F-Apunte_Cinematica_Circular

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Taller de Enseñanza de Física – Curso 2011 
En su XXVII aniversario 
Movimiento Circular 
 
 
La historia es verídica y fue más o menos así: Era un día soleado de invierno. Pía y su 
sobrina Sofía de 8 años fueron a los juegos del bosque frente al Museo de Ciencias Naturales. 
Sofi eligió una calesita de esas que tiene 4 bancos radiales con un volante en el medio. 
Agarradita al volante gritaba. 
- ¡Dale vueltas tía!!! - 
Pía, parada al costado de la calesita la hacía girar. Sofi volvió a gritar 
- ¡Más fuerte tía! - y Pía redoblaba el esfuerzo. Pero Sofi gritaba 
- ¡Más fuerte! -. Pía estaba haciendo su máximo esfuerzo. Entonces frenó la calesita y 
le pidió a Sofi que se siente al borde del asiento, lejos del centro. Empezó a hacerla girar y al 
ratito Sofi gritaba 
- ¡Aaah! ¡Uuh!! ¡Aaah!! - 
Finalmente iba lo suficientemente rápido. Cuando bajó de la calesita, miró a su tía y seria le 
preguntó: 
-¿Tía, porqué va más rápido la calesita al borde que en el medio?- 
Pía tragó saliva y meditó un ratito. Subieron las dos a la calesita una al lado de la otra, 
Pía daba vueltas al volante y Sofi en el borde; juntas daban vueltas en la calesita, 
-¿Ves que vamos juntas? Al mismo momento pasamos por delante de aquel árbol, 
delante de la abuela, al lado del tobogán.- Y Sofi asentía con la cabeza. 
- Si nos viéramos de arriba, ¿qué formita haríamos mientras giramos?- 
- De redondeles-, contestó Sofi. 
- ¡Claro! - , respondió Pía, -¿Y cuál de los redondeles es más grande?- 
-No se… 
- Bueno, vamos a medirlos con las bufandas… 
 
La bufandita de Sofi alcanzaba para medir el “redondel” que dibujaba Pía, mientras 
que la bufandota de Pía alcanzaba para medir el “redondel” que dibujaba Sofi. Cuando los 
estiraron uno al lado de otro para comparar, quedó claro que el redondel de afuera (el que 
dibujaba Sofi) era bastante más grande que el de adentro. 
- Hay que hacer un camino más largo por el redondel de afuera. Y, como los dos 
redondeles se dibujan juntos, al mismo tiempo, ¡en el de afuera hay que ir más rápido 
que en el de adentro! - 
Sofi se quedó tranquila con esa explicación, para ella la calesita andaba más rápido en 
el borde que en el centro porque hay que hacer un redondel grandote al mismo tiempo que un 
redondel chiquito … 
 
El Movimiento circular 
 
Está claro que estudiado desde un Marco de 
Referencia fuera de la calesita (por ejemplo en el suelo), 
todo lo que se encuentre arriba de la calesita en 
movimiento describe una trayectoria circular. Aquí el eje 
de revolución permanece fijo mientras que todos los 
demás puntos del cuerpo se mueven describiendo 
circunferencias concéntricas con el eje perpendicular al 
círculo que contiene el plano. 
En el caso de Pía y Sofi, modelizamos a cada una 
θ 
Eje de Rotación 
Movimiento circular de un objeto 
modelizado como partículas. 
como partícula, de modo que cada una de esas 
partículas describe un círculo de radio fijo, diferente 
al descripto por la otra partícula. 
Para describir posiciones en este tipo de 
trayectorias es conveniente utilizar unos sistemas 
de coordenadas particulares: aquellos cuyo origen 
se encuentra en el centro de la trayectoria. En estos 
sistemas de coordenadas es adecuado utilizar las 
coordenadas polares, que son aquellas en que los 
pares ordenados están compuestos por la distancia 
al eje de rotación ( R ) y por el ángulo que la 
partícula forma respecto de la posición inicial ( θ ). 
La posición de un objeto modelizado como partícula 
puede ubicarse inequívocamente mediante sus 
coordenadas polares (R, θ), y también con las 
coordenadas cartesianas (x,y) usuales. ¿Cuál es la 
ventaja de usar coordenadas polares en lugar de 
coordenadas cartesianas en el estudio del movimiento circular? Si usamos las coordenadas 
cartesianas, ambas cambian para cada punto. En cambio, en las coordenadas polares el ángulo 
θ varía para cada punto, pero R permanece constante. 
Un ángulo puede medirse en grados o en radianes. En Física se utiliza habitualmente el 
radián, que es la unidad angular en el Sistema Internacional (SI). Matemáticamente, el ángulo 
en radianes se calcula como: 
 
 
donde S es la longitud del arco de circunferencia de radio R y cuyo ángulo central es θ. 
El radián es adimensional, dado que es un cociente entre longitudes. Por esta razón un 
ángulo medido en radianes no lleva unidades, aunque a veces se lo indica con el símbolo rad. 
Para indicar la posición angular de un objeto que describe una trayectoria circular de radio R, 
es suficiente con especificar el ángulo que forma con respecto al ángulo cero tomado como 
referencia. 
El desplazamiento angular se define como el cambio de posición angular de un cuerpo. 
La expresión matemática es: 
 
