Álgebra lineal Selectividad CCNN 2003

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Álgebra lineal
Selectividad CCNN 2003
1. [ANDA] [JUN-B] Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada de orden 3
cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
(a) El determinante de A3.
(b) El determinante de A-1.
(c) El determinante de 2A.
(d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1-C3, 2C3 y C2.
2. [ANDA] [SEP-A] Considera las matrices: A=
1 0 0
1 m 0
1 1 1
, B=
0 1 1
1 0 0
0 0 0
 y C=
1 0 0
0 1 0
1 0 1
.
(a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial AX + 2B = 3C?
(b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.
3. [ANDA] [SEP-B] Considera las matrices A=
-2 -2 1
-2 1 -2
1 -2 -2
 y X=
x
y
z
.
(a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de  para los que la matriz A + I no tiene inversa.
(b) Resuelve el sistema AX = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.
4. [ARAG] [JUN-A] Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los
tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos, sabiendo que entre los tres reunen 60€.
5. [ARAG] [JUN-B] Buscar una matriz X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente suma:
2 -2
6 0
X+X -1 -1
11 -1
 sea la matriz nula.
6. [ARAG] [SEP-A] Discutir el sistema de ecuaciones 
ax+y-z = 1
x+2y-az = 2
-x+y-z = a-1
 según los valores del parámetro a.
Entre los valores de a que hacen el sistema compatible, elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a
por el valor elegido.
7. [ARAG] [SEP-B] Sean las matrices A = 1 -1
4 2
 y B = 1 0
4 -1
. Vemos que ambas tiene rango máximo, o sea 2.
Determinar los valores de c tales que la matriz A+cB no tenga rango 2.
¿Cuál es el rango que tienen las respectivas matrices suma?
8. [ASTU] [JUN] Sea el sistema 
x-3z = -1
y-t = 2
-3y+2z = 0
-4x+t = -5
a) Discutir su compatibilidad según los valores de .
b) Resolverlo para  = 7.
9. [ASTU] [JUN] a) Si A es una matriz no singular y (B-C)A = O, siendo O la matriz nula, comprobar que B = C.
b) Según el resultado del apartado anterior, cuando A = 2 -6
-1 3
, la matriz X que verifica la ecuación XA = O es la matriz nula. ¿Es
cierta esta afirmación? ¿Por qué?
10. [C-LE] [JUN-A] Estudiar el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro m: A = 
1 1 1
1 2 2
1 2 m
.
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11. [C-LE] [JUN-B] Dadas las matrices A = 
-1 0 1
2 1 0
3 2 -1
 y B = 
1 0 -1
1 1 1
-2 0 0
, se defina la matriz C = A+mB.
a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3.
b) Para m = -1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C.
12. [C-LE] [JUN-B] Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A+At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta (At es la matriz
traspuesta de A).
13. [C-LE] [SEP-A] a) Discutir en función de los valores de m: 
2x-3y = 0
x-y+z = 0
x+2y+mz = m
b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anteiror.
14. [C-LE] [SEP-A] Se consideran las matrices A = 1 2 m
1 -1 -1
 y B = 
1 3
m 0
0 2
, donde m es un número real. Encontrar los valores de m
para los que AB es inversible.
15. [C-LE] [SEP-B] Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar que A = B?
16. [C-MA] [JUN] Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente:
x 2x+1 3x+2
x 2x+3 3x+4
x 2x+5 3x+6
. Enuncia las propiedades que has utilizado.
17. [C-MA] [JUN] Se consideran las matrices A = 1 2 
1 -1 -1
 y B = 
1 3
 0
0 2
, donde  es un número real. Encuentra los valores de  para
los que la matriz A·B es invertible.
18. [C-MA] [SEP] Considera la matriz A = 
0 3 4
1 -4 -5
-1 3 4
.
a) Comprueba que verifica A3+I = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula.
b) Justifica que A tiene inversa.
19. [C-MA] [SEP] Estudia, según los valores de a, la compatibilidad del sistema: 
ax+y+z = 1
x+ay+z = 1
x+y+az = -2
.
Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.
