Mecanismos_Mabie_Cap_7_y

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?78 E}ICRANAJES'CONICOS; HELICOIDAi-ES Y DE CUS''\NO
I7:463¡nm.'determine el diárnetro'más peiqueño para-el gusano:que se puede 
usar pera
.calcule el paso,axial riél gusano y lo3.diámetros,de paso de los,dos-engranes''.: '1{jñit-':;i:
6:41m-.,LJn güsanó.ilé.tres,buerdas mueve.un_e-4gra¡e-de 35'.dientet "* T'111:T.t'd"
püo dé ZO;-'g *,n y.ün:ángulb,de hélice de.2ll08"; Si las,flechas son perpendicülarss';
calcuteel avanee¡lel diámJtrode'paso'det gusano:":" :-'i"i' '":jr' i:'- "'-i
Capítulo Siete'
r'.fril.
::::'ji'
Trenes'de engranajes
INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANAJES
Con frecuencia eS necesario combinar varios engranes y obtener de esta forma lo
que se conoce comg tren dé engranes- Dada la velocidad angular de entrada de un
tren de engranes, es importante poder determinar fácilmente la velocidad angular
del engrane de salida y su dirección de rotación. La relación de la velocidad an-
gular de entrada con respecto a la velocidad angular de salida Se conoce como
relación de velocidades angulares y se expresa como o"r,/torn,-
La figura 7.1 muestra un piñón que mueve un engrane recto externo y un
piñón que mueve un engrane recto interno. En ambos casos, la relación de velo-
cidades angulares es inversamente proporcional al número de dientes. 9n la for-
\
6.42m;.:Un gu!áno de cuatro cuerdas.mueve uri,enlrane'conrunarelacién ¿s velocidadeq
arigulares de-8*J yun ángulo entrefléchas de.90e.,Elpaso axial del'gusano es dE-18:651.:
mm.y el ángulO de.avan ce de27 .22e-,Cdlcule lOs diánetros depaso del gu-sano i el engra¡C-.
6.43m- Un gusano de seis cuerdas mueve un engñtne de 4l dientes con rúl angulci énri;
flechas de 90o. La distancia entre centros es.de 8890 mm'y e I ángulo de ava¡rce de 26:981;
Calóule los diámetros.de paso,..elrávance y el'paso axial del g¡s3no- "¡i,i:'.iii
6.44rri.- Un fuSand;y.un engraná con'f,lechas d 909 
y una disancia enrre eent¡os iiei76r20;
mm deben t*". un" retació-nide velocidades de 7tl .,Ernpleando un ángulo de avance db;
28,88"; derermineios diámetros,de paso..seleccione los números de dientes para losiq-;
de paso.
' -. - .; ...
3'
7.1
u".r @r A!
@sd ol N'
FIGURA 7.I
t"n,- 0t 
-- 
A':
Qs¡t @r Nr
!:.i ¡
; ,r¡:;;.':
..':::
,J:j ii'i{!í'
LO\t gIY tJ J(.é\/\AJ E5
ma indicada- Los engranes externos giran en direccio¡es opueshs y los engr.anesrnternos giran en la misma direccióñ que su piñón. -Esro i. ir¿¡"á mediante u¡signo negaiivo en ia ie,ac¡ón o. ueiá"¡iJ.ri;r nrilner "*o , ,,,"llunre un signopositivo en er segundo caso. Hasra er momenro no ha sido .r"""ru¡o asignar unsrgno algebraico a la reración de las vetocidades an€urares de un par de engtanes.Sin embargo, cuando s1 com.biLa,n :.t;;;"* dar un .,en. es imponanre con-siderar el signo debido a que indiba ra ái.¿"c¡án de rotación- drró 
""'!"p"cialmen-te cieno en el análisis de rrenes.de *g*"*. pfunetarios.
En ocasiones es necesario camb-iar ra áirección de rotación de un engrane-sin cambiar su velocidad anguiar. rrto f uro" i,acerse colocunao un 
"ngrune 
roco ,entre el engmne motriz y et Jngranen'oui¿o. cuando r" 
","pi;;; )rgrare toió,la dirección de rotación cambiá pero la reraciin de. verocidades perrnianece iguar:, .se puede demostrar que la relación de verocidades angulares de un rren de lengranes en el que todos ros engxanes rienen eies fijos de.oü"¡* .Jg";;ü;
3.:.j:".,:,r:lTi,l"-*jr:lir- i",,"a", 1", "iig.un", movidos dividido enrre er,producto det número de dientes ¿" r"á".1á, "ie.;;r;".#;.tHffilff,'Ji.prescnh en forma de ecuación medianrc -- ---o'-"vv "'vq¡ver' EIE ...r:-
I
l.n, = 
@moriz 
- Producto de los dientes de los engranes movidos ,,..:i'(¡) rr¡ D
@.n. 
= 
@moriz _ ?roducto de los dientes de los
sat @müda Producto ¿"
Para ilustrarer uso de ra ecuación 7.1, considere el ren d" 
"ogr*". a"'irlfigun 7 '2, en er que los engranes 2 y 3 esrrín monados en ra misma flecha. Larelación de velocidad". 
"ng-,llur",,.í¿¿"Jipo, 
.---- - .,i_
N"xN.+-'N,xN.
@"n, {,)t '
-=_=Osat &rr .
FIGURA 7.2
TR¡NES DE FNGR.{NAjES pLANET-{Rrcs 
231
ii iin:#i':'"" L?"T:fi:1:;; : 
o' -- ac i ó n' s e p u e de d em o s ¡rar rá c' m en ¡e
(,rM
tD2 Nr Y :!ü)4 :- _ 
¡/o
t'',' iy',
ú)1_ ".:..X
Pz
--ai-. :. 
_
t.l¡ 'N"-'; - *M.: Not ;N3
Pero
Por lo tanto,
. :ili-:.
-;i;. Li.
I
(7.1)l
. :i.
f;
Omovido,
-=
@moriz . 
"rodu"ao
(7-2)
i;:1"."T'#l,.rriJ"",,T,j"*r.r,*.*lry,"ssereducendemar¡eraqueesre
;i[;iT""]fl s;11*3:,*:"1",*.;,ñ,il"::?i,::.*il:?,f :.":,,,:¡nuestra en la figura 7.3 ilustra un nen ¿e enfr*", tipico.
7.2 TF.ENES DE ENGRANAJES PLANETARIOS 'f.
Para ob¡cner una relación de engranes deseada, con frecuencia conviene diseñar
fr f:¿ff :i.fffiT*:#ilffi'l:H,i?H1*sranestensamovimienroprane-
sobre su p-pi" 
""rroo 
,to ou" al mismo ,r"_.1{*" 
de manera queno sóio gire
centro. Las ñg** t oo y zloJ*"",# ffiTHl,T:::;ff"1l:1liL.:;:::ros que el en-q¡ane l con-frecue";;;;;"-;inombre 
d,e cántrar á "oury el en_fl.1l-.::t," ei nombre a" *S*"p¡"liri o'"*¿l¡,e. En ta ftgwa7.4a,et brazor mueve al ens¡ane 2 alrededor d"r .rr-eran. i .l 
"rur 
.. ,rn *lruia exrerno frjo.uomo puede verse, er en-qrane 2 
-eira alieciedo, d. ,u propio centro B, en knto que
2E2 TREIIES DE E11GP--'\NAJES
E¡e móvil de
rotación del
engrane 2
FicuRL 7.4
Para la frguraT.4a.
' - ''Á.,.r:
' .-:i:i :i
"- 'rr¡r'iii
', .'¡ i; '¡i,-
esre cenrro gira alrededor del centro.4..A 
medida qtle ei engTane 2 iueda sobre ia
.*. r^rrrió, del engrane i., un punto de su iuperficie genera una epicicloide. i aun\,r^¡.+U mllestfa ei caso en el que ei engn-arre I es r:¡ engrane interno. E¡l esle ca-
liri.'_n.n"*r" una hipocicloide meriianre un punro en la superñcie deJ 
engrane.2.
Debido a las curvas generadas, un 
lren de eng¡anes pianstariOs colr Jiecuencia Se
íñ"" "o-o tren de engranes 
epicíc:li¿o o -cíclico'"""- 
E, nás dificil determinar la relación de velocidaCes angulares de Lrn tren de
engranes planetarios que la de un tren ordinario deilicio 
a la doble rCraciÓn de¡
,n!*n" planeta o satélite. La relación de las velor:icizrdes an-eularespuede obtenerse
nráion," ei método de centros instantáneos, el clérodo de la fórmula 
o el método
je,rab"luc;0". El método de las centros instantáneos se.presentafá en el capítulo
i', ib. orot dos métodos se verán a cóntinuación. Prilneramente se esrudiará el
método de la fórmula.':.. . En la figura 7:4, cogsidere que sefequiere determinar.o.r", da,Ja or,. Se debe
norar que r,r;,istá definiüá como la velocidad a'gularrdel tng*le 2 con relació.
,ir"gt*" i y *r, está definida como la veiocidad anguiar ciel brazo 3'con rela-
,iOnár *"gtur" il p.u;¿o a que el eirgrane.l esta fijo, eSto es lo *ismo gue la
v"lo"i¿ua.á"gular del ".rgtuná 
2,y del.brazo 3 con relación ai piso o base: En ia
SóluciOn del problema. c,.r"r/t.r',, juega un papel imponante'
,i Considlre que se médifióa.et..tren de engranes de la .frgura 7 -4a de manera
que el brazo 3 ei estacionario enilugar del en-Qrane 1. El brazo 3 se convierte
JntOnces en el piso O base y de esta FOrma se obtiene un tren de engranes 
ordina-
rio. por lo tantá, la relación oz¡/r¡¡ se puede evalual como-Jy'//N?. S¡ el meca-
nismo se regresa ahora a su .oñ"¿i"ióo original. es decir. con el brazo 3 rnóvil 
y el
,rgrun" 1 ff o, la relación ,z¡l- r¡ seguirá siend o -N /N./ Larazón de esto es que
cuindo un mecanismo se in-v-ierté. el movimiento relativo entre los eslabones no
canrbia. Ahora se puede obtener una solución para (t)rt en función de las cantida-
des conocidas trrl ¡ Y ur"-./t:,, escribiendo una ecuación 
para t,lzt y dividiendo entre
(l)3l como se muestra a contlnuacron:
(l)2¡:@3¡*td23
ú)tr - G)3
0¡r 0¡l
TRENES DE Ei-ICRANAiES PL.{NETARIOS
(r)rr
l--
(r)l3
\
J¡i.J
(7.3)
.i.-. 
J.::.|::.!-
. :i. :it
Eie fiio de
rotación del
braio 3 . ?or lo tanto,
'r,=tr'(r-tr)
Eje móvil de
rotaclón del
engrane 2
(ü al
(r)ll N:
';::il 
_r'r 
:
FIGURA 7.3 Reductor de velocidád'dé triple reducción. (Corte-
sia de Jones Machinery, Diüsión de llelitt-Robins, Inc.)
I F(-l.i\iES DE ENCR_AN.!-ES
-r,:.,rr(t-ü)Para la ftgura 7-4b,
Eje móvit de
rolación ctel
engrane 2
o23
o13 N2
,o = trr(, 
"9
Al comparar ras ecuacion es 7 '3a y 7-3bse ve pgr qrlrs imporrante ,uíi¡n ii .rsigao atgebraico correcto d".::J;; :ír" 
"J,lur,on z.:. , ,
,o,,.," 3rolj"*tiijllli"*ciói"el ?aso ;-;i q,r" todos. ros enñ,ñFa _,-^_ -, :,como er brazo. Esto se lus,rra en u n-óñ;:;::"tff"0"."::ff"::Tres siran asírequiere encontar u,^...fr ."rol*r".EJJoiáf,"- ,..i" rclación clav3¡Y{ra¡,yse-debido a gue es ra retái;on a"l* 
""r""i¿JJ"'J ¿" lor.¿os engranes ;":t:#:li*'brazo y se puede waruar Ricitñe;;:;;;;"" escribir ecuacioner
,l}1rí.i?f,¡i#e 
de man era qu" up"r"." iJiet aci ¿n @ zql @ j o.trr" r.i,11f"?1',1
@2¿ i t¡21 _ t¡¡t
,0)3¿ = (l)ll - úJtt
Dividiendo la primera ecuación enre la segund4
@2¿ Q)rr - ú)
-=JL 
ljl
. ú)3a Q)3I - ú)q¡
@2c ,
[ 
(-t, - rr¡or) = 02¡ - ú)¡r
', .'j,
Eie fi¡o de rotac¡ón
del engrane 3
y del brazo 4
FIGIJRA 7.5
TR¡NES-DE ENCRANAJES PLANETAR.TOS 
2.q5: i:_l
(7.3a)
Pero
Pór lo tanto,
'=, = (fJ0r3, r u¡¿r(t - ;)
g = _i/,{d34 N.
02q=@2r-0¡¡
trl3o - rlr, - ro*,
02¡ @21 - ü):,
ü).¡ (l)-¡l 
- ú)¡¡
@LA ü)r - üJ,
h)FA (,)r - @¿
Q.3b)
',' = (-#J.,3 -F ,a¡(t - #J (7.4)
' Al obtener ras ecuaciones 7-3 y 7.4 se vio que en cada caso primero seobtenía ra reración de ras verociaaaes angulares de los engiranes con reración al
:ffi JJ::::"":::*""it1..:_":l"ilT"l"ro"iaudreradvaysecombinabanpara conrener esra reración- Aunque este mérodo ;rü*", ,ráíñ;"#::,T:;:' desarrollar una nueva ecuación puru 
""au-ri"tema pranetario que se encuen*e...Para evitar esra repeticion, 
", fJritl, ;;";,apricarse 
" "urqlilr rr", d;;"t;;;o;;;".'#Jlt 
ecuación general que pueda
Considere nuevamenre ta 
-fi 
gura is f Lr. 
""uaciones
- Si en la figura 7.5 se c-1n_sldera.que el engrane 3. es el primer 
"nOun" , qu,engraí¡e 2 es el último engrane, la ecuaciói anrenor puede escribirse como
el
(7.s)
en donde
@t"
;= reración de ras verocidades der úrtimo engrane con respecr' aiprime_r'1 ro. ambas con reración al brazo "--¡¡v e¡rg,d¡lc con rgspgct
úr¿ = \'elocidad an-gurar der último engrane en er tren con reración a, esra_bón fljo
t'1., = r'eiociciaci angular cier brazo con reiación ar esrabón f,ijoc'rr = verocidad angurar ciel primer engrane en er ren con reiacion a, esia__ bón frio 
uv¡¡ ¡úraLJ(
1.,:i':::;
i.;ii--j:ijj
iiiili-g
I
2gó ;TRENES DE ENORA]{AJÉS'..] 
