La musica de los numeros primos - Marcus du Sautoy

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La música de los números primos www.librosmaravillosos.com Marcus du Sautoy
Colaboración de Sergio Barros 1 Preparado por Patricio Barros
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Colaboración de Sergio Barros 2 Preparado por Patricio Barros
Reseña
A los niños les enseñan en la escuela que los números primos sólo pueden dividirse
por sí mismos y por la unidad. Lo que no les enseñan es que los números primos
representan el misterio más fascinante al que nos enfrentamos en nuestra
búsqueda del conocimiento. ¿Cómo predecir cuál va a ser el siguiente número primo
de una serie? ¿Existe alguna fórmula para generar números primos?
En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann planteó una hipótesis que
apuntaba a la solución del antiguo enigma. Pero no consiguió demostrarla y el
misterio no hizo más que aumentar. En este libro asombroso, Marcus du Sautoy nos
cuenta la historia de los hombres excéntricos y brillantes que han buscado una
solución para revolucionar ámbitos tan distintos como el comercio digital, la
mecánica cuántica y la informática. El relato de Du Sautoy constituye una evocación
maravillosa y emocionante del mundo de las matemáticas, de su belleza y sus
secretos.
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En memoria de Yonathan du Sautoy
21 de octubre de 2000
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Índice
1. ¿Quién quiere ser millonario?
2. Los átomos de la aritmética
3. El espejo matemático imaginario de Riemann
4. La hipótesis de Riemann: de los números primos aleatorios a los ceros
ordenados
5. La carrera de relevos matemática: comienza la revolución riemaniana
6. Ramanujan, el místico matemático
7. Éxodo matemático: de Gotinga a Princeton
8. Máquinas de la mente
9. La era de la informática: de la mente al pc
10. Descifrar números y códigos
11. De los ceros ordenados al caos cuántico
12. La última pieza del rompecabezas
Agradecimientos
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Capítulo 1
¿Quién quiere ser millonario?
¿Sabemos cuál es la secuencia de números? Bien, vamos a
hacerlo mentalmente… cincuenta y nueve, sesenta y uno,
sesenta y siete… setenta y uno… ¿No son todos estos números
primos?». Un murmullo de conmoción recorrió la sala de control.
La expresión de Ellie reveló por un instante el aleteo de una
emoción intensa, que sin embargo fue rápidamente sustituido
por la templanza, por el temor de verse superada, por una
inquietud de parecer boba, no científica.
CARL SAGAN
Contacto
Una cálida y húmeda mañana de agosto de 1900 David Hilbert, de la Universidad de
Gotinga, tomó la palabra en el Congreso Internacional de Matemáticos, en una
atestada sala de conferencias en la Sorbona. Hilbert, que ya entonces era
reconocido como uno de los más grandes matemáticos de la época, había preparado
un importante discurso: se proponía hablar no de lo que había sido demostrado,
sino de lo que todavía era desconocido. Esto iba contra todas las reglas, y cuando
Hilbert empezó a exponer su propia visión sobre el futuro de las matemáticas el
público pudo percibir el nerviosismo en su voz: « ¿Quién de nosotros no gozaría
descorriendo el velo tras el cual se oculta el porvenir, dejando caer su mirada sobre
los futuros progresos de nuestra ciencia y sobre los secretos de su desarrollo
durante los próximos siglos?». Para anunciar el nuevo siglo, Hilbert proponía como
reto a sus oyentes una lista de veintitrés problemas que, según él, trazarían el
camino de los exploradores matemáticos del siglo XX.
Los siguientes decenios pudieron ver la respuesta a muchos de aquellos problemas,
y los que descubrieron las soluciones forman un ilustre grupo de matemáticos
conocidos como «Los primeros de la clase». El grupo cuenta con personajes del
calibre de Kurt Gödel y de Henri Poincaré, junto con muchos otros pioneros cuyas
ideas han revolucionado radicalmente el paisaje matemático. Pero había un
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problema, el octavo de la lista de Hilbert, que parecía destinado a sobrevivir al siglo
sin que apareciera un campeón capaz de vencerlo: la hipótesis de Riemann.
De todos los retos que Hilbert había propuesto, el octavo ocupaba un lugar especial
en su corazón. Existe un mito germánico sobre Federico Barbarroja, un emperador
muy querido por los alemanes. Tras su muerte, acaecida durante la Tercera
Cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad Federico continuaba con vida,
que yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser y despertaría cuando
Alemania lo necesitara. Se dice que alguien preguntó a Hilbert: «Si usted, como
Barbarroja, despertara dentro de quinientos años, ¿qué sería lo primero que
haría?». «Preguntaría si alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann»,
respondió.
A finales del siglo XX la mayor parte de los matemáticos se había convencido de
que, entre todos los problemas propuestos por Hilbert, aquella piedra preciosa no
sólo tenía grandes posibilidades de sobrevivir al siglo, sino que quizá no estaría
resuelta cuando Hilbert se despertara de su sueño de quinientos años. Con su
revolucionario discurso, cargado de misterio, había provocado el desconcierto en el
primer Congreso Internacional del siglo XX. Sin embargo, a los matemáticos que
tenían intención de participar en el último Congreso del siglo les aguardaba una
sorpresa.
El 7 de abril de 1997 una noticia excepcional apareció en las pantallas de los
ordenadores de toda la comunidad matemática mundial. En la página de Internet
del Congreso Internacional que tenía que celebrarse al año siguiente en Berlín se
anunció que habían encontrado el Santo Grial de las matemáticas: alguien había
demostrado la hipótesis de Riemann. Era una noticia destinada a tener efectos muy
profundos. La hipótesis de Riemann es un problema fundamental para las
matemáticas en su conjunto. Al leer su correo electrónico los matemáticos
temblaban de emoción ante la perspectiva de comprender al fin uno de los más
grandes misterios de su disciplina.
La noticia se anunciaba en una carta del profesor Enrico Bombieri. No era posible
contar con una fuente más fiable: Bombieri es uno de los albaceas de la hipótesis de
Riemann y forma parte del Institute for Advanced Study de Princeton, de cuyo
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equipo formaron parte Einstein y Gödel. Habla muy pausadamente, pero los
matemáticos escuchan con atención todo lo que tenga que decir.
Bombieri creció en Italia, donde los viñedos de su acaudalada familia le hicieron
adquirir el gusto por la belleza de la vida. Los colegas lo llaman afectuosamente «el
aristócrata de las matemáticas». Cuando era joven, su elegancia llamaba siempre la
atención en las reuniones europeas, donde llegaba a menudo a bordo de costosos
automóviles deportivos. Por otra parte, a él le encantaba alimentar los rumores que
contaban que alguna vez había llegado sexto en un rallye de veinticuatro horas
celebrado en Italia. Con el tiempo, sus éxitos en el circuito de las matemáticas
fueron más tangibles, de modo que en los años setenta le valieron una invitación a
Princeton, donde se encuentra todavía. Ha sustituido el entusiasmo por las carreras
por la pasión de pintar, sobre todo retratos.
Pero lo que procura a Bombieri la mayor emoción es el arte creativo de las
matemáticas, y en particular el reto de la hipótesis de Riemann, que lo tiene
obsesionado desde la tierna edad de quince años, cuando oyó hablar de la cuestión
por vez primera.Las propiedades de los números lo fascinaron desde que comenzó
a ojear los libros de matemáticas que su padre, economista, tenía en su inmensa
biblioteca. Descubrió que la hipótesis de Riemann era considerada el problema más
profundo y fundamental de la teoría de los números. Su pasión por el problema se
vio acrecentada cuando su padre le prometió un Ferrari si lo resolvía, en un
desesperado intento de evitar que condujera su Ferrari.
Volviendo al mensaje electrónico de Bombieri, alguien se le había adelantado
haciéndole perder el premio. «Se han producido fantásticos acontecimientos tras la
conferencia que Alain Connes pronunció el pasado miércoles en el Institute for
Advanced Study», empezaba Bombieri. Muchos años atrás, la noticia de que Connes
fijaba su atención en la hipótesis de Riemann con intención de resolverla había
puesto en tensión al mundo matemático. Connes es uno de los revolucionarios de la
disciplina, un benigno Robespierre de las matemáticas respecto del Luis XVI que
encarnaría Bombieri. Se trata de un personaje dotado de un extraordinario carisma,
cuyo estilo fogoso dista mucho de la imagen tradicional del matemático serio y
circunspecto. Está dotado de la pasión de un fanático profundamente convencido de
su propia visión del mundo, y deja hipnotizados a cuantos asisten a sus clases. Para
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sus seguidores es casi una figura de culto; les encantaría unirse a él en las
barricadas matemáticas para defender a su héroe de cualquier contraofensiva que
fuera lanzada desde las posiciones del Antiguo Régimen.
El lugar de trabajo de Connes es la respuesta francesa al Instituto de Princeton: el
Instituí des Hautes Etudes Scientifiques de París. Desde su llegada, en el año 1979,
Connes ha creado un lenguaje totalmente nuevo para la comprensión de la
geometría. La idea de llevar esta disciplina hasta el extremo de la abstracción no le
espanta en absoluto. Incluso entre los matemáticos, que están habituados a las
aproximaciones fuertemente conceptuales de su disciplina con relación a la realidad,
en muchos casos existen dudas sobre la revolución abstracta que propone Connes.
