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XVII CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS EN TIERRA DE CINE 
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PROPUESTA DE AULA A PARTIR DE UN ESTUDIO DE CASO PARA EL DESARROLLO DEL SENTIDO NUMÉRICO. 1 de 6 
PROPUESTA DE AULA A PARTIR DE UN ESTUDIO DE CASO PARA EL DESARROLLO DEL CÁLCULO MENTAL 
 David Gutiérrez Rubio, Universidad de Córdoba Alexander Maz Machado, Universidad de Córdoba Noelia Jiménez Fanjul, Universidad de Córdoba Carmen León Mantero, Universidad de Córdoba María José Madrid Martín, Universidad Pontificia de Salamanca 
RESUMEN. 
Se describe un estudio de caso realizado a 2 estudiantes de primaria durante 5 años a partir de la cual se realiza una propuesta de clase de carácter plurianual durante todo el ciclo de primaria, dirigido al desarrollo del sentido numérico y el cálculo mental. Nivel educativo: Grado de Educación Primaria 
INTRODUCCIÓN. 
El pensamiento numérico forma parte de las habilidades básicas que el alumnado de Educación Primaria debe adquirir a lo largo de su trayectoria por dicha etapa. En la legislación vigente en España (RD 126/2014) “Las matemáticas son un conjunto de saberes asociados a los números”. Por otra parte, también destaca la importancia de “obtener modelos e identificar relaciones y estructuras” y “encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas” tanto en contextos numéricos como de otro tipo. En el bloque de contenidos actitudinales, de carácter transversal a lo largo de todo el ciclo, se incluye el “planteamiento de pequeñas investigaciones en contextos numéricos”. Si bien el cálculo mental perdió interés a partir de la década de los 70 con la incorporación de máquinas calculadoras, en los últimos años se ha rescatado la importancia que tiene dentro del desarrollo matemático del alumnado. Cockroft (1985) establece que el currículo de Matemáticas de Primaria debería, entre otras cosas: a) Enriquecer la experiencia estética y lingüística de los alumnos. b) Desarrollar su capacidad de reflexión lógica. c) Dotar de las destrezas numéricas necesarias en el futuro. Autores como Gómez (1994) nombran la relación que existe entre el cálculo mental y el desarrollo del sentido numérico del niño y de su capacidad de estimación. Por su parte, el National Council of Teachers of Mathematics establece que “La tecnología no deberá ser usada como reemplazo de la comprensión e intuición básicas” (NCTM, 2000, pág. 25). 
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Por otra parte, en el Real Decreto de Educación Primaria se establece que “Para lograr una verdadera alfabetización numérica no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito, es necesario actuar con seguridad ante los números y las cantidades, utilizarlos siempre que sea necesario e identificar las relaciones básicas que se dan entre ellos.” (RD 126/2014, p. 19386). 
DESCRIPCIÓN DE LA PROPUESTA 
En síntesis, toda la propuesta gira en torno a la idea de “truco”, que es la que utilizaremos para describirla también al alumnado. Contaremos que todas las Matemáticas están llenas de trucos que nos permiten hacer operaciones de forma más sencilla. Podemos ilustrar esta idea mostrando una imagen de un camino que va de un punto a otro pero hay otro camino considerablemente más corto. Las ideas principales que se han de transmitir son: a) Que hay infinidad de trucos escondidos que nos permiten hacer las cuentas muy rápido. b) Que el profesor conoce algunos pero que el alumno puede descubrir sus propios trucos. Se les explica pues el primer truco que pueden emplear. Es por supuesto muy importante adecuar los trucos expuestos al nivel del alumnado. En el estudio de caso, dado que se empezó por segundo de infantil, cuando estaban empezando a ver la suma, se contó el siguiente truco: “Hay un truco para sumar 1, si quieres sumar por ejemplo 5+1, el resultado es el número que viene después del 5, que es el 6”. También se emplea esta terminología para describir propiedades básicas de las 
operaciones, por ejemplo la conmutativa “Otro truco es que si tienes que sumar 
2+6, puedes cambiarlo por 6+2 que es más fácil y sale lo mismo”, o la propiedad 
asociativa “Si tengo que sumar 3+2+4, puedo empezar por donde quiera, por 
ejemplo puedo sumar primero 3+2 o 2+4, lo que me resulte más fácil.”. Nótese 
que estamos describiendo la propiedad conmutativa mediante las siuaciones en 
las que ésta puede ser útil. 
