Guia-9-Matematica-1-Probabilidad-y-homotecia

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LICEO POLITECNICO SAN LUIS 
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA 
JESSICA DIAZ – RAUL CORREA 
Guía N°9 
 PROBABILIDAD y HOMOTECIA 
 
Puntaje total 30 puntos – (15 puntos Homotecia, 15 Puntos Probabilidad) 
Nombre: Curso: 1 medio ___ 
Fecha: Mail del profesor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTRUCCIONES: 
 
➢ En la primera parte de esta guía esta explicado el contenido y ejemplos resueltos. 
➢ Luego está la actividad que tendrás que resolver 
➢ Debes resolver los ejercicios en tu cuaderno y enviarlo a Classroom o al mail. 
➢ Las dudas también pueden ser consultadas en las clases ONLINE. 
 
PROBABILIDAD 
NOCIONES ELEMENTALES 
 
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, 
un número indefinido de veces. 
Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un 
conjunto de resultados posibles (espacio muestral). 
Evento (o suceso): Es un resultado particular del espacio muestral. 
Evento cierto: Es el propio espacio muestral. 
Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del 
espacio muestral. 
Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de 
ellos impide la ocurrencia del otro. 
Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos 
completan el espacio muestral. 
 
PROBABILIDAD CLÁSICA (regla de Laplace) 
 
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al 
evento A por el número total de casos posibles. 
 
( )
( )
Número decasos favorables A
P A
Númerototal decasos
= 
 
 
 
OA14: Desarrollar las reglas de las probabilidades, la regla aditiva, la regla multiplicativa y la 
combinación de ambas, de manera concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con 
software educativo, en el contexto de la resolución de problemas. 
 
 
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Cálculo de probabilidades 
 
Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula: 
✓ Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles. 
✓ El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje 
 
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda: 
Casos favorables: 1 (que salga "cara") 
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "sello") 
Probabilidad = (1 /2 ) x 100 = 50 % 
 
 
 
PROBABILIDADES DE EVENTOS 
 
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la 
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: 
Donde: 
 
P(A) : probabilidad de que ocurra el evento A. 
P(B) : probabilidad de que ocurra el evento B. 
P(A⋃B) : probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B. 
P(A⋂B) : probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B a la vez. 
 
 
REGLA DE LA ADICIÓN (SUMA) EN PROBABILIDAD: 
 
La ley aditiva es útil cuando se tienen dos eventos y se desea conocer la probabilidad de 
que ocurra al menos uno de ellos. Esto es, con los eventos A y B nos interesa conocer 
la probabilidad de que suceda el evento A, o el evento B, o ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: En la imagen hay 10 objetos, si se selecciona un objeto al azar ¿Cuál es la 
probabilidad que sea un cuadrado o un círculo? 
 
casos posibles: 10 
Cuadrados P(A)= 5/10 = 0.5 
Círculos P(B)= 5/10 = 0.5 
P(A ∩ B) = 2/10 = 0.2 
P(A U B) = 0.5 + 0.5 – 0.2 = 0.8 
En porcentaje es 80% 
probabilidad que sea un cuadrado o un círculo ES DE 
UN 80% 
 
 
Regla de la multiplicación en probabilidad: 
 
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de 
uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. 
 
 
 
Ejemplo: Una caja contiene 2 canicas azules y 3 rojas. Si se extraen dos canicas al 
azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean azules? 
 
Dado que las canicas serán extraídas de la misma caja, y que las canicas que se 
extraigan, no serán devueltas a la caja (no hay reposición), entonces, se trata de eventos 
dependientes. 
Evento A: obtener una canica azul en la primera extracción. 
Evento B: obtener una canica azul en la segunda extracción. 
 
P(A ∩ B) = 
2
5
∗
1
4
=
2
20
 = 0.1 , EN PORCENTAJE 10% 
 
ENTONCES, la probabilidad de que las dos sean azules ES DE UN 10% 
 
Probabilidad condicional 
 
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La de A, dado B, se calcula como 
la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el suceso B ha ocurrido. 
( )
( / )
( )
P A B
P A B
P B

= 
 
 
 
 
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EJEMPLO: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es 
hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso? 
P(A) = {ser hipertenso} 
P(B) = {ser fumador} = 50% 
P (A Ç B) = {ser hipertenso y fumador} = 10% 
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20 
 
 
Ahora Te Toca A Ti 
 
ACTIVIDAD 1 
 
Ítem I: Probabilidad Clásica 
 
1. Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado 
 
2. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos. 
 
3. Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que 
al sacar una esfera al azar, ésta indique un número primo o un múltiplo de 10? 
 
4. Una caja contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Si se extrae una bola 
al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola azul? 
 
ITEM II: Regla de la adición (suma) en probabilidad: 
 
5. La probabilidad de que Julio salga con Carla es 75%, y la probabilidad de que salga 
con Marisol es de 50% . Si la probabilidad de que salga con Carla y Marisol es 40% 
calcular la probabilidad de que salga con Carla o Marisol. 
 