 
Velocidad angular 
 
En un movimiento circular uniforme, un cuerpo describe iguales desplazamientos 
angulares en iguales intervalos de tiempo. En este movimiento, la velocidad angular es el 
cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo transcurrido. Su valor es constante y 
expresa el desplazamiento angular realizado por unidad de tiempo. Cuanto mayor es el valor 
de la velocidad angular del cuerpo, mayor es el ángulo barrido por unidad de tiempo. La 
expresión matemática del módulo de la velocidad angular media de un movimiento circular 
uniforme es: 
 
 
 
 Utilizando la expresión (2) podemos reescribir la expresión (3) como : 
 
 
X 
Y 
x 
y 
θ 
R 
 
El vector posición usando las 
coordenadas cartesianas (x,y) o 
polares (R,θ). 
 
, donde ωmedia es el módulo de la velocidad angular media, θ es la posición angular final, θ0 la 
inicial y Δt es el tiempo transcurrido. En forma general, la función que describe la posición 
angular como función del tiempo en un movimiento con velocidad angular constante es: 
 
 
 
Como en otros movimientos, el cambio de posición respecto al tiempo es la velocidad; 
aquí, el cambio de la posición angular como función del tiempo es la velocidad angular. Si 
derivamos la expresión (5) obtenemos la expresión para la función módulo de la velocidad 
angular para un movimiento circular uniforme: 
 
 
 
Pero atención con este punto: el 
resultado final de la ecuación (6) (
) no es general, es sólo válido para 
cuando el movimiento circular es a rapidez 
constante, es decir cuando coinciden los 
módulos de la velocidad angular media y de la 
velocidad angular instantánea. 
Dado que la unidad de 
desplazamiento angular es adimensional y la 
unidad de tiempo es el segundo, la unidad de 
rapidez angular en el Sistema Internacional es 
*ω+ = s-1. 
Hasta ahora hicimos referencia al 
módulo de la velocidad angular. Esto es 
debido a que en realidad la velocidad angular 
es un vector, con lo cual debemos explicitar su 
dirección y sentido. La velocidad angular se 
representa vectorialmente sobre el eje de 
rotación y con un sentido dado por la “regla 
de la mano derecha”. Esta regla plantea que si 
orientamos nuestra mano derecha de manera 
tal que los dedos índice, mayor, anular y 
meñique, giren igual que el objeto que 
estamos estudiando, el dedo pulgar nos 
muestra la dirección y el sentido en que 
apunta el vector velocidad angular . 
Unificando toda la información 
anterior definimos al vector velocidad angular 
como 
 
 
 
donde representa al versor que apunta en la 
dirección perpendicular al plano sobre el que 
la partícula desarrolla la trayectoria circular. 
 
Regla de la mano derecha para calcular el 
sentido del vector velocidad angular. 
θ X 
Y 
Z 
 
 
 
Movimiento circular con rapidez 
constante. Se observa el vector velocidad 
angular , la velocidad y la aceleración 
. La componente tangencial de la 
aceleración es nula. 
 
Velocidad tangencial 
 
Un cuerpo en movimiento circular uniforme presenta una velocidad angular con 
respecto al centro de rotación que representa el ángulo barrido por unidad de tiempo. Pero 
también podemos representar la velocidad que nosotros conocíamos: el cambio del vector 
posición respecto al tiemporepresentado como un vector tangente a la trayectoria. Es 
evidente que en el movimiento circular, el vector velocidad cambia de dirección en cada punto 
de la trayectoria, aunque su valor numérico o rapidez se mantenga constante. Para 
diferenciarla de la velocidad angular, esta velocidad es denominada usualmente como 
velocidad tangencial, pese a que es una redundancia ya que siempre la velocidad es tangente 
a la trayectoria. 
La relación entre la rapidez v (el módulo de la velocidad tangencial) y la velocidad 
angular ω y el radio de rotación R es: 
 
 
 
