Impulso y cantidad de movimiento

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DINÁMICADINÁMICA
Capítulo 9
Impulso y cantidad de movimiento
del sólido rígido
Curso: Dinámica
Autor: Luis Contreras Carranza
Fecha: Junio
 
2013
Principio del impulso lineal y cantidad de movimientoPrincipio del impulso lineal y cantidad de movimiento
1
N
i G
i
m

F a
2 2
1 1
2
2 1
1
1
1
Nt t
i Gt t
i
Nt
i Gt Gtt
i
dt m dt
dt m m


    
     
 

F a
F v v
2
1
1 2
1
Nt
G i Gt
i
m dt m

    v F v
Para un cuerpo rígido
Principio del impulso lineal y cantidad de movimientoPrincipio del impulso lineal y cantidad de movimiento
2
1
1 2
1 1 1
( ) ( )
N N Nt
i Gi i i Git
i i i
m t dt m t
  
      v F v
Para un sistema de cuerpos rígidos
Principio del impulso lineal y cantidad de movimientoPrincipio del impulso lineal y cantidad de movimiento
Conservación de la cantidad de movimiento
1
N
i
i
F 0Si 1 2G Gm mv v
1
N
iq
i
F 0
En muchas aplicaciones la sumatoria de todas las fuerzas externas no es
igual a cero, pero existe una dirección, digamos q, a lo largo de la cual:
En este caso podemos escribir:    
1 2Gq Gq
m mv v

Ejemplo:
Un hombre de 80 kg está inicialmente
parado sobre una plataforma homogénea
y estacionaria (sin movimiento) de 20 kg.
El hombre está inicialmente en el centro
de la plataforma, es decir, localizado jus-
tamente encima del centro de masa de la
plataforma y también ubicado en la po-
sición absoluta x = 0 m. La plataforma
yace sobre una superficie sin fricción.
En el instante t = 0 el hombre comienza
a caminar hacia la derecha. ¿Cuál es la
longitud mínima (L) que debe tener la
plataforma para que el hombre logre al-
canzar la posición absoluta x = 2 m sin
salirse de ella?
1 2G Gm m v v 0
;
0 ; 0 0
G
G
G
dx
m x C
dt
t x C
  
   
i 0
 0 80 2 20 2 0
2
h h p p
L
m x m x
        
20 mL 
Solución:
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
P P P Gm  M H v v
es
 
un punto
 
arbitrario
Pv
PM
PH
P
es
 
la velocidad
 
de P
es
 
el momento
 
total relativo
a P de todo
 
el sistema
 
de
fuerzas
 
externas
 
que
 
actúan
sobre
 
el cuerpo.
es
 
el momento
 
cinético
 
del
cuerpo
 
relativo
 
al punto
 
P:
/P dm P dmB
dm H r v
Ambas ecuaciones son válidas para todo tipo de cuerpo y para cualquier movimiento
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
Restringimos nuestro análisis al movimiento en el plano:
/P G B G P GI m  H ω r v
Si el punto
 
P
 
está
 
en el mismo
 
plano
 
de G
 
y cualquiera
 
de los siguientes
casos
 
se cumple:
-
 
P es
 
un punto
 
fijo
 
o CIR:
-
 
P coincide con G:
-
 
P y G se mueven
 
paralelos:
P v 0
P G P G   v v v v 0
P G v v 0
P PM H
La ecuación
 
del momento
 
para
 
P
 
se reduce a:
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
Si las
 
suposiciones
 
que
 
conducen
 
a la fórmula
 
anterior se mantienen
 
a través
de todo
 
el intervalo
 
de tiempo
 
t1
 

 
t 
 
t2, la integración
 
de esta
 
ecuación
 
sobre
este
 
intervalo
 
de tiempo
 
conduce a la forma tradicional
 
del principio del impulso
angular y momento
 
cinético:
2
1
1 2
t
P P Pt
dt H M H
Si los momentos
 
se toman
 
alrededor
 
del centro
 
de masas
 
G: /G P r 0
2
1
1 1 2 2
t
G B Gz G Bt
I M dt I  
Esta
 
ecuación
 
es
 
válida
 
aun
 
cuando
 
IG
 
cambie
 
con el tiempo.
Ejemplo:
La barra esbelta de 5 kg tiene el movimiento 
que muestra la figura. Determinar para este 
instante su momento cinético con respecto al 
punto G y también con respecto al CIR.
Solución:
El CIR es
 