6. En un salón con 7 hombres y 8 mujeres, se desea formar un comité de 2 personas. 
¿Cuál es la probabilidad de que esté formado por un hombre y una mujer? 
 
7. Un chef observó que el 65 % de todos sus clientes consume mayonesa, el 70 % 
consume kétchup y el 80 % consume mayonesa y kétchup es de un 55%. ¿Cuál es la 
probabilidad de que un cliente consuma mayonesa o kétchup? 
 
8. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 
3? 
 
 
 
 
 
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ITEM III: Regla de la multiplicación 
 
9. Una caja contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Si se extraen al azar 
dos bolas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la 
segunda sea verde? 
 
10. En una caja hay 3 latas de Pepsi, 2 de Coca- Cola, 4 de Sprite y 1 lata de Duff. 
Calcular la probabilidad de sacar tres latas sin reposición al azar que sea de Pepsi, 
Sprite y Duff. 
 
11. En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés es 
de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol es de 0,80. 
¿Cuál es la probabilidad que hable inglés y juegue fútbol? 
 
12. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda 
contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la 
probabilidad de que ambas sean verdes? 
 
 
ITEM IV: Probabilidad condicionada 
 
13. Si P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 y P(A∩B)=0,18. Calcular 
a) P(A|B) 
b) P(B|A) 
 
14. Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el 
chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le 
guste la fresa? 
 
15. El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y 
el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y 
estática. Si Camiloaprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber 
aprobado también estática? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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HOMOTECIA 
 
OA8: Mostrar que comprenden el concepto de homotecia: 
 Relacionándola con la perspectiva, el funcionamiento de instrumentos ópticos y el ojo humano. 
Midiendo segmentos adecuados para determinar las propiedades de la homotecia. 
Aplicando propiedades de la homotecia en la construcción de objetos, de manera manual y/o 
con software educativo. 
 Resolviendo problemas de la vida cotidiana y de otras asignaturas. 
 
 
 
Es la transformación de una figura geométrica y consiste en la ampliación o reducción. 
 
Características: 
1.- medidas proporcionales 
2.-son semejantes 
3.-ángulos iguales 
4.-son a escala 
 
 Tipos De Homotecia 
 
Homotecia Directa 
Es aquella en la cual el punto de homotecia o el 
centro de homotecia se encuentra después o 
antes de la figura trazada. La característica 
principal es que los segmentos entre las figuras 
son paralelas. 
La homotecia es directa cuando K > 
0 A y A’ están al mismo lado de O. 
 
 
Homotecia Inversa 
Homotecia Inversa. Es aquella en la cual el 
centro de homotecia se encuentra entre la 
figura. 
Homotecia inversa La homotecia es inversa 
cuando k < 0, A y A están a distinto lado de O 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONCEPTO DE HOMOTECIA. 
Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un 
punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera 
que 
 
 
Al punto P' lo denominaremos homólogo de P. 
 
Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P. 
 
 
 
 
Las homotecias también se pueden aplicar a polígonos. Se trata de hacer la operación 
descrita previamente con cada uno de sus vértices. 
 
La homotecia de centro O y razón k la notaremos como 
 
 
 
 
 
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PROPIEDADES: 
 
La recta que contiene dos puntos homólogos siempre contiene al centro de homotecia 
 
 
Las figuras resultantes son semejantes y sus lados están en razón |k|: Se aprecia que los 
dos triángulos de la figura son semejantes (tienen la misma forma), pero podrían variar en 
tamaño. 
El caso de figuras iguales (congruentes) se da cuando la razón de homotecia es 
 K= 1 o k= -1. 
 
AHORA TE TOCA A TI 
 
 ACTIVIDAD 2 
ITEM V: 
 
16. Dibuja un triángulo como el de la figura y aplícale las homotecias y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17. También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la figura 
tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC: 
 
 
Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto y su 
imagen. 
 
 
Resumiendo: 
 
1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que 
determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos. 
2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’, siendo 
A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto 
de A y A'. 
3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el 
primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de 
dos segmentos homólogos. 
 
 
18. En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético A’B’C’. 
 
Halla la razón de la homotecia y calcula todas las dimensiones de los dos triángulos. 
¿Qué relación hay entre los perímetros de figuras homotéticas? 
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19. En la figura tienes dos triángulos. Determina si son homotéticos y calcula, en su caso, 
el centro, la razón de la homotecia y las dimensiones de los triángulos. 
 
 
20. Señala el centro y la razón de homotecia en los siguientes casos: 
 
 
 
21. Completa la figura sabiendo que A' es la imagen de A por una homotecia y que su razón 
vale 3. Indica el centro de homotecia. 
 
 
 
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22. Completa la figura sabiendo que A' es la imagen de A, y que B' es la de B. Indica el 
centro y la razón de homotecia.