:,.,: .1"I
Cuancio se usa la ecuqqió $ 7-5 se debe enfali¡ar que el primer engrane y el ú'
eilgrane deben ser engiai:"S qüe sé acopleii, 9.qñ 
.el engrane 9,-:"gt"1Y:: 'l
*áir.riur,,o planetario. Asinrismo. el primei engrane y el último engrane. deberi-i
estar en flechas paralelas debido a que las velocidades angulares no se pueden ¡¡ii
tar algebraicamente a menos que ,los vecto,ffs gue representan 
estas
sean paralelos.
Alrora se utilizará la ecuación 7.5 pata escribir la ecuaciÓn para 
el tren
engranes de la figura 7.44- Considere que el engrane i es ei primer "ngtl,T:
el en-erane 2 es el último engrane:
,:;tri .::r '--' r'l'2!3 t'l:¡i: ,'.1::'j :'r" 'Li.' ': :' riii 
' :jii tili
:i'¡tr:i:a lit@A.=.¡p¡rii'';;;"'r'i : -'i.:':fl'-1 - ''
' illi'=l:ütil :'bi ' " -*'i'1 ;;::¡: "'; "ir;r:"' : 
''
:..:. ," -:.',,i. ;.1 ¡'. i;:,;i ; " "tr:; ' j :i' :'l : :'
Sustiruyendo estos valores se obtiene . .i. .: ..r.,i
.' Iy', ,,-" ciz¡ -- (,r¡l
-J: Nz 0-.¡¡
@2¡ 1-'f Í
:11
': .ii
.i ;^!
que concuerda con la ecuación 7 !3i. En éi siguierite ejemplo se da una ap!
de ta ecuación 7.-5 a un tren más compiejo' *' . ,
..';
Ejerylpta 2.1,,, siet brazo.6.y el engele 5 de la ii1sr¡ra.t;tj:: ".]-:.i11 "l--'] .t:::ii:_Y,T:;r';¿;í;, ...jil; ü,[, ¿,fu¿. "l-Iii."mo 
-Je;-ecÉr,). a ts0 y 50 rad/s, r¿sr:,ec{i';ame¡te,
¿¡ -
es €l primeringr:rne )' gué el engrarre'3 es el úlrinio engratre:
(ur,r @1. - 0.¡
U)Fr S¡ - 0.r
TRENES DE ENC;IANA.IES PLANETARIOS 28i
3 (3oO)
Eie móvil de
rotación de
losengEnes3v4
Eje fiio de
rotación del
engrane 2 y
del brazo 6
Brazo
6
\
t -.1 i ,: r"¡:'
";i. r',-r-,,.,.: ' i
'|: 0r^ 0.1:l - 0)tl:=-
td¡6 0)5¡ - ú)t¡
@r* N, x N.,-::-(¡)$ N. x N,
5 (20D)
20x30
2S"18
?5
- €.--21
3-5 r¡:r - 150
2t 50 - 150
:Débido a que el signo de ur., es i-eual que el de <'r5¡.Y 06t'olt está en la misnra dirección-
A;;;il;; ,.nrT,lo de lai'manicillas det retoj visto desde e[ ex'emo derechc,-
,ii- E" ocasiones es necesario anslizar un tren de engranes planetarios que no se puede
lÉi't.,., medianre una sola aplicación de Ia ecuación ?.5 como se hizo _en- 
el ejernplo 7'1-
inte$o frjo 7 al Íe! de ta figura 7'ó para af¡of'l¿rse
r¿l¡lc + Lgr¡ru is ¡r¡qv.:r¡s e¡r re ¡¡e-"- _ _ r -
usar d(rs veces la ecuación 7.5 para resolver sl problema. La 
prinrera aplicación
f;h..;;; i.i.o"tia.'"rá tos engranes 2- l. 4 y -5 1' el brazo 6; la segunda apiicación
^¡ . l-..i^,,r- -i.-ñrñl^
ibnsiderará los engranes 3- 3' 4 y 7 l'cl t'r¿zo 6' Esrrr se ilustra en e! siguier:re eien:nlo
:Ejempto 7.2. Si,:r., gira en el senrid{r úe las rnanebiltras del rel'.ri (r'i5te 'jesdc i! e'ctie-
mo Oeiectro) a ó0 ¡.¿rC/s. der:nniire @<l ). su dirección dc ro¡acio' lírgura T.?).
. . Considenrncio pritnerall'ietic a lírs *nÉranl's 1' 3' 4 -'- 5 I'el br¿zt: {i' trr¡lle ai elSlrat-rc
lccnlo el piimsr engfalre 'r'al enq.'anc .5 cc:n'i el últinlci en'iiallr::
ul¡ - 6r
@r - (ü..r
288 TRENES DE ENCRANAJES
Eie fijo de
rotac¡Ón de¡
engfane 5
FICUR,{ 7.7
Q):o UJr - ü)¡r
{d¡ (rl2l - 0J0
e¡_N:xN. 18x2g 2l=---o¡ó N.x¡/, 30x20-25
Por lo ranto.
2l @s¡ - t¡Jr¡
25 {¡,r:¡ - ü)r¡
ü)Sr - iDr¡
60 - r,rn,
sin embargo' la ecuación ra) no se puede resorver ya que conriene dos incógnitai.rrru,. Por lo tanro, es necesario 
"onsid"ra, 
los engranes Z, 3, a y 7 y él brazo 6. To
,'no 
"i 
,il,¡río;r;;,*' " '-'::
'3 i:,r:@:r 0:l - (¡l¡r "-'rl.
: : :ll
- 0rr=_ff:xN._ 18x28 Zl
@:n - -At, x N, = -30 . ?ó - -95
-2] - ¡¡r, - t¡n, 0 - a^,95-rrr¡,-r"-60=;
Resolwiendo la ecuación (á) para ou,,
lr-t(60 - t¡u) = 0 - o¡¡
?l x 15
:9
3 (30O) Brazo
+ 10.8ó radls
TRENES DE ENCRANACESJ.PLANETAR.JOS .?39!'-
:: pi;:ia ecuación (a),
Eje fijq €te ..,;.
ro¡acton de¡ :_,;,
21 ,.
- E.rcU I on,) : &).¡¡ - @¡¡
I0.86):t¡s,-10.8ó
orr.i o¡¡r.T r{¡.X * = ZOOO x ?9
. . . . ,:;:l^i..ir f:. .i,1. ,,,; .i.i::....-"..., ,,.,1i,.
,= + ¡ q00 re{s y misma:djécciónqui t,,
engrane 2 y :i.*i
, det brazo 6 i
.: r./¡! iii.,_r
-:;-3}:..¡.i
.r,;.ti
,,, ,
.-i.: . r
.jjr'! ' r.'
! Eietüode': 
ro¡ación de
)i losengranes3y4
.. y de¡ brazó I
. Eie fiio cre
rotación del
engrane ?
FICURA 7.8
s'
, .:, Eie móvjt de.
ro¡ación de
toi engianei s y.6.
ir:/ ¡!"t,-¡1..-.
r't:
iiii
r;:i
l-,!:
.:.i!j
TRENES DE ENCL\NA.IES PI.,INETARJOS ?91
.290 TREI{ES DE ENGRANAJES
@Bt = 0l = 350 rad,is
Eiectuando las sustituciones.
::i ¡fi TABLAT.'?i,
&ng¡ane 2 ,.. Engrane 3 Brazó.4
+l +, I
5
8
'
.+J 1
..il't+-
NI
.N,1- +1
..,¡¡ ili!0 i;
ilustrar el emPleo del'
= + 150 rad y misma dirección Qrle o¿l
ii:
¡.Ejempto..l.4.. .co.n¡id11que 
ertrazo { ae ta neul],?.g'T *,.1l::lilo:.::li- .lo:
.ir'lul mun"c;Uas del reloj a 50 radls. Determine <,r, en magnitud y diiécción. Ver la tabla 7.2.
$ to, 1+(N'lNr)rÉ 
-=7 1
*:'(i,.'ü)"=
.,
3.
Engiane l. Engrane 2 BrazoS''
Llos datos de la tabla.
.'.ii 'r
E¡e frio de
rotación del
engrane 2 y
del brazo 4
ejemplos para
' { .i::i
L-_. r':a -
Eie móvil de
rotación de¡
engrane 3
Movimiento con el brazo relativo
al basúdor (paso 2)
Movimiento relativo al brazo (paso 3)
Movimiento total relativo al bastidor
+l +l dú+ I
0
+l
fr; -Una-ventaja clara del método de tabulació"."t'_qY: t"-PY-9d. obtener más de
:iÉüiit rel¿rcióñ a pártir iJe una dolución. Eir el eiemplo 7'4; si hubiera sido necesario
H¿ete.m¡nar el valor de o.,,, esto se podria haber realizado fácilmente a paftir de
I
I.t.
FIGURA 7.9
t{'j
iitl
;:lf
r!:
i': I
ils
:jl
ii r,
1i¡i
Elemplo /')' El ejemplo 7.r y ra figura 7.6 se van a desar¡oilar a continuacióni¡ll
dianre ei mé¡odo de taburación. Debido a que rodos ros eñgránes dé es¡e trén glián,}rml¡
;^^::r:'r'""ffi:"#,J:,*:T:T"::'J:,:'^",5t;fj.9"';;-J.nü ,"y," .e-:-y.e.adso"úi¿o 
' 
q*.rüiJ"n";j .n'Lul!",éste debe ser er número de vuertas 
" 
qr"-"r,á sujero todo o o". "";ná;;; É,? *;tü,,,l*i,,r de ra rabra 7.3; nore 
", ;;::'3i;#: :':1?",,':.:::;::":,"r:Tl'.i1:*#::it !.#ii.
i;;"1::'"i:?:j:':::::,'^t:r':-"i'lc*":5 en ra rínea z pu,uá*-"1,;J""-*ü,Ji:,+50- Con el brazo 6 estacionario en la Iinea ? y el engrane 5 girando 
"n"* ,"" """a'to*;tconocida, la roación de los engranes 2. 3 y 4 se puede dereqr.riqa¡ fágiln"nrq O*¡.¡.r.üg'. ,
,., :,ro -'0.(#*+) =,r;- ;;[ry)
TR€NEs DE ENCR,A.NAJES
=,.150. ¡
= + 30.9 radls y misma dirección que r,rrt y oól
Engrane 2 Engrane.3
;. 
ApLtcActoNES DE LOS TRENES DE. ENcRANAIES PLANETARTOS 2g3
, .,, En la figura 7.7, con los daros del ejempio 7.2, .;-r,= 60 rad,/s con ciirección en el
. "r:*,r:,]::^T^"::.t,,T-o:l 
relo.,' visader¿, iliJ*,r.'no derecho. Se requiere dererminar
_. 
;s, y sl d¡recclon, ou, se desconoce y &rirj:0j
Considere eue: ='iu, 
"', 
= ast:,,.lj ,, ,
'*'(r+#) - eo'': ,t ,..,i. li
,(t-H#) =60":
/. e5\x\l +i) :60
ii,
1-- wJl J wól .. _ r". ..;Ejemplo 7-6- ¡nonse resorverá er ejempro 7.2yrañgura7.7 empreando 
"i'ir¿to#
:: :t,,i i: ::li, 3? .1_1) : _u I .sre pro b I ema, t a u e t oci áad a,igu rar oel brlo-s";;; ; ;ü'por ello se requiere una variante en ra solución .on ,-"ip""ri 
" 
i"a;l*btirls;i'-::1-
= + 10.8ó radls
- ; -..i.
-::n. r
TABLA 7.3
Movimiento bon e¡
brazo reladvo al
bas¡idor
Movimiento relativo
al brazo
Movimiento toral
reladvo al basridor
T1.BLA 7.4
Movimiento con el brazo
rela¿ivo al bastidor
MoYimiento rolailvo
al brazo
Movimienro roral
reiadvo al basridor 60
+ 150
N.XNt
úo - loo/N' t-N,)
\¡¿. x M/
+,1N., x Nr)
\N, x N"/
+ 150
+rooff
+ 150
+loo S
& - r00
+50
Engrane 2 '.Erigrane 3 :Engrane 4 Engrane 5 Engrane 7-
+xl :l _r
Z)4 TRENES DE ENGRANA"iES:
A la hél¡ce
Oel motor
interno 3. El ensrane 2 sé
FIGURA 7.I()
-::5a'-.-:J..
-:;'.': : '' FIÓüRiti7"-llliunidad'planetária de:reducción para una iransmisión
de }rétice'.de un:avión;'(Gortesia de Foote Brothers Gear & Machinery,'
Corp.) ,.i .,1 , ' ,. ..:, i
En la: figura 7.10; ei motor mueve al enqrane
ácoola óon el:ángrane frj o'1 y con el enqrane 3 de manera que tiene un movimien-
r0:planetano. El.brazo í, o ionuao. pl-anetario, que está conectacio al engrane 2,
mueve ia hélice u rrnu,r"ío"idad menér que ei motor. La ecuación'para la relación
:ii i
l:i I
,1:, i:
f::
!ll
:-r.i
-f i:.
¡ii
i.:.
¡*:¿:t .
FIGURA 7.12
APLICACIONES DE LOS TRENES DE ENGR,ANAJES PLANETARIOS ?q(
(r)., , se+t
o3t
'alj 4l
.tJ:r
I €i:l
.:."1
296 rR¡NES, DE ENCRAN{TES
FIGURA 7-13 Diferencial
de un automóvil. (Cortesia
de Gle¿son Works.)