Sin embargo, según ha demostrado a los que dudan de la necesidad de una teoría
tan árida, su nuevo lenguaje geométrico contiene muchos elementos útiles para
comprender el mundo real de la física cuántica. Si resulta que provoca el terror de
las masas matemáticas, paciencia.
La audaz convicción de Connes de que su nueva geometría no sólo podría descorrer
el velo de la física cuántica, sino también explicar la hipótesis de Riemann —el
mayor misterio numérico— produjo sorpresa e incluso turbación. El simple hecho de
osar aventurarse en el corazón de la teoría de los números y enfrentarse
directamente con el más difícil de los problemas irresueltos de las matemáticas
reflejaba su desprecio por los límites convencionales. Desde su aparición en escena,
a finales de los noventa, flotaba en el aire la sensación de que, si alguna vez había
existido alguien con recursos suficientes para enfrentarse a un problema de tamaña
dificultad, ése era Alain Connes.
Pero, según parecía, no había sido Connes quien había hallado la última pieza del
complicado rompecabezas. En su correo, Bombieri narraba que un joven físico que
asistía a la conferencia había percibido «como un relámpago» un modo de utilizar su
extraño mundo de «sistemas supersimétricos fermiónico-bosónicos» para atacar la
hipótesis de Riemann. Pocos eran los matemáticos que conocían el significado de
aquel cóctel de tecnicismos, pero Bombieri explicaba que describían «la física
correspondiente a un conjunto muy próximo al cero absoluto de una mezcla de
aniones y morones con spins opuestos». La cuestión seguía sonando un tanto
oscura, pero ya que se trataba de la solución del problema más difícil de la historia
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de las matemáticas, nadie esperaba que se tratara de una cosa simple. Volviendo a
Bombieri, afirmaba que, después de seis días de trabajo ininterrumpido y, gracias a
un nuevo lenguaje de programación llamado MISPAR, el joven físico había
desentrañado por fin el problema más arduo de las matemáticas.
Bombieri terminaba su correo con las palabras: « ¡Guau! Por favor, den la máxima
difusión a esta noticia». Aunque parezca extraordinario que un joven físico hubiera
acabado demostrando la hipótesis de Riemann, después de todo la noticia no era
tan sorprendente: en los últimos decenios había sucedido con frecuencia que las
matemáticas y la física se entretejieran. Por más que se trataba de un problema
central de la teoría de los números, desde hacía algunos años la hipótesis de
Riemann mostraba relaciones inesperadas con algunos problemas de la física de
partículas.
Los matemáticos se prepararon para cambiar sus planes de viaje y volar a Princeton
para compartir el momento. Todavía se mantenía fresco el recuerdo de la emoción
de pocos años atrás, cuando Andrew Wiles, matemático inglés, anunció la
demostración del último teorema de Fermat durante una conferencia celebrada en
Cambridge en junio de 1993. Wiles demostró que la afirmación de Fermat, según la
cual la ecuación xn+ yn =zn no tiene soluciones para cualquier valor de n mayor que
2, era correcta. Apenas soltó Wiles la tiza al final de la conferencia, saltaron los
tapones de las botellas de champán y empezaron a dispararse los flashes de las
cámaras.
Los matemáticos eran conscientes de que la demostración de la hipótesis de
Riemann tendría una importancia enormemente mayor para el futuro de las
matemáticas de la que tuvo saber que la ecuación de Fermat no admite soluciones.
Tal y como Bombieri había descubierto a la tierna edad de quince años, con la
hipótesis de Riemann se intentaba comprender los objetos más fundamentales de
las matemáticas: los números primos.
Los números primos son los auténticos átomos de la aritmética. Se definen como
primos los números enteros indivisibles, es decir, los que no pueden expresarse
como producto de dos enteros menores. Los números 13 y 17 son primos, mientras
que el número 15 no lo es, ya que puede expresarse como producto de 3 y 5. Los
números primos son joyas engarzadas en la inmensa extensión de los números, el
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universo infinito que los matemáticos exploran desde la antigüedad. Los números
primos producen en los matemáticos una sensación maravillosa: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23…, números sin tiempo que existen en un mundo independiente de
nuestra realidad física. Son un don que la naturaleza ha entregado al matemático.
Su importancia para las matemáticas descansa en el hecho de que tienen la
capacidad de construir todos los demás números. Cualquier otro número entero que
no sea primo puede construirse multiplicando estos números de base primitiva.
Cualquier molécula existente en el mundo físico puede construirse utilizando los
átomos de la tabla periódica de los elementos químicos. La lista de los números
primos es la tabla periódica del matemático. Los números 2, 3 y 5 son el hidrógeno,
el helio y el litio de su laboratorio. Dominar esos elementos básicos ofrece al
matemático la esperanza de poder descubrir nuevos métodos para trazar un
recorrido a través de la desmesurada complejidad del mundo matemático.
Sin embargo, a pesar de su aparente simplicidad y de su carácter fundamental, los
números primos siguen siendo los objetos más misteriosos que estudian los
matemáticos. En una disciplina que se dedica a investigar patrones y orden, los
números primos suponen el supremo reto. Probemos a examinar una lista de
números primos y descubriremos que es imposibleprever cuándo aparecerá el
siguiente. La lista parece caótica, y no nos proporciona ninguna pista sobre cómo
determinar el siguiente elemento. La lista de los números primos es el ritmo
cardíaco de las matemáticas, pero sus pulsaciones parecen estimuladas por un
potente cóctel de cafeína:
Los números primos comprendidos entre 1 y 100: el ritmo cardíaco irregular de las
matemáticas.
¿Y si intentamos hallar una fórmula que genere los números primos de esta lista,
una regla mágica que nos diga cuál es el centésimo número primo? Este es un
problema que obsesiona a los matemáticos desde hace muchos siglos. Tras más de
dos mil años de esfuerzos, los números primos se resisten a cualquier intento de
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insertarlos en un esquema sencillo y regular. Generaciones enteras han escuchado
con atención el redoble de los primos emitiendo su secuencia de números: dos
golpes, después tres, más adelante cinco, siete, once. A medida que continúa la
secuencia, fácilmente terminaremos por pensar que el redoble de los números
primos no es más que un ruido aleatorio, sin ninguna lógica. En el centro de las
matemáticas, de la búsqueda del orden, los matemáticos sólo consiguen oír el
sonido del caos.
Los matemáticos se resisten a admitir la posibilidad de que no exista una
explicación de cómo la naturaleza elige los números primos. Si las matemáticas no
tuvieran una estructura, si no poseyeran una maravillosa simplicidad, no merecerían
ser estudiadas. Escuchar un ruido nunca se ha considerado un pasatiempo
agradable. Como escribió el matemático francés Henri Poincaré: «el científico no
estudia la naturaleza por la utilidad de hacerlo; la estudia porque obtiene placer, y
obtiene placer porque la naturaleza es bella. Si no fuera bella no valdría la pena
conocerla, y si no valiera la pena conocer la naturaleza, la vida no sería digna de ser
vivida».
Es de esperar que, tras un inicio nervioso, el latido de los números primos se
regularice. No es así: cuanto más avanzamos en la secuencia, más empeoran las
cosas. Consideremos, por ejemplo, los números primos comprendidos en el
intervalo de los cien números anteriores a 10.000.000 y en el intervalo de los cien
números posteriores a 10.000.000. Empecemos por los números primos anteriores
a 10.000.000:
9.999.901 9.999.907 9.999.929
9.999.931 9.999.937 9.999.943
9.999.971 9.999.973 9.999.991
Sin embargo, observemos qué pocos son los números primos comprendidos entre
10.000.000 y 10.000.100:
10.000.019, 10.000.079
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Es difícil pensar en una fórmula capaz de generar una secuencia de este tipo. En
efecto, esta serie de números primos recuerda mucho más a una sucesión aleatoria
de números que a una estructura bien ordenada. Así como noventa y nueve
lanzamientos de una moneda son de muy poca utilidad para establecer el resultado
del centésimo lanzamiento, del mismo modo los números primos parecen hacer
inútil cualquier intento de previsión.
Los números primos presentan a los matemáticos una de las contraposiciones más
extrañas que existen en su disciplina. Por un lado, un número o es primo o no lo es.
No es lanzando al aire una moneda como sabremos si un número es divisible por
otro menor. Por otra parte, es imposible negar que la sucesión de los números
primos aparece de manera indudable como una secuencia de números al azar. Es
cierto que los físicos están cada vez más habituados a la idea de que un dado
cuántico puede decidir el futuro del universo y de que cada lanzamiento de ese dado
determina el lugar donde los científicos encontrarán materia. Pero provoca una
cierta incomodidad el hecho de tener que admitir que los números fundamentales,
los números sobre los que se basan las matemáticas, hayan sido elegidos por la
naturaleza lanzando una moneda, decidiendo en cada lanzamiento el destino de un
número. Azar y caos son anatema para un matemático.
