Ecuacion de Michaelis-Menten

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Michaelis y Menten se basaron en otros estudios para establecer un modelo matemático de la 
actividad enzimática. Uno de esos estudios fueron los del científico Fisher, a quien le sorprendió se 
sobremanera la especificidad de las enzimas, ya que aunque ponía sustratos muy parecidos, la enzima 
no cataliza la reacción si no era el sustrato específico. De hecho, incluso diferenciaba isómeros. 
Fue entonces cuando a Fisher se le ocurrió pensar que estos compuestos funcionan como funciona 
una llave y una cerradura, comprendiendo que en aquellos tiempos todavía no se había determinado 
que las enzimas son proteínas y que presentan una estructura tridimensional. 
Con los avances científicos se determinó que una enzima, efectivamente, sólo admite a un sustrato 
específico. Esto sucede porque tridimensionalmente el “huequito”, la “hendidura”, el “bolsillito”, o 
cualquier denominación con la que se facilite identificar a lo que científicamente se conoce como 
sitio activo, es un espacio físico , formado por aminoácidos, donde se va a pegar el sustrato. 
 
Entonces, la enzima se pega al sustrato por interacciones electrostáticas de las cadenas laterales de 
los aminoácidos del sitio activo. 
Si bien el sitio activo está formado por aminoácidos, si se estira la cadena se observará que éstos no 
están uno al lado de otro. Sin embargo, en la enzima están juntos debido a la estructura 
tridimensional que ésta ha adquirido. 
Resumiendo, un sitio activo es un espacio físico formado por aminoácidos no consecutivos, donde se 
va a pegar el sustrato debido a interacciones electrostáticas con las cadenas laterales de dichos 
aminoácidos. 
Enzima 
Sustrato 
Aminoácidos 
Para que el sustrato calce en el sitio activo, debe existir afinidad isomérica. Por lo tanto, la enzima y 
el sustrato deben acoplarse geométricamente. Si el sustrato calza en el sitio activo, se lleva a cabo la 
reacción. Es esa la causa por la cual las enzimas presentan una gran especificidad, conocida también 
como isoestereoespecificidad. 
Si se cambia el pH del medio, se cambia su estado iónico y, por tanto, se puede denaturar a la enzima 
alterándose los sitios activos. 
A partir de estas premisas, Michaelis y Menten propusieron que si el sistema funciona como Fisher 
lo predijo, entonces el sustrato interacciona con la enzima formando el complejo enzima – sustrato, 
a partir del cual se obtiene el producto. 
Así, llegaron a proponer la siguiente ecuación química, en la que se hizo una primera suposición: 
𝑆 + 𝐸
𝑘1
←
𝑘−1
→ 
𝐸𝑆⏟
𝑪𝑶𝑴𝑷𝑳𝑬𝑱𝑶
𝑬𝑵𝒁𝑰𝑴𝑨−𝑺𝑼𝑺𝑻𝑹𝑨𝑻𝑶
𝑘2
→𝑃 + 𝐸 
La primera suposición consiste en que la primera reacción es reversible mientras que la segunda o 
no lo, y si lo es, su aporte es insignificante. 
Una vez obtenido esta ecuación, Michaelis y Menten llevaron a cabo un montón de experimentos 
con los cuales se pretendía determinar el modelo matemático de la actividad enzimática.Uno de 
dichos experimentos consistió en medir lo que sucede con la velocidad inicial de la reacción cuando 
se varía la concentración del sustrato. 
[𝑆] 𝑣0 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
Sin embargo, medir la velocidad inicial no resulta nada fácil. Michaelis y Menten lograron determinar 
este valor mediante otro experimento que consistía en medir la concentración del producto en 
función del tiempo manteniendo la concentración del sustrato constante. Repitieron esta experiencia 
para las diferentes concentraciones de sustrato de la tabla anterior, y así se obtuvieron las 
velocidades iniciales necesarias. 
[𝑆]1 [𝑆]2 [𝑆]3 [𝑆]𝑛 
[𝑃] 𝑡 [𝑃] 𝑡 [𝑃] 𝑡 [𝑃] 𝑡 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
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⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
⎯⎯⎯ 
Así, obtuvieron dos gráficas: 
 