20. [CANA] [JUN-A] En este ejercicio los números x, y, z, u son todos distintos de cero. Justificar, sin efectuar su desarrollo, que
el siguiente determinante vale 0: 
yz xz xy
u u u
1
x
1
y
1
z
.
21. [CANA] [JUN-B] Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro p: 
2x+py = 0
x+pz = p
x+y+3z = 5
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22. [CANA] [SEP-A] Estudiar para qué valores de m es invertible la matriz 
m 0 1
0 1 1
m 0 m
 y, en caso de ser posible, hallar su inversa para
m = -1.
23. [CANA] [SEP-B] Discutir el siguiente sistema en función de los valores del parámetro m y resolverlo para m = -2: 
x+my-z = 1
2x+y-mz = 2
x-y-z = m-1
24. [CATA] [JUN] ¿Para cuál o cuáles valores del parámetro real  el sistema de ecuaciones 
x+2y+(+2)z = 0
x+2y+3z = 9
2x-z = 4
 es compatible e
indeterminado?
25. [EXTR] [JUN-A] Determinar un valor del parámetro a para que las siguientes ecuaciones lineales sean linealmente dependientes:
x+y+z = 1
3x+2y+z = 1
y+2z = a
.
26. [EXTR] [JUN-B] Calcular dos números naturales a, b menores que 10 y tales que la siguiente matriz A tenga rango 2: A =
2 2 b
0 5 a
3 1 b
27. [EXTR] [SEP-A] Dar un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible e indeterminado.
Interpretarlo geométricamente.
28. [EXTR] [SEP-B] Definir el producto de matrices. Dar un ejemplo de dos matrices A y B con 2 filas y 2 columnas, tales que AB no
coincida con BA.
29. [MADR] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones 
(m+2)x+(m-1)y-z = 3
mx-y+z = 2
x+my-z = 1
a) Resolverlo para m = 1.
b) Discutirlo para los distintos valores de m.
30. [MADR] [JUN-B] Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la igualdad: 
a2 ab b2
2a a+b 2b
1 1 1
 = (a-b)3.
31. [MADR] [JUN-B] Encontrar un número real   0 y todas las matrices B de dimensión 2x2 (distintas de la matriz nula) tales que
B  0
3 1
 = B 3 0
9 3
.
32. [MADR] [SEP-A] Se considera el sistema de ecuaciones 
3x+4y+3z = 9
mx+2y+z = 5
x+y+z = 2
. Se pide:
a) Determinar el valor de m para que el sistema dado tenga solución única.
b) Resolverlo para m = 1.
33. [MADR] [SEP-B] Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a
destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios cobrando por todo ello12000
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euros. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios y cobra13000
euros. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeoscomunitarios,
cobrando 7000 euros. Se pide:
a) Hallar el precio de cada tipo de billete.
b) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar
en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros europeos comunitarios (suponiendo que mantiene
constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las
ventas a las tres agencias.
34. [MADR] [SEP-B] a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la igualdad A+B = AB. Comprobar que entonces se tiene la
fórmula: (I-B)-1 = B-1A (donde I denota la matriz identidad).
b) Dada la matriz A = -1 1
2 -1
, hallar la matriz B para la cual se verifica A+B = AB.
35. [MURC] [JUN] a) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
b) Discuta, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistemade ecuaciones lineales: 
x + ay + z = a
2x + ay + az = 1
x + y + az = 1
36. [MURC] [SEP] a) Estudie, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x + ay + z = 5
x + ay + z = 1
2x + (a+1)y + (a+1)z = 0
b) Resuélvalo para a = 2, utilizando la regla de Cramer.
37. [RIOJ] [JUN] Obtener el valor de a para que el rango de la matriz A sea igual a 2: A = 
1 -2 3 0
2 3 0 -1
4 -1 6 a
.
38. [RIOJ] [SEP] ¿Para qué valores reales de a y b tiene inversa la matriz A = a+b b
2a a+b
? Calcula la matriz A-1 cuando exista.
39. [VALE] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales 
x+2z = 0
y-z = 
x+3y+z = 5
 , dependiente del parámetro , se pide:
a) Determinar para qué valores de  el sistema es: compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible.
b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado y compatible indeterminado.
