 
22. 
3 2
1
ln
e
 
23. 
3
1
log
243
 
24. log 20 log 5 
25. 
3 100
log
10
 
26. 
3 3
1
log
27 9
 
27. 
4
e
ln
e
 
28. 10log
0,1
 
29. 
3 2
e
ln
e
 
30. 
3 4
1
log
3 27
 
31. 1/5log 125 
32. 
5 3
1
log
5 25
 
33. 
2
1
ln
e e
 
34. 3 4 52log2 log log log
2 3 4
   
35. 
23 e 10
Ln log
e 10
  
36. 
3 100 e
log Ln
10 e
  
37. 
5
2
8 e
log Ln
2 e
  
38. 
2 23
2 e
log Ln = 
e4
ꞏ 
(Soluc: 1) -2; 2) 3/4; 3) 3/2; 4) -1/2; 5) 2; 6) -3/5; 7) 2/3; 8) -1; 9) 1/2; 10) 1/3; 11) 5/6; 12) 1/3; 13) 6; 14) -3; 
15) 1/5; 16) -3/2; 17) -1/2; 18)  ; 19) 5/3; 20) 3/2; 21) -9/5; 22) -2/3; 23) -5/2; 24) 1; 25) -1/3; 26) -11/3; 
27) 3/4; 28) 3/2; 29) 1/3; 30) -7/4; 31) -3; 32) -5/3; 33) -5/2; 34) 1; 35) 1/6; 36) 1/6; 37) -9/10; 38) -1/2) 
 
5. Volver a hacer el ejercicio 1, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico. 
 
6. Expresar en función de log 2 los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora: 
a) log 16 
b) log 5 
c) log 32/5 
d) log 0,25 
e) log 0,625 
f) log 250 
g) log 1/40 
h) log 3 16 
()
()
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i) log 16/5 
j) log 0,32 
k) log 0,08 
l) log 5 80 
m) log 3 0 , 0 8 
n) 3 4 5log2 log log log
2 3 4
  
 (Soluc: a) 4log 2; b) 1-log 2; c) -1+6log 2; d) -2log 2; e) 1-4log 2; f) 3-2log 2; g) -1-2log 2; h) 4 log 2
3
; i) -1+5log 2; 
j) -2+5log 2; k) -2+3log 2; l) 1( 1+3 log 2)
5
; m)  2 + log 2
3
; n) 1-log 2) 
 
7. Expresar en función de log 2 y log 3 los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: 
a) log 25 
b) log 24 
c) log 4/3 
d) log 9/4 
e) log 3 6 
f) log 30 
g) log 162 
h) log 3,6 
i) log 1,2 
j) log 90 
k) log 0,27 
l) log 0,72 
m) log 3 , 6 
 (Sol: a) 2-2 log 2; b) 3 log 2+log 3; c) 2 log 2-log 3; d) 2 log 3-2log 2; e) log 2 + log 3
3
; f) 1+log 3; g) log 2+4 log 3; 
h) -1+2 log 2+2 log 3; i) -1+2 log 2+ log 3; j) 1+2 log 3; k) -2+3 log 3; l) -2+3 log 2+2 log 3; m) -1/2+ log 2+ log 3) 
 
8. Expresar en función de ln 2 o ln 3: 
a) ln 8 b) eln 
2
 c) 
3e
ln 
4
 d) 4ln 
e
 e) ln 2e f) 
3
9e
ln 
3e
 g) 
3
3
9e
ln 
3e
 
(Soluc: a) 3 ln 2; b) 1-ln 2; c) 3-2 ln 2; d)  1 + 2 ln2
2
; e) 1 + ln 2
2
; f) 5 2ln3 +
3 3
; g) 
8 5
ln3
3 3
) 
 
9. Expresar en función de log 2, log 3 y log 7 los logaritmos siguientes: 
a) log 84 b) log 0,128 c) log 0,125 d) log 14,4 e) log 3 1 2 
 
10. Sabiendo que log 7,354=0,866524..., hallar (sin calculadora): 
a) log 735,4 b) log 0,007354 c) log 7354 
 
11. Calcular log 7 sabiendo que log 0,7@-0,1549… 
 
12. Expresar como un único logaritmo, y después calcular: 
a) 2 2log 24 log 6  (Soluc: 2) 
b) log 25 log 4  (Soluc: 2) 
13. Sabiendo que x=7 e y=3, utilizar la calculadora para hallar: 
a) log x2 b) log (2x) c) log2x d) log (x+y) e) log x + y f) x +ylog 
2
 g) log( x +y)
2
 
 
14. ¿V o F? Razonar la respuesta: 
a) log (A+B)=log A + log Bb) log (A2+B2)=2log A+ 2log B 
c) ln 2x =ln x
2
 
Ejercicios de LOGARITMOS 4º ESO Académicas 
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d) 2xln =ln x
2
 
e) AB log( AB)log =
C logC
 
f) El logaritmo de un número siempre da como 
resultado un número irracional. 
g) Los logaritmos decimales de números <1 son 
negativos; en caso contrario, son positivos. 
 