fácil
 
de ubicar
 
y podemos
 
hallar
la velocidad
 
angular y la velocidad
 
del CG:
2 3
4cos30 3
3 2 3
2
3 3
Gv
  
  
 2
2
1 3
5 4
12 3
20 3
3,849 kg-m /s
9
G G
G
H I
H
       
   
Ejemplo
 
(continuación):
20 3 2 3
2 5
9 3
CIR G G
CIR
H I d mv
H
  
        
280 3 15,396 kg-m /s
9
CIRH    
También
 
podemos
 
calcular
 
el momento
 
cinético
 
respecto
 
al CIR del siguiente
 
modo:
 2CIR CIR GH I I md   
 2 2 21 3 80 35 4 5 2 15,396 kg-m /s
12 3 9
CIRH
              
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
Si un cuerpo
 
gira
 
alrededor
 
de un eje
 
fijo
 
O:
/G B G O v ω r
Tomando
 
momentos
 
alrededor
 
de este
eje
 
de giro
 
O:
 / /O G B G O B G OI m   H ω r ω r
 / /O G G O G O B O BI m I     H r r ω ω
2
1
1 1 2 2
t
O B Oz O Bt
I M dt I  Principio del impulso angular ymomento
 
cinético
 
para
 
un cuerpo
en movimiento
 
plano
 
que
 
gira
 
alre-
dedor
 
de un eje
 
fijo:
Ejemplo:
El disco A tiene una velocidad angular 
antihoraria ω0 , y el disco B no gira en 
ese instante. En t = 0 se ponen los 
discos en contacto. A consecuencia de 
la fricción en el punto de contacto, la 
velocidad angular de A disminuye y la 
velocidad angular de B se incrementa 
hasta que deja de haber deslizamiento 
entre ellos. Los discos están soporta- 
dos por ejes que atraviesan su centro 
de masa, y sus momentos de inercia 
son IA , IB .
Solución:
0
0
ft
A A A AI R f dt I   
0
0
ft
B B BR f dt I   
(1)
(2)
Ejemplo
 
(continuación):
De cinemática: cuando
 
el deslizamiento
 
cesa, en el punto
 
de contacto
 
las
 
velocidades
son iguales.
     A A B BR R    k i k i
A A B BR R   (3)
Resolviendo
 
(1), (2) y (3):
0 2
2
1
1
A
A B
B A
R I
R I
 
       
0 2
2
1
A
B
B
A B
B A
R
R
R I
R I
 
        
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
Para un sistema de cuerpos rígidos
 /
1
N
P Gi i Gi P i Gi
i
I m

  H ω r v
Principio del impulso angular y momento cinéticoPrincipio del impulso angular y momento cinético
Conservación del momento cinético
Si P M 0 en el intervalo
 
de tiempo
 
t1
 

 
t 
 
t2
1 2 constanteP P H H
Esta
 
ecuación
 
establece
 
que
 
el momento
 
cinético
 
de un cuerpo
relativo
 
a P
 
se conserva.
Ejemplo:
Un patinador sobre hielo de 74 kg gira sobre sí mismo
con los brazos extendidos horizontalmente en torno a
un eje vertical a razón de una vuelta por segundo. Cal-
cular cuál será su velocidad angular ω2 cuando pegue
del todo los brazos al cuerpo colocando las manos muy
cerca del eje de giro. Con los brazos pegados al cuerpo,
el patinador puede modelarse como un cilindro macizo
de 330 mm de diámetro y 74 kg de masa. Cada brazo
extendido pueden modelarse como una varilla esbelta y
homogénea de 7 kg de masa y 680 mm de longitud.
Solución:
El momento
 
