03-4toParcialJunio2009Clave

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ESCUELA DE ECONOMÍA 
DEPARTAMENTO DE 
MÉTODOS CUANTITATIVOS 
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA 
CCUUAARRTTOO EEXXAAMMEENN PPAARRCCIIAALL DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA II II 
Ponderación: 25% de la Nota Definitiva (5 puntos) 
 
Alumno(a): _________________________________ C.I.: ______________ Fecha: 13-06-2009 
Profesor(a): ______________________ Curso(P/L): _____ Turno(D/N): ____ Sección: _____ 
 
 
Sólo sobre el 
Enunciado 
Prohibido Salir del 
Aula en este Lapso 
 
PREGUNTA Nº 1 
 
Un estanque artificial se poblará con dos especies de peces distintas: A y B. El peso total de los peces en dicho 
estanque viene dado por la expresión ( ) 22 6511, yxxyyxf −−= donde x es el número de peces de la 
especie A, e y el número de peces de la especie B. Hallar la cantidad de peces de cada especie que deben 
habitar el estanque a fin de que el peso total sea máximo, dado que solo hay capacidad para 44.000 peces. 
 (4 Ptos.) 
PREGUNTA Nº 2 
 
Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales la función ( ) cxybxyyaxyxf +++= 22, , 
alcance un punto crítico de primer orden en ( ).91,21,32 − (4 Ptos.) 
 
 
PREGUNTA Nº 3 
 
 
Sea ( ) zyxfAf =ℜ→ℜ⊆ ,/: 2 una función real por lo menos dos veces diferenciable con derivadas 
parciales cruzadas iguales en todos sus elementos del dominio. Se sabe que 
( ) ( ) ( ) xyx
y
fyyx
x
f
x
=yxfn ln,, 12, −
∂
∂
+
∂
∂
+ con n una constante real positiva. 
3.1.- Demuestra que si en el punto ( ) fD∈1,1 , la función “f” alcanza un punto crítico de primer orden se debe 
cumplir que ( ) 0 1,1yx
f2 〈
∂∂
∂
 para la existencia de un mínimo relativo en ese punto. (4 Ptos.) 
3.2.- Determina el punto mínimo de la función descrito en el ítem 3.1. (2 Ptos.) 
 
 
 
PREGUNTA Nº 4 
 
Se sabe que la función ( ) xyyxgAg =ℜ→ℜ⊆ ,/: 2 se encuentra sujeta a la 3=+ yx . 
4.1.- Determina las curvas de nivel 1, 2 y 3 de “g”. Representa gráficamente, en un mismo plano, las curvas de 
nivel halladas y la restricción dada. (2 Ptos.) 
4.2.- Utilizando las propiedades geométricas del punto de equilibrio determina la combinación (x*,y*) en la cual 
se alcanza el punto extremo condicionado de “g”. (2 Ptos.) 
4.3.- Apóyate en la representación gráfica realizada en el ítem 4.1 y en el resultado del ítem anterior, para 
demostrar que la función alcanza un máximo condicionado en (x*,y*). ¿Cuál es la curva de nivel de “g” que 
contiene su valor máximo condicionado? (2 Ptos.) 
 
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