Si dejamos de lado su aleatoriedad, los números primos poseen —más que
cualquier otra parte de nuestro acervo matemático— un carácter inmutable,
universal. Los números primos existirían aunque nosotros no hubiéramos
evolucionado lo suficiente como para reconocerlos. Como afirmó el matemático de
Cambridge G. H. Hardy en su famoso libro Apología de un matemático:
«317 es un número primo no porque nosotros pensemos que lo es o
porque nuestra mente esté conformada de un modo o de otro, sino
porque es así, porque la realidad matemática está hecha así».
Es probable que algunos filósofos estén en desacuerdo con esta visión platónica del
mundo —la convicción de que se trata de una realidad absoluta y eterna más allá de
la existencia humana— pero, en mi opinión, es precisamente eso lo que los hace
filósofos y no matemáticos. En Materia de reflexión hay un diálogo fascinante entre
Alain Connes, el matemático al que se citaba en el correo electrónico de Bombieri, y
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el neurobiólogo Jean-Pierre Changeux. En el libro se palpa la tensión, con Connes
sosteniendo la existencia de las matemáticas fuera de la mente humana y Changeux
decidido a refutar cualquier idea similar: « ¿Por qué no vemos "π= 3,1416” escrito
en el cielo con letras de oro o “6,02 × 1023” apareciendo en los reflejos de una bola
de cristal?». Changeux expresa su frustración ante la insistencia de Connes en
sostener que «existe, con independencia de la mente humana, una realidad
matemática pura e inmutable» y que en el corazón del mundo se halla la secuencia
inmutable de los números primos. Las matemáticas, afirma Connes, «son
indiscutiblemente el único lenguaje universal». Puede concebirse que en otra parte
del universo existan una química o una biología distintas, pero los números primos
seguirán siendo números primos en cualquier galaxia que elijamos.
En la conocida novela de Carl Sagan, Contacto, los extraterrestres usan los números
primos para entrar en contacto con la Tierra. Ellie Arroway, la heroína del libro,
trabaja en el SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence), el programa
internacional para la búsqueda de señales de vida inteligente provenientes del
espacio. De pronto una noche, cuando están dirigidos hacia Vega, los
radiotelescopios captan extraños impulsos que emergen del ruido de fondo. Ellie
reconoce al instante el ritmo de esas señales de radio: dos latidos seguidos por una
pausa, luego tres latidos, cinco, siete, once… y así sucesivamente, reproduciendo la
secuencia de los números primos hasta el 907. Después la secuencia vuelve a
empezar.
Aquel redoble cósmico interpretaba una música que los terrícolas no podrían dejar
de reconocer. Ellie está convencida de que sólo una forma de vida inteligente puede
generar tal ritmo: «Es difícil imaginar un plasma irradiante que envíe una serie
regular de señales matemáticas como ésta. Los números primos sirven para atraer
nuestra atención». Si una civilización alienígena hubiera transmitido los números
ganadores de una lotería extraterrestre durante los últimos diez años, Ellie no
hubiera sido capaz de distinguirlos del ruido de fondo; pero a pesar de que la lista
de números primos parece tan aleatoria como la de la lotería, su invariabilidad
universal ha determinado su elección en la trasmisión alienígena. Es en esa
estructura que Ellie reconoce la firma de una vida inteligente.
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Colaboración de Sergio Barros 14 Preparado por Patricio Barros
La comunicación mediante números primos no sólo es ciencia ficción. En el libro El
hombre que confundió a su mujer con un sombrero, Oliver Sacks documentael caso
de John y Michael, dos gemelos autistas de veintiséis años cuya más profunda
forma de comunicación consistía en el intercambio de números primos de seis
cifras. Sacks narra su sorpresa cuando los descubrió por primera vez, en el rincón
de una habitación, intercambiando números primos en secreto: «A primera vista
parecían dos expertos catadores degustando vinos raros de añadas prestigiosas».
En un principio, Sacks no consigue imaginar qué es lo que traman los gemelos; sin
embargo, en cuanto consigue descifrar su código, memoriza algunos números
primos de ocho cifras que, en la siguiente entrevista, deja caer astutamente en
medio de la conversación. La sorpresa de los gemelos es seguida por una intensa
concentración que se transforma en emoción cuando reconocen que se trata de
nuevos números primos. Ahora, si bien Sacks había recurrido a tablas numéricas
para determinar sus números primos, es un misterio la forma en que los gemelos
consiguieron los suyos: ¿podría ser que aquellos sabios autistas estuvieran en
posesión de una fórmula secreta desconocida por generaciones y generaciones de
matemáticos?
La historia de los gemelos está entre las preferidas de Bombieri:
Para mí es difícil oír esta historia sin sentirme intimidado y pasmado
ante el funcionamiento del cerebro humano. Sin embargo, me
pregunto: mis amigos no matemáticos ¿tienen la misma reacción
que yo? ¿Tienen la menor idea de hasta qué punto es sorprendente,
prodigioso e incluso sobrehumano el talento singular que poseen los
dos gemelos de manera tan natural? ¿Son conscientes de que desde
hace siglos los matemáticos se esfuerzan por encontrar una forma
de hacer lo que John y Michael hacían espontáneamente: generar y
reconocer números primos?
A los treinta y siete años, antes de que alguien pudiera descubrir cómo lo
conseguían, los gemelos fueron separados por los médicos, convencidos de que su
lenguaje numerológico privado estaba obstaculizando su desarrollo. Si esos médicos
hubieran oído las conversaciones habituales de las salas de profesores en los
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Colaboración de Sergio Barros 15 Preparado por Patricio Barros
departamentos universitarios de matemáticas, probablemente también habrían
recomendado su clausura.
Cabe la posibilidad de que los gemelos, para verificar si un número era primo,
utilizaran un truco basado en el llamado teorema menor de Fermat. Este método es
similar al utilizado por los sabios autistas para averiguar rápidamente, por ejemplo,
que el 13 de abril de 1922 cayó en jueves. Los gemelos presentaban habitualmente
este número en los programas televisivos de variedades en que participaban.
Ambos trucos se basan en la aritmética modular o del reloj. Aunque no tuviesen una
fórmula mágica para obtener los números primos, su habilidad sigue siendo
asombrosa. Antes de que los separaran habían llegado a determinar primos de
veintidós cifras, sobrepasando de mucho el límite más alto de las tablas de números
primos de que disponía Sacks.
Igual que la heroína del libro de Sagan, que escucha el latido de los números primos
cósmicos, o como Sacks, que espía el misterioso diálogo numérico de los gemelos,
desde hace siglos los matemáticos se han esforzado por percibir un orden en este
caos. Nada parecía tener sentido: era como escuchar música oriental con oídos
occidentales. Más tarde, a mediados del siglo XIX, se llegó a una encrucijada
decisiva: Bernhard Riemann empezó a observar el problema de una manera
completamente nueva. Con esta nueva perspectiva, Riemann empezó a comprender
algunas cosas sobre la estructura que estaba en el origen del caos de los números
primos. Bajo el ruido aparente se escondía una armonía fina e inesperada. Pero a
pesar de aquel gran paso adelante, muchos de los secretos de la nueva música
permanecían todavía fuera de su alcance. Riemann, el Wagner del mundo de las
matemáticas, no se desanimó. Hizo una previsión audaz sobre la misteriosa música
que había descubierto. Aquella previsión ha pasado a la historia con el nombre de
hipótesis de Riemann. Quien consiga demostrar que la intuición de Riemann sobre
la naturaleza de aquella música era correcta estará en disposición de explicar por
qué los números primos dan una impresión tan convincente de aleatoriedad.
La intuición de Riemann siguió a su descubrimiento de un espejo matemático que le
permitía escrutar los primos. Cuando Alicia atravesó su espejo, el mundo se invirtió;
en el extraño mundo matemático que se encuentra más allá del espejo de Riemann,
en cambio, el caos de los números primos parece transformarse en una estructura
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Colaboración de Sergio Barros 16 Preparado por Patricio Barros
ordenada más estable de lo que cualquier matemático podría esperar. Riemann
conjeturó que, por más lejos que se mire en el mundo infinito del espejo, aquel
orden se mantendrá. La existencia de una armonía interna en el otro lado del espejo
explicaría por qué externamente los números primos parecen tan caóticos. Para
muchos matemáticos, la metamorfosis que produce el espejo de Riemann, donde el
caos se transmuta en orden, es casi milagrosa. La empresa que Riemann encargó al
mundo matemático fue demostrar que el orden que él creía haber discernido existía
realmente.
El correo electrónico del 7 de abril de 1997 prometía el inicio de una nueva era: la
visión de Riemann no había sido un espejismo. El aristócrata de las matemáticas
había ofrecido a sus colegas la halagüeña posibilidad de la existencia de una
explicación en el aparente caos de los números primos. Los matemáticos esperaban
impacientes el momento de apropiarse de todos los tesoros que, como bien sabían,
habrían sido desenterrados gracias a la resolución del gran problema.
En efecto, la solución de la hipótesis de Riemann tendrá enormes consecuencias
sobre muchos otros problemas matemáticos. Los números primos son tan
fundamentales para la actividad del matemático que cualquier progreso en la
comprensión de su naturaleza tendría un enorme impacto. La hipótesis de Riemann
parece un problema imposible de eludir: cuando uno se mueve en el terreno
matemático tiene la impresión de que todos los caminos conducirán necesariamente
a algún punto desde el cual divisaremos el imponente panorama de la hipótesis de
Riemann.
