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Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Conceptos básicos de la probabilidad
Mathieu Kessler
Departamento de Matemática Aplicada y Estad́ıstica
Universidad Politécnica de Cartagena
Cartagena, Enero 2010
Kessler UPCT
Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Guión
1 Introducción
2 Algunos conceptos básicos
Experimento aleatorio
Espacio muestral y sucesos
3 Concepto de probabilidad
4 La probabilidad condicionada
Kessler UPCT
Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Guión
1 Introducción
2 Algunos conceptos básicos
Experimento aleatorio
Espacio muestral y sucesos
3 Concepto de probabilidad
4 La probabilidad condicionada
Kessler UPCT
Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Partimos de una constatación:
Los datos resultantes de experimentos presentan variabilidad.
⇒ Hay incertidumbre.
Nuestro objetivo: extraer información y apoyar la toma de
decisiones.
Buscamos modelos matemáticos que incorporen la
incertidumbre y ayuden a las decisiones.
Los modelos matemáticos de la incertidumbre
Estos modelos no permiten predecir el resultado de un
experimento, sino que evaluan las posibilidades que tiene un(os)
resultado(s) de ocurrir.
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Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
La teoŕıa de la probabilidad
La teoŕıa de la probabilidad es la base matemática de los modelos
de la incertidumbre.
Presente en (casi) todos los campos de la actividad humana, por
ejemplo:
Seguros (ciencias actuariales)
Finanzas
Medicina
Telecomunicaciones
Ingenieŕıa en general...
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Guión
1 Introducción
2 Algunos conceptos básicos
Experimento aleatorio
Espacio muestral y sucesos
3 Concepto de probabilidad
4 La probabilidad condicionada
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Experimento aleatorio
Algunos conceptos básicos
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel que, aun realizado en las
mismas condiciones, produce resultados posiblemente
distintos.
Se opone a la noción de experimento determinista.
Un ejemplo sencillo: tirar un dado.
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Espacio muestral y sucesos
Espacio muestral
El conjunto S de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio se llama el espacio muestral de este
experimento.
Ejemplo del dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso
Un suceso: cualquier colección de resultados posibles de un
exp. aleatorio.
Siempre se podrá describir de dos maneras:
usando palabras
como subconjunto de S , usando el formalismo de los
conjuntos.
Para el ejemplo del dado, A = {2, 4, 6}
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Espacio muestral y sucesos
Algunos conceptos básicos
¿Cuándo decimos que “ocurre” un suceso A?
Realizamos el experimento aleatorio. Decimos “Ocurre A” si el
resultado pertenece a A.
Lanzo un dado, y sale un 4. Si el suceso A=”sacar un número
par”, puedo decir: “Ha ocurrido A”.
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Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Espacio muestral y sucesos
¿Cómo expresar sucesos complejos usando sucesos más
simples?
La unión de sucesos
Es la unión de los resultados en A y los resultados en B:
A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A o x ∈ B},
Ocurre A ∪ B ⇔ Ocurre A o ocurre B.
Ejemplo A=”sacar un número par”, B=”sacar un número
mayor o igual a 5”.
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}.
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Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Espacio muestral y sucesos
¿Cómo expresar sucesos complejos usando sucesos más
simples?
La intersección de sucesos
Son los resultados comunes a A y a B:
A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A y x ∈ B},
Ocurre A ∩ B ⇔ Ocurre A y ocurre B.
Ejemplo A=”sacar un número par”, B=”sacar un número
mayor o igual a 5”.
A ∩ B = {6}.
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Espacio muestral y sucesos
¿Cómo expresar sucesos complejos usando sucesos más
simples?
El complementario de un suceso
Son los resultados de S que no pertenecen a A:
Ac = {x ∈ S : x /∈ A},
Ocurre Ac ⇔ No ocurre A.
Ejemplo A=”sacar un número par”.
Ac = {1, 3, 5}.
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Espacio muestral y sucesos
Diagrama de Venn
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Experimento aleatorio
Espacio muestral y sucesos
3 Concepto de probabilidad
4 La probabilidad condicionada
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Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Concepto de probabilidad
Nuestro objetivo
Queremos cuantificar la información que tenemos sobre las
“posibilidades” que tiene un determinado suceso de ocurrir.
Nos limitaremos a una definición informal de la probabilidad...
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Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Definición informal de la probabilidad
Asignamos a cada suceso A una cantidad P(A), que refleja nuestra
creencia en que ocurra A. Cumple:
1 Es un número entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1,
2 siendo P(∅) = 0, P(S) = 1.
3 La probabilidad de que A no ocurra: P(Ac ) = 1− P(A).
4 Si B tiene más resultados que A (A ⊂ B)
P(A) ≤ P(B).
