Cinética de un cuerpo rígido en el plano

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CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO
Es importante mencionar que el momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular, del mismo modo que la masa es una medida de la resistencia del cuerpo a la aceleración (F=ma). El momento de inercia se puede definir como la integral del “segundo momento”, con respecto a un eje, de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo, de tal manera que origina la siguiente ecuación matemática: 
En l ecuación anterior el “brazo del momento” r es la distancia perpendicular que hay del eje al elemento arbitrario dm. Como la formulación implica a r, el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se calcula.
Ecuaciones cinéticas del movimiento en el plano. 
TRASLACIÓN: Cuando un cuerpo rígido experimenta una traslación, como la que se muestra en la figura, en tal caso todas sus partículas tienen la misma dirección, de modo que:
Además que a=0, en cuyo caso la ecuación del movimiento rotatorio aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada 
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE CINÉTICA PLANA
En el análisis siguiente limitaremos nuestro estudio de cinética plana a cuerpos rígidos los que, junto con sus cargas, se consideran simétricos con respecto a un plano de referencia fijo. Como el movimiento de un cuerpo se puede ver dentro del plano de referencia, todas las fuerzas (y momentos de par) que actúan en cuerpo pueden proyectarse entonces en el plano.
F4
M2
F2
F1
M1
G
ω
FIGURA 1.
p
W
α
F3
La figura anterior es un ejemplo de cuerpo arbitrario . aquí el origen del marco de referencia inercial x, y, z, coincide con el punto arbitrario p en el cuerpo. Por definición, estos ejes no giran y están fijos o se trasladan a velocidad constante.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN
Las fuerzas externas que actúan en el cuerpo de la figura 1 representan el efecto de las fuerzas gravitacionales, eléctricas, magnéticas o de contacto entre cuerpos adyacentes. Como este sistema d fuerzas se consideró en la segunda ley de newton puede usarse la ecuación de newton resultante, en cuyo caso:
Esta ecuación se conoce como ecuación de movimiento de traslación del centro de masa de un cuerpo rígido. Plantea que la suma de todas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo es igual a su masa por la aceleración de su centro de masa G.
Para movimiento del cuerpo en el plano x-y, la ecuación de movimiento de traslación puede escribirse en la forma de dos ecuaciones escalares independientes, es decir:
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
La ecuación de movimiento de rotación plantea que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas con respecto al centro de masa del cuerpo G es igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por G y a la aceleración angular del cuerpo, expresándose como:
Otra importante ecuación que resulta cuando los momentos de las fuerzas externas mostradas en el diagrama de cuerpo libre (figura 2) se suman con respecto al punto p, equivalen a la suma de los “momentos cinéticos” de las componentes de con respeto a p más el momento cinético de . En otras palabras, cuando se calculan los momentos cinéticos , los vectores y se tratan como vectores deslizantes; es decir, pueden actuar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción.
Esta ecuación se escribe de la siguiente manera:
F4
M2
F2
F1
M1
G
G
ω
p
p
W
F3
α
Figura 2. D.C.L
APLICACIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Para resumir los análisis anteriores, se pueden escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano general de un cuerpo rígido simétrico:
 ido simetrico:ueden escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano general de un cuerpo r
Cuando se aplican estas ecuaciones, debemos trazar siempre un diagrama de cuerpo libre, que incluya todos los términos que intervienen en , , o .
ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACIÓN
Cuando el cuerpo rígido de la figura 3 experimenta una traslación, todas sus partículas tienen la misma aceleración. Además, α=0, en cuyo caso la ecuación de movimiento de rotación aplicada en el punto G se reduce a una forma simplificada, o sea, . 
F1
TRASLACION RECILINEA
cuando un cuerpo se somete a traslación rectilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias de línea recta paralelas.G
F2
M1
M2
F4
F3
Por tanto, las ecuaciones pertinentes en este caso son:
También es posible sumar momentos con respeto a otros puntos, en o fuera del cuerpo:
TRASLACIÓN CURVILÍNEA
Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias curvas paralelas. En un análisis, con frecuencia es conveniente utilizar un sistema de coordenadas inercial con su origen que coincida con el centro de masa del cuerpo en el instante considerado y sus ejes orientados en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria del movimiento. De este modo las tres ecuaciones escalares de movimiento son:
ECUACIONES DE MOVIMIENTO: ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Las ecuaciones utilizadas en este movimiento de un cuerpo rígido son:
La ecuación de momentos puede ser remplazada por una suma de momentos con respecto a cualquier punto arbitrario P en o fuera del cuerpo rigido siempre que se tengan en cuenta los momentos producidos por , y con respecto al punto quedando las ecuaciones de la siguiente manera:
ECUACIONES DE MOVIMIENTO: MOVIMIENTO PLANO GENERAL
El cuerpo rígido de la figura 4 se somete a un movimiento plano general provocado por las fuerzas y el sistema de momentos de par aplicados de manera externa. Si se establece un sistema de coordenadas x y y inercial, las tres ecuaciones de movimiento son:
	ω
F3
 ido simetrico:ueden escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano general de un cuerpo r
Figura 4
α
F1
G
M1
F2
M2
F4
En algunos problemas puede ser útil sumar los momentos con respecto a un punto p distinto de G para eliminar tantas fuerzas desconocidas como sea posible de la suma de momentos. 
Cuando se utilizan en este caso más general, las tres ecuaciones de movimiento son:
 ido simetrico:ueden escribir tres ecuaciones escalares independientes que describan el movimiento plano general de un cuerpo r
En este caso representa la suma de momentos de y (o sus componentes) con respecto a p.
PROBLEMAS
1. El automóvil representado en la figura viaja hacia la izquierda a 72 km/h cuando comienza a frenar, uniformemente, hasta detenerse por completo en una longitud de 40 m. Sabiendo que la masa del automóvil es de 900 kg, determine la magnitud de las componentes normales de la reacción del pavimento sobre cada una de las llantas del automóvil.
 