La idea de hacer énfasis en el uso y descubrimiento de “trucos” conlleva las siguientes ventajas: 1. Nos permite desarrollar una estrategia para huir del enfoque puramente procedimental desde etapas muy tempranas. Aunque el alumno realice operaciones con el procedimiento que le enseñe su profesor, siempre tendrá en mente la idea de que “puede haber algún truco para hacerlo más rápido”. 2. Fomenta la curiosidad en el niño y la investigación, dentro de su nivel educativo. 3. También se fomenta la verbalización de propiedades desde edades muy tempranas. 4. Dado que el alumno de este modo tiene un objetivo claramente marcado, que es el de realizar las operaciones planteadas de la forma lo 
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más fácil posible, se fomenta el uso de las propiedades numéricas desde un enfoque utilitarista. 
DESARROLLO DEL ESTUDIO DE CASOS 
El estudio de caso se realizó mediante la observación de 2 alumnas de Educación Primaria, desde 1º de Primaria (6 años) hasta 5º de Primaria (10 años). A lo largo de 5 años se les fue motivando en la búsqueda de trucos, como los descritos con anterioridad, en pequeñas sesiones extraescolares, al menos una vez por semana. Las actividades consistían en plantearle operaciones de dificultad adecuada a su nivel para realizar mentalmente y que contestaran cuál era el resultado y sobre todo que explicaran si habían usado algún truco para ello. En cada sesión se preguntaba si habían descubierto ellas algún truco por su cuenta que pueda ser de utilidad, debiendo entonces de explicarlo tanto a su compañera de estudio como al investigador. A continuación se muestra una lista de algunos los trucos encontrados por ellas, junto con una transcripción de la explicación que dieron: 
Operación Descripción dada por las alumnas (A o B) Nivel 
10+4=14 10+3=13 (B) Si tengo que sumar 10 más un número, quito el 0 y pongo ese número. 1ºPrimaria 
15+20=35 (B) Para sumar 15 y 20, como 20 termina en 0, sumo las decenas y pongo el 5. 
2ºPrimaria 
8+3=11 (A) Yo sé que 3=1+2, esos números me los guardo, a ver…sumo 8+1,..no, 8+2 que sale 10, y luego sumo el otro número que me falta, que es 1, entonces 10+1=11. 
2ºPrimaria 
9+3=10+2 (A) Si al 3 le quito 1 y se lo regalo al 9 tengo 10+2 que sé que suma 12. 2ºPrimaria 
16+9=16+10-1=26-1=25 (A) Si fuera 16+10 eso es fácil, es 26, pero como estoy sumando uno menos, pues sale uno menos, o sea 25. 
3ºPrimaria 
4+5+6=5+5+5=5×3=15 (B) Le quito un 1 al 6 y se lo doy al 4, entonces tengo la suma de 5+5+5 y uso el truco de que eso es 3×5. 
4ºPrimaria 
32-13=32-10-3= =22-3=19 (A) Si fuera 32-10 sería fácil, 22 pero como tengo que quitar 3 más, entonces tengo 19. 
4ºPrimaria 
73/6=12 R:1 (B) 6×10=60, aún estoy muy lejos, de 60 a 73 hay 13, y eso lo hago con 6×2 que es 12, y me falta 1 para llegar. Entonces los 10 que he multiplicado antes más los 2, son 12 de cociente, y 1 de resto. 
5ºPrimaria 
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PROPUESTA DE AULA A PARTIR DE UN ESTUDIO DE CASO PARA EL DESARROLLO DEL SENTIDO NUMÉRICO. 4 de 615×12=30×6=180 (A) Yo sé que 12=2×6, pues ese 2 se lo paso al 15, y 15×2=30 entonces tengo que hacer 30×6 que eso es 18 añadiendo un 0, o sea 180. 
5ºPrimaria 
232/4=(240-8)/4= =240/4-8/4=60-2=58 (A) Eso es como si tenemos que pagar 240€ entre 4, que saldría a 60€ (cierra una mano y se la señala) guardamos los 60€ para luego ¿vale?. Pero no son 240, sino 8 menos, o sea que los 4 nos ahorramos 8€, que eso es 2€ por persona, entonces cada persona, en vez de pagar los…los 60€ paga 2 menos, que son 58. 