cinético
 
alrededor
 
del eje
 
vertical de giro
 
se conserva:
  22 2 21 21 1 12 2
2 12 2 2
b b b
l
m m r m l m r mr                 
2 4,89 rev/s 
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Diferencia entre el impacto de un cuerpo rígido y de una partícula
Se asume:
� Se conoce el coeficiente de restitución
� Las masas de los cuerpos A y B
� La posición de sus centros de masas
� Las velocidades previas al impacto
� Sus momentos principales de inercia
Como el movimiento es en el plano,
las velocidades después del impacto
de los cuerpos A y B es una informa-
ción compuesta de seis partes:
� Los componentes de las velocidades
de los centros de masa de A y B
(4 incógnitas)
� Las velocidades angulares de A y B
(2 incógnitas)
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Diferenciaentre el impacto de un cuerpo rígido y de una partícula
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Diferencia entre el impacto de un cuerpo rígido y de una partícula
Como no actúan fuerzas externas impulsivas, la cantidad de movimiento
lineal y angular de todo el sistema y de cada cuerpo considerado indivi-
dualmente (ver DCLs de cada cuerpo) se conserva.
Como en el caso de un partícula, la conservación de la cantidad de movi-
miento lineal nos provee de tres ecuaciones y la ecuación del coeficiente
de restitución es la cuarta ecuación.
Las dos ecuaciones restantes se obtienen de la conservación de la canti-
dad de movimiento angular, o también denominado momento cinético,
tomado alrededor del punto de impacto O.
Conclusión: El análisis del impacto de un cuerpo rígido añade dos ecua-
ciones de conservación de la cantidad de movimiento angular a las cuatro
que se usan en sistema de partículas. La teoría de impacto que se usa es
la misma.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Nomenclatura básica y suposiciones
El impacto de un cuerpo rígido es perfectamente plástico (e = 0) si los
cuerpos que colisionan forman después del impacto un solo cuerpo rígido.
Un impacto es elástico si 0 < e < 1.
El caso ideal, e = 1, es el impacto perfectamente elástico .
Además denominaremos a un impacto como no restringido si sobre los
cuerpos que colisionan no actúa ninguna fuerza impulsiva externa, de
otro modo se le denominará restringido .
El impacto de cuerpos rígidos puede ser bastante complejo, no limitaremos en
esta exposición a los casos en los que las siguientes suposiciones se cumplen:
� El impacto comprende a solo dos cu erpos en movimiento plano donde ninguna
fuerza impulsiva tiene una componente perpe ndicular al plano del movimiento.
� El contacto entre los cuerpos rígidos ti ene lugar en un solo punto y en este punto
se puede definir claramente la línea de impacto.
� El contacto entre los cuerpos rígidos tiene lugar sin fricción.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Clasificación de impactos
Criterios geométricos de 
impacto
Tipo de 
impacto
Velocidades
 
previas
 
al 
impacto
Centro de 
masas
Paralela a la 
LDI
Sobre la LDI Central directo
Paralela a la 
LDI
No sobre la LDI Directo 
excéntrico
No paralelo a la 
LDI
Sobre la LDI Oblícuo central
No paralelo a la 
LDI
No sobre la LDI Oblícuo 
excéntrico
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto central
En un impacto
 
central, los centros
 
de masas
 
de los cuerpos
 
que
 
colisionan
están
 
sobre
 
la línea
 
de impacto
 
(LDI). Hay dos tipos
 
de impactos
 
centrales:
el directo
 
y el oblícuo. Independientemente
 
del tipo
 
de impacto, bajo
 
las
 
su-
posiciones
 
que
 
se han
 
hecho
 
al inicio, el impacto
 
central de un cuerpo
 
rígi-
do tiene
 
dos características
 
importantes:
1.
 
Las velocidades
 
angulares
 
se conservan
 
a través
 
de todo
 
el impacto.
2.
 
La ecuación
 
del coeficiente
 
de restitución
 
puede
 
ser escrita
 
directa-
mente
 
en términos
 
de los componentes
 
de la velocidad
 
a lo largo de
la línea
 
de impacto
 
del centro
 
de masas.
Ejemplo:
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto central
Ejemplo: (continuación)
Debido al impacto central, la fuerza
impulsiva N no genera momentos
alrededor de los centros C y D.
C A C A
D B D B
I I
I I
 
 
 
 


La conservación del momento
cinético produce las ecuaciones:
Se concluye:
A A
B B
 
 
 
 


Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto central
Ejemplo: (continuación) Como no hay fuerzas impulsivas en la
dirección perpendicular a la línea de
impacto, los componentes de la veloci-
dad en esta dirección no cambian a
consecuencia del impacto:
0
0
Cy Cy
Dy Dy
v v
v v
 
 
 
 
Aplicamos ahora la conservación
de la cantidad de movimiento de
todo el sistema a lo largo de la LDI:
A Cx B Dx A Cx B Dxm v m v m v m v
     
La ecuación del COR en E y Q: Ex Qx Qx Exv v e v v     
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto central
Ejemplo: (continuación) Análisis cinemático:
/
/
E C A E C
Q D B Q D


  
  
  
  
v v k r
v v k r
/
/
A E C A
B Q D B
R
R
 
 
 
 
 
  
k r j
k r j
Efectuando:
Ex Cx
Qx Dx
v v
v v
 
 

Comparando componentes en la dirección x (LDI):
La ecuación del COR, puede escribirse ahora en
términos de la velocidad del centro de masas:  Cx Dx Dx Cxv v e v v     
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto central
Ejemplo: (continuación)
Aplicando las condiciones iniciales y considerando el impacto perfectamente
elástico (e = 1), se obtiene:
0
0
; 0
0 ;
Cx A
Dx B
v v
v
v
R



 
  