Resolución
Investigamos, para comenzar, la aceleración del centro de masa del automóvil, que es igual a la de cualquier partícula suya.
v	a v dv
dx
Como frena uniformemente, la aceleración es constante.
a dx v dv
v 2
a x C
x	O	2
Eligiendo como origen la posición en que comienza a frenar.
Si x 0, v 72 km/h =20 m/s
 200 
	C;
2
 ∴ C 200
 
 
 
Para 
 
 ∴ 
Se establece el análisis del cuerpo libre:
900
2 FrB
2 FrA
B
A
1.0	0.8
2 NB
2 NA
∴ 
Fy 0
Finalmente tenemos que: 
2. Una placa rectangular uniforme de masa m = 200 kg y lados 3 y 4 m, tal como se muestra en la figura adjunta, está suspendidapor dos pasadores A y B que pueden deslizar a lo largo de una barra inclinada que forma un ángulo ᴪ = 60º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre los pasadores y la barra es µ = 0,2 y la placa inicia su movimiento descendente partiendo del reposo. Determinar: a) La aceleración de la placa; b) Las reacciones en los pasadores.
3 m
4 m
Se establece el análisis de cuerpo libre:
NA f AN B 
y
O
x
 Fi  m a G  f A  f B P sen    m a	; N A  N B P cos   0
 M G  0  2 N A 2 N B 1,5 (f A f B )  0
Las fuerzas de rozamiento son:
f A   N A ;	f B   N B
as
 Al realizarlo quedan tres ecuaciones:
 Fi  m a G   N A   N B  P sen    200 a; N A  N B  P cos   0
 M G  0  2 N A 2 N B 1,5 ( N A N B)  0
Las fuerzas de rozamiento son:
f A   N A ;	f B   N B
Si N A  N B  P cos ……………………………….. 1
Entonces  N A   N B  P sen    200 a…….2
Y  5 N A  1 N B  0…….………………………3
 
 
N A = 416,5 N 	; 	N B  563,5 N 	; 	a = 7,5 m/s²
Al resolver el sistema queda:
 
3. Se coloca un tablón de 3 m sobre la plataforma de un camión tal como se muestra en la figura. El extremo A está fijo a la plataforma y se apoya en el punto B sobre la caja del camión. La distancia AB = 2,095 m y la altura de la caja es h = 2,5 m. Determinar la aceleración máxima del camión para que el tablón no vuelque.
 