5ºPrimaria 
 Algunos de las particularidades que se observaron durante el periodo de observación: 1. En muchos de los trucos descubiertos por las alumnas, especialmente a partir de 4º de Primaria, tuvieron problemas para expresar verbalmente el procedimiento, con expresiones como “sé que está bien, pero no sé cómo explicarlo”, aunque esa dificultad desaparecía cuando volvían a utilizar el truco descubierto varias veces. 2. La alumna A confesó que, cuando había que realizar ejercicios de cálculo en clase (multiplicar y dividir) muchas veces “se distraía buscando trucos” para hacer la operación, y “aunque la hacía en su cabeza, no le daba tiempo a escribirla como quería el profesor”. 3. En general, se aprecia una mayor disposición de las alumnas a percibir las propiedades matemáticas como “propiedades útiles” en el sentido de que piensan cuándo les pueden servir para una operación. A modo de ejemplo, la alumna B, en 5º de Primaria su profesora había explicado que en una división con resto 0, se puede intercambiar el cociente con el divisor, y que ella había deducido de ahí un truco para “por ejemplo, si queremos dividir 20/10, como sabemos que 20/2 es 10, entonces 20/10 es 2”. Es decir, la alumna B identificó en qué contextos esa propiedad podría llegar a serle útil. 
 PROPUESTA DE AULA 
En base a las observaciones realizadas en el estudio de caso, planteamos una propuesta de aula, de carácter plurianual. El objetivo principal planteado con esta propuesta es por una parte, dotar al alumnado de un sentido numérico que les permita tener confianza a la hora de realizar operaciones de cálculo mental, y la otra es la de que el alumnado tenga una mentalidad más dinámica en la asignatura de Matemáticas, donde no se trata de desarrollar un pensamiento procedimental sin salirse del guión establecido por el profesor, sino más bien que al alumno se le presente unos objetos matemáticos y propiedades básicas y él vaya enriqueciendo la teoría con sus propios descubrimientos. 
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La propuesta debería empezar preferentemente en 1º de Educación Primaria, donde el profesor introduciría el concepto de “truco” a los alumnos, de manera similar a como se ha explicado anteriormente, concepto que se irá revisitando a medida que los alumnos aprendan progresivamente las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. La noción de truco para realizar operaciones ha de fomentarse de forma continua durante todo el ciclo de Educación Primaria, por lo que es necesaria una coordinación vertical entre los distintos profesores que impartan la materia durante todo el ciclo. Se proponen las siguientes actividades para desarrollar en el aula: La cuenta en la pizarra El profesor escribe una operación en la pizarra y se pide a los alumnos que la hagan sin escribir nada en el papel. El profesor posteriormente preguntará si alguien la ha hecho y el alumno explicará qué trucos ha utilizado. Pueden ser trucos que el profesor haya explicado o alguno que haya descubierto el propio alumno. Por ejemplo, en 1º de Primaria, el profesor pone en la pizarra la operación “3+1” y un alumno explica que “Es 4 porque al sumar uno lo que tenemos es el número siguiente”. El papel del profesor, como se suele hacer usualmente en estos casos, es el de moderar y corregir el lenguaje utilizado, para que el resto de compañeros entiendan la explicación del alumnado. Duelo Dos alumnos salen a la pizarra y el profesor escribe una operación en la pizarra. Quien responde correctamente primero gana un punto. A continuación, ha de explicar cómo ha realizado la operación. Según cómo haya realizado la operación (si ha usado algún truco o simplemente ha hecho la operación de forma mecánica) se le da un punto extra o no. El libro de Matemáticas Diremos que entre toda la clase vamos a hacer nuestro propio libro de Matemáticas. Ese libro, decimos, servirá para enseñar Matemáticas a otros niños. El “libro” consistirá en un cuaderno en el que iremos apuntando los trucos. Cada vez que un alumno descubra un truco para realizar una operación, se apunta junto con el nombre del autor en un cuaderno. Dependiendo del ciclo, puede plantearse que el libro pueda prestarse los fines de semana a los alumnos, para enseñárselo a sus familias. También se pueden hacer copias del citado libro a final de curso para los alumnos a modo de recuerdo. 
CONCLUSIONES 
La introducción del término “truco” desde etapas tempranas y su utilización regular durante todo el periodo de primaria puede ayudar, aparte de la obvia influencia que tiene sobre el desarrollo del cálculo mental, a que el alumnado no vea las Matemáticas (y en especial la aritmética básica) como un conjunto cerrado y mecánico de reglas. También puede servir para tener una perspectiva más utilitarista de las propiedades matemáticas, al hacer que el alumno piense en qué situaciones puede serle útil una determinada propiedad. 
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REFERENCIAS 
COCKROFT, W. H. (1985). Las matemáticas sí cuentan: Informe Cockcroft (Vol. 20). Ministerio de Educación. GÓMEZ, B. (1994). Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo: un análisis en la formación de profesores (Tesis Doctoral). Universidad de Valencia. MEC (2014). Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria. NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics.