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Taller de Matrices 
 
Profesor: Christian Cortés D. 
 
Decimoprimera sesión (2 de octubre de 2012) 
Determinantes 2x2 
 
 
Un determinante es un número real asociado a cada una de las matrices cuadradas. El 
determinante de una matriz cuadrada A se denota por detA ó bien |𝐴|. Entonces si tenemos una 
matríz 𝐴 = �3 15 2� entonces su determinante podemos denotarlo como 
�3 15 2� = 𝑑𝑒𝑡 �
3 1
5 2� 
Note la diferencia de notaciones entre una matríz y su determinante, son claramente evidentes ya 
que la matríz esté dentro de un paréntesis mientras que el determinante está entre líneas 
verticales. El determinante es un escalar es decir es un número real. Además contiene algunas 
informaciones acerca de la matriz siendo muy útil en muchas aplicaciones. El determinante es a 
menudo utilizado para: 
1) Saber cuando una matríz es invertible 
2) Testear la dependencia lineal de vectores 
3) Testear la existencia y unicidad de soluciones de los sistemas de ecuaciones. 
 
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 2X2 
Definición de determinante 
Sea 𝑆𝑛 el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto de n elementos, es decir, al 
conjunto de las aplicaciones biyectivas: 
𝜎:𝑁 → 𝑁 
Dada una permutación 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 una de las características de 𝜎 que va a tener mas importancia 
en este tema será su número de inversiones 𝑛𝑖(𝜎) que es el número de pares (𝑖, 𝑗) tales que 
𝑖 < 𝑗 y 𝜎(𝑖) > 𝜎(𝑗). 
Observacion: las pemutaciones de n elementos es n! 
Ejemplo: 
Las permutaciones de 4 elementos son 4! = 24 
Las permutaciones de 10 elementos es 10! = 3628800 
 
A partir de 𝑛𝑖(𝜎)se obtiene el signo (o la paridad) de la permutacion 𝜎, dado simplemente por 
la relación: 
𝑠𝑔(𝜎) = (−1)𝑛𝑖(𝜎) 
De ello podemos concluir que 𝑠𝑔(𝜎) = 1 si el numero de inversiones 𝑛𝑖 es un número par y 
𝑠𝑔(𝜎) = −1 si el número de inversiones 𝑛𝑖 es un numero impar. 
 
 Taller de Matrices 
 
Profesor: Christian Cortés D. 
 
Determinante de una matríz cuadrada 
Si 𝐴 =
�
�
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … … … . .𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … … … . .𝑎2𝑛.
… … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … …
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 𝑎𝑛𝑛 
�
�
= |𝐴| = ∑ 𝑠𝑔(𝜎)𝜎∈𝑆𝑛 1𝜎(1)2𝜎(2) … … . .𝑛𝜎(𝑛) 
 
Entonces a partir de la definición, podemos decir que |𝐴| es una suma de n! términos, dado que 
hay un término por cada permutación de 𝑆𝑛. Cada sumando contiene un producto de la forma 
1𝜌(1) … … . .𝑛𝜎(𝑛). Estos n números o escalares son n entradas de la matriz A que están en n 
filas distintas y también en n columnas distintas, el producto de esos n números aparecerá en uno 
de los sumandos que definen |𝐴|. Por lo tanto el determinante de A es la suma de todos estos 
posibles productos cada uno de ellos con un signo determinado por la permutación 
correspondiente. 
 
Ejemplo: Consideremos una matriz cuadrada de orden 2. Tenemos entonces que 𝑆2 = {1,2} , 
sabemos que este conjunto tiene 2 permutaciones: {1,2} 𝑦 {2,1}. La primera de ellas es una 
permutación par ya que no tiene inversiones porque coincide con la identidad de la permutación, 
en cambio la segunda tiene una inversión para poder coincidir con la identidad, y por 
consiguiente es impar, entonces con la primera tenemos 𝑎11𝑎22 y con la segunda 
−𝑎12𝑎21. Por lo tanto el determinante de orden 2 queda como sigue: 
 
�
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22� = � 𝑠𝑖𝑔
(𝜎)1𝜎(1)2𝜎(2) = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21
𝜎∈𝑆2
 
 
Que queda resumida en la conocida regla de Cramer (Gabriel Cramer (1704-1752) 
 
�
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22� = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 
Ejemplos: 
1) �3 54 9� = 27 − 45 = −18 
2) �9 − 23 7 � = 63 − (−6) = 69 
 
 
 Taller de Matrices 
 
Profesor: Christian Cortés D. 
 
Determinante 3x3 
Si A es una matriz 3x3 tenemos que para tres elementos hay 6 permutaciones en 𝑆3 que son las 
siguientes: 
{1,2,3}, {1,3,2}{2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1} 
Veamos ahora sus signos: 
{1,2,3} signo + 
{1,3,2} una inversión por lo tanto signo – 
{2,1,3} una inversion, signo - 
{2,3,1} dos inversiones, signo + 
{3,1,2} dos inversiones, signo + 
{3,2,1} tres inversiones, signo – 
 
Nuestra suma entonces tendrá 6 sumandos, tres de ellos pares y tres impares. 
�
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
� = � 𝑠𝑔(𝜎)
𝜌∈𝑆3
1𝜎(1)2𝜎(2)3𝜎(3) = 
= 𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31 
 
Procedimientos sencillos para el cálculo del determinante 3x3 
 
(i) Regla de Sarrus 
(ii) Método de Gauss 
(iii) Desarrollo de Laplace 
 
i) Regla de Sarrus (Pierre Frederick Sarrus (1798-1891)) 
 
Esta regla simplifica el cálculo de determinantes de 3x3. El procedimiento consiste 
básicamente en lo siguiente: 
a) Primera forma 
Consiste en agregar a continuación del determinante las dos primeras columnas 
�
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ∥ 𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ∥ 𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ∥ 𝑎31 𝑎32
� 
A continuación partiendo de 𝑎11 , luego 𝑎12 y enseguida 𝑎13 trazar las 
diagonales que toman 3 elementos, del mismo modo partiendo de 𝑎13 , siguiendo 
con 𝑎11 y luego con 𝑎12 las diagonales secundarias. 
 Taller de Matrices 
 
Profesor: Christian Cortés D. 
 
 
Enseguida se realizan los productos que indica cada trayectoria siguiendo la 
siguiente indicación: “los productos de las diagonales principales conservan su 
signo y los de las diagonales secundarias lo cambian nos queda entonces: 
𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31 
 
Ejemplo: calcular el determinante: 
�
1 5 9 1 5
2 3 1 2 3
4 7 2 4 7
� = 1 ⋅ 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 ⋅ 7 − 9 ⋅ 3 ⋅ 4 − 7 ⋅ 1 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 ⋅ 2 
= 6 + 20 + 126 − 108 − 7 − 20 = 152 − 135 = 17 
 
b) Segunda forma: de igual modo la regla de Sarrus permite que, en vez de copiar 
las dos primeras columnas a continuación del determinante, se pueden copiar las 
dos primeras filas debajo de la última fila, luego trazar las diagonales, realizar 
los productos observando la misma regla de los signos. 
Calcular los siguientes determinantes 3x3 
1) �
−6 − 20 9
10 11 − 13
1 6 16
� =2377 
 
2) �
20 − 14 − 10
−9 17 3
−3 10 − 7
� = -1582 
 
3) �
−16 − 18 0
−14 − 5 6
−9 − 20 7
� = - 2152 
 
 
 
 
 
FIN SESIÓN