Existen muchos diseños,¿é'trétiés'aétfu""s pranetarios y urra ampriJgama. de re-laciones posibles. Las apricaóiones mencionadas son sójo dos de unai,:amplia variedad. En muchos c_as-os es posibr. out¿""r-r";;;;;;;lJJ""ii""
mayor con una transmisión ry1¡neeu.eña empreando un tren planetario que cufn:db se emplea un ffen de engianes ordinario_^
7.4 ENSAMBLE DE LOS TRENES DE ENGR*{NAJES
PLANETARICS
cuando se. diseña un rren de engranes- pianetarios se debe consid.erar el problema
ciel ensamble ciel tren con planetas isuaimehre espaciacios. Con el rren-iiusrrado en
ENSAIVIBLE DE LOS TRENES DE ENGR,,{NAJES:PLANETARIOS 297
Diferencial de en-
(b)
{IGURAT.laa
granes cónicos.
n9,2 
lnue;ve 
ar ir¡i¡f1i$.:,.41iU1',#ür¡'é ai.¡qgooi z.,sl'ei,iarro áuinru 
"ririnrrfl
_."_.:",nu"u 
ad.gfantq,lós édgaggi:4; 5 y 6 grrp óómo unaunidad,cón-él poná.ilol
I,1o,.TJ 
.ovimieñtq rélarivó éntre elloi. Los engranes 5 y 6 hdcen firar,a'tos 
-e¡tu¡ 
,
Sin embargo, cü'ándo-el 
^,rto'duü.rá 
r'"eita rOS éígran", S fO ñ;"igrran a l¿,iiüs¡i.m-a velocidad y el engran:.f !eI: que girar alredldo¡ dé s" ¡t pidt;;é, ui *iim,tlempo que !s movidg no.,ef'ngrlacpt, e¡ i'r"."ruot"'n"r* ñ;Í ülá li¿'r"i'*.- ,das se mantierie esracionari? t b.i"c-"¡la éj.-aefi qúe gir. r;ur"*"*é;,ñ;gü#j-.rueda girará a una veiócidad ápi y"I"_r_*lddiü'q;;if¿"1 ¡¿¿áJr. e stu."*á¿tér,ri¡tj9a^e9 una désv;r-r.taj". 
";"ng; -9i-A;;€ú';ds*ü;;.ü",#;;1¿;"*1iiii"1T*'Lomo se menc¡onó anterioifrente dn er cápÍrulo 2 lseééioñ z: t 6; Eremenrófde cálculo), los sisremas de cálculo electrónicosi*i,""rirpi*"-áo ¿rá"" 
"r"01ü 
,
1P: j1::ii mecánicos..No o.b¡tgte, exisren aplicaciones "n U, li" se prefie-ren los elementos mecánicos debido á cfue no iequieren energia eiécrica. Las
figuras 7.14ay 7.14á rnuestran un dife¡enciarde.ngrun., 
"d;;t un diferen--cial de engranes rectos, respecrivamentei Las uñ¡¿uais de engranes Jó;;;;;iÁt'
disponlbles en varios tamaños comerciaresy se urilizan extensamenr" 
",rurr¿o 
,r,
requiere un sistema de control o.tálculo,melúhjbo. - --- -.-.'
.rectos. En esre diferencial el engrane 5
{48D)y el 6 (69D)-son 
"o;p"urior-v u] 
:, :',
portador 7 se fija a la flecha 
-g- 
t" poa";_,,, ', -
¡i1 
fluVe del engrane 2 (48D) at piaiieta-,
3 (I8D) al engrane 5 y fina¡menre a¡ en_
grane 6.
la figura 7' I 5 puede suceder que para un número dado de dientes en los engranesl' 2 v 3 quizás no sea posibi. i",'e-r "-r--ü;;;r pl;;;,; i-*;".#;spaciacios.Para ciererminar el j
rlnr^ ¡ numero 03 pianetas que se puecien usar para un número
;"::."_. 
oj.,"l.s en Ios ensranes 1,2y 3, e's necesario determina¡eláneulolOB enLcu-9ur-3,'.lo¡.oueresul¡aiecueeiengrans3ha,,,esiciogirado,-¡'nriú¡n"roar.r,__
i::::i,,:j
0a¡ = 03¡ X
298 TRENES DE EN-GRANAJES ENSAMBLE DE LOS 
TRENES DE ENCRANAJES PLANETARIOS 299
rren planetario de la frgura 7.10. gue esl.ii ourtit ciel análisis de velocidades del
i-iJj;ti"o al que se está estudiando,
.1-.....
_ :: "
;-p6¡ lo t8nto,
¡+;;
ú)¿r N,
'@Jr 
^¿3. 
:F 
^/r'
''1 Ar, 1Z y 
--: 
- 
reVOlUCfOneS
Nr.'N¡+Nr N¡+Nt
. ..4.:i¡
¡Íi¿ngulo AOB esel ángulo que gira 9-l brazo 
4 cuando d Try:i":-l"l-"i11
mrii?" "f 
engrane i. 5; et éngrán" 3 se mueve un espacio de diente, el ángulo
igual i'00,. Ést" 
"s 
el m--enor ángulo posible entre los engranes planetas si
pr.m¡i" q"q éitos,sq.traslaperi- Si el engrane.3 gra un n¡r.r-rero entero c de
ios de diente, entonces,
' .', i
:LAOB c(0¿¡), = ffi'*voluciones
...i'"oy *.3. e I ángul o enl.: l:: tP:'-:l :i: :::13 ; | ?*:ii'-''ó;-;;i;"r" u-"orrtin,ración ét caso de la figura 7.16b en donde el engrane I
';-to airedn rrn esnacio rle diente con el engrane 3 estacionario y se requiere'ie ha girado un espacio de diente con el e.ngran: 3 estacionari" I :"-1111t:t:
ü;ñ;;i a,"glá,aon,.si.0i, es igr:al at r¡iovimie¡to angular 1",""fT:-l
táilptr* ¿" q,rr"h" sido girado uñ espácio dediente Y 0.ol "" l*ll:t movimiento:tlesllues og que na sluo gllauu ur¡ srPov¡v uv u¡v¡¡lv
:rr*1,*rt ¿el brazo 4 (ambos con respecto al engrane 3)' entonces
*.
1etr=M
(¡)¡e' 0¿¡:0t¡X-, 
.. 
(rr3
se puede rJeducir fácilmente due ..
(7.6\
":il'
-j_
/f3. si 0lr
girado un oo: -- Nr
G)r3 'i/r + A/:
0¡r : i- revolucionesNl
1o"=[ *"'N,+N¡
1
N, + N''
'iil
l,iir
3OO TR.ENES DE ENCR-dNAJES ENSAMBLE DE LOs TR_ENES DE ENGRANAJES PLANETARTOS ,301
,..' . - j -- -.-.':'. ! .,,.:. ,OA.:= R, +.R" .,,.'. ,.', ..,t,
Comparando las ecuacion-cs ?:6 y 7.7 se puedemismo ángu_lo independienr"-".rt" d" iu"- 
"t. "ngr"rr"o más espacios de dienre.
.- .....:r1/.{
.ver 
que el brazo 4 giru rllr o et engrane I giren u¡s,
. .';;
Ror: R,
;::::i::1""ÍÍ#,::"':ri:j:l:"-:"i^:"l"iuciónenrreprarredi;;;¿ialr::;::igi:""ffi l:i;ig:"1"#^*"f :r:::l*i:, ji"-*iáJ,i"#i;iil:l.$;:::il"'¿il"'.T:H?Tl.e¿?,p-*.r"G!,J;;ñ#;",d;,ilil3!li1l;1dos arrededor der engranó r.'s; 
" iépi"s*ü J ;.i,ii;.";,$lli#T:xlt":::::l¡
F
fr :f fi H*il.,ij¡:H:3'r";_;;;;;;;;;:üujT;ll[iJ
valor de.i.xr! *
ff *ffi Jluffi11,i;ll**::*"i:*:[1Tp1ü;i.i111.ff#aillüdos engranes planetas casi toc¿n?ose 
"" "i 
pLa C. De la figura,
n-.- = 360,max LAOB LAOC
' LA7C = ,"n-,€.oA
;
'I r :.
¡?>R,
R¡ :' ¡ *' *' '2R, '.: . .-
en donde
,.':]
'r;Y
:
fi:::!: l;I;""*"n:::: :f:l=fne¡aiibs similar ar de Ia ngura 7. I5, er ensrañei:;1.;'j,*ij,lll:l::*:j;;;o";-,"';;:;-",H:::,.ilL."ll?iTJ;lj;:j"""1"","T:i,i.!¡.."p""i"J;G;ñAT##1n;;T::H;::::ffi:,:ilj:¡¿,=.N,-N' _90--50_.^
FIGURA 7.I?
f
2
_"fiz TRENES DE ENGR-{NAJES
n:mu sen-r(N:+zy(N,+N:). sen-r(20 +2)t(50+20)
= 9.8 planehs
Por io tantO..el número de planetas-en el tren de engtranes no puede ser mayor de.9'
-... :.i,¡¡,r:::r...: ,i¡...;. _.¡u:., .; .t1.
N' -F N, 90 -F 50 140'..-.
ccc
Ei valor de c debe ser un número entero de espacios de diente e¡re planetas ¡ al divi(
140, dará un núrire¡o entero n. Paia este'caso, c.puede ser igual a 140. 70' 35' 28 ó 20.
n = i,2,4,5 ó 7 planetas igualmente esPaciados. | .
7.5 POTENCIA CIRCILAA{TE EN SISTEMAS
c o ¡$:tR o LAD O s D-E'iiN cRlq.NArE s P LAN E TARr O S'
Como se üo en el esnrdio,ante4or,,l4l,Fpn dq,9nryq9,..plel-e-El9$ 9ft"l,"9,o,gqTl
iii.'"*i"l'";;;;";i;JáAi¿ aé'"és eléineiiioi'liiaiorídi,in ¿on¿e id i,élti
cidad de cualquiei elemento depend-e. de las velocidades de los otros,dól
todós los diseños considerado".lltll:¿1.--lmento'ha h?.p,'d: d:^t:lTdf]lli
pendientes. Sin emUargo,:ds pts;Ute:a;sé1a¡.uir difer"ttciál planetario en aold;
velocidad de un elemento está controlada ¡pgl 11.,.!rr $¡. engr.qnes 9919"i,i1deJ'vvluuluqs f ,- , j .:.. :., .t ¡j._. -, . r¡.¡ -.:¡ir¡lJai
cuaiquiera de los otros elementos- Esta adiéióñ ie cónoCe-cotno circuito de coi'
trot áe ramificación y puede contener.,un-trpn de engranes de velocidad ftjao.
velocidad variable.
- Aunoue las r.elaciones de velocidades anlqlares para -u'n'sisteaa pJ111gEgi
: - -'-^:".i:-'-^'^^-*^r :: ^^i^.,r" fá^ilmente "" ¡;ncil detenilinar la cargadtr
"on 
ún c¡rüi'ro di'cbntrol éé caicula fácilm'ente,-es,djfigi\$eterminar lq 9,a-r¡L$
-.-^ á^r ^:.+--. Fc nrrrr ;mnñrfenfe orre se cons¡dgfelapotencia circulante dentro del sistema. Es muy importante qYt,t'
cantidad de potencia circulante'en el diseño d9 unidad, pues de lo contrano
dnan tenerse eficiencias bajas-
EI diseño de'un,,tren de engranes en:base a la resistenciá está más allá di
-ul"un* ¿",ta "¡n"-¿ti"* 
Sin embargo- el sálcul.o'de la.potencia circula¡t=e
.on..,"¿o tan directam"nr, ¿ diseñó einemático que ié:consider(¡convenie¡.f-r-i;
incluir un breve rratamiento del tema según-lo Presentan Laughlin, Hol
Hallr y Sanger.2)¿ J4¡¡5v¡.
La ng;¡ra 7.18a muestra un dibujo de un tren de engranes pl"i"titl:t
un circuitJde conrrol de ramificaciónfoimado Plr-los engranes 2' 3, 41..1:
flecha I es la flecha d" 
"itruáu 
q". transmiie potéritiare irtrpu{sa al éngrañé'
brazo 10. El engrane O 
"s 
ñ"lrudo por la flLcha I a ravés del circuito de:
trol. La flecha ñ, qu" es impülsada por el engrane 9, es la flecha de salida. -..'-\i 'ltt"i:
, ¡¡.¡1.
'@enkoyA.S.Hall,¿.HowtoDetermineCircularingPowerinconi¡{fiid.
Epicyclic Cear Systems" . Machine Design,28 (6t.'
rD. J. Sanger. "The Derermination of Power Florv in N4ultiple-Path Tr¿nsmission Systems"' 
Machanitttt
anci l4achine Theon.T II).
180180
lo tanto,
¿:1i....:i. .!
Elemento a,
PCTENCI^. Ci RCI.¡LANTE EN S ISTEM.{S CONTRCL.'\DC S J,¡.i
7 (90)
Elemento c
Brazo 10
I (140) B
Pr"l. - | hP
=5hp
Al analizar el flujo de potencia en un diferencial planetario es necesarrc
ignar a los tres elementos básicos. giratijrios del sistema.como elemento a
,{üirrinto á y elemento c. Uno de estos elementos es siempre un brazo que Ileva a:^^:-,{----
$lós engranes planetarios y los otros dos elementos son engfanes en ejes indepen-'f¿¡rnt"i. 
EI elemento a siempre será aquel miembro que se proyecta desde el dife-
ial hacia el exterior del sistema y se conecta al elemento ó a través del circui'
iJe control de ramificación. El elemento ó siempre será aguel miembro que
Sransmite potencia hacia o desde el diferencial al circuito de control de ramifica-
,?lr^ p"rr'""1;;;;r" potencia direcamente hacia o desde el exterior dl sit,.-
El elemento c siempre será aquel miembro que se proyecta desde el diferen-
ial direcramente al exterior del sistema pero que no tiene conexión con el circui-
üé bontrol. Eñ lá figura 7.18a, el brazo l0 es él elemento a ya que tonla poten-
iiiá'desde el exterior del diferencial y se'conecta al engrane 6 a través del circuito
it, 
-- ---:t^i- -. -^ -:--^ ^^-^-,tle control. EI engrane 6 es el elemento controlado y no tiene conexión directa
:hacia el exterior del sistema y es. por lo tanto. el elemento ó. El engrane 9 trans-
.¡ire potencia directamente hacia el exterior del sistem¿ y no tiene conexión con
.el clrcuito de control y eS, por lo tanto. el elemento c. Se debe mencionar que Se
aoiicaria la misma notación si la entrada de potencia fue¡-a a través de la flecha B
í ii ;:flfi l¡ il i;ilÍlJ i i ffi:'.,, i':: :, :"" :,, : :il :1:3.* a,ra v es d e, b raz 6 1 ¡y ia flecha,{. Por lo tanto, aa ou.l.-"Ill,"o","r'o-ot'ta'ruera a traves oel brazo tú
:onfisr¡ración ¿ei ¿¡feJet¡l¿;: ?yr'.Í:H :i:::,::r",.j,":.1?:ld. ,olr,n.n,. d.¡"o"'-*ü':¡;,:L:.ji:f*:.,llf lf _..i"_;il;iüi:iTü:Tlinj:il.?;ü:T:t:::f ::Hi,i*_X], j:i¡j:*,ll"i!,';".1",,,",11J".,,."¡¡l''f 
" 
I : : :;,, a""a " ." i"-a ;itr il: l;ii "¿,',i#lij::FX::,K,
í;:,';,*,i,:ii::i:il:l['.T:x,rj*:1 jt"'j:üi::?,^ffi "!".:["¡;:f#;l".xfi :'"".'f ,:'::*;:a*#"{j:#:ü:i:i"",il:'T"*-t"TJ5:i"q:iil'j"i:'"ffi""ii:ffi *'.m#^"*:'ir"iü;?ffi ?1"i'ffi :?lH,'*Í:i'j::::::.'r-"^"i*.'.0::- jÁ:;:ji;;ffi ;;;*Tffil::ffi""l
í:l'.::::"j:,:::,*f ut*,eiJ"il¡;;;;:';.";::l#"1",j#F-:,fi :,::l::*q.,
304 Tq.EryEs DE ENGRANAJES
.y de esras potencias ói
"n=& -Totu' p" T"@"
Además, considerando al diferencial como una unidad aislada,
If:.To+To+4:t
IP= To,;,o+T6,;,o+ 4o.=0
Resolviendo ras ecuaciones anieriores en forma simurtánea se obtiene
ar-rr¡¿(o.-rr¡o)' t.l.(üro - r¡¡)
r(I - R)ar' = +.j' t- r
.: i
i,i
:.i
:.i
en donde
a rravés del oro.