fB 
Tenemos:
 Fi  m a G	 Ax  Bx  m a	; Ay  B y  P  0
B
h
A
m aG
P
m a
G
G
=
 
A
FA
P
El punto G está situado en el centro del disco y este tiene un movimiento de rotación respecto del eje , luego la aceleración de G es nula. La aceleración del bloque A coincide con la aceleración tangencial del punto de la periferia del disco.
a = R 
A
R
4. Se enrolla un cable alrededor de un disco homogéneo de radio R = 0,6 m y masa m = 30 kg que puede girar libremente alrededor de su eje tal como se muestra en la figura. En el extremo libre del cable se cuelga un bloque A de masa mA = 20 kg. Si se deja en libertad el bloque partiendo del reposo, calcular: a) la aceleración del bloque; b) la reacción normal en el eje ; c) la tensión del cable.
El ángulo que forma el tablón con la plataforma del camión es: 
  tan 1 (2.5/50°) = 2.069 
Ay	m g
tan   	  		
Ax	m a
 
g / tan ∴ m / s² 
N
y	G = 
P
O	x
 IG P
mA a
 IG 
G
 Fi  m a G  m A a	 N  P  PA  m A a
 M G  I G   R  m A a	  R m A g   I G  R m A a
Al tener las siguientes formulas:
Aceleración angular = (g/R)* [m A /(1/2 m+ m A )]
La aceleración del bloque y la normal están dadas por:
a = (g/R)* [m A /(1/2 m+ m A )] N = P + P A + m A a 
∴ a= 5.6 m/s² y por ello N = 602 Newtones.
5. Una bala de 7g con velocidad de 800m/s es disparada hacia el borde del disco de 5kg como se muestra. Determine la velocidad angular del disco justo después que la bala se empotra en él. calcule también a que ángulo θ oscilara el disco antes de detenerse. El disco originalmente esta en reposo.
SOLUCIÓN
Datos: ω = 1rad/s y θ = 10° 
Si se analiza se tiene que:
 (30°)(0.2) =ω…………..1
∴ = θ……………2
Si se sustituyen los valores correspondientes de gravedad g, radio r, masas en la fórmula 1 se deduce:
0.3 ω= 0.733 ∴ ω= 2.44 rad/s
Así mismo sustituyendo la nueva aceleración ω en las formula 2:
-8.9169 = -9.81θ θ= 24.6 °
 
6. Una bola solida con masa m es lanzada contra el suelo de tal forma que en el instante de contacto tiene velocidad angular y componentes de velocidades y como se muestra. Si el suelo es rugoso y no ocurre deslizamiento, determine las componentes de las velocidades de su centro de más justo después del impacto. el coeficiente de restitución es e.
SOLUCIÓN
Por la ecuación de conservación
y por el momentum angular se tiene:
Reduciendo la expresión anterior se obtiene:
 
Entonces……....
7. Sobre el carro-plataforma de un tren, se transporta un ropero de las dimensiones indicadas en la figura. Se desea investigar cuál es el tiempo mínimo que requiere el tren para alcanzar una rapidez de 60 milla/hr, partiendo del reposo, sin que el ropero se deslice ni se vuelque. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el ropero y el carro son 0.6 y 0.5, respectivamente.
Al analizar se obtiene la siguiente figura:
Primer esquema:Segundo esquema: 
Al analizar el diagrama de cuerpo rígido (primer esquema):
 ; 
Despejando se obtiene que: 
∴ 
Ahora, cuando se simula que el ropero esta por volcarse (segundo esquema) tenemos:
Por lo que y para 60 milla/hr= 88 ft/s
∴ 
	El chofer de un camión de la Coca-Cola, que viaja a una velocidad de 15 m/s, aplicó repentinamente los frenos, de modo que las cuatro ruedas dejaron de girar. Durante los instantes después de la aplicación de los frenos, se observó que el camión patino 12 mts. antes de detenerse. Determine la magnitud de la reacción normal y de la fuerza de fricción en cada rueda cuando el camión patino.
Considerando que se mueve hacia la derecha:
 
 
Sabiendo que:
 ; 
Entonces las fuerzas normales en cada rueda son:
Y las fuerzas de fricción son:
	En el pozo de una aldea se usa una polea de 0.350 kg y 0.10 m de radio de giro, el cual está conectado mediante una cubeta en un extremo y en el otro está sujeto por las manos de un campesino en la forma indicada. Suponiendo a la fricción nula en el eje, determine la aceleración angular de la polea cuando esta es jalada por el campesino con una fuerza de 400 N, considerando que el peso de la cubeta con agua es de 200 N, además de la aceleración de la cubeta.
Solución:
Para ello primero calculamos la fuerza necesaria para levantar la cubeta.
Como podemos ver, la fuerza aplicada por el campesino es mayor a la necesaria, por lo que la dirección del movimiento será en contra de las manecillas el reloj.
 