40. [VALE] [JUN-B] a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y, que satisfacen las ecuaciones siguientes:
2X+Y = B
X-2Y = C
 , donde B = 
1 0 1
0 1 1
0 0 1
 y C = 
1 -1 0
-1 1 1
1 1 1
.
b) Si X e Y son las matrices anteriores, calcular la matriz (2X+Y)X-(2X+Y)(2Y).
41. [VALE] [SEP-A] Considerar las matrices A = 
0 m 3
1 0 -1
5 1 -(m+1)
 y B = 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
.
a) ¿Para qué valores reales de m es A invertible? Calcular la matriz A-1.
b) En la anterior matriz con m = 0, obtener la matriz real cuadrada de orden 3 que satisface la igualdad B-AX = AB.
42. [VALE] [SEP-B] Se consideran las matrices cuadradas reales de orden 2, P = 1 2
2 3
 y Q = 2 0
0 3
. Calcular:
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a) La matriz P-1.
b) La matriz real cuadrada X de orden 2, tal que P-1XP = Q.
c) La matriz PQP-1 2.
 Soluciones
1. A3 = 125 ; A-1 = 1
5
 ; 2A = 40 ; 3C1-C3 2C3 C2 = -30 2. (a) m0 (b) X = 
3 -2 -2
-5 5 2
5 -3 3
 3. (a) 3 (b) (x,y,z) = (c,-2c,c) [c, cualquier valor]
Son planos que se cortan en una recta
 4. 30, 10, 20 5.
2 2c+2
11c+12 c
, c 6. a = -1, inc; a = 2, c.i; a{-1,2}, c.d; a = 0: (2,0,-1) 7. c{-1,6} rango 1 ; c{-1,6} rango 2. 8.  = 18, inc.   18, c.d.  = 7: -67
22
,- 5
11
,- 15
22
,-27
11
 9.
b) X = a 2a
c 2c
 10. m = 2: 2 ; m  2: 3. 11. a) 1 b) (k,-2k,k) k 12. Si 13. m = 7: inc. ; m  7: c.d. ; -3m
m-7
,-2m
m-7
, m
m-7
 14. m  -2, 1
2
 15. Si existe B-1 16. 0
17.  -2, 1
2
 19. a = 1: inc. ; a = -2: c.i. ; a {-2,1}: c.d. ; (k,k,1+k) k 21. p = 5: inc; p = 0: c.i ; p {0,5}: c.d. 22. m{0,1} ; 1
2
-1 0 -1
-1 2 1
1 0 -1
 23. m = -1: inc ; m = 2: c.i. ;
m  {-1,2}: c.d. ; m = -2: (-2,-4,5) 24.  = -7
2
 25. a = 2 26. a = 5 ; b = 4 29. a) 3
2
,1,3
2
 b) m{-1,0]: inc. ; m{-1,0}: c.d. 31.  = 3. B = a 0
c 0
 a,c 32. a) m  1
b) (-1-k,3,k) k 33. a) 300, 400, 500 b) 22'5% 34. b) B = -1
2
0 1
2 0
 35. b) a = 1: c.i. ; a  1: c.d. 36. a) a{-1,1}: inc. ; a{-1,1}: c.d. b) 4,-1
3
,-7
3
 37. -1 38.
1
a2+b2
a+b -b
-2a a+b
, a2+b20 39. a)  = -1, inc;  = 0. c.i; {-1,0} c.d. b)  = 0: (5-3k,k,0); : -4
+1
,+3
+1
, 2
+1
 40. a) 1
5
3 -1 2
-1 3 3
1 1 3
; 1
5
-1 2 1
2 -1 -1
-2 -2 -1
 b) 
2 0 1
0 2 2
1 1 1
 41. a)
1
m2-4m+3
1 m2+m+3 -m
m-4 -15 3
1 5m -m
 b) 1
3
3 -2 0
-18 -4 3
0 1 -3
 42. a) -3 2
2 -1
 b) 6 -2
6 -1
 c) 24 -10
30 -11
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