(¡)6
@ol
''f0o
. (rc
R
i"lJj":1,";'::]3:i'Í]rl,_.-l que ta porencia fluye hacia adenrro o rru";" "rÍ"j,Í:'":'i::::"Jili.'::nf :.*'":i;i:;;;;';;:sfi 'J'1'ü:i":,'',1?i;:#rlt¡vehacia er diferenciar a¡ravés o" rno á" 
"rí 
/ q' r, -y es negaltva, la potencig
¡ rravés del orro 
u¡ s r¡eys¡ (rs uno qe esros e lemcnros (ó o cJ y hacia afucla
Ejenplo 7'8' considerequeener ciiferens-.ial mosr¡acioenlafiguraT.Jga,co,=i600r?nr en ra dirección nrosrrada y ra enrrada i. f.,.".r" es de 5 hp. b.*.rr¡". ra.porenciaque circula en el circuiro de conrrol O. ru_lnJ.""'.n
POTENcjA CIRCULANTE EN SISTEMAS CONTROLADOS 30s
rlro = (dr'r = 3ó00 fpm
@¡:@¡r=-.,.&*N.'-N, x N,
= 360040 x 40 -20.x Z0
Empleando la relación (ecuación 7.5)
ai.:;
.,¡.
, una relacié¡
(7.10)
.(7.17)
'' .,a..-'-;
,. , . ..
t.l))tt lJJt - lll,
Ut lt)ts - (t¡
(¡lwru'(¡!ut-ettwl
@rytr üJ¡ - ü) tryl
" 
Or1::1r,:"itrar ta velocidad ángular det engrane 9 como sigue:
"!ln;,:::^.i^":g1: !-es 
er primer 
"ngon" f o;'"i-"nrrun" e es er,úrrimo
:#::"; "t: ::: ::l:1.1T l1m 
erof 9e a-'i" i"' ¿. ?"* ffi; :; llTT;n:' ;: :T:ob¡icnc la siguiente ecuación: . ., i'
NnXN* 30xZq
NzXN, 60x4g
r,¡r' - 360i)
14,40(,t - 3600
lr¡,' = -i (10,800) + 3ó00
. = 900 rpm (misma dirección de roración que or¡¡y¡)
Por lo anro,
.... t.= t'¡sl 1900 rPm
Susrituyendo en la ecuación 7. I l, 
j ' i
r(1 - Rl!=+:' l-r
or, )4,400_= _ A
ot¡rr 3600
ot,r¡ 36OU
=__AüJ,rr 900 - '
4lr _ 1)1'=<- .
, - T+,-q
Po: io lanro. cie Ia ecuación 7.10.
@ryru
0)wn
I-t
l
i
' ,ft
üJ,,,/.=--
¡(=--
{¡J.
El valor positivo de 1 indica que la potencia fluye a través iie los elementos á 
y"i en lá
misma dirccción (hacia an¡cra o hacia adcntro del diferenciat)- Debido a 
que el flujo.dc.
potcncia se dio desde.el diferencial a través de.l gilemerto c. la potencia.ci¡.cul1n1e fluye
desde el diferencial a través del elemenro ¿. t6ima¿h¡tudes y direcciones del 
flujo d¡
306 - TRENES DE ENGRANAJES'
P"o= lP.
=4x5=20hp
poteicia se muestran en la figura 7.18á.
EjemploT.g-Considerceldiferencialmostradoenl"^t-t::t:.t^t:,:"-",:::::J"T.,IL)JÉtt.P.v /./.. wr¡ü¡us -""----. -; 
^^,- ñ__-_:__ l_
la ¿ir,ecciOn niostra¿a y una entrada de potencia de 20 hp' Determine la potencta qui
circula cn el circuito de conüol de r¿mificación'
Apartirde los datos dados.
' i¡ !-í'i " 
r ':ii
.,.-, ..9e¡ = l$,¡prr,. ' ;, j -ñ(f)' = "'*(fJ'=.li¡¡-i¡ 'p'
ü)¡r = @!t - -133'33 rPm
oo, - 100 rpm
0)ZltO &)tt- ü)lrYl
út¡rto ú)¡r - ü)rYt *'
en donde
ü)r¡o - -N. x N. = -64 " ?! = -1.145edro A/t x A/s 38 x 36
Por lo tanto,
-200 - <tr,o,
-166.67 - 0rr¡,.r
4t",\
-1.i4-5 =
porENc.rA ciRcULANTE gN SÍSTEMAS CONTROLADOS 30?
7-
6 (64D)
I (3oD) 3 (30D)
Ps =20hP
Elemenlo C
riüí,¡ :. -;.'; ;:. ' 
'; 
¡.r . , ' . ¡:'. ¡irt '! r¡¡ ¡
-':';:'(J)u,= uor =.- 166-67'rpn '-., '' ' ;
'i..,, 
*,"=r-J 82.2 pn .,' .,iai.'ee9¡ qn,áp ué¡3,,.1 e*, )
frii:"'[ p¿1¡¡ ¿at *i¡¡gg;preséntado'anteiibr.riiente;ilas üelocidailes angtilarés & loi ele,
m!¡ims'¿, á.)t'¿ mostrados en la figúra 7: lgalresultan ser'l "' ' :
0¡ = <r.r;i ='- 200 rPm
. 0.= oru.¡ = - l"Q2-2 mm
Ahora se puede cleterminar la ¡otcncia circuiante a rarti¡ de la ecuación f- i l:
309 TRENES DE ENCR,A.NAJES
en donde
Q)á _200
F:-=
@" . 
_166.67
o _ ro -l 66.67
t,l(. TjB2.2
Por Io tanto,
=+1.199
= +0.915
,i:
'-i
' '.,i:
i:
,!: ti
, ii¡
' 'i':11
:.: liI l:
-. t.r99(r - 0.915)' --J=]llbb-: -o--sl3
P 
"¡, 
= lP,.=_-O.S l¡(:O) = -l 0.3 hp
;. i
7-6 ENGRANAJE MqTRTZ ARMóNrcos
EI valor negiaiivo de 1 indica q_ue er flujo de porencia a ¡ravés de ros erementos óyc será en direcciones opuestas con relación al diferencial. Es deci¡: puesro que el flujo deporencia se dio desde er diferenciar a.ravés der eremento c. Ia potencia circuranre fluyea
i::::: f ii:Ifi""Í i:Tñ1d;ri;e;cia¡' Las áagnitud"' v ai'"".io*,'l"l n';" o. p*
I
El engranaje moriz armónico es un principio patentado que se basa en la mecá-nica de cuerpos no rígidos- Emprea roa tr!, 
"o*ponenres concéntricos que semues¡ran en las figuras 7,.20a.y.1 .2-0b para producir unu ,r"nru¡ -".ani"u y un,reducción de verocidad elevadái- Et empteo-Je Ia mecánica de cuerpos ne nsidos
::T;; ::::::::.1,:::: o: _oe fr¡x lón .iupi i "" y con ti n ua "n, n . n*.ini-"ifjii;no rigido, proporcionando de esra ror-" lr, "";;r#;""J""r"0"i,."ro conrr..nuo coD un engrane interno rígido.
Debido a que ros dienteJder eremento estriado (Flexsprine) no rígido y dcrla estría circuiar rigida esrán en acodrarileit-o conrinuo y debido a que e I erémen-to estnadó flexible tiene dos dientei *noi qu, ra esria circu)ar, una revorución
:: I ::Ti:i. i:]::: :" movimi ento re rativi- enrre. er el emenro esriado fl exiblev la esrria circurar iguar a dos dientes. De estalbrmr, .r;i;;;;ffi?:iiltJ;t4a roucionaimenre, er elernenro esriado ñeritre gi.*í .n u*iir.i.ion. opuo-ta a la entrada a una reración oe reouicién iguir ur número de dienres der elemen.ro es¡riado flexible dividido entre ?_ uL urstrtcs
lEl 
,marenaj 
de-esra sección esÉ adapÉdo direcra¡¡enre O-Emhan Machinery Group, wakeñelá. ¡r*... ,;r. .l_*;::í:il:fi::,:::::'i,:.,:r":.:.Mat:uatdt FIGURA.7.2O
ENCRANAJE vfoTRrz ARMONTCO 30g
EleDanto estdado chcu¡a¡
un éñqrañe
¡n¡erno .igido
Ga¡endor de ondas
Un cpdiunto é,ipti@ de
fodamienlo de bolas :
lii,
Elemoñto egri¿(ro fl or¡btg
(Fbxp¡¡nel
un ongane enamo
oo .ig¡do
i.:.:li.
t:
. :..
ta entraoa itet generaádl dá, :L11_g'ir,* desviaar etemen¡o
.... .€snado ftexible para acopt4tos' '-'d¡sntes á¡ d eie fnavoi--* 'll r.:
''' !;,
L¿ sal¡da det e¡emento estnado
I¡exlore g¡ra eñ di¡ee¡ón
opues¡a a tr entrada
ffi i::f :i:,f f ;?:;:'t" 0"
complelamente dgsacootados. i¡
mayor pane d6l mov¡m¡enro .l
relaüvo ocurrg aqu¡
El etgmenlo eslr¡ado cj¡culá,
r¡g¡oo esá fiio con resoecro
a ,a rotacjón
r:¿:3'#i*ffiH#F#"jf"jdff:t'ff,g'"fif""ff".m,:::,,:l"fj"#,lil,iTT*ffiff;H**,."J:
0o
31'S TRENES DE EI\¡GRANAJES
muestra
Esta rotación re I ati.r¡.ase.pue{g-.ver. ex aminándo e i m owim i ento de un
diente del elemento esú.iftiÜTfléÍibl!.s.9.-U?éq""dia revolución de entrada, coni€xiUlá sobié med i a revo luci ón de entrada, como se
.t,i.t-,.:.i-¡1i+-,ÉÉ¡Fj.:.. .-'¿
áó;crranoo el eje principal de Ia en¡¡;i
PR.OELEMAS 511
S¡nfin de
l- 563 mm de diámetro
. 11.'
(50D)
8. 392 mm de diámet¡o
5 (42D1
FIGURA 7.22
;ffe Oos rodillos de corte A y B para el corte de l¡irnina de metal se mueven mediante el
*.tren de engr¡rnes mostrado en la figura 7.22. Las rodillos deben operar en la dirección
:I.mosrada a una velocidad periférica de ¡-150 mm/s. (a) Determine la relación de velocida-
;i¿es angulares li.rlo'rpara mover los rodillos a la velocidad requerida. EI €ngrane I gira a
áJSOO rprn. (ó) Diteimine la dirección de rotación del enlrane I y el sentido del gusano 6
f-jliLra producir la rotación requerida de los rodillos.
,ii,¿. Enel dibujodelaprensamostradaenlafiguraT-23,loselementos5y6sontornillos
-,,de una sola cuerda de sentido opuesto, con el elemento 6 enroscándose dentro del 5 se$ún
Lse indica. El engrane 4 está fijo al tornillo 5. Una ranura en la placa I evita que ésta gire al
lencajarse en et bastidor. Si el paso del tomillo 5 es de * pulg y el del tomillo 6 es de * pulg,
; determine la dirección y el número de vueltas delaflechaá que se requieren para bajar la
;: placa B una d¡stancia de i pulg.
,.7.5. EI tren de engranes de la figura 7.24 muestra las cairacterísticas esenciales de la
::.transmisión del husillo de trabajo para una máquina fresadora de engranes. El disco del
i. - --:---- Á--L- -. l-L^- -:--:.engrane I y el engrane 9 del ggsano están montados en la misma flecha y deben girar
.. juntos. (a) Si el disco para el engrane B se va a mover en el sentido de las mapecillas del
.- rcloj, derermine el sentido de Ia fresal. (á) Determine la relación de velocidades angula-
..,rcs r¡y'r'¡s para cortar 72 dientes en el disco para el engrane B.
,:7.6. Un tren de engranes contiene una flecha7 a la.cual están unidos mediante cuñas los
.-engranes I y 2. una flecha intermedia B con un engrane compuesto deslizante 3, y 5, y' una flecha Ca la cual están unidos mediante cuñas los engranes 6 y 7. Los engranes están
numerados de izquierda a derecha; todos los engranes son rectos, con distancias entre
centros de las fiechas de 12 pulg y un paso diameral de 5. El engrane compuesto .se puede
desplazar hacia la izquierda para dar una relación de velocidades de 5:l mediante los
engnnes 1, 4, 3 y 6, o hacia la derecha para dar una relación de velocidades de 25:9
mediante los engranes 2, 4, ,< -v 7. Elabore un ciibujo de la unidad y calcule los números cie
. dien¡es en cada éngrane si N, = Nr.
S.liCuando .el ej e p¡lncipal del gene..
iáirat El reengranantientg cómplerg
ia circular cuando el eje prin..
forme el eje principalgir¡;
dos avances de dient
¡-:-'- . l' ' ;"';?':. ]la transmrsron Pueoe ¡unciG-r
el engrane se emplee pa¡l
o para la operación de un dife.
!é,fP .!