Muchos han comparado la hipótesis de Riemann con el ascenso al Everest: cuanto
más tiempo la cumbre permanece inalcanzada, mayor es el deseo de conquistarla. Y
el matemático que finalmente consiga escalar el monte Riemann será ciertamente
recordado mucho más que Edmund Hillary. La conquista del Everest produce
admiración no porque su cima sea un lugar particularmente emocionante para vivir,
sino por el reto que supone. Bajo este aspecto la hipótesis de Riemann difiere
significativamente del ascenso a la montaña más alta del mundo. La cima de
Riemann es un lugar donde queremos instalarnos porque conocemos ya los
panoramas que se abrirán ante nuestros ojos cuando consigamos alcanzarla. Aquel
que demuestre la hipótesis de Riemann habrá hecho posible completar las lagunas
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Colaboración de Sergio Barros 17 Preparado por Patricio Barros
de miles de teoremas que dependen de su veracidad. Para alcanzar sus propias
metas, muchos matemáticos han tenido que suponer que la hipótesis es cierta.
El hecho de que tantos resultados dependan del reto lanzado por Riemann justifica
que los matemáticos lo definan como hipótesis en lugar de hablar de conjetura. El
término hipótesis tiene la connotación mucho más fuerte de una suposición
necesaria que hace un matemático para edificar una teoría. En cambio, una
conjetura representa simplemente una previsión sobre cómo el matemático cree
que se comportará su mundo. Para muchos no hubo otra solución que aceptar su
propia incapacidad pararesolver el enigma de Riemann y se han limitado a adoptar
su previsión como hipótesis de trabajo. Si alguien consiguiese transformar la
hipótesis en teorema, todos aquellos resultados no demostrados se confirmarían.
Cuando apelan a la hipótesis de Riemann, los matemáticos están poniendo en juego
su reputación con la esperanza de que algún día alguien demuestre que la intuición
de este matemático era correcta. Hay quien no se limita a adoptarla como hipótesis
de trabajo: para Bombieri, el hecho de que los números primos se comporten de la
manera prevista por la hipótesis de Riemann es un artículo de fe. En pocas
palabras, la hipótesis de Riemann se ha convertido en una piedra angular en la
búsqueda de la verdad matemática. Si resultase falsa, destruiría completamente
nuestra confianza en la capacidad que tenemos de intuir el funcionamiento de las
cosas. Estamos ya tan seguros de que Riemann tenía razón que la alternativa
exigiría una revisión radical de nuestro modo de concebir el mundo matemático. En
particular, todos los resultados que creemos que existen más allá de la cumbre de
Riemann se desvanecerían en el vacío.
Sin embargo, una demostración de la hipótesis de Riemann significaría para los
matemáticos sobre todo la posibilidad de disponer de un procedimiento muy rápido
y absolutamente cierto para determinar, por ejemplo, un número primo de cien
cifras o de cualquier otra cantidad de cifras que elijamos. « ¿Y qué?», se preguntará
usted, con toda la razón. A menos que sea matemático, la idea de que este hecho
pueda tener importantes consecuencias en su vida le parecerá harto improbable.
Encontrar números primos de cien cifras parece tan inútil como contar los granos de
arena de una playa. La mayor parte de la gente reconoce que las matemáticas
están en la base de la construcción de un avión o del desarrollo de la tecnología
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Colaboración de Sergio Barros 18 Preparado por Patricio Barros
electrónica, pero pocos esperarían que el esotérico mundo de los números primos
tenga un impacto directo en sus vidas. En realidad, todavía en los años cuarenta del
pasado siglo, G. H. Hardy opinaba igual: «Tanto un Gauss como otros matemáticos
menos importantes pueden alegrarse con razón del hecho de que, de todos modos,
hay una ciencia [la teoría de los números] cuya propia lejanía de las actividades
humanas ordinarias debería mantenerla amable y pura».
Sin embargo, más recientemente, los acontecimientos han tomado un nuevo cariz
que ha permitido a los números primos conquistar el centro del escenario del
mundo sucio y despiadado del comercio. Los números primos ya no están
encerrados en la ciudadela matemática. En los años setenta tres científicos —Ron
Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman— transformaron la investigación sobre los
números primos de un juego desinteresado que se practicaba en las torres de marfil
del mundo académico en una aplicación comercial seria: explotando un
descubrimiento de Pierre de Fermat en el siglo XVII, los tres idearon un modo de
utilizar los números primos para proteger los números de nuestras tarjetas de
crédito mientras viajan por los centros comerciales electrónicos del mercado global.
Cuando se propuso la idea por primera vez en los años setenta nadie podía ni
remotamente imaginar las dimensiones que alcanzaría el comercio electrónico, pero
hoy ese comercio no podría existir sin el poder de los números primos. Cada vez
que usted compra algo en una página de Internet, su ordenador usa la seguridad
que proporciona la existencia de números primos de cien cifras. El sistema se llama
RSA, a partir de las iniciales de sus tres inventores. Actualmente se han usado ya
más de un millón de números primos para proteger el mundo del comercio
electrónico.
Cualquier actividad comercial en Internet depende de los números primos de cien
cifras para mantener la seguridad de la transacción. Finalmente, la expansión del
comercio en Internet llevará a identificar a cada uno de nosotros mediante un
número primo personal. El hecho de saber cómo una demostración de la hipótesis
de Riemann puede contribuir a conocer la distribución de los números primos en el
universo de los números ha adquirido de pronto un interés comercial.
Lo extraordinario es que, si bien la construcción de ese código de seguridad
depende de los descubrimientos sobre números primos que Fermat realizó hace más
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Colaboración de Sergio Barros 19 Preparado por Patricio Barros
de trescientos años, su decodificación depende de un problema que todavía somos
incapaces de resolver. La seguridad de la codificación RSA depende de nuestra
incapacidad de responder a cuestiones fundamentales sobre los números primos.
Somos capaces de comprender la mitad de la ecuación, pero no la otra mitad. Por
tanto, cuanto más penetramos en el misterio de los números primos tanto menos
seguros se vuelven los códigos usados en Internet. Los números primos son la llave
del cerrojo que protege los secretos electrónicos del mundo. Por eso empresas
como AT&T o Hewlett-Packard están invirtiendo ingentes cantidades de dinero para
comprender las sutilezas de los números primos y de la hipótesis de Riemann: lo
que termine por descubrirse podría servir para descifrar códigos. Por esta razón la
teoría de los números y el mundo de los negocios han sellado tan extraña alianza. El
mundo de los negocios y los servicios de seguridad vigilan atentamente a los
matemáticos puros.
En consecuencia, no sólo los matemáticos se agitaron ante el anuncio de Bombieri:
¿aquella solución de la hipótesis de Riemann iba a provocar el descalabro del
comercio electrónico? Enviaron a Princeton agentes de la NSA, la agencia de
seguridad nacional estadounidense, para averiguarlo. Sin embargo, mientras
matemáticos y agentes del contraespionaje se dirigían a Princeton, algunas
personas empezaron a notar algo sospechoso en el correo electrónico de Bombieri.
Ciertamente se han asignado nombres extravagantes a algunas partículas
elementales descubiertas: gluones, hiperones csi, mesones encantados, quark —
este último gentileza del Finnegan’s Wake de James Joyce—. ¿Pero morones?1
¡Desde luego que no! Bombieri tiene la reputación de conocer al dedillo la hipótesis
de Riemann, pero quienes lo tratan personalmente saben que posee además un
pérfido sentido del humor.
Incluso el último teorema de Fermat había sido motivo de una inocentada cuando se
descubrió una laguna en la demostración que Andrew Wiles había propuesto en
Cambridge. Con el correo de Bombieri, la comunidad matemática se había dejado
embaucar otra vez: el ansia de volver a vivir la emoción levantada por la
demostración del último teorema de Fermat había llevado a los matemáticos a
precipitarse sobre el anzuelo que Bombieri había puesto a su alcance. Además, el
1 Moron en inglés «idiota». (Nota del T., como todas las que siguen).
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Colaboración de Sergio Barros 20 Preparado por Patricio Barros
placer de reenviar un correo electrónico tan singular hizo que, mientras éste se
difundía rápidamente, la fecha del 1 de abril desapareciera del texto. Todo lo
anterior, en combinación con el hecho de que el correo se difundió en países en los
que no se celebra el April Fool’s Day2 provocó que la burla tuviera un éxito mucho
mayor de lo que su autor podía prever. Finalmente, Bombieri tuvo que confesar que
su mensaje era una broma. Mientras se aproximaba el siglo XXI, los números más
fundamentales de las matemáticas se mantenían en la más profunda oscuridad:
quien reía el último eran los números primos.
¿Cómo es posible que los matemáticos fuesen tan ingenuos como para creer a
Bombieri? Desde luego, no se trata de personas dispuestas a conceder trofeos
fácilmente. Antes de declarar que se ha demostrado un resultado,los matemáticos
exigen severísimas verificaciones, mucho más severas que cualquier otra disciplina.
Wiles lo comprendió cuando apareció la laguna en su primera demostración del
último teorema de Fermat: completar el noventa y nueve por ciento del
rompecabezas no es suficiente; la historia sólo recordará a quien coloque la última
pieza. Y muy a menudo la última pieza permanece oculta durante años.
