Guía N2 -(2do) Determinación de la Magnitud, Ángulo y Producto Punto

Vista previa del material en texto

CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
 
Guía N°2: Vectores, Conceptos Básicos 
II ° Medios H.C. 
Física 
 
Nombre: Fecha: 26/03/2019 
 
 
Unidad 0: Eje Cartesiano y Vectores en el Plano 
 
Contenidos: 
- Vectores en tres dimensiones, Descomposición de Vectores y Producto 
Punto. 
Objetivo: 
- Comprender como se encuentran compuestos los vectores. 
- Identificar las componentes que tienen los vectores. 
- Determinar tanto la magnitud como la dirección de un vector, a partir de 
sus componentes y viceversa. 
- Aplicar el producto punto entre vectores para hallar magnitudes escalares. 
 
 
Instrucciones: 
La siguiente guía será evaluada con nota SUMATIVA, para responderla debes utilizar el material 
que se sugiere: 
 
- Guía N°1 y 2 
- Enlace: https://www.youtube.com/watch?v=Pm3zAth-VPM 
 
Fecha de Entrega: viernes 10 de abril, al correo según curso al que pertenezca. 
Curso Profesor Correo 
2°A y 2°B HC Manuel Lara mlara@salesianosalameda.cl 
2°C , 2°D HC 
2°A , 2°B, 2°C, 2°D y 2°E TP 
Camilo Lucero clucero@salesianosalameda.cl 
 
Al enviar el correo en ASUNTO debes escribir: apellidos – nombre y curso 
Sigue este ejemplo: 
 Asunto: Aravena Llano Juan José- 1 C HC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Pm3zAth-VPM
 
 
 
 CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
 
 
Recordemos un poco…… 
 
Habíamos dicho anteriormente que, en el estudio de la ciencia física, tenemos dos 
tipos de magnitudes: 
 
 Magnitudes Escalares 
 Magnitudes Vectoriales 
 
 Escalares: 
Son aquellas que tan solo se necesita establecer su “MAGNITUD” 
(Cantidad numérica, Cifra) y su “UNIDAD DE MEDIDA”, ejemplos de 
estas son: 
- Rapidez 
- Masa 
- Tiempo 
- Distancia 
- Área 
- Perímetro 
- Densidad 
- Volumen 
- Temperatura 
 
 Vectoriales: 
Son aquellas que además de tener una “magnitud” y “unidad de medida”, 
necesariamente se deben establecer otras dos características, las cuales 
son; “SENTIDO” (indicado por la punta de flecha) y “DIRECCIÓN” 
(indicado por la línea recta que pasa sobre el vector). 
 
 
 
 
Una magnitud vectorial se simboliza con una letra y una flecha en su 
parte superior, 𝐴 Si queremos referirnos a la magnitud del vector A se 
denota por |𝐴|. 
Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: 
 
- Desplazamiento 
- Velocidad 
- Aceleración 
- Fuerza 
- momentum lineal 
- torque 
- Campo Eléctrico 
 
 
 
 
 
 
 CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
 
 
También vimos…… 
 
Representación de un vector: 
 
Si decimos que 𝐴 es un vector tridimensional (Ósea, de tres dimensiones X, Y, Z) 
 
𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧) 
 
En donde: 
 
 Ax es la componente del vector en la dirección X. 
 Ay es la componente del vector en la dirección Y. 
 Az es la componente del vector en la dirección Z. 
 
Aunque para este curso nos enfocaremos más en vectores Bidimensionales (Ósea, de 
dos dimensiones X, Y) no es malo tener presente lo anterior, pues las operatorias son 
iguales para ambos casos. 
 
 
Bien, comencemos nuevamente…… 
 
Representación por vector unitario 
 
 
La otra forma de escribir un vector es en función de vectores unitarios, es decir, vectores 
que tienen magnitud de valor uno, asociados a cada eje. 
 
 
 
 
Por lo cual, el vector 𝐴 quedaría representado de la siguiente manera: 
 
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧 �⃗⃗� 
 
- Determinación de la magnitud de un Vector 
 
La Magnitud o tamaño del vector será determinado por la ecuación: 
 
 
|𝐴| = √(𝐴𝑥)2 + (𝐴𝑦)
2
+ (𝐴𝑧)2 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
 Sea el vector 𝐶 = 3𝑖 + 2𝑗 + −3�⃗⃗� procederemos a determinar su magnitud de acuerdo 
con la ecuación anterior. 
 
Entonces: 
 
|𝐶|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = √(3)2 + (2)2 + (−3)2 
 
|𝐶|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = √9 + 4 + 9 
 
|𝐶| = √22 
 
|𝐶|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 4,6904 … ≅ 4,69 
 
Finalmente hemos hallado que la “magnitud” del vector 𝐶 es aproximadamente igual a 4,69. 
 
*Nota: 
 La magnitud de un vector también se conoce con el nombre de “Módulo”. 
 