 
El momento centroidal de la polea es:
 
Ahora tenemos:
 
 
 
 
 
 
	La cuerda de un trompo de .1 m y masa de 0.150 kg, se enrolla alrededor de el para hacerlo girar. Si en un determinado instante la cuerda se jala con una fuerza de 320 N. Determine a) la aceleración del centro del disco, b) la aceleración angular del disco c) la aceleración de la cuerda.
Solución:
La aceleración de la cuerda está dada por:
	Una bola de boliche de masa igual 3 kg y radio .1 mts es lanzada sobre una superficie con una velocidad inicial Vo=2m/s y sin velocidad angular. Si el coeficiente de fricción cinética entre el suelo y la bola de boliche es de 0.7. Determine a) el tiempo t en el que la bola empezara a rodar sin deslizar, B) la velocidad lineal y angular de la bola en el tiempo t.
 
 ; 
 ; 
 ; 
Sabiendo que 
 y teniendo que 
Sustituimos en 1
 ; 
 ; 
Consideraremos que la esfera empezara a girar cuando la velocidad del punto de contacto sea cero. Asi entonces, en el tiempo t1 el punto de contacto se vuelve el centro instantáneo de rotación, entonces:
Sustituyendo los valores obtenidos
Sustituyendo esta t en las demás ecuaciones obtenemos:
	Demuestre que el par Iα de la figura puede eliminarse al colocar los vectoresmat y man en el punto P llamado centro de percusión, el cual se localiza en la línea OG a una distancia GP=k2/r del centro de masa del cuerpo.
Entonces se puede escribir como:
ó
	Un cilindro uniforme de 80 lb actúa gracias a una fuerza de 50 lb como se muestra en la figura. Si el cilindro rueda sin deslizarse, determine a) la aceleración de su centro G, b) el valor mínimo del coeficiente de fricción estática compatible con este movimiento.
Sabiendo que su radio es de 12 in y que 1 ft es igual a 12 in, entonces:
Y la masa es:
 
Por lo tanto 
	Una semiesfera de peso W y radio r se libera desde el reposo en la posición indicada. Determine a) el valor mínimo de μs para el cual la semiesfera comienza a rodar sin deslizarse, b) la aceleración correspondiente al punto B [sugerencia advierta que OG=3/8 r y que, según el teorema de los ejes paralelos, I=2mr2 /5 – m(OG)2].
 
 
 
	La barra delgada y uniforme Ab de 16 lb se sostiene por medio de una rueda pequeña instalada en el punto C y el extremo A puede deslizarse sobre una superficie horizontal. Si la barra se suelta desde el reposo en la posición indicada y se ignora la fricción en A y C, determine inmediatamente después de la liberación, a) la aceleración angular de la barra, b) la reacción en el punto A.
	La estructura ABD se forman conectando dos barras de 4 kg y un collarin de masa insignificante. El movimiento de la estructura se controla mediante la fuerza P aplicada al collarin. Si en el instante mostrado la velocidad angular y la aceleracion angular de la barra AB son de cero y 10 rads/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, respectivamente, determine la fuerza P.
 m=4 kg
Barra AB
Barra BD 
P=35.2 N
	El tambor de frenado, de 160 mm de radio, está unido a un volante más grande que no se muestra. El momento de inercia total del tambor y del volante es de 18 kg.m2 y el coeficiente de fricción cinética entre el tambor y la zapata del freno es de 0.35. si la velocidad angular del volante es de 360 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se aplica una fuerza P de 300 N de magnitud al pedal C, determine la cantidad de revoluciones completadas por el volante hasta que se detiene.
Ahora tenemos:
 
; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
 
N 
A
B
G
V
o
a
A
B
G
W
1.5530
3.2482
2.4000
F
B
N
B
F
A
N
A
F
A
=400 N
0.10
F
B
=200 N
G
F
A
=400 N
F
B
=200 N
G
a
r
AB
T
A
G
0.50
T
A
G
a
Y
a
X
Vo
a
a
r
G