.Fi+r' r.r_r j .-
án ia dirección mosfiada a 240 rpm- Determinil¡'a 24U rpm.l.L|uL''lg.-.rJ.v¡.E.-..--o--:remalleraiü']
velocidad (rpi¡) del piñón 9 y la velocidad (pies por minuto) y dirección de la c , i:', i:_i:vg¡9!¡Uss\¡y¡¡ -w---f . i:::1:i
7.2. lJna gnia.se opera medianre un moto!.que mueve a un gusS{ro,.de.1¡.guerd-as- {.,jug,$r
acopta,i i.ri enffigde l00 dientes.El qngrané:.t'á."njl: il1'-Tl-T1:I1-".:.]iI*'
U úl'"*U¡¿1"-;;üá."" Oiqóf¡trcpió dle 20 dientes. El piñón se acrjplá con uii-pirgranc
unidad y calcule la velocidad dé-izb¡¡ientt
y el diámetro del tambor es ¿é:iZ ñriig- 
'
y el dirimetro del tambor es dé:12 ñü
4 (120D1
,:3 (80o)
FIGURA 7.21
!:..
i:;(48D)
.T
..i.
1(16D)
¿a ¿eiEÉ€iáu&li
ruaói'a-e ofiaffgíi
ocurre én el e
cip-al se gira g¡
' ¡,*t.,,.
.':v\'_,,.-
,,,- 7 \8 (80o) 1
'Sinfín izquierdo :;"
31? TRENES DE ENCFL{NAJES
1 (18O)
: I l.l,t
ll.:..
FIGURA 7.]4
4 (36D)
EIGURá 7.26
PROBT,EMAS 313
$'
i. .
ij¡:
:i. ¡-. l
:.1
íJ;rjLÍ"Hl:li;:ffi:" de ra ngura 7.2s.los,.:i,]'"r 5 y 6 son de una sora cuerda y
Bfg;j;H:;,""Tlg*::ffi ,,:::il11i,1,,:,T*:.itml:*ffi I#;-d;-,;;"-**ffi::il'J#:?i1.ij:::il,"1:##::ill:*1fr 
**:".T
7'8' La figura 7 '26 muesha pane de un ..en de engranes par¿r una fresadora venical. Laenrrada de potencia es a úavés'¿. ¡" por* ñ.ilo'" l" oor"rcia a ravés der engrane 12. Los
Po,ea
10 {460)
r2 (41D)
FIGURA 7.29
PROBL:MAS 3l
__.. vencional. La transmisión de po.tencia es_como sigue: Primera: el engrane 3 se desplaza;
para acoplarse con el engrane 6 y ia trinsmisiónse efectua a través de los engranesl,4,6,;
3. Segunda: el engrane 2 se desplazá iara acoplarse con él engnrne 5 y Ia transmisión se
efecn¡a a través de los engranes I , 4,- 5,'2- Téiceni:. EI e¡grane 2 se desplaza de manera que
los dientes del embrague én.el extrerio del engrane 2 se.acoplair con los dientes del e¡n-
brague en el extremo del engrane l. Se obtiene una transmisión directaReversa: el engra-
ne 3 se desplaza para acoplarse con el engmne 8, y la Eansmisión se efecn¡a a ¡avés dc los
engranes i. +, Z, 8, 3. Ún auto equipado con esn transmisión tiene una relación en el
3111 TREi\|ES DE ENCRANAJES
engranes compuestos 1y2,3 y4,y 10y ll puedendeslizarse. como semuestra Paradar
ciiversas combinaciones de engranaje: Determine fodos los valores posibles del tren e¡¡¡.
la poiea y el engrane 12. ;. ; ;
7.9- Lafigura7.27 muesti¿ parte de un üren de englaries para una fresadora venical. Lo¡
engranes compuestos.,l y 2 se pueden deslizar,de manerq qu9 el engrane I se acople con el :
"ng*n" 
5, o blen el engrane 2 se acople con el engtane 3. D¿ la misma manera- el engranc'i
13 se acopla con el.engrane .15 o el engrane'14 se acopla con el engrane I 6. (a) Con el .
engrane 2 acopiado con el engrane 3, determine las dos velbcidades posibles del husillo,
cuando la velocidad del moror es de 1800 rpm. Indique !i el husillo girani en la mis¡n¡
I y 5 si los engranes 1 , 2, 3 y.5 son estándar y tienen bi mismo paso diamerral-
7.10. En la figura 7.28 sé muesEa esquémáticamente.r.rna:,transnüsión automotrrz con-
. ,.::lr
16 ,;t3;:
(102D) . .--.ii
.:'i¡nl
15 ' . i,¡¡is.D) :..¡
8 t40D)
FIGI.¡RA 7.27
. ,i,
üferenciA de 2-g:l y un diámggo exterior.en las ruedas de.J6 pulg. Determing ,3,":,o.ll
9Lüá"1.-oror del aútomóvil baiq las siguientes condiciónes: (a) primera velocidad y el
l.;'iüió uiáj-ao a30 mph; (á) tércera velocidad y el auto viajando a 60 mph: (c) reversa I
i,el auto viajando a 4 mph.
, ?.11. En el.embfague planetario mosrado en la figura 7-29, el tope 6 puede estar t?badc
ó'dejtrabado. Cua¡¡dq está trabado. se tiene un tren de engranes planetario. y cuando esté
{fsffUfao, il reiultado -9F un tren de er:granes ordinario ya que el brazo 5 
permanecerá
O¡entes de¡.
emofague
1 (15D)
Al motor A les ruedas
:;.
'-1: itt¡l ''i '
i.'*.,sij. '
5 (24D1
6 (1sq)
4 (30D)*
};.rtt.', '' FIGU.RA 7.28
-¡rr:
Engrane intBmo
Polea.da 4 Pulg
de d¡ámetro
FIGURA 7.30
. it.:
,..:': j,i !
, ¡:ii
.,,i i,
':.i ¡¡
esracionario' si ér engrane 2 gira en ia dirección mostrada a 300 rpir, derermine (¿, 
,u
veiocidad del engrane anular 4 cuando 
"t 
rop" .su destrabado como sela veiocidad del brazo 5 cuancio er tope 6 esÉ'trabado con e,,engran" unurul;.tsttu 
y (ó)
7'12' Considerando un diferencial deengranes 
"*',"?, como los=que a",rr"n en ias trans-misiones auromo¡rices. demuesre q;.;;;;;] d" lu" *"d., *l"*.-iJ"uro se ievan-ta mediante un garo, ésra girará oo. r"""r -i ,iirag qu* .r poi"aár-i.]l¡rur.n.iar. 
.7'r3' si un camión roma una curva a la derecha u rs *pi,; il""",;;',;;.iociaad en rp,¡del ponador det diferencial. El radio ¿" 
""*",r'r* de la.curvg ". ;; iü pl", ut ."ntro ortcamión y la rodada de ésre es ,ce 6 pies. Er di¡ámerro exrerior de ras rued¡as es de 36 pulg.. .7'74' Para la tra'nsmisión pranearia de engranes cón.icos. mosrada en ra figura 7.30,6.- :
;.T'T]:::':|'.1il.,.,cuando.n.ng*i.i.,,l",,""iondo-'7'15' Para er rodamiento mosrradb en ra figura t.t, ;;,;;;i"n* , ,rr¿ 
"ro.¡on"t 
'" r{ ila pista exterior 2 gira con una flecha ruuiar a r !o! rnm. si ." ,upon. ,odamienro puá .l_ -enre las bolas y las pistas, derermine Ia velocidad cter retén 4 de r¿u boras. -.t ;7'16' En Ia figura 7-32 se muesúa un mecanismo conocido como paradoja a" r".gur* ,f.r,,Pa¡a una revolución del brazo en la Oirecciii rnostrada, encuenúe el númciones de tos "16;;, 4 y 5 v sus airecc¡ones áe roración. Los "ng"un".;;tii"t!.tilllf :l7'17' LaflecliaA gira en ra dirección mosrradá en-ra ñgtra..33a 640 rpm. si ra frecháB r r ,debe girar a 8 rpm en ra direcció" 
',or*¿u, "u¡Jut" lui"ru"¡on or.,r"ioí¡¿"aes angril¿{ü 
.f 
,:
l';l?;jrt"t 
debe ser la retación .yr. fuÉ quJiu n""nu B gire:aü; ; la dirección I
3]ó TRINES DE ENCRANAJES
ll|;"i: "j"T:,T:,1:...*^Llfl.r.34, er engran e 2 gtra a 60 rpm en rá direciión
ffi "lr:, ::¡:ine,la vcrocidi y ¿i,.""i* o"'i"ü",¿n ili#;Tü."n," :"::.¡
l;?;.*í'::x,1"' j:n:::::"^T::T-";;;;;;;;;;;--;.deHuiniagéEncuenrre la relación de r7,^ E_ _r - , relocidades angulares orlor.
l:11,"?1,"1^,::ii:.::T"".,pranetarioslor;i;í; ngura 7.36.,derermine ra reración
nJ::::::j,:'flT,,I:_::,:¡ !"in.-, ".1 J""ij; "i"; ;;',";" J,llffill "'1 :;T#;4 se conecrara direc¡amenri a ía flect¡a a. ru¡¡¿"1 ,"-o-,i;"'T;r""";;;;,"¿; ;:
"i'
FIGURA 7.3I
FIGURA 732
PRCBLEMAS 317
2 gira a 600 rpm en la direc-
rpm en la dirección opues¡a.
S¡nfín ¡zquierdo
de doble cuerda
FICURA 7.33
10 (400)
7-ll. En el rren de engranes del probiema 7.20. el ensrane
:::#;j'::,11;Í.TT#:.1.Í,iJ,ll;11J". jl,:fi .:",.,i
5 (7rD) 4 (70D) 3 (69D)
:i.,.i
i:lt,
318 TRENES DE ENCRANAJES
FIGURA 7J4
:.1
i: -1:
j:r-.
'4í 
.
7.22. En la figura 7.37 se muesua el trcn de engranes para la ransmisión de dos veloci<la'
des rJe un supercargador de avión. El er¡grane 2 se mue'.'e nre'Jianle un engrane de ó3
dicnres (que no se ¡nuestra) el cual gira a 24OC r¡rn..4.aita 'relocidad, el engrane 2 se
r:r')n€cta a ta flecha ciel supercargador mediante rrn engiana-ie rditjicnal- A l:aja velocidaé
el engrane 7 se mantiene estacioirario y la flecharS se.i'¡treüt¿ a iallecha de! supercargador
PROBLEM,A.S 319
3 (54D) Engrane inlemo
con la misma relación de engranes que se utilizó entre el engrane 2 y Ia fie8ia del
supercargador. Si el supercargador opera a 24000 rpm a ¿lta velocidad. calcule el valor
cuando la operación es a baja velocidad.
?J3. La figura 7.38 muestra el conjunto de engranes planenrios y flecha de iransmisión
para cl servl de un avión. Si la flecha',1 se conecta a,l motor, de¡ennine la'relación de
vclocidades angulares os rl ct t.
7.24. La figura ?.39 muestra un rren de engrane-s planetarios para una rcclucción elevarja
dr velrrcidad. (a) Si la flecha .4 se conecta al ¡notor. detennine la reiación de I'eloci,jades
angulares t:../c-r". (á) lndique si lct.s cngraneS 2.3 ¡'1, ¡- lo-i engraneS 5. ó 1" 7 serán estándar
ono eStá¡dar. ¿,Pr:r oue'.t (C) Sí ei núme(r de dienres clei engi'ane i se canrbia de -il a -l-'
dientcs, caicuie la relación cie velociciades anguiares r,.l.r,'turf.
FIGURA 7J6
s (60)
FIGURA 7J7
FIGURA ?.35
I
I
I
I
32e TRENES DE ENCRANAJES
1 (142D)
Engrane
interno
J
(60D)
FIGURA ?..]8
7
(73D)
Engranes
¡nle¡nos
5
(12D)
2
(22D)
5
(49D)
6
{12D)
7
Atornillar
a la caia
clel sefvo
rl
F¡CURA 7J9
7'25' La figura 7.40 muesra esquemáricamenre ra transmisión para la reducción en rahélice de un avión- Derermine Ia verocidal aela¡¿r;ce en magnirud y dirección siermoror gira a 2450 rpm en ta dirección ¡n¿¡cuOa
4 (124Dt Engrane
FICU&4 7.40
T. rr F,RO8LEMA.S ,3-2 
_¡,
,: 11.2ó-, En la unidad planetaria,para reducción,mosr¿da.en Ja.figura 7.41, el engrane 2-gir.a
, :;rrl',J!] 
.f 
lo 
d;..1.ion ;nol"uo.. o.]i;;;,;;; veiocidad,y dirección de roución ,.r,.r..''.engnn?.-5....,,,,.,:,,... : .-,,.,, , to vutuL:lo?o:) o¡recciÓn.de roución del
"jí:::i|:x?"ffi 
*:* j*;:g,n;;li*:xil.,:-qü11,_-",tudi.."_
.direccíón d-q,roracr'ónIder 
"rgá""1. .r,;;',;,.. :']" 
qrrecc¡on opues¡a. Calcule lo ,¡"loc¡á"J y
7.2g. En el rren de engranes.plan"tu.ios,r¡ost ao", 
"" 
jujü"* 
e or, ;r.;gr;ne Z g¡;; a,600 rp¡n en ra direcciói_,_"d::g. o...u'-i".i.i^-,,.*ir;;;;:;;;;J'1.,i'" 
,-n,o";¿n.¿"r;bftzo 6 si et .engr.-ane 5,sj¡a a ¡so,pi e",jii*rrñ";;;,;;á;;;.il;;.#, 
, i ¡ : :
iÍ!;i:i"J,"#;:il',ru;::: lJl'*ffi j?":i ', ", ,"ne.ons, 3 ;ii i 
-l 
ó0, ,,n, e,, :,o
ramisma¿;."cc¡oné,iirineá,ü';liff ;:T';:il'ii!;i,rqÍÍl.X,u.'ff 
,1J.::ffi i:j.¡j; .-,i: | ::- .....: j ;r.. 
..;¡,..:....,j:.. 
ilr¡... !lr ." r,.,rr...1r-.,-, ,,.,... .r_;".. 
"=
.u ¡' :- ' '.: , . ,,.i,; i,,,. .. ;, ,...,. ,, ... ''; .;r, . .- , ..,1 ,?: i: t¡ír_.:i.. .,.
¡nlefno
4(UD)
FICURA7.4I
ii .:
2 (12sO) Engrane interno
FIGURA 7.42
5 (50D)
322 TRENES DE ENGRANAJES
sedebedaralengrane5parahacerqueelbrazo6permanezca'inmÓvilsielengrane'2
continúa girando " IOOO tp.. 
ti:i 
''
7.30. Parael trendeengranesdelafigural.43,laflecha,4giraa300rpmylaflecha:N¿
;il*J;;l;, iir"""¡oío .ssradas. D.t"rminela velocidad'v dirección de rotacióñ dc :... , .r:.1i.. I
la flecha C.'