 
Proyección de un vector y determinación de sus componentes rectangulares 
 
 
Proyectar un vector es trazar la perpendicular a los ejes cartesianos. Por ejemplo en dos 
dimensiones la figura muestra al vector 𝐴 y las dos componentes que se obtienen en esta 
proyección Ax y Ay donde: 
 
 
 
Como se puede apreciar la proyección del vector 𝐴 se entiende también como la forma de 
determinar las componentes rectangulares del vector. Esto se obtiene utilizando las relaciones 
trigonométricas (funciones) de Seno y Coseno, obteniendo así las expresiones anteriores. 
 
 
𝐴𝑥 = |𝐴| cos 𝜃 (Componente de 𝐴 en el eje X) 
 
𝐴𝑦 = |𝐴| sin 𝜃 (Componente de 𝐴 en el eje Y) 
 
Por lo tanto el vector 𝐴 queda expresado mediante sus componentes rectangulares de la 
siguiente forma: 
 
𝐴 = [|𝐴| cos 𝜃 ; |𝐴| sin 𝜃] 
 
Por ejemplo: 
 Sea el vector 𝐴 = 5 𝑦 𝜃 = 37° , halle sus componentes rectangulares. 
 
 
𝐴𝑥 = |𝐴| cos 𝜃, reemplazando los valores se tiene: 
𝐴𝑥 = 5 cos 37 = 5 ∙ 0,8 
 
 
 
 CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
𝐴𝑥 = 4 
 
 
 
 
𝐴𝑦 = |𝐴| sin 𝜃, reemplazando nuevamente los valores se tiene: 
𝐴𝑦 = 5 sin 37 = 5 ∙ 0,6 
𝐴𝑦 = 3 
 
Entonces, finalmente el vector está compuesto por las coordenadas 𝐴 = (4; 3) 
 
 
- Determinación de la dirección de un vector 
 
La Dirección o Ángulo de un vector (θ) se obtiene mediante el arcotangente de él. Es decir: 
 
 
𝜃 = arctan
𝐴𝑦
𝐴𝑥
, o también 𝜃 = tan−1
𝐴𝑦
𝐴𝑥
 
 
Por ejemplo: 
 Dado el vector �⃗⃗� = (8; 6). Encuentre su dirección o ángulo. 
 
𝜃 = tan−1
𝐵𝑦
𝐵𝑥
 Al reemplazar en la ecuación; 
 
𝜃 = tan−1
6
8
 
 
𝜃 = 38,9° 
 
Entonces, finalmente la dirección del vector �⃗⃗� es de 38,9° 
 
* Nota: 
 Es recomendable dibujar previamente el vector en el plano cartesiano para saber en 
qué cuadrante se encuentra para expresar el ángulo correctamente, ya que este siempre se 
mide a partir de la referencia. 
 
 
Producto punto o producto escalar 
 
Con esta operación se toman dos elementos del conjunto de los vectores y mediante la 
operación punto se sale de este conjunto y se pasa al conjunto de los reales, obteniéndose 
como resultado un escalar. 
El producto punto o producto escalar entre dos vectores, en su notación se representa mediante 
un punto (•). 
El producto punto entre dos vectores se obtiene multiplicando los módulos de los vectores por 
el coseno del ángulo que se forma entre ellos, es decir: 
 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = |𝐴||�⃗⃗�| cos 𝜃 
 
Al efectuar un análisis gráfico del producto escalar, se 
concluye que el producto punto corresponde a la 
multiplicación de dos trazos, la magnitud del primer 
vector por la proyección del segundo vector sobre el 
primero. 
 
 
 
 CENTRO EDUCATIVO SALESIANOS ALAMEDA 
«Desde 1891 formando Buenos Cristianos y honestos ciudadanos» 
Año educativo pastoral 2020 
Departamento de Ciencias 
 
 
El tamaño de vector 𝐴 es |𝐴| y la proyección del vector �⃗⃗� sobre 𝐴 tiene un valor |�⃗⃗�|cos 𝜃, por lo 
que al efectuar el producto punto o producto escalar se está multiplicando el tamaño de dos 
trazos y el resultado es un escalar. 
 
- Propiedades del producto punto 
 
 
 
Determinación del producto escalar de forma analítica 
 
Sean 𝐴 y �⃗⃗� dos vectores expresados en coordenadas rectangulares con 𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧) y 
�⃗⃗� = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) en este caso la operación producto punto o escalar se define de la siguiente 
forma: 
 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (𝐴𝑥𝐵𝑥) + (𝐴𝑦𝐵𝑦) + (𝐴𝑧𝐵𝑧) ; Donde el resultado es un escalar. 
 
Por ejemplo: 
 Sea 𝐴 = (3 ; 1) y �⃗⃗� = (4 ; 4) dos vectores ubicados en el plano X/Y, su producto punto 
será: 
 
𝐴 ⋅ �⃗⃗� = (3 ⋅ 4) + (1 ⋅ 4) = 12 + 4 = 16