Entonces se pudo determinar cómo varía la reacción enzimáticamente catalizada con la 
concentración del sustrato. Aunque se variaron las cantidades, la forma de la curva simpre fue la 
misma: una hipérbola rectangular. 
𝑣0 =
𝑎[𝑆]
𝑏 + [𝑆]
 
Entonces, a partir de este modelo Michaelis y Menten empezaron a resolver la ecuación inicialmente 
propuesta para determinar a y b. 
𝑆 + 𝐸
𝑘1
←
𝑘−1
→ 
𝐸𝑆
𝑘2
→𝑃 + 𝐸 
𝑑[𝐸𝑆]
𝑑𝑡
= 𝑘1[𝑆][𝐸] − 𝑘−1[𝐸𝑆] − 𝑘2[𝐸𝑆] 
Para resolver este modelo matemático se hicieron, además de la suposición inicial (que consistía en 
que la primera reacción es reversible mientras que la segunda no), tres suposiciones más: 
• Dentro de un tiempo relativamente corto, el modelo llega a un estado estacionario. Por lo 
tanto: 
𝒅[𝑬𝑺]
𝒅𝒕
= 𝟎 
• La concentración de la enzima total es igual a la suma de la enzima unidad al sustrato más la 
enzima libre. 
[𝐸]𝑡 = [𝐸𝑆] + [𝐸] 
[𝑬] = [𝑬𝑺] − [𝑬]𝒕 
• Si a la reacción no se la describe con su mecanismo completo, sino más se escribe una 
reacción global: 
𝑣0 
[𝑆] 
𝑦 =
𝑎𝑥
𝑏 + 𝑥
 
𝑣0 =
𝑎[𝑆]
𝑏 + [𝑆]
 
Hipérbola 
Rectangular 
[𝑃] 
𝑡 
[𝑺]𝟏 
[𝑺]𝟐 
[𝑺]𝟑 
𝑆 + 𝐸
𝑘𝑐𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛
→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑃 + 𝐸 
En el estado estacionario, la constante de catalización es igual a la constante del catalizador. 
Esto significa que toda la enzima participó en la reacción y, por tanto, se tiene en el estado 
estacionario la velocidad máxima: 
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝒌𝟐[𝑬]𝒕 
Como lo que se desea obtener es la velocidad de formación del producto (𝑣0) en función del a 
concentración del sustrato ([𝑆]): 
𝒗𝟎 =
𝒅[𝑷]
𝒅𝒕
= 𝒌𝟐[𝑬𝑺] 
𝑑[𝐸𝑆]
𝑑𝑡
= 𝑘1[𝑆][𝐸] − 𝑘−1[𝐸𝑆] − 𝑘2[𝐸𝑆] 
𝑘1[𝑆][𝐸] − 𝑘−1[𝐸𝑆] − 𝑘2[𝐸𝑆] = 0 
[𝑬] = [𝑬𝑺] − [𝑬]𝒕 
𝑘1[𝑆]([𝐸𝑆] − [𝐸]𝑡) − 𝑘−1[𝐸𝑆] − 𝑘2[𝐸𝑆] = 0 
𝑘1[𝑆][𝐸𝑆] − 𝑘1[𝑆][𝐸]𝑡 − 𝑘−1[𝐸𝑆] − 𝑘2[𝐸𝑆] = 0 
(−𝑘1[𝑆] − 𝑘−1 − 𝑘2)[𝐸𝑆] + 𝑘1[𝑆][𝐸]𝑡 = 0 
(𝑘1[𝑆] + 𝑘−1 + 𝑘2)[𝐸𝑆] = 𝑘1[𝑆][𝐸]𝑡 
[𝐸𝑆] =
𝑘1[𝑆][𝐸]𝑡
𝑘1[𝑆] + 𝑘−1 + 𝑘2
÷
𝑘1
𝑘1
 