La búsqueda del manantial secreto de donde brotaban los números primos estaba
en marcha desde hacía más de dos milenios; el aroma de aquel elixir había vuelto a
los matemáticos demasiado vulnerables al engaño de Bombieri. Durante años, la
simple idea de enfrentarse de algún modo a aquel problema tan difícil había
aterrorizado a muchos de ellos; sin embargo, con el fin de siglo ocurrió un hecho
singular: cada vez eran más numerosos los matemáticos dispuestos a hablar de la
posibilidad de abordarlo, y la demostración del último teorema de Fermat alimentó
todavía más la esperanza de resolver los grandes problemas.
Los matemáticos habían disfrutado de la atención que la solución de Wiles al
problema de Fermat había atraído sobre su gremio, y no cabe duda de que esa
sensación contribuyó a su deseo de creer a Bombieri. Un buen día, le propusieron a
Andrew Wiles que posase para un anuncio de pantalones. Ser matemático casi te
hacía sentir sexy. Los matemáticos pasan mucho tiempo en un mundo que los
colma de emoción y de placer y, sin embargo, se trata de un placer que raramente
pueden compartir con el resto del mundo; ahora se presentaba la ocasión de
2 1 de abril, equivalente en los países anglosajones a nuestro 28 de diciembre, festividad de los Santos Inocentes.
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Colaboración de Sergio Barros 21 Preparado por Patricio Barros
levantar un trofeo, de mostrar los tesoros que habían descubierto en sus largos y
solitarios viajes.
La demostración de la hipótesis de Riemann hubiera sido un digno colofón
matemático al siglo XX, un siglo que se había iniciado con el reto de Hilbert a los
matemáticos de todo el mundo para que resolvieran aquel enigma. De los veintitrés
problemas de la lista de Hilbert, la hipótesis de Riemann era el único que alcanzaba
invicto el siglo XXI.
El 24 de mayo de 2000, con motivo del centenario del reto de Hilbert, matemáticos
y periodistas se reunieron en el Collège de France de París para escuchar el anuncio
de una nueva colección de siete problemas con los que se retaba a la comunidad
matemática ante el tercer milenio. Los proponía un pequeño grupo de matemáticos
de fama mundial formado, entre otros, por Andrew Wiles y Alain Connes. Se trataba
de problemas inéditos en todos los casos excepto uno, que ya había formado parte
de la lista de Hilbert: la hipótesis de Riemann. En homenaje a los ideales capitalistas
que caracterizaron el siglo XX, estos retos aumentaban su interés con el añadido de
un premio de un millón de dólares para cada uno: un incentivo seguro para el joven
físico inventado por Bombieri, en caso de que no se conformara con la gloria.
La idea de los Problemas del Milenio se le ocurrió a Landon T. Clay, un hombre de
negocios de Boston que hizo fortuna con la compraventa de fondos de inversión en
un momento en que la bolsa iba viento en popa. A pesar de haber abandonado sus
estudios de matemáticas en Harvard, Clay siente una auténtica pasión por esta
disciplina, y quiere compartirla. Sabe que la fuerza que motiva a los matemáticos no
es el dinero: «Lo que espolea a los matemáticos es el deseo de verdad, la
sensibilidad ante la belleza, el poder y la elegancia de las matemáticas». Pero Clay
no es ingenuo, y como hombre de negocios sabe bien que un millón de dólares
podrían inducir a un nuevo Andrew Wiles a incorporarse a la cacería de soluciones
de los grandes problemas irresueltos. Y así ha sido: la página de Internet del
Instituto Clay de Matemáticas, donde se exponen al público los Problemas del
Milenio, quedó bloqueado por la gran cantidad de visitas que recibió.
Los siete Problemas del Milenio tienen un espíritu distinto de los veintitrés
problemas que Hilbert eligió un siglo antes: Hilbert había señalado el camino para
los matemáticos de su siglo; muchos de sus problemas eran inéditos, y alentaban
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Colaboración de Sergio Barros 22 Preparado por Patricio Barros
un cambio de actitud significativo respecto de las matemáticas. A diferencia del
último teorema de Fermat, que obligaba a concentrarse en un detalle, los veintitrés
problemas de Hilbert dirigían a la comunidad matemática hacia un modo de pensar
más conceptual. Hilbert ofrecía a los matemáticos la oportunidad de efectuar un
paseo en globo a gran altura sobre su disciplina, incitándolos a comprender la
configuración global del terreno en lugar de examinar una a una las rocas presentes
en el paisaje matemático. Este nuevo punto de vista debe mucho a Riemann, quien
cincuenta años antes había iniciado ya la revolucionaria transición de las
matemáticas de una disciplina de fórmulas y ecuaciones a una disciplina de ideas y
teorías abstractas.
La elección de los siete Problemas del Milenio fue más conservadora: son los Turner
de la galería de arte de los problemas matemáticos, mientras que las cuestiones de
Hilbert constituían una colección más revolucionaria, más vanguardista. El
conservadurismo de los nuevos problemas es imputable en parte al deseo de que
las soluciones sean suficientemente definidas como para que quienes las planteen
puedan recibir el premio de un millón de dólares. Los Problemas del Milenio son
cuestiones que los matemáticos conocen desde hace ya décadas y, en el caso de la
hipótesis de Riemann, desde hace más de un siglo: se trata de un compendio de
clásicos.
Los siete millones de dólares que Clay puso sobre la mesa no suponen el primer
caso en que se ofrece dinero para la solución de un problema matemático. Por
haber demostrado el último teorema de Fermat, Wiles ingresó 75.000 marcos
alemanes del premio que ofreció Paul Wolfskehl en 1908. De hecho, fue la historia
del premio Wolfskehl lo que hizo que Wiles se fijara en Fermat a la impresionable
edad de diez años. Clay cree que, si consigue otro tanto con la hipótesis de
Riemann, será un dinero bien gastado. Más recientemente, dos editoriales, Faber &
Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury de los Estados Unidos, han ofrecido un millón
de dólares a quien logre demostrar la conjetura de Goldbach, como reclamo
publicitario para el lanzamiento de la novela El tío Petros y la conjetura de
Goldbach, de Apostolos Doxiadis. Para ganar el premio había que explicar por qué
todo número par puede expresarse como suma de dos números primos. Sin
embargo, los editores no concedieron mucho tiempo a los posibles concursantes: la
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Colaboración de Sergio Barros 23 Preparado por Patricio Barros
solución debía presentarse antes de la medianoche del 15 de marzo de 2002 y, cosa
absurda, el concurso sólo estaba abierto a los residentes en Gran Bretaña y los
Estados Unidos.
Según Clay, los matemáticos reciben escasas recompensas y poco reconocimiento a
sus desvelos; por ejemplo, no existe un premio Nobel de Matemática al que puedan
aspirar. En cambio, la medalla Fields puede ser considerada como el más
importante reconocimiento en el mundo matemático. A diferencia de los Nobel, que
acostumbran a concederse a científicos que se acercan al término de su carrera por
los resultados que han obtenido mucho antes, las medallas Fields están reservadas
a los matemáticos que todavía no hayan cumplido cuarenta años. Esta elección no
está basada en la opinión muy extendida de que los matemáticos se queman muy
jóvenes: John Fields, que concibió y dotó el premio, quería que los fondos sirvieran
para incentivar a los matemáticos más prometedorespara que obtuvieran
resultados aún más importantes. Las medallas se otorgan cada cuatro años con
motivo del Congreso Internacional de Matemáticos, y las primeras se entregaron en
Oslo en 1936.
El límite máximo de edad se respeta estrictamente. A pesar de lo extraordinario de
la labor desarrollada por Andrew Wiles al demostrar el último teorema de Fermat, el
comité del premio no pudo otorgarle una medalla en el Congreso de Berlín de 1998,
es decir, en la primera ocasión posible tras la aceptación definitiva de su
demostración, porque Wiles había nacido en 1953. Por supuesto, se acuñó una
medalla especial para conmemorar su empresa, pero no es comparable con el hecho
de ser miembro del ilustre club de los agraciados con una medalla Fields. Entre
éstos hay muchos de los protagonistas principales de nuestra historia: Enrico
Bombieri, Alain Connes, Atle Selberg, Paul Cohen, Alexandre Grothendieck, Alan
Barker, Pierre Deligne. Estos nombres suponen casi la quinta parte de la totalidad
de las medallas concedidas hasta ahora.
Pero los matemáticos no aspiran a la medalla Fields por dinero. En lugar de las
importantes sumas que ingresan los ganadores de un Nobel, la dotación que
acompaña a una medalla Fields es de unos modestos 15.000 dólares canadienses.
Sin embargo, los millones de Clay contribuirán a competir con el poderío económico
de los premios Nobel. Al contrario de lo que ocurre con la medalla Fields o con el
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premio que ofrecieron Faber & Faber y Bloomsbury por la solución de la conjetura
de Goldbach, en este caso cualquiera puede aspirar a ganar el premio, con
independencia de su edad o nacionalidad, y sin más límite de tiempo para hallar la
solución que el inexorable tic-tac de la inflación.