5 Regla de la adición:
Si A y B son incompatibles: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
En general: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
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El caso de un espacio muestral finito
Si sólo hay un número finito de resultados posibles, basta con
asignar una probabilidad a cada uno de ellos (de manera que
sumen 1).
Si además los resultados son equiprobables:
P(A) =
no de elementos en A
no de elementos totales
=
no de casos favorables
no de casos posibles.
.
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Ejemplos de cálculo de probabilidades en espacio muestral
finito y resultados equiprobables:
¿Qué probabilidad tengo de acertar en la loteŕıa, la loteŕıa primitiva, el euromillón?
1 El gordo de la loteŕıa. El experimento: escoger al azar un número entre 100000
posibles, si A=”acierto”
P(A) =
1
100000.
2 La primitiva. El experimento: escoger al azar 6 números entre 49.
P(A) =
1
13984000.
3 El euro-millón Euro-millón, el juego consiste en acertar 5 números de una tabla
de 50 y además acertar 2 números (estrellas) de una tabla de 9.
P(A) =
1
76275360
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La loteŕıa
En 2008: los españoles se gastaron32 000 millones de euros en
juegos. (Fuente: Informe anual del juego en España 2008,
Ministerio del Interior).
Corresponde a casi 700 euros por español.....
Un participante que siempre gana: el estado. En 2008, ingresó
2900 millones de euros por los juegos de gestión estatal.
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Interpretación frecuentista de la probabilidad
Para un suceso A, realizamos un gran número de veces n el
experimento, y consideramos que
P(A) = lim
n→∞
no de veces que ha ocurrido A
n
.
Podŕıamos comprobar aśı si las monedas de un euro sirven para tomar una decisión
entre dos al azar...
Hay diferencias entre los diseños de las monedas entre los distintos paises. Al tirarlas,
¿hay una probabilidad de 1/2 de obtener cara?
Algunos experimentos famosos:
Buffon, siglo XVIII. Tiró 4040 veces una moneda.
K. Pearson, siglo XX. Tiró 24000 veces la misma moneda.
Kerrich, matemático surafricano, prisionero de guerra, segunda guerra mundial.
Tiró 10000 veces la misma moneda.
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Guión
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2 Algunos conceptos básicos
Experimento aleatorio
Espacio muestral y sucesos
3 Concepto de probabilidad
4 La probabilidad condicionada
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La probabilidad condicionada
Corresponde a una re-asignación o actualización de la probabilidad
de un suceso cuando tenemos información sobre el resultado del
experimento.
Ejemplo
En una tirada de un dado he apostado por el ”6”. Tiran el dado
sin que yo pueda ver el resultado, pero me dicen que ha salido un
número par. Teniendo esta información, ¿cuál es la probabilidad de
que haya ganado la apuesta?
Kessler UPCT
Conceptos básicos de la probabilidad
Introducción Algunos conceptos básicos Concepto de probabilidad La probabilidad condicionada
Definición
Definición
Si A y B son dos sucesos tales que P(B) > 0, la probabilidad de A
condicionada a B se denota por P(A|B) y es igual a
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
.
Interpretación
Realizamos el experimento, y sabemos que ha ocurrido B, ¿cuál es
la probabilidad de que haya ocurrido A también?
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Interpretación intuitiva
Nuestro nuevo espacio de resultados posibles es B:
P(A|B) = P(A∩B)P(B) .
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Conceptos básicos de la probabilidad
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Ejemplos de probabilidades condicionadas
Tabaquismo y cáncer de pulmón
Web Asociación Española contra el Cáncer (AECC): el 90% de los
pacientes con cáncer de pulmón son fumadores.
Planteamiento - traducción
Experimento: escoger al azar una persona en la población
española.
Definimos los sucesos:
F = “Es fumadora.”
T = “Tiene un tumor asociado a un cáncer de pulmón.”
La información es: P(F |T ) = 0.9. ¿y P(T |F )?
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Conceptos básicos de la probabilidad
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Ejemplos de probabilidades condicionadas
Eslogán publicitario para la loteŕıa
Hace unos años en Francia, un eslogán publicitario: ¡el 100% de
los acertantes probaron suerte!
Planteamiento - traducción
Experimento: escoger al azar una persona en la población
francesa.
Definimos los sucesos:
P= “probó suerte”
A= “acertó”
La información es: P(P|A) = 1. ¿y P(A|P)?
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Conceptos básicos de la probabilidad
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Sucesos independientes
Definición
Dos sucesos A y B son independientes si el hecho de saber que ha
ocurrido uno de ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el
otro.
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B).
Ejemplos:
La gente prefiere comprar loteŕıas en administraciones donde
ya tocó el gordo...
¿Sabéis por qué un matemat́ıco siempre se lleva una bomba
cuando sube a un avión?
Porque la probabilidad de que haya dos bombas en el mismo
avión es mucho más pequeña que la de que haya solo una....
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