 
Aunque la velocidad del centro de masa de la bola B es cero, la bola B no se
detiene después del impacto, ya que su velocidad angular es diferente de cero.
Los resultados obtenidos para la bola B inmediatamente después del impacto
implican, que el centro de masa de la bola B tiene velocidad cero por un instan-
te, mientras la bola desliza sobre la m esa de billar. Con la fricción que existe
entre la mesa y las bolas, la fuerza de fricción debida al deslizamiento va a
causar que el centro de masa de la bola B comience a moverse hacia la izquier-
da, como si fuera a perseguir a la bola A. Si se hubiera modelado a las bolas
como partículas, podríamos haber concluido que la bola B se detiene después
del impacto.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico
El impacto es excéntrico porque al menos uno de los centros de masa de los
cuerpos que colisionan no está sobre la línea de impacto. Un impacto excén-
trico afecta no solo las velocidades de los centros de masa sino también las
velocidades angulares de los cuerpos.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico
En los DCL se indica claramente la línea d e impacto y el sistema de coordenadas
escogido. Se elige el origen O de tal forma que coincide con los puntos de contacto 
E y Q entre los cuerpos rígidos en el instante del impacto, y tener presente que O es 
un punto fijo. De esta forma el punto O será el punto más conveniente para tomarlo 
como centro de momentos cuando se aplica el principio del impulso angular y mo- 
mento cinético.
La solución de un problema de impacto excéntrico de cuerpos rígidos no restringido
está gobernada por seis ecuaciones escalares.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico
La primera de estas ecuaciones se deriva de la aplicación de la conservación de
la cantidad de movimiento para todo el sist ema a lo largo de la línea de impacto:
A Cx B Dx A Cx B Dxm v m v m v m v
     
La segunda y tercera de estas ecuaciones se derivan también de la aplicación
de la conservación de cantidad de movimiento en la dirección perpendicular a
la línea de impacto, consecuencia de la suposición que el contacto tiene lugar
sin fricción:
yCy Cy Dy Dyv v v v
    
La cuarta ecuación es la ecuación del coef iciente de restitución, la cual la
escribimos primero en términos de los componentes de las velocidades de
los puntos de contacto a lo largo de la línea de impacto: Ex Qx Qx Exv v e v v     
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico
Esta ecuación la podemos luego reescribiren términos de los componentes de la
velocidad del centro de masa, asegurando que se satisfaga la cinemática del sóli-
do rígido, lo cual requiere que:
/
/
E C A E C
Q D B Q D


  
  
  
  
v v k r
v v k r
Como E, Q y O coinciden en el
instante del impacto:
/
/
E C C C c
Q D D D D
x i y j
x y
    
    
r r
r r i j
Efectuando los productos vecto-
riales y sustituyendo se obtiene:      E Cx A C Cy A CQ Dx B D Dy B D
v y v x
v y v x
 
 
    
    
   
   
v i j
v i j
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico
Finalmente podemos reescribir la ecuación del coeficiente de restitución:
 Cx A C Dx B D Dx B D Cx A Cv y v y e v y v y                
Como la línea de acción de las fuerzas de contacto entre A y B pasa por el punto O,
las dos ecuaciones restantes provienen de la conservación del momento cinético de
los cuerpos A y B relativos a O:
       O O O OA A B By    h h h h
Donde:  
  //
O C A C O CA
O C B D O DB
I m
I m
  
  
  
  
h ω r v
h ω r v
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico restringido
En un impacto restringido uno o ambos cuerpos
están sujetos a fuerzas externas impulsivas.
Modelar este tipo de impactos puede ser bastan-
te complejo, nos limitaremos al simple caso de
cuerpos que colisionan restringidos a moverse
alrededor de un eje fijo de rotación.
En base a un ejemplo explicaremos el procedi-
miento a seguir.
Un proyectil se dispara con velocidad horizontal v0 contra un péndulo balístico
y se queda incrustado en él, se desea determinar la velocidad después del impac-
del sistema péndulo-proyectil.
Dado que el único movimiento posible del péndulo es el giro alrededor de un
eje fijo O, la única información que necesitamos para describir el movimiento
posterior al impacto, es la velocida d angular del péndulo después del impacto.
Impacto de cuerpos rígidos en movimiento planoImpacto de cuerpos rígidos en movimiento plano
Impacto excéntrico restringido
El DCL muestra las reacciones Rx y Ry en O,
tienen que estar allí, porque estas fuerzas son
las que garantizan que el punto O no se moverá,
por lo tanto son fuerzas impulsivas.
El momento cinético alrededor del punto O se
conserva a través del impacto.       O O O Ob p b ph h h h     
donde el proyectil se modela como partícula y
el péndulo solo gira alrededor de O.     /O B O b B O O ppb ph r m v y h I      
  0 2bp O bp
m v H
I m H
  
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