De todas maneras, la recompensa económica no es el principal motivo que empuja
a los matemáticos a la caza de uno de los Problemas del Milenio, sino más bien la
embriagadora perspectiva de alcanzar la inmortalidad que las matemáticas pueden
conferir. Ciertamente, resolviendo uno de los problemas de Clay ganaría un millón
de dólares, pero eso no es nada en comparación con el hecho de inscribir el propio
nombre en el mapa intelectual de la civilización. La hipótesis de Riemann, el último
teorema de Fermat, la conjetura de Goldbach, el espacio de Hilbert, la función tau
de Ramanujan, el algoritmo de Euclides, el método del círculo de Hardy-Littlewood,
la serie de Fourier, la numeración de Gödel, un cero de Siegel, la fórmula de la traza
de Selberg, la criba de Eratóstenes, los números primos de Mersenne, el producto
de Euler, los enteros de Gauss: todos ellos son descubrimientos que han llevado a la
inmortalidad a los matemáticos que han desenterrado esos tesoros en el curso de
sus exploraciones sobre los números primos. Sus nombres sobrevivirán mucho
después de que nos hayamos olvidado de Esquilo, de Goethe o de Shakespeare.
Como explicaba G. H. Hardy,
«las lenguas mueren, pero las ideas matemáticas no. Inmortalidad
quizá sea una palabra ingenua, pero un matemático tiene más
probabilidades que cualquier otro ser humano de alcanzar lo que
aquella palabra designa».
Los matemáticos que han luchado larga y fatigosamente en esta aventura épica
para comprender que los números primos son algo más que simples nombres
inscritos en el firmamento matemático. El tortuoso camino que ha seguido la
historia de los números primos es el resultado de vidas concretas, de un conjunto
rico y variado de dramatis personae. Figuras históricas de la Revolución francesa y
amigos de Napoleón dan paso a modernos magos y a empresarios de Internet. Las
historias de un contable indio, de un espía francés que se libró de ser ejecutado y
de un judío húngaro fugitivo de la persecución de la Alemania nazi, tienen como
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denominador común la obsesión por los números primos. Cada uno de estos
personajes ofrece una perspectiva única en su intento de añadir el propio nombre al
cuadro de honor matemático. Los números primos han unido a los matemáticos a
través de muchas fronteras nacionales: China, Francia, Grecia, América, Noruega,
Australia, Rusia, India y Alemania son sólo algunos de los países que han aportado
miembros prominentes a la tribu nómada de los matemáticos que cada cuatro años
se reúne en un congreso internacional para narrar las historias de sus viajes.
No sólo es el deseo de dejar una impronta en el pasado lo que motiva a los
matemáticos. Igual que ocurrió cuando Hilbert osó posar su mirada sobre lo
desconocido, la demostración de la hipótesis de Riemann supondría el comienzo de
una nueva aventura. Cuando Wiles tomó la palabra en la conferencia de prensa
convocada para anunciar los premios Clay, insistió en subrayar que los problemas
no son la meta final:
Allá afuera hay todo un mundo de matemáticas esperando a que lo
descubran. Piensen, por favor, en los europeos de 1600. Sabían que
al otro lado del Atlántico había un Nuevo Mundo; ¿qué clase de
premio habrían otorgado para contribuir al descubrimiento y al
desarrollo de los Estados Unidos? No un premio a la invención del
aeroplano, no un premio a la invención del ordenador, no un premio
a la fundación de Chicago, no un premio a la construcción de
máquinas capaces de trillar campos de trigo; todas estas cosas han
pasado a formar parte de Estados Unidos, pero en 1600 no podían
ni imaginárselas: no, habrían dado un premio a la solución de
problemas como el de la longitud.
La hipótesis de Riemann es la longitud de las matemáticas. Su solución abre la
perspectiva de dibujar un mapa de las brumosas aguas del inmenso océano de los
números primos. Representa apenas el comienzo de nuestra comprensión de los
números de la naturaleza. Una vez que descubramos el secreto para orientarnos
entre los números primos, quién sabe qué otras cosas podría haber allá afuera
esperando a que las descubramos.
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Colaboración de Sergio Barros 26 Preparado por Patricio Barros
Capítulo 2
Los átomos de la aritmética
Cuando las cosas se vuelven demasiado complicadas, a
veces tiene sentido parar y preguntarse: ¿he planteado la
pregunta correcta?
ENRICO BOMBIERI
«Prime Territory», en The Sciences
Contenido:
1. La búsqueda de modelos
2. La demostración, guía de viaje del matemático
3. Las fábulas de Euclides
4. A la caza de los números primos
5. Euler, el águila matemática
6. La estimación de Gauss
Dos siglos antes de que la inocentada de Bombieri pusiera en evidencia al mundo de
los matemáticos, otro italiano, Giuseppe Piazzi, difundía una noticia igual de
apasionante: desde el observatorio astronómico de Palermo, Piazzi había
descubierto un nuevo planeta que giraba alrededor del Sol en una órbita entre las
de Marte y Júpiter. Ceres, como lo llamaron, era mucho más pequeño que los siete
planetas mayores conocidos hasta entonces, pero su descubrimiento, el 1 de enero
de 1801, se consideró un maravilloso augurio para el futuro de la ciencia en el
nuevo siglo.
El entusiasmo se convirtió en decepción pocas semanas después, cuando el
pequeño planeta desapareció de la vista: su órbita estaba conduciéndolo al otro
lado del Sol, donde su débil luz terminó ocultada por el deslumbrador brillo solar.
Ceres desapareció del cielo nocturno, perdido de nuevo entre la plétora de estrellas
del firmamento. Los astrónomos del siglo XIX no disponían de suficientes
instrumentos matemáticos para calcular su órbita completa a partir de la breve
trayectoria que habían seguido durante las primeras semanas del nuevo siglo. Lo
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habían perdido, y parecía que no existía ningún modo de prever dónde haría su
siguiente aparición.
Sin embargo, casi un año después de desvanecerse el planeta de Pazzi, un alemán
de veinticuatro años, natural de Brunswick, anunció que sabía dónde debían buscar
los astrónomos el objeto perdido. A falta de previsiones alternativas a su
disposición, los astrónomos dirigieron sus telescopios hacia la región del cielo que
indicaba el jovencito. Como por milagro, Ceres se encontraba precisamente allí. Esa
previsión astronómica sin precedentes no procedía, sin embargo, de la misteriosa
magia de un astrólogo: la trayectoria de Ceres había sido calculada por un
matemático que había identificado un orden allí donde los demás habían visto
simplemente un minúsculo e imprevisible planeta. Carl Friederich Gauss había
tomado los escasísimos datos que se habían registrado sobre la trayectoria del
planeta y había aplicado un nuevo método de cálculo desarrollado recientemente
por él mismo para determinar dónde se encontraría Ceres en cualquier fecha futura.
Gracias al descubrimiento de la trayectoria de Ceres, Gauss se convirtió de
inmediato en una estrella de primera magnitud en la comunidad científica. Su gesta
fue un símbolo del poder de predicción de las matemáticas en un período, la
primera mitad del siglo XIX, en que la ciencia estaba en plena eclosión. Si bien los
astrónomos habían descubierto el planeta por casualidad, un matemático había
puesto en juego la capacidad analítica necesaria para explicar qué ocurriría a
continuación.
A pesar de que el nombre de Gauss todavía era desconocido en la comunidad
astronómica, su joven voz ya había dejado una impronta formidable en el mundo
matemático. Gauss había conseguido trazar la trayectoria de Ceres, pero su
auténtica pasión era la de identificar estructuras regulares en el mundo de los
números. Para él, el universo de los números suponía un reto más importante:
hallar estructura y orden donde los demás sólo veían caos. Con excesiva frecuencia
se usan epítetos como niño prodigio y genio de las matemáticas, pero pocos
matemáticos tendrían nada que objetar al hecho de que tales calificativos se
atribuyan a Gauss. El simple número de ideas nuevas y descubrimientos que
produjo incluso antes de cumplir los veinticinco años parece inexplicable.
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Colaboración de Sergio Barros 28 Preparado por Patricio Barros
Gauss nació en una familia de modestos trabajadores de Brunswick (Alemania) en
1777. A los tres años corregía las cuentas de su padre; a los diecinueve, su
descubrimiento de una magnífica construcción geométrica de una figura de 17 lados
le convenció de que debía dedicar su vida a las matemáticas. Antes que él, los
antiguos griegos habían demostrado que era posible construir un pentágono
perfecto usando sólo regla y compás. Desde entonces nadie había sido capaz de
demostrar cómo utilizar aquellos simples instrumentos para construir otros
polígonos perfectos, llamados polígonos regulares, con un número primo de lados.
La excitación de Gauss cuando descubrió la manera de construir aquella figura
perfecta de 17 lados lo empujó a dar comienzo a un diario matemático que mantuvo
durante los siguientes dieciocho años. Este diario, que quedó en manos de su
familia hasta 1898, se convirtió en uno de los documentos más importantes de la
historia de las matemáticas, entre otras razones porque confirmó que Gauss había
probado, sin publicarlos, muchos resultados que otros matemáticos intentaron
demostrar hasta bien entrado el siglo XIX.