[𝐸𝑆] =
[𝑆][𝐸]𝑡
[𝑆] +
𝑘−1 + 𝑘2
𝑘1
 
Al término 
𝑘−1+𝑘2
𝑘1
 se lo ha definido como la constante de Michaelis y Menten (𝑘𝑀). 
𝑘𝑀 =
𝑘−1 + 𝑘2
𝑘1
 
[𝑬𝑺] =
[𝑺][𝑬]𝒕
[𝑺] + 𝒌𝑴
 
𝒗𝟎 =
𝒅[𝑷]
𝒅𝒕
= 𝒌𝟐[𝑬𝑺] 
𝑣0 = 𝑘2 (
[𝑆][𝐸]𝑡
[𝑆] + 𝑘𝑀
) 
𝑣0 = 𝑘2[𝐸]𝑡 (
[𝑆]
[𝑆] + 𝑘𝑀
) 
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝒌𝟐[𝑬]𝒕 
𝑣0 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 (
[𝑆]
[𝑆] + 𝑘𝑀
) 
𝒗𝟎 =
𝒗𝒎𝒂𝒙[𝑺]
𝒌𝑴 + [𝑺]
 
La ecuación que se obtuvo fue similar a la ecuación que se planteó inicialmente: 𝑣0 =
𝑎[𝑆]
𝑏+[𝑆]
, siendo 
𝑎 la velocidad máxima y 𝑏 la constante de Michaelis y Menten. 
 
𝑘𝑀 siempre va a venir en unidades de concentración. Las concentraciones más usadas son las 
molares, pero no son las únicas. 
𝑘𝑀 = [𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] 
Las unidades de la velocidad máxima, por el simple hecho de que es una velocidad, vienen dadas por 
la relación de una unidad de concentración y de una unidad de tiempo: 
𝑣𝑚𝑎𝑥 = [
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
] 
Este modelo implica que hay una concentración de sustrato ([𝑆]) a partir de la cual se obtiene la 
velocidad máxima, misma que no se puede variar por más concentración se sustrato que se haya 
puesto. 
𝑣0 
[𝑆] 
𝑣0 =
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
𝑘𝑀 + [𝑆]
 
𝑘𝑀 =
𝑘−1 + 𝑘2
𝑘1
 
𝑣𝑚𝑎𝑥
2
 
𝑘𝑀 
𝑣𝑚𝑎𝑥 
𝐸 + 𝑆
𝑘1
←
𝑘−1
→ 
𝐸𝑆
𝑘2
→ 𝑃 
Michaelis – Menten, una vez obtenida esta ecuación, debían llegar a determinar la explicación por la 
cual la contante 𝑘𝑀 estaba asociada con el modelo que planteaban. Y, afortunadamente para ellos y 
para la industria, la encontraron. 
𝑘𝑀 es una contante cinética asociada a la pareja enzima – sustrato, mas no a la enzima o al sustrato 
cada uno por su lado, e indica que tan afín es la enzima por el sustrato. El valor de 𝑘𝑀 cambia si 
cambia el sustrato, aún si la enzima se mantiene constante. 
Si el modelo funciona, la formación del complejo enzima – 
sustrato debería estar influencia directamente por el valor de 
𝑘𝑀. Entones, si 𝑘1 es grande y 𝑘−1 chiquito, 𝑘𝑀 también es 
chiquito. Así, mientras menor sea el valor de 𝑘𝑀, más afín es la enzimapor el sustrato y, por tanto, el 
complejo enzima – sustrato se forma más fácilmente. 
Sin embargo, que la enzima sea más afín con el sustrato no significa que la reacción sea más eficiente. 
“𝑘𝑀” sólo indica cuán fácilmente se forma el complejo enzima – sustrato, pero no cuán eficiente es 
la reacción. 
Parte de la eficiencia de la reacción viene dada, en cambio, por la constante 𝑘2 (constante del 
catalizador, 𝑘𝑐𝑎𝑡). Mientras más alto es el valor de 𝑘2, más fácil y rápidamente se da la reacción de 
formación del producto. El valor de 𝑘2 (𝑘𝑐𝑎𝑡) se puede obtener a partir de la velocidad máxima (𝑣𝑚𝑎𝑥) 
o de la constante de Michaelis y Menten (𝑘𝑀). 
Por tal motivo, para determinar qué tan eficiente es una reacción global, se ha definido la relación: 
𝑘𝑀
𝑘𝑐𝑎𝑡
 
