Mecánica de sólidos momento de inercia

Vista previa del material en texto

(
2012
)FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL: Mecánica de Sólidos II
INTRODUCCION:
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
OBJETIVOS
- Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de cuerpos.
- Reconocer el carácter aditivo del momento de inercia y verificar el teorema de ejes paralelos.
MOMENTO DE INERCIA
Se define momento de inercia, como la integral del segundo momento alrededor del eje de todos los elementos de masa dm los cuales componen el cuerpo. En el estudio de cinética plana, por lo general el eje seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y siempre es perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia con respecto a este eje se denotara como I. El momento de inercia de masa siempre será positivo.
Ejemplo:
El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande.
El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad.
La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia.
El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.
I) Problemas Más Habituales Del Momento De Inercia
a) Momento de inercia de una distribución de masas puntuales:
Tenemos que calcular la cantidad
Donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Ejemplo de aplicación:
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
· Un extremo
·  De la segunda masa
· Del centro de masa
	
	El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
	
	El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
	
	El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2 
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es:
I=IC+Md2
· IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
· I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
· M es la masa total del sistema
· d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
 IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
b) Momento de inercia de una distribución continua de masa:
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es:
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías:
· Aplicación directa del concepto de momento de inercia
· Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
 
Momento de inercia de una varilla
	
	Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es:
	
	Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2px y anchura dx, cuya masa es:
El momento de inercia del disco es:
 
 
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es:
El momento de inercia del cilindro es:
 
Momento de inercia de una placa rectangular
	
	Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es:
 
Momento de inercia de un disco
	
	Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es:
Haciendo el cambio de variable:
y=R·cosθ
x=R·senθ
Llegamos a la integral:
 
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros:
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es:
La masa de cada uno de los discos es:
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es:
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es:
 
Momento de inercia de un paralelepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralelepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralelepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesordx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es:
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia es:
El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es:
II) Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos.
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C  inmediata:
Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
III) Cuerpos compuestos.
Si un cuerpo se compone de varias formas simples como discos, esferas y barras su momento de inercia con respecto a cualquier eje se determina por la suma algebraica de los momentos de inercia de todas las formas compuestas calculadas con respecto al eje. La adición algebraica es necesaria puesto que una parte compuesta debe considerase como una cantidad negativa si ya se conto como una pieza de otra parte- por ejemplo un agujero restado de una polaca solida. El teorema de los ejes paralelos se requiere si el centro de masa de cada parte compuesta no queda en el eje. Para el cálculo entonces, . Aquí, el IG de cada una de las partes compuesta se determina por integración, o por formas simples, como barras y discos, que puede hallarse en una tabla, como la que se da en:
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas:
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples.
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por. 
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes  con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el dm  de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los dm de cada área respecto al dm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:  y 
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:  
Problemas resueltos:
Problema N°1:
Problema N°2:
	
Problema N°3:
Problema N°4:
Problema N°5:
 (
Pág. 
21
)