Entre las primeras contribuciones matemáticas de Gauss, una de las principales fue
la invención de la calculadora de reloj. No se trataba de una máquina material, sino
de una idea que abría la posibilidad de hacer matemáticas con números que hasta
aquel momento habían sido considerados inabordables. La calculadora de reloj se
basa en el mismo principio que los relojes convencionales. Si su reloj marca las 9 y
le añade 4 horas, la manecilla se colocará sobre la una. De igual manera, la
calculadora de reloj de Gauss da 1 como resultado de 9 + 4. Si Gauss deseaba
realizar un cálculo más complicado, como por ejemplo 7 × 7, la calculadora de reloj
daba como resultado el resto que se obtiene al dividir 49 (es decir, 7 × 7) entre 12.
El resultado es otra vez 1.
Sin embargo, la potencia y velocidad de la calculadora de reloj comenzaba a
ponerse de manifiesto cuando Gauss quería calcular 7 × 7 × 7. En lugar de
multiplicar otra vez 49 por 7, Gauss podía limitarse a multiplicar 7 por el último
resultado obtenido, es decir 1, para obtener la respuesta, que es 7. De esta forma,
sin tener que calcular 7 × 7 × 7 —que da 343— podía saber sin gran esfuerzo que
aquel resultado, al dividirlo por 12, daba como resto 7. La calculadora demostró
toda su potencia cuando Gauss empezó a utilizarla con grandes números, que
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Colaboración de Sergio Barros 29 Preparado por Patricio Barros
sobrepasaban sus propias capacidades de cálculo. Incluso sin tener ni idea del valor
de 799, su calculadora de reloj le decía que ese número dividido entre 12 daría 7
como resto.
Gauss se dio cuenta de que en los relojes de 12 horas no había nada de especial.
Por ello introdujo la idea de una aritmética del reloj —o aritmética modular, como se
llama a veces— basada en relojes con cualquier número de horas. Por ejemplo, si
insertamos el número 11 en una calculadora de reloj de 4 horas, obtendremos 3
como respuesta ya que al dividir 11 entre 4 el resto que se obtiene es 3. Los
estudios de Gauss sobre este nuevo tipo de aritmética revolucionaron las
matemáticas de principios del siglo XIX. Así como el telescopio había permitido a los
astrónomos vislumbrar nuevos mundos, la invención de la calculadora de reloj
ayudó a los matemáticos a descubrir en el universo de los números estructuras que
habían estado ocultas durante generaciones. Todavía hoy la aritmética modular de
Gauss es fundamental para la seguridad en Internet, donde se utilizan relojes con
cuadrantes divididos en más horas que átomos existen en el universo observable.
Gauss, hijo de padres pobres, tuvo la suerte de poder sacar provecho de su talento
matemático. Había nacido en una época en que las matemáticas eran todavía una
actividad privilegiada, financiada por cortesanos y mecenas, o practicada a ratos
libres por aficionados como Pierre de Fermat. El protector de Gauss era Carl Wilhelm
Ferdinand, duque de Brunswick. La familia de Ferdinand siempre había apoyado la
cultura y la economía del ducado. Su padre había sido el fundador del Collegium
Carolinum, una de las universidades técnicas más antiguas de Alemania. Ferdinand,
imbuido del ethos paterno según el cual la instrucción era la base de los éxitos
comerciales de Brunswick, estaba siempre al acecho de talentos dignos de apoyo.
Coincidió por primera vez con Gauss en 1791, y quedó tan impresionado por sus
capacidades que se ofreció a financiar los estudios de aquel joven en el Collegium
Carolinum para que pudiera así desarrollar su indiscutible potencial.
Lleno de gratitud, Gauss dedicó su primer libro al duque en 1801. Aquel libro,
titulado Disquisitiones arithmeticae, recogía muchos de los descubrimientos sobre
las propiedades de los números que Gauss había anotado en sus diarios. Todo el
mundo reconoce que no se trata de un simple compendio de observaciones sobre
los números, sino que supone el anuncio del nacimiento de la teoría de los números
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como disciplina independiente. Su publicación hizo de la teoría de los números «la
reina de las matemáticas», como siempre le gustó a Gauss definirla. Y si esa teoría
era una reina, las joyas engarzadasen su corona eran los números primos, los
números que habían fascinado y atormentado a generaciones enteras de
matemáticos.
La prueba más antigua del conocimiento de los humanos sobre las propiedades
especiales de los números primos es un hueso que data del 6500 a. C. El hueso,
llamado de Ishango, se descubrió en 1960 en las montañas de Africa ecuatorial.
Tiene grabadas tres columnas con cuatro series de muescas. En una de las
columnas encontramos 11, 13, 17, 19 muescas, es decir, la lista de los números
primos comprendidos entre 10 y 20. También las otras columnas parecen tener
significados de naturaleza matemática. No está claro si este hueso, que se conserva
en el Instituto Real de las Ciencias Naturales de Bruselas, representa realmente uno
de los primeros intentos que hicieron nuestros antepasados para entender los
números primos o si se trata de una selección de números que resultan ser primos
por casualidad. Sin embargo, no podemos excluir la posibilidad de que se trate de la
primera incursión humana en los números primos.
Algunos sostienen que la civilización china fue la primera en oír el tam-tam de los
números primos. Los chinos atribuían características femeninas a los números pares
y masculinas a los impares, pero además de esa nítida separación, consideraban
afeminados los impares que no son primos, como el 15. Hay pruebas de que, antes
del 1000 a. C., los chinos habían ideado un método muy concreto para comprender
qué hace especiales a los números primos entre todos los números. Si tomamos 15
alubias podemos distribuirlas en un rectángulo perfecto compuesto por tres
columnas de cinco alubias. En cambio, si tomamos 17 alubias sólo podremos
construir un rectángulo de una fila de 17 alubias. Para los chinos, los números
primos eran números viriles que resistían cualquier intento de descomponerlos en
producto de números menores.
Si bien a los antiguos griegos también les gustaba atribuir cualidades sexuales a los
números, fueron ellos los que descubrieron, en el siglo IV a. C., la fuerza real de los
números primos como elementos básicos para la construcción de todos los demás.
Comprendieron que todo número puede ser construido multiplicando entre sí
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Colaboración de Sergio Barros 31 Preparado por Patricio Barros
números primos. Aunque se equivocaron al creer que el fuego, el aire, el agua y la
tierra constituían la base de la materia, acertaron al identificar los átomos de la
aritmética. Durante siglos los químicos intentaron en vano identificar los elementos
constitutivos básicos de su disciplina, hasta que la búsqueda iniciada por los
antiguos griegos culminó en la tabla periódica de los elementos de Dimitri
Mendeleiev. En cambio, a pesar de disfrutar de la ventaja de la identificación por los
griegos de los elementos básicos de la aritmética, los matemáticos todavía se
debaten en sus intentos por descubrir su tabla de los números primos.
Hasta donde sabemos fue Eratóstenes, gran bibliotecario del importantísimo centro
cultural de la Grecia antigua que fue Alejandría, el primero en producir tablas de
números primos. Como una especie de antiguo Mendeleyev de las matemáticas, en
el siglo III a. C., Eratóstenes ideó un procedimiento razonablemente sencillo para
determinar qué números eran primos entre los comprendidos, por ejemplo, entre 1
y 1.000. Para empezar, escribía la secuencia entera de números; a continuación
tomaba el menor primo, es decir 2, y a partir de él tachaba de la lista un número de
cada dos: como son divisibles entre 2, todos los tachados no son primos. Entonces
pasaba al siguiente número no tachado, es decir 3, y a partir de él tachaba de la
lista un número de cada tres: como todos esos números son divisibles entre 3, no
son primos. Continuaba el proceso tomando el siguiente número no tachado y
suprimiendo de la lista todos sus múltiplos. Con este proceso sistemático construyó
tablas de números primos, y este método recibió el nombre de criba de
Eratóstenes: cada nuevo número primo crea una «criba», un cedazo que
Eratóstenes utiliza para eliminar una parte de los números que no son primos. En
cada nueva fase del proceso las dimensiones de la malla cambian y, cuando
Eratóstenes llega a 1.000, los únicos números supervivientes del proceso de
selección son los primos.
Cuando Gauss era un jovencito recibió como regalo un libro que contenía una lista
de varios millares de números primos que probablemente se había construido
utilizando los antiguos cedazos numéricos. Para Gauss, aquellos números aparecían
desordenadamente. Predecir la órbita elíptica de Ceres había sido ya
suficientemente difícil, pero el reto de los números primos tenía más en común con
la empresa casi imposible de analizar la rotación de cuerpos celestes del tipo de
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Hiperión, uno de los satélites de Saturno, que tiene forma de hamburguesa. A
diferencia de nuestra Luna, Hiperión no es en absoluto estable desde el punto de
vista gravitacional, y por esa razón gira caóticamente sobre sí mismo. De todos
modos, por más que la rotación de Hiperión o las órbitas de algunos asteroides sean
caóticas, por lo menos sabemos que su comportamiento viene determinado por la
atracción gravitacional del Sol y de los planetas; en cuanto los números primos, no
tenemos ni la más ligera idea de qué fuerzas los atraen o los repelen. Cuando
escrutaba sus tablas numéricas, Gauss no conseguía determinar ninguna regla que
le indicara cuánto tenía que saltar para hallar el siguiente número primo. ¿Podría
ser que los matemáticos debieran resignarse a aceptar que esos números han sido
elegidos al azar por la naturaleza, que hubieran sido fijados como estrellas en el
cielo nocturno, sin pies ni cabeza? Gauss no podía aceptar semejante idea: la
motivación primaria en la vida de un matemático es determinar estructuras
ordenadas, descubrir y explicar las reglas que están en los cimientos de la
naturaleza, prever qué sucederá a continuación.