 
Esta relación ofrece además un panorama del número de ciclos que la enzima puede participar en la 
reacción, término conocido como número de intercambio o ciclo de la enzima. 
Y en este punto es necesario aclarar lo siguiente: “no necesariamente la enzima más afín por su 
sustrato es la más eficiente”. 
La constante de Michaelis y Menten, además de indicar cuán afín es la enzima por el sustrato, 
muestra qué cantidad de sustrato se debe poner en la reacción para empezar con una velocidad igual 
a la mitad de la velocidad máxima. 
𝑣0 =
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
𝑘𝑀 + [𝑆]
 
𝑣𝑚𝑎𝑥
2
=
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
𝑘𝑀 + [𝑆]
 
𝑘𝑀 + [𝑆] = 2[𝑆] 
𝑘𝑀 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ⟶ Pareja Enzima 
– Sustrato más afín 
Relación que da una idea de cuán 
eficiente es la reacción. Mientras 
mayor es su valor, más eficiente es 
la reacción. 
[𝑺] = 𝒌𝑴 → 𝒗𝒐 =
𝒗𝒎𝒂𝒙
𝟐
 
De ahí que 𝑘𝑀 también proporcional el dato de concentración de sustrato con el cual se puede iniciar 
la reacción con velocidad máxima. A nivel industrial se ha convenido que para siempre trabajar con 
velocidad máxima, se inicia con una concentración de sustrato 10 o 20 veces mayor a 𝑘𝑀. 
Ojo que 𝑘𝑀 presenta un valor fijo, pero ofrece una IDEA de la concentración de sustrato inicial para 
empezar con la velocidad máxima. Sin embargo, esto no significa que el valor de 𝑘𝑀 DEPENDA de la 
concentración del sustrato o viceversa, ¡no! Ni 𝑘𝑀 ni 𝑣𝑚𝑎𝑥 definen la cantidad de sustrato con la que 
se inicia la reacción, pues es el operador el que pone esa cantidad en el sistema. 
A nivel celular, casi nunca las reacciones alcanzan una concentración de sustrato que les permita 
alcanzar la velocidad máxima, sino más bien alcanzan concentraciones que les proveen de 
velocidades entre la mitad de la velocidad máxima y la velocidad máxima. A veces los valores de 
velocidad están muy cercanos a la velocidad máxima, pero nunca igual. 
Ahora, volvamos a la ecuación hallada por Michaelis y Menten: 
 
Resolver esta ecuación en los tiempos de Michaelis y Menten era muy difícil. Para resolver este 
problema, vino el científico Lineaweaver – Burk, quien con manipulaciones matemáticas logró 
transformarla en una línea recta: 
𝑣0 =
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
𝑘𝑀 + [𝑆]
 
1
𝑣0
=
𝑘𝑀 + [𝑆]
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
 
1
𝑣0
=
𝑘𝑀
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
+
[𝑆]
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
 
𝑣0 
[𝑆] 
𝑣0 =
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
𝑘𝑀 + [𝑆]
 