?.31. En la figura 7-44.taflecha I gira a IOO rpm en la dirccción'mostrad¿i' Calcule ta 
i
velocidad de la flecha I y'dé su dirección de'ronción' : ¡ : 
' '' 'l:: : 
'
7.32. Enel tren de engranei:planetarios mostrado en la figura 7.45' la flecha l gira,a 450
rpm y la fldéha:g a 600,rpm en las direcciorr", -o.trad*- calcule la vclociddd'dila'l
t'ieci¡a C e in¿ique su dirccción'de rotación' ;:' 
i': 
. "' ' . .. tt:. "
z.ij. gi, r. figura 7.¿6i.É flechaA gira á 350rpm y la flecha8:a 400 rpm cn las direcciir- -
"". -ar,-¿u"] 
Determine la velociáad y dirección de rotación de'la flecha 9-. ' _ '_ tt' ,¡nes mostfacas. ¡JeteÍn¡ne la vstuG¡u¿s J srteve¡v'¡. "¡
7 34. Eo el tren de engranes planetarios cónicos mosrado en la figura 7 '47 ' la flecha lii
gira en la dirccción rnot*¿u Jiiso r¡- v lq fl1h1s iÍo9,T']."" la dirección 
rnostrada';
óet"rrnine la velocidad de ia flecha c en magnirud y dirección.
FICURA 7.43
'' .:
:
''i .';
Ei.r
4l42Dl
5
9 (70D)
FIGURA 7.44 F¡CURA 7.47
PROBLEMAS 3?3
fí
FIGURA 7.45
6 (42D)
7 l4ZD)
lo --
5
(25D)
5 (18D)
FIGURA 7.46
v (340l.
t32D)
I t24D)
324 TRENES DE ENCRANAJES
(ó) De¡ermine si se pueden usar tres pranetas,igüarnre",.';r;;;;;r.e 
Pvr¡v¡e q -ov ¡rr¡Ir'
l;a^O:^11,"'jl* 
de engranes planeuribs mssirapo cn.ta figrra 7.48- el ponarlor {eslabón
7.3fr.Para eJ rren de engranes planetarios de la figura 7.37. calcule el nrá.
ff ::1f ni :J::T"'i: 
tásrape ;;; ;;;; J'' o'on"'o' i gua I nr en re ..o"lifll,"iilT:¡
7'3ó' En un ren pranetario similarar cre ra figura.7. 15, ei engrane r tiene 4r ¿ientes,.i ..engrane 2 riene r g diente! y er engrane 3 tienelg dienres. Los Jngon"r'i 
"-: 
son esrándar
#f nTJ :.t;il: ::';;';'. 
o"-"'l n¿ ;i;;#; máx i mo d. p;";;; i g *r n, en r. .spi
7'37' calcule el número máximo de prané.us compuesros iguarrnenre espaciados qus5, .pueden usar en el tren de engranes de la figura,7,36. ,::
7'38' Para el tren de engranes planetarios mbsirado en ia'figura_7.41, calcule el núms¡'r,máxi¡no de planeras 
"oripu"rro, 
qu... pu"á.i-u"u.. , . . -:_.. . , :.- -.7'39' En el tren de engÉnes planetarios mosrado,en la figura 7.4g. er ponador r"r¡"u¿n l4) es-el miembro motriz y el engnne central (eslabón 
I ) S:_;l _¡"--C- ,lo"ido. El engra, .
::,'::.:::_" T,"i:i",r" **cionario.'Et engrane cenrrat debe girar a 2.5 véces ta .elocidad "del ponador- El diámero de paso der englne ¡nr"-o ñ;;;"- ñ'j"j;;],","."J1,.
il:*';,:l:'j:1"-""::::,1:,:y1les.y derermine númerc,s d" d;;;;;;;'.i""ü-i.:tnterno' el engrane central y los planetas usanrJo dienres de eng.unes,..I", *,¿r.ñrJl ;
ff*]:--f|, :Yl:l*" el ctiámetro de na¡gr. tan próxímo como sea posible a 280 mm. l
4) es cl miembro morriz y el.engrane centraFlbstlüOn 3) es el mie¡lbro mo.rido. El engralne intemo se mantiene estacionário. Et eng"anecenrral debe girar a ?.5 vcces la vclo'daddel ponador. El diár¡e¡ro de paso der engáne irltemo',iebi ;;;.11.ó pi,i! up*,*r-uar-mente' (rr) Diseñe el tren de engra{¡eg y deierminc ros numeros a" ai"nrl p"u* er engrancintemo' el engrane central y los lt4neias usanao die¡¡res de engr¿¡nes rccrosiJ.:faso oiamc'atigual a I0 y ?0" de profundidad roar. Manrenga ei diámcño de paso ánl**inro 
"nros.ea posible a I l '0 pulg' (á) Determine si se pueáen usar rres planeras igualrrrenrc' cspacia-dos en esm rransmisión.
7'41' Enelrrendcengranespraneariosmostrado.enrafiguraT.¡rg,er 
por¡adorlesrabén
1] _::-:'ltr-oro morriz y er engrane cenrrar (esrabón 3l es el ¡níelrrbro nrovi¡Jo. Er cngra-ne ¡nremc se mantiene es¡acionarir¡. El engrzne central rlebe girar a 2.5 vecc.s la velocid¿ddel ponador. El diámero de paso cter engáne inrern. debe ser dc I2.-5 purg aproxirnada.mente. (a) Diseñe el rren de engranes y dirermine ros números de dienres para er cngranc
I Engrane in¡erno
{i
FICURA 7.48
PROBLEVA.S 325
li; ln¡emo' el engrane cenrral.¡r ios planetas usando dientes de engranes rectos de paso dial¡erar
, :::'Ji]il, j,:,:'?lT:r.^i3_t1r,vunr"ls" .l ii¿nr",,o de paso ran próximo como sea,. 
:;:,o,;. ;::,:,!ili: 
(ó ) De¡ermi n e,r,. p uJi* u;;; ;;; ffi i;:lfi il:;Tillffi :
'7'42' Díseñe un rren o"-ri:,*.*1"' prun"turios que renga una relación de verocidad desarída a verocidad de emrada iguaria'r,s,,.oi rá neci¡a iéiloü;iü én ra misma
-t dírección que ra de ""r''li uu,i"" ra "."i'¿"L"il' o".t. rrgr- 7.49 e indique cuár flecha:' ¿s ra de en¡rada' Sereccione de enreros rJ;il;; tamaños dispbnibres ros engranes más;'pequeños posibles: no-:T: ¿.o¡-en,.rüi"l'áijo" ,t n*,i. 100]y números de dientes de
' ,'ff;""Jr",Tf 'ÍT::.f"t"t*TJa 
'r 60' E"cüen"é ;;-¡;;;; 'j-ilT[';o de praneras
.,:..7.43. Haciendo referencll aJ trende tres engranes có..n;óspl.rretarios de la figura 7.-se,'l encu"nre el diseño más conservadoi para ,eáuci, una..'e¡*í¿". Jr'"rr*o a d,e 125 ipm a
.rñ3|#;::#il"r:flgo 
a. a'áno' ¿iip"",u*,- ;r ;,,,',oo"J.'"0,"n,., 0,",u
::7'44' Diseñe un ffen o.::tr",r pranenrios gu" r"ngJ una reración de verocidad de sari-
#,:#,ff;i".r"*,T.i*;:i1¡^!-;2. """'lu n"Ir," d"r¡á¡r,;;.;;;lo"en ¿i,ecc¡¿n. opuesra a ra de enrada. utirice rur.onr,g-u.l;;;;;";;", ;";",""":r?ff?.:LTriil"rifisun 7 .50 o et tren básic1 de .*n" .iñ"., oj""ron* il ;;;;ln ra figuo z.s r .Los tamaños disponibles p^ara engranes ,"aro, y cónicos son como sigue: rodos los núme_ros de dien¡es desde l2 
" ]!.v 1¡it"r."r_o"J¡.ir."p"r"s desde +0 hasra r 80. Dibuje er rende engranes seleccionado e indique ¡" n""¡" J" Iri¡..¿..
7'45' Diseñe er uen de cuaro engranes prurr",*io. -ll pequeño posibre con un engraneanurar fijo como en ra figura z.sz pr,' *a""r r-" "ILo¿"¿ de er¡trada de 265 rpm a r 5 rpm.
ü"
FlcuR4 7.4e
.,1.i;i - !
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EAi¡l
:45.i .
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326 TRENES DE ENCR.ANAJES
,$
FIGURA 7.57
indique cuál flecha se selecciona comg la de entrada. Las especificaciones requieren que
el engrane 2 tenga 150 ciientes. Los mmaios ciisponibles son como sigue: números Pares
de d.ienres desde I 2 hasta 40. números de dientes de cuatro en cuatro desde 40 hasta I 001
2 Engrane cónico inlerno
FIGURA 7.50
!.:,i¡i
' i¡ .'-:-:
r'' i.i'..1i: :
"*
:'
PROBLEM.c.S 32j
:números de dientes de cinco en cinco desde 100 hasta 150. Determine también si es posi-
ble tener dos engranes planetas como se muestra.
7.46. Enlafigura7.33,laf7echaAeiraa640¡pmenladirecciónmosrradal'transmíre10
hp al engrane 2. Calcule la potencia que circula en el circuito de control de ramificación
FIGURA 752
7 (190)
3 (42D)
FIGURA 7.53
..:
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l!:,1 ¡
3?3 TRENES rJE ENC;i.{NA.tE.s
)' elabore un di¡gr¿ma esduemá¡ico der flujo de potencia. La flecha B que esra conecra_da al brazo l2 es la flecha tie saiida. EI:en_eran-J riene 20 dienres y el sngrane 4 riene-10 dicnres.
l;jl;,,fi,Ii:H,l*i::,,l"j"lll:l l lo:11 .1sLne:, er cuar gira a ó0 rpm en ra direc.
i' lil#'lÍ';,T:: H i: :: :: :: :l; i "*'d;{';' ¿, ;' ; ;;::' :: :, :J, ?J#' i'.:ffi
íj:1"" 
un diagrama esquemático 
"l 
or,1t ;9'..j,iü';, ;;;'1"; 
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l;Í.|.,H i-:":_t;i:::.:iffi,ll1"e3ie aer¡Le'ru n""hu a gíra a r00 rpnr en ia
$:'',::11J""':::,:,'T::a',"-ionplil"*"¿;;.b:',u'''';:-:ff ,:lT':j",:Jlet circuiro de con¡rol be ramificaciil y, ;il;;"-;;:;"dl
ere¡ ¡¡¡r¡¡s la po¡.encta que clrcula e¡
ragrama e-sqúemático del fluio ¡-flujo deporencia El brazo I0 es la flechatde,uii¿... ,, i
7,49. En el diferencial de ¡ ; i
f50 mm en ta direeci¿" ,-llÍ-31"1 iT11r*rTf|o eir la_figürá 7.53. ta flecha,4 gira a
¿:?.ff:""3"1':,":"::: ::::Í,:':-',t;i;,iiJiñ;t"'"iili';li;'iii"J""ií'Ílffp.alcule la potencia que circula 
"r "l 
o*,jiio,;;;'' -- 
t'vv'LaQ ss ra rrecna oesalida-
diaerama esdrremári¡a ¿rar sr,.:^ ¡^ -^-.. ,- o -tuntrol 
de ra¡níficación y elabore un
lt:tlr::
j,:1 t: . : .. :.
ri¡ ;;:'. ' ;;;
rli: ¡r I
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", capítulq.ocho
¡':i'o'rNTRoDuCclów ,
';.:.::¡j'-..
: : .,t:, ..1:. '¡;;
-. .- i;.r' :!i; ,¡:.rDaúioo a que er m'óvimiénto es inlrerente a ras máquinas, ras cantidádis cinemhdcascomo la velocidad v Iu acereracJ¡ r"" á.:i*portancia para Ia ingenieria en era'nálisis y dise¡o"de ]os componen". jg U.'_¿quinas: Los rialorei cinémátiibsr
*r,::.T lfl "asihan "l "ut;;; -;;iir¿i" ". ""aidi nari as; Las vet oci daiies deil1lli",.qT:gy:r se considerar-on altas a un vatbr de l0 000 rpm, ahor#se.apr'xrman a I'00 000 mm. L,os grandbs rofor", a. b;i;;;,".n"#'"'i*iff#velolidades'dé I0 000 I 11g99 *., , iX *"0"s rJe rurbinas pequeñas giran a
{y,u3.ia^a-de 30 000 a 60 000'aoál 
.: . --
-"" EI ramaño de ros rorores y sü verocidad de romción se reracionan en tar 
'
Ifr : jy; :"Tr"::l :lTil" -"y;i ;# 
j;-;-é;;i 
dad de roraci ón peini d da. unacantidad'inásrbásica en tos rorores., iu ,,"io"i¿'u'¿'üñt":T;:l"i:;;::Jl;
velbcidad de'ictación v_11 r3mano.f n = ;nl.i^s velocidades periféncas en lasruroomáquinas están rregando a varóres o. ío ooó 
"lóó'ü;;,5;il,"". Las velo-cidadé!; periféricas en la^s armaduras eréctricas (ro ooo pies/min) y.en los cigüe_nales automorices 13 ooO.pi".¡,niniron-,ii;;;". que en Ios rorores aeronáuricos.Aunque las verocidades dL ros ,o-á] ;.t # maniveras de ros mecanismos deeslabones arricurados son bajas. i;;;td;a, hacia mayores verocidades debí_do a h demánda áe mayores iasas de producrividad en las máquina-s ous s3 enr-
tii..,.