1. La búsqueda de modelos
La aventura de la búsqueda de los números primos por parte de los matemáticos
está perfectamente expresada en uno de los problemas que todos hemos resuelto
en la escuela: dada una sucesión de números, determinar el siguiente elemento.
Veamos, a título de ejemplo, tres de estos problemas:
1, 3, 6, 10, 15,…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30,…
Muchas preguntas asaltan la mente matemática ante listas así: ¿cuál es la regla que
está detrás de la creación de cada sucesión? ¿Es posible predecir el siguiente
elemento? ¿Se puede determinar una fórmula que nos permita calcular el centésimo
término de la sucesión sin que sea necesario calcular los 99 anteriores?
La primera de las tres sucesiones anteriores está formada por los llamados números
triangulares. El décimo número de la lista es el número de alubias necesarias para
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construir un triángulo de diez filas que comience con una fila de una única alubia y
que termine con una fila de diez alubias. Por esta razón, el enésimo número
triangular se obtiene simplemente sumando los primeros N números:
1 + 2 + 3 +… + N.
Si deseamos determinar el centésimo número triangular tenemos ya un método
largo y laborioso: atacar frontalmente el problema sumando los 100 primeros
números de la sucesión.
El maestro de la escuela a la que asistía Gauss tenía por costumbre poner este
problema a sus alumnos, con la seguridad de que tardarían en resolverlo el tiempo
suficiente para que él pudiera echar una cabezadita. A medida que terminaban el
problema, los alumnos se levantaban y ponían su pizarra en una pila ante el
maestro. Mientras losdemás alumnos apenas se habían puesto a la tarea, en pocos
segundos Gauss, con diez años, había dejado ya su pizarra sobre el escritorio del
maestro. Furioso, éste creyó que el joven Gauss estaba siendo insolente, pero
cuando miró la pizarra, vio que la respuesta —5.050— estaba allí, sin un solo paso
de cálculo. El maestro pensó que Gauss había hecho trampa de un modo u otro,
pero el alumno explicó que bastaba con insertar N = 100 en la fórmula
1/2 × (N + 1) × N
para obtener el centésimo término de la sucesión sin tener que calcular ningún otro
término.
Gauss no había atacado el problema directamente, sino que se había aproximado a
él lateralmente. El mejor modo de descubrir cuántas alubias hay en un triángulo de
100 filas, razonó, era tomar otro triángulo igual, darle la vuelta y ponerlo al lado del
primero. Ahora Gauss tenía un rectángulo de 100 filas, de 100 alubias cada una, y
calcular el número total de alubias de este rectángulo formado por dos triángulos
era muy fácil: el total de alubias es 101 × 100 = 10.100. Por tanto, un único
triángulo contenía la mitad de ese número de alubias, es decir,
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1/2 × 101 × 100 = 5.050.
Además, el número 100 no tiene nada de especial: si lo sustituimos por N,
obtendremos la fórmula 1/2 × (N + 1) × N.
La siguiente figura ilustra el razonamiento en el caso de un triángulo de 10 filas en
lugar de 100.
Una ilustración del método usado por Gauss para demostrar su fórmula para el
cálculo de los números triangulares.
En lugar de atacar frontalmente el problema que su maestro le proponía, Gauss
había encontrado un punto de vista distinto. El pensamiento lateral, la capacidad de
observar el problema desde todos los ángulos posibles para verlo desde una nueva
perspectiva, es una cuestión de inmensa importancia para el descubrimiento
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matemático y supone una de las razones por las que las personas capaces de
razonar como el joven Gauss son buenos matemáticos.
La segunda de las sucesiones que hemos propuesto, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, es la de
los llamados números de Fibonacci. Para construirla basta calcular cada número
sumando los dos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, 13 = 5 + 8. Leonardo
Fibonacci, matemático pisano del siglo XIII, dio con ella al estudiar los hábitos
reproductores de los conejos. Fibonacci intentó divulgar los descubrimientos de los
matemáticos árabes en un intento fracasado de sacar las matemáticas europeas de
los oscuros siglos de la Alta Edad Media.
Sin embargo, fueron los conejos los que le confirieron la inmortalidad en el mundo
matemático. Según su modelo de reproducción, cada nueva estación tendremos un
número de parejas de conejos que siguen una pauta regular. Este esquema está
basado en dos reglas: cada pareja madura de conejos producirá una nueva pareja
de conejos por estación, y cada nueva pareja necesitará una estación para llegar a
la madurez sexual.
Pero los números de Fibonacci no sólo gobiernan el mundo de los conejos. Esta
sucesión aparece en la Naturaleza de mil maneras distintas. El número de pétalos
de una flor es siempre un número de Fibonacci, y también el número de espirales
de una piña de abeto. Y el crecimiento de una concha marina a lo largo del tiempo
sigue la progresión de los números de Fibonacci.
¿Existe una fórmula rápida que, como la de Gauss para los números triangulares,
permita determinar el centésimo número de Fibonacci? También en este caso, la
primera impresión es que tendremos que calcular los 99 términos anteriores, ya que
para determinar el centésimo término necesitamos conocer el nonagésimo octavo y
el nonagésimo noveno. ¿Puede ser que exista una fórmula que nos determine este
centésimo término insertando simplemente el número 100? Tal fórmula existe, pero
su determinación es mucho más complicada que la regla que nos permite
determinar esos otros números.
La fórmula para generar los números de Fibonacci se basa en un número especial
llamado número de oro o proporción áurea, un número que empieza por 1,61803…
Igual que π, la proporción áurea es un número cuya expresión decimal no tiene fin,
no manifiesta ninguna regularidad y, sin embargo, encierra las que a lo largo de los
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siglos han sido consideradas como las proporciones perfectas. Si examinamos los
lienzos que se exponen en el Louvre o en la Tate Gallery, descubriremos que con
mucha frecuencia el artista ha elegido un rectángulo cuyos lados están en la
proporción de 1 a 1,61803. Además, los experimentos revelan que entre la altura
de una persona y la distancia que separa sus pies del ombligo se conserva esa
misma proporción numérica. La aparición de la proporción áurea en la naturaleza
tiene algo de misterioso. El enésimo número de Fibonacci puede expresarse
mediante una fórmula construida a partir de la enésima potencia de la proporción
áurea.
Dejaremos la tercera sucesión numérica —1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30,…— como un
reto estimulante sobre el cual volveremos más adelante. Sus propiedades
contribuyeron a consolidar la fama de uno de los personajes más fascinantes de las
matemáticas del siglo XX: Srinivasa Ramanujan, que poseía una extraordinaria
habilidad para descubrir nuevas estructuras y fórmulas en zonas de las matemáticas
en las que otros se habían encallado.
En la Naturaleza no sólo se encuentran los números de Fibonacci: el reino animal
también conoce los números primos. Existen dos especies de cigarras llamadas
Magicicada septendecim y Magicicada tredecim que viven a menudo en el mismo
medio. Tienen ciclos de vida de 17 y 13 años respectivamente. Durante todos esos
años se alimentan de la savia de las raíces de los árboles. Luego, en el último año
del ciclo, se metamorfosean de crisálidas en adultos completamente formados y
salen del suelo en masa. Asistimos a un acontecimiento extraordinario cuando, cada
17 años, los ejemplares de Magicicada septendecim se apoderan del bosque en una
sola noche. Entonan su potente canto, se aparean, se alimentan, ponen sus huevos,
y al cabo de seis semanas, mueren. El bosque vuelve al silencio durante otros 17
años. Pero ¿por qué esas dos especies han elegido como duración de su vida un
número primo de años?
Hay diversas explicaciones posibles; como las dos especies han desarrollado ciclos
de vida que duran un número primo de años, es raro que aparezcan el mismo año.
En efecto, ambas especies deberán compartir el bosque solamente una vez cada 13
x 17 = 221 años. Imaginemos lo que sucedería en el caso de elegir ciclos de años
no primos, por ejemplo 18 y 12. En el mismo período de 221 años se habrían
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encontrado en sincronía seis veces, exactamente en los años 36, 72, 108, 144, 180
y 216, es decir, en los años compuestos de los números primos que son divisores
de 18 y de 12. Los números primos 13 y 17, por tanto, evitaban a las dos especies
de cigarra una competencia excesiva.
La aparición de un hongo que se presentaba simultáneamente con las cigarras nos
ofrece otra posible explicación. Para las cigarras aquel hongo era letal, y por esa
razón desarrollaron un ciclo de vida que les permitiera evitarlo. Al pasar a un ciclo
de 17 o 13 años, las cigarras se han asegurado de aparecer en el mismo año que el
hongo con mucha menor frecuencia de la que se daría si sus ciclos de vida durasen
un número no primo de años. Para las cigarras, los números primos no eran una
simple curiosidad abstracta,