𝑘𝑀 =
𝑘−1 + 𝑘2
𝑘1
 
𝑣𝑚𝑎𝑥
2
 
𝑘𝑀 
𝑣𝑚𝑎𝑥 
1
𝑣0
=
𝑘𝑀
𝑣𝑚𝑎𝑥[𝑆]
+
1
𝑣𝑚𝑎𝑥
 
𝟏
𝒗𝟎
=
𝒌𝑴
𝒗𝒎𝒂𝒙
𝟏
[𝑺]
+
𝟏
𝒗𝒎𝒂𝒙
 
≈ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 
Así, matemáticamente, se obtuvo la ecuación de una línea recta. A partir de esto, algunos 
investigadores decidieron ajustar los datos experimentales obtenidos para el plano 
1
𝑣0
 vs 
1
[𝑆]
 por medio 
del método de mínimos cuadrados, conocido actualmente como regresión lineal. En este método se 
calcula la desviación de cada punto respecto a la recta, y se obtiene, a partir de esto, la pendiente, el 
punto de corte y el coeficiente de correlación (que indica cuán dispersos están los datos) del conjunto 
de valores. 
El valor del coeficiente de correlación (𝑟2) que se acepta para asumir que los datos experimentales 
se ajustan a una recta depende de cuán precisos son los métodos utilizados para la obtención de los 
datos. Mientras más precisos sean dichos métodos, se debe ser más estricto con el valor de 𝑟2. Por 
ejemplo, si para medir la concentraciones se emplean titulaciones, no sebe ser demasiado exacto con 
el valor del coeficiente de correlación, ya que los valores en este caso dependen mucho del 
experimentador. Si los valores de 𝑟2 superan a 0,85, en este curso se aceptará que éstos 
corresponden a una línea recta. 
En una regresión lineal se deben incluir a todos los valores experimentales. Para eliminar datos 
experimentales, se debe estar completamente seguro de que ese resultado es consecuencia de un 
error, lo que se verifica con la repetición del experimento. Sin embargo, si al repetir el experimento, 
el dato desviado aparece de nuevo, necesariamente se debe considerar. 
−
1
𝑘𝑀
 
1
𝑣𝑚𝑎𝑥
 
𝟏
𝒗𝟎
 
𝟏
[𝑺]
 
1
𝑣0
=
𝑘𝑀
𝑣𝑚𝑎𝑥
1
[𝑆]
+
1
𝑣𝑚𝑎𝑥
 
 
𝑚 =
𝑘𝑀
𝑣𝑚𝑎𝑥
 
 
Además, siempre que se tiene valores experimentales x y y, y la curva se ajusta a una línea recta, para 
el valor de la pendiente y el punto de corte se debe tomar los datos obtenidos de la regresión lineal 
de todos los números, y no considerando únicamente el primer y último punto. 
La mayoría de enzimas, que reciben el nombre de mikelianas, obedecen al modelo de Michaelis y 
Menten. Sin embargo, existen enzimas que no obedecen a éste mecanismo, las alostéricas por 
ejemplo. Si un enzima no es mikeliana o alostérica, entonces tienen un mecanismo especial que le 
describe, por ejemplo, modelos que tienen más de un complejo enzima – sustrato: 
𝐸 + 𝑆 ⇋ 𝐸𝑆 ⇋ 𝐸𝑃 → 𝐸 + 𝑃 
Cuando se sabe que una enzima forma un solo complejo activado pero no es mikeliana, es muy 
posible que su comportamiento sea alostérico. El modelo alostérico considera que la enzima tiene 
más de un sitio activo, en el cual el número de sitios activos se conoce como coeficiente de 
cooperatividad (n). Se diferencia del modelo mikeliano en que éste se basa en que la enzima presenta 
un solo sitio activo, aunque en ambos se da la formación de un solo complejo: el enzima – sustrato. 
 
Si el coeficiente de cooperatividad es 1, la enzima debería se mikeliana. Pero si n es 1, y la enzima no 
es mikeliana, se debe buscar otro tipo de mecanismos que se ajusten a dicha enzima. 
También existen reacciones enzimáticas con multisustratos, en las que participas enizmas que 
pueden trabajan con más de un sustrato. 
 
𝒗𝟎 
[𝑺] 
Enzima 
Alostérica