Aceleración centrípeta 
 
Sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme, la rapidez es 
constante. Sin embargo, dado que la dirección del vector velocidad cambia en cada punto de 
su trayectoria, el cuerpo se encuentra acelerado. Es decir que surge algo muy importante: No 
es posible un movimiento circular a velocidad constante. En el caso de que la rapidez sea 
constante, el vector aceleración tiene dirección hacia el centro de la circunferencia y recibe el 
nombre de aceleración centrípeta. Esto no es nada nuevo, lo único que hemos hecho es 
expresar al vector aceleración en una componente tangencial y otra centrípeta . Lo que 
sucede es que si tenemos un movimiento circular con rapidez constante, la componente 
tangencial de la aceleración es nula. 
Por ejemplo, la dirección de la aceleración queda bien clara al hacer girar una piedra 
atada de un hilo de manera que la rapidez sea constante. La fuerza que ejerce la mano hacia el 
centro de rotación provoca una aceleración en el mismo sentido que dicha fuerza, obligando a 
la piedra a cambiar la dirección de su velocidad en cada punto de la trayectoria. Cuando la 
cuerda se corta, la piedra sale disparada en la dirección tangencial al movimiento. 
La expresión matemática 
del módulo de la aceleración 
centrípeta es: 
 
 
 
, donde se expresa en términos de 
la rapidez v y R el radio de 
rotación; o en términos de la 
rapidez angular ω y el radio R. El 
módulo de la aceleración 
centrípeta es, entonces, 
directamente proporcional al 
cuadrado de la rapidez e 
inversamente proporcional al 
radio de rotación. 
 En el caso en que la 
rapidez no sea constante, 
θ 
X 
Y 
Z 
 
 
 
 
 
 
 
Movimiento circular con rapidez variable. Se observa el 
vector velocidad angular , vector aceleración angular , la 
velocidad y la aceleración en tres instantes diferentes. 
La componente tangencial de la aceleración no es nula. 
 
tendremos la aceleración tangencial. En este caso, la aceleración centrípeta es la responsable 
de cambiar el sentido de la velocidad mientras que la aceleración tangencial es la responsable 
de aumentar su módulo. 
 
Aceleración angular 
 
 En el caso anterior, en el que observamos que la componente tangencial de la 
aceleración no era nula, es evidente que el valor del módulo de la velocidad , no es constante. 
Si recordamos la ecuación (8), deducimos que el módulo de la velocidad angular tampoco será 
constante. Estamos entonces en presencia de la aceleración angular , que similarmente a 
cómo hemos visto con la aceleración en los movimientos no circulares, se define como 
 
 
 
Claramente es un vector, cuya dirección es la misma que la de la velocidad angular y su 
sentido estará determinado de acuerdo a aumente o disminuya el módulo de . 
 La vinculación entre la aceleración angular y la aceleración se hace evidente de 
pensar el origen de la primera. Como fue planteado, es la responsable de aumentar el valor 
de la velocidad angular , lo que se traduce de acuerdo a la expresión (9) en aumentar el valor 
de la rapidez v. Pero cuando hemos descompuesto la aceleración en componentes, 
observamos que la componente tangencial es la que permite el aumento de v. En definitiva 
vamos a poder encontrar una relación entre y dada por 
 
 
 
Observando similitudes 
 
 Comparando los conceptos desarrollados para estudiar el movimiento no circular y el 
movimiento circular, aparecen una serie de no casuales similitudes. En la tabla siguiente las 
hacemos explícitas de manera tal que sea más fácil incorporarlas y pensarlas. 
 
 
 Movimiento No Circular Movimiento Circular 
Coordenadas 
recomendadas 
Cartesianas: x e y Polares : R y θ 
Sistema de 
Coordenadas 
En cualquier sitio 
Con centro en la 
circunferencia 
Posición 
Desplazamiento 
Velocidad 
 
Aceleración 
 
 
 
 
 
 
Período y frecuencia del movimiento circular 
 
Se denomina período del movimiento circular al tiempo que tarda un cuerpo en pasar 
dos veces consecutivas por la misma posición. Es decir, al tiempo que tarda en realizar una 
vuelta completa alrededor del centro de rotación. Se simboliza con la letra T y su unidad en el 
Sistema Internacional es el segundo. 
 
Se llama frecuencia a la cantidad de veces que un cuerpo pasa por la misma posición 
en una unidad de tiempo. Se simboliza con la letra f. La frecuencia se calcula como: 
 
 
 
Dado que el número de vueltas es adimensional y el tiempo se mide en segundos, la 
unidad de frecuencia en el SI es [f] = s–1 = 1/s. Esta unidad recibe el nombre de hertz (Hz). Por 
ejemplo, un cuerpo que efectúa cinco vueltas por segundo tiene una frecuencia de 5Hz. 
El período y la frecuencia están relacionados. Un cuerpo que realiza tres vueltas por 
segundo, tarda 1/3 de segundo en realizar una vuelta completa y viceversa. Un cuerpo que 
tarda 1/10 de segundo en hacer un giro completo, realiza 10 vueltas por segundo. Esto 
significa que la frecuencia es igual al inverso del período, y viceversa. Es decir, 
 
 
 
donde T es el período y f la frecuencia.