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FORMULARIO NÚMEROS COMPLEJOS Unidad imaginaria. Es el número −1 y se designa por i Números complejos: Son aquellos que se pue- den escribir de la forma abi , donde a y b son números reales e i la unidad imagina- ria. a= Re(z) es la parte real b=Im(z) es la parte imaginaria El conjunto de todos los números complejos se designa por ℂ y se define como ℂ:= {z=abi / a ,b∈ℜ } Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria: abi=a'b' ia=a' y b=b' Forma binómica de un número complejo: z=abi Si b=0 z=a es un número real. Si b≠0 y a=0 z=bi , es un número imaginario puro. Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma binó- mica: * opuesto: −z=−a−bi * conjugado: z=a−bi * inverso: z−1= 1 z = 1 abi Representación de números complejos ℂ:= {P a ,b / a ,b∈ℜ } A cada número complejo z=a+bi se le hace corresponder el punto P(a,b), que se llama afijo del número complejo. Potencias de i: i0=1 , i1=i , i2=−1 , i3=−i , i4=1 , i5=i ... i254=i4 63⋅i2=1−1=−1 Operaciones con números complejos: • Suma abicdi=acbd i • Resta abi−cdi=a−cb−d i • Producto abicdi=ac−bdadbc i • División abi cdi = abic−di cdi c−di =... Números complejos en forma polar: r r=∣z∣ Es el módulo de un número complejo. Es el argumento del número complejo, que se puede expresar en gra- dos o en radianes. Dos números com- plejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento. r=r ' ' r=r ' y = 'k · 360º k∈ℤ Tomaremos siempre ∈[ 0,360 º ) Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma polar: • opuesto: −z=r180º • conjugado: z=r− • inverso: z−1= 1 z = 1 r = 10º r =1r − Paso de forma binómica a polar: r=∣z∣=a2b2 tg=b a =arctg ba Paso de forma polar a binómica: a=r cos b=r sen Forma trigonométrica: z=abi=r cosr seni=r cosi sen Producto de números complejos en forma polar: r⋅r ' '=r⋅r ' ' Cociente de números complejos en forma polar: r r ' ' = rr ' − ' Potencias de números complejos: rα n =r⋅r⋅r⋅... r n veces =r ·r · r ·... · r...=r n n Fórmula de Moivre: zn=r n =rncos ni senn Si r =1, es muy útil en trigonometría: 1 n =cosi senn=cosni sen n Raíces de números complejos: nr= nr 360º k n Siendo k = 0, 1, 2,.., (n-1) Los afijos de nr son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una cir- cunferencia de radio nr Formula del binomio de Newton abin=∑ k=0 n nk a n−k bik r r−r
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