 
15. ¿Cuáles son los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y 2? ¿Y entre 0 y -2? 
(Soluc: 1 y 100; 0,01 y 1) 
 
16. a) Razonar entre qué dos números enteros está log21000. Comprobar el resultado con la calculadora. 
b) Ídem con log650. 
c) Sin usar la calculadora, razonar que log 7 y 
1
log
7
 son opuestos. (Una vez resuelto, compruébese) 
 
 
Problemas de aplicación: 
17. Se deja a temperatura ambiente una muestra de café, y se observa que su temperatura en ºC disminuye 
con el tiempo de acuerdo con la siguiente función: 
0,106tT(t) 24 51e   
donde t viene dado en minutos. 
a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café? 
b) Si la temperatura óptima para tomar el café es de 56º, ¿entre qué minutos se deberá tomar el café? 
 (Soluc: entre 4' y 5') 
c) Dibujar la gráfica de dicha función. 
d) ¿En qué temperatura se estabilizará el café? 
 
18. a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital C0 acumulado al cabo 
de t años con un interés i es: 
t
0
i
C(t)=C 1+ , en €
100
 
 
 
ꞏ 
donde: C0 es el capital inicial, en € 
 i es el interés anual, en % 
b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20000 € al 2%? (Soluc: 22 523 €) 
c) ¿Cuántos años debemos mantener 100000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% si 
queremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial? (Soluc: 28 años; NO) 
d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30000 € a una tasa del 3% quiere llegar a 
tener 40000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital? (Soluc: 9 años y 9 meses) 
 
19. a) Demostrar que la función que expresa el volumen de madera que tiene un bosque al cabo de t años 
es: 
 t 30M(t)=M 1+l , en mꞏ 
donde: M0 es el volumen inicial de madera, en m
3 
 l es el crecimiento anual, en % 
Ejercicios de LOGARITMOS 4º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso 
del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
b) Se calcula que un bosque tiene 12000 m3 de madera y que aumenta el 5% cada año ¿Cuánta madera 
tendrá al cabo de 10 años si sigue creciendo en estas condiciones? (Soluc: @19 546,7 m3) 
c) ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse el bosque? (Soluc: 14,21 años) 
20. Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento de sus poblaciones muy rápido. La escherichia coli 
puede duplicar su población cada hora. a) Supongamos que hacemos un cultivo en el que inicialmente 
hay 5000 bacterias de este tipo. Construir una tabla para razonar que la función que nos da el número de 
bacterias al cabo de t horas es: 
tf(t)=5000 2ꞏ 
b) ¿Cuántas habrá al cabo de 16 horas? c) Dibujar una gráfica que represente el crecimiento en las 8 
primeras horas. d) Si tenemos un cultivo de 100 bacterias y queremos conseguir un millón, ¿cuánto 
tiempo ha de transcurrir? (Soluc: b) 327 680 000 bacterias; d) @13 horas y cuarto) 
 
 4º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
 
 
CUADRO-RESUMEN de LOGARITMOS 
 
 
 
Definición de logaritmo: xlog N = x a =Na ⇔ (donde a>0, a1) 
 
Sistemas de logaritmos más utilizados: 
NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN 
Logaritmo decimal a=10 log 
xlog N=x 10 =N⇔ 
Logaritmo neperiano1 a=e Ln, ln xln N=x e =N⇔ 
 
 
Fórmulas del cálculo logarítmico:  log p q =log p+log q· 
 
p
log =log p log q
q
 
 
nlog p =n·log p n
1
log p = log p
n
 (todas son válidas en cualquier base) 
 
Casos particulares: 
xlog a = x
a 
xlog xaa
 
xln e = x
 
xln xe 
 
log a =1
a 
log 1=0
a 
ln e =1 ln 1=0 
 
Fórmula del cambio de base: log x =log x log aa
: 
 
1 En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos. 
donde e  2,718281828459… se llama 
cte. de Euler; es un número irracional. 
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