330 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
plean para impresión, fabricación de papel, hilado,,computación auromárica.empaque' embote'ado' maquinado autómático.y muchas otras aplicacrones.La aceleración cenrrípeta 
"n 
ra pe.-i-driu oé ur, .oto.;;;;á;';"r cuadradode la velocidad de rotación y del ¡^;;;:;';)" = _rR). Ei-l"u-..rir-.ü,nu.. o¡"r,u_aceleraciones se esrán aproximando u 
"ui".".^¿" r " 
3 ;iri;;; a?ii"rzrr, o r.uaproximadamente de 30 0009 a fOO OOOá, vir:i:: 0"" pueden compararse con laiffi::1ii*::,:?íiff:poiun r"' pl;?;' ;; aviones' o de r 0009 que sopo*an
En las exposiciones siguientes se supone que Ios eslabones in¿ivio}átes ¿eun mecanismo son cuerpo. iigidor 
"" 
q,.r"'ru ii.i""";;;;;;;;i"puiii"uru, auou,de^un eslabón móvil perrnanece fija. Lós eslabones que sufren grandes deforma-crones durante er movimiento, coÁo ror ..ro.t"., caen dentro dé otra categoría yse analizan corno miembros vibratorior. ürr'r"-u de investigación actual y de
La aceleración se relaciona con la fuerza.(MA),por el principio de Newron.y se relaciona a su vez con el esfuerzo y la,defo;;.1;;, Ir"lr"o." o no sercríticos en una pieza de.una máquina, oeienoienoo ¿e ros lrráteriares emprcados.La vel'cidad de una máquina 
"ri¿ 
ri-r,"á" en última.instancia por ras propieda-des de ros materiales de que 
".t¿ 
ro.Áu¿u y las condiciorr""lu!-innuyen en l¿5" propiedades de ros mareriare-q 
"*pr"uáár. i."r "ri^'[-offiH: que se dan porla compresión de los.gases y la coübusrión de ror,""',u"iiiul"J,l""r" con las quese dan como resultado.de la fricción, .;;;;" condición que influye en la resisren_cia de los materiales d-e tas maquinás á" fot"n"iu de alü 
""rá"iáuo. Er grado enque se ereva la remperarura. también oepende ¿e la, m"¿¡á". ;;; ; romen para ratransferencia de calor,mediante refrigáu'r", 
"o..ro 
aire, aceite, agua . F.re.n.El buen diseñc¡ g" y."i,r,aqui"Jaef";J. ;" i;;;;i.,*;; l?r 
"nno"i,,,i.n_t. en los campos de la dinámica, el anilisis a" 
"sruerzo-fiá',"ñoo¡n¿mica, latransmisión de caror y las propiedades de ios materiares. Sin ernbargo, er propó_sito de este capitulo es estudiár solamente ras relaciones cinemáticas en ras má_quinas. En subsecuentes capíturos se estudian ras acereraciones y las füerzas conrelación a la determinlclon 
{e rur r*.,^ ltre actúan en ros esrabones individua_les de un mecanismo y en relación 
"or., "l 
üálun"eo de las máquinas.para los cuerpos que giran ulr"¿"áo, ¿" 1n eje i,j.,-;;-;;l caso de tosrotores' Ios valores cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulaselementales bastanre conocidas g = ;i'-;; = -)R,1, : *nl.Tin emba.go, Iosmecanismos como la biela-manivelu-"oo"i".u y sus inversiones son combina_ciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miem_bros oscilarorios y reciprocantes. o"u¡J" 
" 
i", velocidades y acereraciones rerari_vas entre los diversos miembros, junto c;n las muchas posiciones relativasgeométricas que se pueden ¿ar, el án¿tisi. 
"ir,"-¿ti"o de un mecanismo de esra_bones articulados es relativament" 
".-pl";; comparado con er de un rotor. Losprincipios y métodos que se ilustran 
"n "JJ"uprturo son principalmente aquellosque se emplean para el anárisis de mecanismos de eslabones articurados com-
i"::L"J,ff;r':.:inaciones de rorores, b";;;, correderas, levas, engranes y ete_
importancia considerable que también se debe mencionar es el estudio de losmecanisrnos que tienen eslabones que sufren deformaciones erásticas pequeñas.rLa mayoría de los mecanisrr¡os elementales se encuentran en movimiento
MovrMrENTo LTNEAL DE uNA pentÍcula 331
plano o se pueden analizar como tales. Los mecanismos en los las
vtmte
5jli:::':?."::r 1: ".'r:: es un rnecani'-o ¿8. l) compuesto de: dos balancines y una biela" Este u.."jro 
"án 
l""u"r."iu."
conoce como un mecanismo de doble balancín.
El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamien-
tos lineales y las aceleraciones lineales de las partículas individuales que consti-
tuyen el eslabón. Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede ex_presarse en términos de los desplazamientos angulares, las velocidades angulares
y las aceleraciones angrll-Tes de líneas que se mueven con el eslabó" ;rñ; E";;figura 8.1, la velocidad lineal y.ny la áceleración lineal A, de la parricula r semuestran mediante los vectores-fijos en r. Debido ar peÁo conáctor de..t, laparticul.a A, en_el eslabón 2 y la partícula A, en el eslábón 3 tienen el mismomovimiento' y los vectores mortrado. en l representan los movimientos de am-
bas particulas. Los movimientos angulares de los eslabones z v ¡ ,o" diferentessegún están dados por las verocidadés angulares u,2, 03 y las aclleraciones angu-lares ctr, ctr. Generalmente, el movimientá angular de un eslabón motriz se cono-ce' o se supone' tal como a2y aL2de la figura g.l, y se debe determinsi los movi-mientos del eslabón conectór v él movidá.
8.2 MOVIMIENTO LINEAI, DE UNA PARTÍCULA
En los mergryss úIilcs, las.partícu
,, *r'r"hu. de l,a, 
"uul"J!iliEñas como loscrrcuros y ras lineas rectas. En la figura g. r, las partícuras de los eslabo nes 2 y 4
ra Midha, A. G. Erdrnan v D. A. Frohrib, "Finite Eremenr Approach ro Marherna,,.u, *"*,* ,High-Speed Elastic Linkage s,', Mechanism and Machine Theory, 13,pp. ó03_61g.
FIGURA 8.I
;üiFrr@*;-;$frr;'*r:mir rsT!:r?riirfr-rgna+i&
$
ir.,,ii'
I.:l
l
'#
e^sfán restringidas a moverse €fl rrqr¡a¡r^-:^_
:i'-ti:#,*'f¡":?!11üfi::Ti:**t'd,l"lll3i."::11.-o¡n..,i
l:.,::í*Tnztr;z::#;:iti,"=:,ft '::ft 
"fill+li*iff',:.":yr
endondepyrsonvec 
as: RAop + a^r
,nenrer-,"t","ji";;::liJJ::[::r."J;:g'ff 
:T:::,:ffi,,;i:.":*;-:iJl"l,"_
v": ll* (f, : l,s (i3e. . f I
332 aNÁrrsls DE vElocrDoo 
" 
o.rauReclóN
,\
lo tanto,
:6, empleando el producto vectorial
V":<o,xR
i:,La aceleración de p está dada por
Ar:
MovrMrENTo LTNEAL DE uNA pen_ricur_e 333
V¡:Rto,p *ff, endonde d0(¡). : --'dt
dice.que t¡.n, tro"trYu! 
eütd en movlmiento sobre unu i.on""Jü .
r:T"H¡"?#i:::,:,::::7;,í::"r:;_56ii*:ilf f x#lilli
;iüll#filr*ít*;ndt
iliE:ilf É,íxift f il'"'r,:;ff ffií"":t:fi tirk:,t","'""ri'
Jf"Í"fl #f ;LT"il:";:;x{*"#vadesde'¡"p"ii';i[,i,Jf xH
ff ¡*J::##"fiJi,'*',-jü.",ni::i,:T'i{i:?::}11*,ru..,i,./
De la figura ,.rjo- ili;ü#:i 
cesplazamiento angular ot J" üir""l-
dR* ¿r'_ clR
dt
: 2a,
#,'(o-'n * 4!
^ dR"-,ap
t
o,p * Ró,p - Rcolr +
dR
drP+Ró,p*Rr,rlr
Vp=ro,.xR
Y, = Roo,.
d2R dR
¿¡r + T-'P
d2R* ¿r, r (8.2)
(8.1)
(8.2a1
con el centro de
dR/dt y d2R/dt2
puede simplificarse
,$rf
(fr.3)
Por lo tanto, la acereración de p coñsta de dos componentes, una de magrtitud2a,(dR/dt¡ + Ró. en ra dirección crer """i* ,rrr¡turio p y ü ;;;g" itud (d2R/all - nrol en ra áirección der "."*-";i;;lio ...r-u ecuación para Artambién sepuede expresar empleando el producto r""iJ.iul 
",rrrr.,
+cr,xR+<o,x(ro, *¡*ff,
en donde d,.= ó,.p.
Cuan{9 el origen del sistema de coordenadas coincide
ii;i,Ly?:!i!!,:!:!/*: son iguares a cero d" _un",u q,";:i;;;:ffi;i
A¿:
para dar
v
De la ecuaci ón 8.2a,
El término <o
ción desde el
Ap:rrr,x(ro,xR)+c,xR 
(S.4)
,. * (o,_1_R) es la componente normal de Ia aceleración con direc_punto P hacia el centro de la curvafu.u, y o, x R es tu 
"o_jorr"nt.
FIGURA 8.2
334 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
:il:?;1',::: 3::Xru':Jñ".''" a ra curva en er punro p por ro ranro,
en donde
Ap:Ail+A!
AÉ:o¡,x(<rl,xR)
Jairl : R<oj : Vpu, :
Ai:a,xR
lAil : Rct,
v
8.3 MOVIMIENTO ANGULAR
La velocidad angular y
oas, respeoivamenre. ,:i it":'^",:]*::q'l"t son Ia primera v lq,segunda deriva-Í:'ilT:Tx":,:'*;;n:*',':',ili.1,:ü;;:,"';.';::'lff ',1":x'""ff :Í,,*i::;
.';#n'-'":, : 1,,: : i' *: : :i31l{1', ; #i r #. ; ;';:X i;l T"" ff :T ff : f gexpresa mediante er movimien; 
";;rr;;'l;;ffi;;'i"ri#.1".un 
esrabón se
se represente como fr ja al eslabón. e"j"-i-,]-- e 1 ,^ i . mentalmqnte
,T ;;!::::i:.::; : ill i:: :i:*::i : ;1 i' s ü ; ;' Hi;: ; :? ": ff # iljil;H:;'É;1'¿',X?ijÍ:;"':1"*:*::::-l'r;,i;;;;iil::?Íí;:ffi :1J';il;;;BC y AC sufren los -i.,rio, J.;;;;;;
:.i. 3 r i n.o .¿ a á " ü ;a"";;;.ii;,? ::;ll' ;TZ ":,X'fr I :.:: :: :, ::jt "" T 
a r ti. - po
I ; "a; ;; e **;ffi J ffi ,T'j ?il Í;ff i:: l/"".; : I I i,:: lr:: i ". ,il;l
Si se presenta ra condición en que er origen der sistema de coordenadas estásobre la normal a ra curva por er punio , aniao y p-", rc rÁriJiiüserán iguares acero, y las ecuaciones g.l y s.z"'..p"Lál;,modjficar según corresponda.La figura 8.2á muesrra ra ori".,tacrán'arr"""ionár ff;;;;; con respe*o ala langenre y rrormal u ra traye"ü;*'0"." o'r.:tor de verociorJ vl, y 
{os vecrores
componenres de la 
"":,-.:1:1.,1 a,,;y'ir, J radío de.ur"u,,,* J" rrupo4" consran_te' Es imporranre norar gue ra ¿i.écc¡'on de.A,,r", nor,ru,"J ii i.oy".r.erio y .,,senrido es hacia er centro de curvaruraóoi'tu í.uy""rorJll ñ*"",0" de Aj, estange're a la travecroria y su..nriá" 
", 
Irr"ü dire.cc¡on en gue crece ra verocicrad.La aceleración iesulranre A" es ra ,r-u u""L, iar de Aly Á;.o-,, se muesrra.
::: gl, :: i:.ff ,3' ff : t:h.';'j¡Í:Jf .ll . J o,.ro I'l& iJ,j i L r u, - u g,,ii,.aparecen repeti damen re en e r de sarro r r o' áe ilj;:l:"i['Jj j; 
"T:, 
i"xT :: f#*:i."il,,;T:?;I:;,".:.,., q "" ;l ;ü;;"d; 1,,,"_ u ¿ " ""*á"ffi ! co i n c i d e c on
vl
R
m i s m o 
", 
o,, r - i Li,io ;?;iff ; ;; ; H.. ?ff , n J il nÍ"T : lfl;,1;, f :::i:
19.4a)
(8.4ó)
MOVTMTENI-O RELATTvo 335
:fir[::lr 
son .".] y o, del eslabón, en donde el subíndice indica el número del
los
de las partí-
jjl,.Tf ;r".:"r","1*:?,:T."1i"13Ji"1"1*,iát.q*l¡###:Xll::::ffi f :
;THT:H?,;:","i[.,i:-?..gL L].obyi" que ",r v ". á" l;;.;ffi.;:,,ffi""11H i:
[:,::# :Hlff j: ::::"-' ":*:::l: : l:',' i i i ey 1 r J-" l" " " i á "' Ii o" ffiJ fJ T: i;
l T:"i: 1'J ,xl'J ?. ::-' :¡ i1;1 "¡1,," *, 0;i; -ñ# ; il :1 ffi ::lH,ilil,fl J" :, j?
ln';"i-,ffi ,i;';:::"li:*::,:lq;"r.áJ"¿"*;;ilH;;'i, j'::rTi:"j:i
::o::^0"#:'"i:lT_d"" 
ra trayectJriu o" 
"rurqri"."o"",J,]l""".?,jl,l'j"r;l,,l,lirguales a0¡ y 0.¡ del eslabón 3.
Un concepto importante en la mecá¡ica,es que una partícula que tiene el'."rounil,ilo..:lu@.
nrovttnrenlo de traslación: no puede !irir.'El rnovitn iento nno,,ln¡. a. ar ,__...:'''-'-','""¡¡'lv uu lrdsracron: no puede girar. Er ¡.novirniento aE;/- es er rn(l'i_¡nienro.d.e una línea y ¿eui¿o;q;;;;;;;.r,.ul^ es,n n'nr^ !, h^ ....^ ,j,-partícula es un punto, y no una línea, no
;il;Tf ,T:;:"":il"""J"T:ll:'Tl:,1,*!?iil,ffi #"];".#H"Iffi il::
;ilij"Jfi ::il;"f ::":T::,i:,:'.T::,rFF^,;;;;,;:';::'i;ffi ,1'TJ'tr':,:1;:
i,; J:,::*: :i :i * I I I :::, : I f , n "l ",1; il; ; " ; ó."u2' filEiil"'l f : " í :;,:L:,fr: il :i:::lii 1,., :,:: I lyj :i pa,r i " u r a-e n ; i ..'lil ""i*,' i j' [1T : :..,:: l? i.J
;,,,111i:,tz,":::i::rj'::it-.:: l::;J*,-;;'#; :""ilf,::';":lll;*Í.l"lliiangur ar de r es rabón -2. r a pártíc ur; á. ;;; j ; ;;:,:";01ü1,:: ::i :l;;il] "',"r
8.4 MOVTMIENTO RELATIVO
Como se demostrará en una sección posterior, el ntovimiento relativo qntre partí-culas es rnuy irr.rportante en el anárisis .in",r,¿ri"o a" Io,,rr"*r;;;, En la figu-ra 8'4o' P y Q so. ¡rartículu. qr. ,. -;;;;'r con relación a rrn plano f-rjo de
;:l:::::f ;,ffJ,"i":""d.. ..,p".ti*,'J; t,, ¡,. vu r ,. *;;J: á"r".,r,ino. r"¡.."ná0".',"'ffi1."""á,#iirii,,1?:'d;*ii:';Li".r,T;:'iHii¡g,#Ílii1l
tJad .elati'a de las dos nanícuras. p"rT.i"rr", si ranto a p corno a e seres da unavelocidad iguar y 
"0u.,]1-1 r,,,, ra pa,.ric.ii;; * ;;;,;..#;ff#" en er prarrotuo v P adc¡uiere una corrrponbnte acricionar-¿" u.ro"iÁ;l;;i;;,va ar prano
FICURA 8.3
336 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 337
rioy la nueva velocidad absoluta del eslabón2 (a" -orr) se convierte por lo
t¿nto en la velocidad angular relativa o, debido a que el eslabón 3 está fijo.
Por lo tanto,
l.l
jl
,i
ii
j
De manera similar,
8.5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y
. ACELERACIÓN
De entre los muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en
los mecanismos, hay tres que se emplean ampliamente. Éstos, que se presentan
en las siguientes secciones, son (a) análisis mediante el empleo de matemáticas
vectoriales para expresar la velocidad y aceleración de un punto con respectó a
un sistema rnóvil y a un sistema hjo de coordenadas: (á) análisis mediantc el
empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea analítica o
gráficamente por medio de polígonos'de velocidad y aceleración; y (c) análisis
mediante ecuaciones vectoriales de cierre del circuito escritas en fbrma comple-
ja. Adicionalménte, se considerarán las velocidades por centros instantáneos al
igual que la diferenciación gráfica o por computadora de las curvas de desplaza-
miento-tiempo y velocidad-tiempo para la obtención de velocidades y acelera-
ciones, respectivamente.
De los métodos de velocidad y aceleración mencionados en el párrafo ante-
rior, el uso de cualquiera de los primeros dos mantiene el concepto físico del
problema. Sin embargo, el tercer método, que hace uso de véctores en forma
compleja, tiende a hacerse demasiado mecánico en su operación a tal grado que
los aspectos físicos del problema se pierden rápidamente. También se débe men-
cionar que el primer método y el tercero se presentan para soluóiones por compu*
tadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va a analiz4r durante
un ciclo completo. 'P"
8.6 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
MEDIANTE MATEMÁTICAS VBCTORIALES
En la figura 8.6 se conoce el movimiento del punto P con respecto al sistema de
coordenadas xyz el cual, a su vez, se rnueve con relación al sistema fijo de coor-
denadas XYZ. La posición del punto P con relación al sistema XYZ se puecle
expresar como
(JJ21 : rJ.)2- 03
d23 = a2 ct3
(8.7)
(8.8)
lrjo' Por lo tanro' ra nueva velocidad absorura d" I Lyr- Vn) se convierte en ravelocidad relativa vi' debido ";;; a;"ra esrá f=rjJcon ráru"¡on ar prano dereferencia. Esto se derñuestra mediante! diagrama,rÉ"toiiul-i" ü figura g.4á. dedoncle la ecuación parayrn."r;1,;' " "'"
Ype=Yr-Ye 
(B.s)
De manera simirar' vqe pled_e obtenerse mediante la adición de -vn a cada par-tícula' Esto se mu"rt.á'"n tu ngrr.u s.+ 
" ,'i nrestá dada mediante Ia ecuación
Y er= y e-y,
La ecuación vectoriar pararaaceleración de ra par-tícura p con reración a rapartícula e es sirnilar en forina 
" 
lu 
"*u"¡án A.S,
Ape: Ar- Ae (s.6)
El movimiento angularde una rínea puede darse con relación a otra Iínea enmovimiento' En la figura g.5, lur r,"lo"l¿J¿"s angurares azy a-tde ras ríneas erilos eslabones 2 y 3, iespectivam"rt", ." t-an con relacién a ii rínea a-a en ereslabón 
'jo' 
Si se sulra --{D3 a los eslabone.r2 y 3, er eslabón 3 se vuerve estacio_
it
ii
tt
FIGURA 8.4
FIGURA 8.5
Eslabón fijo
R"=Ro+R (8.e)
338 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
z
FIGURA 8.ó
Si los yectores unitarios ¡, j y k se frjan en los e-ies x, y y z, respectivamente.
R:¡i+yj+zk
La velocidad absoluta del punto p con relació n al sístema .xyZ,vo, pue<ie obtenerse
diferenciando la ecuación 8.9 con respecto al tiempo puru du. '"'-'
Vr: R¡: Ro + n
Diferenciando la ecuación 8.10 con respecto ar tiempo se obtiene
R: (ti + ij + zk) + (xi + yj + zr¡
El término (ii + 9¡ + 2k) es la velocidad del punto P con relación al sistema móvil
de coordenadas xyz. Por conveniencia, considere que
*i+ii+2k:v (8.13)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
considere a continuación los términos en el segundo paréntesis de la ecuación
8.12. Del hecho de que se puede demostrar qué ra velocidad de ra punta de unvectorR que pasa por un punto base fijo y gira alrededor de este punto base con
una velocidad angl¡lar to, es igual a o¡ x R, las velocidacles de las puntas de los
vectorés unitarios i, j v i. se pueden expresar como ¡
i:toxi
j:-xj
ú:roxk 
'
en donde <¡ es la velocidad angular del sistema móvil de coordenadas xvz con
respecto al sistema fijo xyZ. Efectuando las sustituciones anteriores,
xi + yj + z*: x(o x i) + y(ro x j)+ z(ax k): - x (xi + yj + zk)
ANALTSIS DE VTJLOCIDAD
y usando la relación expresada en la ecr_ración 8_ 10.
xi + yj + z* : rr¡ x R
¡4 ecuoción 8. I 2 se convierte entonccs cn
n:V*<oxR
Y ACHLERACTON 339
t8.14)
(8.r.s)
(E.17)
(E.r8)
al sisterma
,lil
fi
ii
]lril
;iL
lil
il{l
'illl
fiiit
flffi
ilH
tffi
itilf
till
l{
ill
,il
,iI
rl{
tiil
:ill
La ecuación 8.1 I ahora puede reescribirse como sigue haciendo V., = R., y susti_
tuyendo el valor de R ¿e la ecuación g- l5:
Yt,=Yt¡+V+<ox R (ft. r ó)
en donde
Vo = velocidad del punto p en el sistema XyZ
v,, = velocidad del origen del sistema xyz con respecto ar sístema XyZV: velocidad del punto p con relación al sistema xyz
<o = velocidad angurar del sistema x.yz con respecto ar sístema xyZ
R = distancia desde el origen del sisterna xyz hasta el punto p.
La aceleración del punto p con relación al sistema XyZ puedeahora obtenerse
diferenciando la ecuación 8.16:
Ar:V":Vo+V+AxR*¡oxR
Para evaluar V. es necesario diferenciar la ecuación g. l3:
V : 1*i + ij + rk) + (*i + ¡j + 3k)
El.término (ii + .¡¡ + ik) es la aceleración del punto p con relación
móvil de coordenadas xyz. Consid,ere que
r¡+ij+zk:A (s.r9)
consiclerando los términos del segundo paréntesis cle la ecuación g. l g, .$'
ii +¡j + zt: i(or xi) + ¡(eo x j) + 2(ax k): - x (r¡ + ii + zk)
Pero la ecuación 8. 13,
Por lo tanto,
La ecuación
.ti+ii+2k:V
*i+¡j+¿[:<oxV
8. I 8 se convierte entonces en
(E.20)
R
t?l
Iii
I
iir
l
il 34O ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
V:¡.*o¡xV
También, de la ecuación g.15,
toxR:orxV*rox(roxR)
Sustituyendo el valor de ú de la ecuación g.2l y to xecuación Ll7 y haciendo Ao = üo, la 
""uu"iOn 
pu.ucon relación al sistema XyZíe..,,í,ui.rt..n 
-
R de la ecuación g.22 enla
la aceleración del punto p
Aj = aceleración der origen del sistema xyz con respecto ar sistema,l7ZA = aceleración del punto p con relación uf .i.i"ilu,1r,
- (', = verocidad angurar del sistema xyz conrespecto ar sistema xyZV = velocid¿d del punto p con relaJión ,l .ir;;;;;;; '
R = distancia desde el origen del sistema x-yz f**á éf pr.," f.
Ejemplo 8. I. considere er mecanismo mostrado en Ia figura g.7. Er esrabón 2 gira enla dirección mostrada a una velocidud u.rgrrr., 
"onstante. 
por lo fa'to, la verocidad y laaceleración der punto l 
¡¡11nocidor..y i...qui.re encontrar tu.r"ro.¡¿u¿ y ra acerera_ción del punto -8. Seleccrone e.¡es coordenados se
origen dár .i';;;" t;er punto,4 corno 
"r "ri*"ÍHi:,lffii':r:"" 
el puntn t), como,er
A¿ : Ao + A + 2a xY + dr x R + t^r x (ro x R)
en donde
- 2a x V= ra componente ae cerioris de la aceleración' 
f, = aceleración aet punto F "i !i ,i.t",. a XyZ
O,,4 = 3 putg
,4d = I putg
Oaa = I pulg
toz= 24 rad/s
FIGURA 8.7
2Sedebe.señalarqueparaespeoificarlascomponente,";m'"**
trayectoria del punto p con respecto al sistema xyz. FIGURA 8.8
(s.22j
::l',a ecvacton Para
ANALrsrs DE vELocrDeo y ÁcsleRaclóN 341
la velocidad del punto B puede escribirse apartir de la ect¡ación g. ló
li.iiomo sigue:
Yu=Yr¡*V+<r¡xR
len 
donde
Vu = dirección perpendicul ar a OoB, magnitud desconocida
V, = lV nl= (OrA)lL,= + x 24 = 6.0 pies/s, dirección perpendicular a OrA
V = 0 debido a que B es un punto fijo en el sistema xy
<o x R - dirección perpendicular aAB(a = o¡, fi = AB),magnitud desconocida.
La dirección de ro x R puede determinarse conociendo que el vector que representa a ú)
ser'á perpendicular al plano -ry. cuando <r¡ se cruza con R, el producto <o x R estará en el
plano xy y serri perpendicular a R de acuerdo a la reglá de la mano derecha" Esto se puede
demostrar en la figura 8.8, en donde la dirección de ro x R es la misma independientámen_
te de que o se dé en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Sin
embargo, el sentido del vector es opuesto para los dos casos.
La eQuación para V, se puede resolver gráficamente por merlio de un poligono o analítica-
mente mediante vectores unitarios. A continuación se presenta la solución según el segun-
do método. observe gue todas las componentes ,se tomaron con relación a los ejes xy.
Este ploblema también pudo haberse desarrollado tomando las componentes con relación
a los ejes XL
YB:Yo+V+o¡xR
V3 : 7r(cos'3"i',+ sen3"j) : O.9986Vei + O.OsZ3Vui
¡ll
ilj
trir
iii
li'
j,i
i.i
ii
iii
ilfi
lrií
;,i
f;il
tffi
ffi
tffi
ilffi
tilili
iffi
iil;
iili
iill
'ltll
'1,ll i
;lll
iiirl
lllrl
iilli
illl*
v:0
R--(-
V, : Vn : Y,(cos 30'i -
: 5.2i - 3.0j
X R)J
¡en 
:Qlj) : 6(0.8660i - 0.s000j)
, ,i.,, n t- - l,¿. , ,,r 'r, 1
\ &¡x
Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación para Vs.
O.9986VBi + O.O523VB| : 5.2i - 3.0j + (to x R)j
f'
<¡rXR
arxR
342 ANAL¡S|S DE VELOCTDAD y ACELERACTóN
Sumando las componentes i.
0.9986Vui : 5.2i
VR : 5.21 pies/s
Por lo tanto,
vs : (0.9986X5.21)i + (0.0523X.5.21)i -_ s.2i + o.z.71i
Sumando las componentes j,
O.Osz3VRi: -3.0j + (<o x R)j
(0.0523X5.21X : *3.0j + (r,r x R)j
' (r^r x R) : 3.271pies/s
Por lo tanto,
roxR:3.271jpies/s
3.27I0:0)¡: 
R 
:
VB
(r¡¡: 
- 
-' OoB
3.271
ft maneciilas ael reiojj -- "
5.21
_L : 7.82 rad/s (sentido contrario al de lasÍ' manecillas del reloj)
La ecuación para la aceleración del punto .B puede escribirse a partir de. la ecuación8.23 como sigue:
Aa: Ao + A + 2<o x,V + ó x R + a¡ x (<o x R)
en donde
^n _ vL 5.21)^'b = OrB 
: 
+ = 40.4 pies/s2, dirección desde B
hacia Oo
Af, = dirección perpendicular a O4B, magnitud desoonocida
Ao = lAnl= l{nAl= QrA)ruo,lr=$ x 242 = 144 pies/s2,dirección
desde I hacia O, (Al = 0)
A = 0 debido a que B es un punto fijo en el sistema x1,
2ro x V.= 0 debido a que V = 0
ól R = dirección perpendicular a AB, magnitud desconocida
ro x (ro x R) = -¡,¡2¡, dirección desde B hacia A
ro = 4.91k radls de la solución de la velocidad
1li.2P=(4.91\ x¡t= 16. I pies/s2
124.8j
úrx R
ox(oxR)
FIGURA 8.9
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 343
La dirección del d¡ x R se.puede determinar a partir del hecho de que ra dirección der
vector que representa ó será perpendicurar ar plano xy. cuando se cruza <i¡ con R, el pro_
ducto ti¡ x R estará en el prano ry y será perpéndicular a R. La dirección de ro x (ro x R)
se puede determinar en la figura 8.9, en donde co se da en el sentido conffario al de las ma-
necillas del reloj, según se determinó a partir de la solución de Ia velocidad.
La ecuación para A u se resuelve mediante vectores unitarios en la siguiente forma,
usando nuevamente el sistema de coordenadas xy.
A¿ : Ao + A + 2<o