Álgebra lineal Selectividad CCSS 2009

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2009
1. [ANDA] [JUN-A] Sea la igualdad A·X+B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión.
a) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inveresa.
b) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo: A = 2 5
1 3
 y B = 0 -3
-1 2
.
2. [ANDA] [SEP-B] Sean las matrices A = 1 -1
0 2
 y B = 3 1
-1 1
.
a) Calcule A2 y 2B+I2.
b) Resuelva la ecuación matricial A·X-I2 = 2B
2.
3. [ARAG] [JUN] Una tienda posee tres tipos de conservas A, B y C. El precio medio de las tres conservas es de 1 €. Un cliente
compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, pagando por ello 60 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C, y paga por ello 45
€.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular el precio de cada una de las conservas y resuélvalo por el método de
Gauss.
b) ¿Es posible determinar el precio de cada una de las conservas si cambiamos la tercera condición por "otro cliente compra 20
unidades de A y 10 de B, pagando por ello 30 €"?
4. [ARAG] [SEP] a) Dadas las matrices A = 
1 1 0
1 0 1
0 1 0
, B = 
2 1 0
0 2 2
4 1 1
 y C = 
1 2 2
0 4 1
3 1 1
, calcular la matriz A2 -1. Resolver la ecuación
AX+B = C.
b) Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema lineal: 
x-9y+5z = 33
x+3y-z = -9
x-y+z = 5
.
5. [ARAG] [SEP] El señor Álvarez deja su fortuna a sus tres hijos en herencia con las siguientes condiciones:
1. El mayor recibe la media aritmética de los que reciben los otros dos más 30.000 €.
2. El mediano recibe 10.000 € más que la diferencia entre lo que recibe el mayor y los que recibe el pequeño.
3. El pequeño recibirá la media aritmética de lo que reciben los otros dos menos 30.000 €.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita calcular la cantidad que recibe cada uno de los hijos del señor Álvarez.
Resuélvalo por el método de Gauss.
b) ¿Es posible saber qué cantidad recibe cada uno de los hijos del señor Álvarez si sustituimos la condición 2 por: "al mediano le
deja la media aritmética de lo que reciben los otros dos"?
6. [ASTU] [JUN] Un camión transporta bebida envasada en botellas y latas, y se quiere averiguar el número de cajas que transporta
de cada tipo de envase. Cada caja de botellas pesa 20 kilos, pero se desconoce el peso de cada caja de latas. Se sabe además que
el peso total de las cajas de botellas es 100 kilos mayor que el de las cajas de latas, y que hay 20 cajas de botellas menos que de
latas.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del peso de cada caja de latas, que puedes llamar m) donde las incógnitas (x,y)
sean el número de cajas transportadas de cada tipo de envase. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es
imposible que cada caja de latas pese lo mismo que la de botellas?
b) Encuentra el número de cajas de cada tipo de envase sabiendo que m es 10.
7. [ASTU] [SEP] Una empresa realizó una venta de aceite de girasol y de oliva. Si el litro de aceite de oliva costara el doble que el
de girasol, el dinero total obtenido con la venta de los aceites sería 1800 euros. Si el litro de aceite de oliva fuera 2 euros más
caro que el de girasol, el dinero total habría sido 2050 euros.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio del litro de aceite de girasol, que puedes llamar m) donde las incógnitas
x e y sean el número de litros vendidos de girasol y oliva. De acuerdo a su compatibilidad ¿es posible que el aceite de girasol
fuera de 2 euros?
b) Encuentra el número de litros vendidos de cada tipo si m = 1'5.
8. [C-LE] [JUN-A] Estudia el siguiente sistema en función del parámetro a. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las
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soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso particular a = 3: 
x+y+2z = 3
x+2y+3z = 5
x+3y+az = 7
9. [C-LE] [SEP-B] Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 117 euros por los tres regalos tras
habernos hecho un descuento del 10% sobre el precio total. Además sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del
regalo A y que el regalo C es 20 euros más caro que el regalo B. ¿Cuánto hemos pagado en cada regalo?
10. [C-MA] [JUN] 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2·X+A·X = I.
2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que: A = 
1 0 1
0 0 2
1 1 -1
, I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
11. [C-MA] [JUN] Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo
comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20
céntimos y el número de las 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?
12. [C-MA] [SEP] a) Despeja la matriz X en la ecuación A2+A·X = B.
b) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 
1 1 0
0 1 1
1 0 1
, B = 
0 2 0
1 0 0
1 0 0
.
13. [C-MA] [SEP] En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 céntimos de euro. El número de monedas de un céntimo excede en cuatro
unidades a la suma del número de las de 2 céntimos y del número de las de 5 céntimos. El número de monedas de 2 céntimos
excede en una unidad al 40% del número de monedas de 1 céntimo. Sabiendo que si tuviéramos una moneda más de un céntimo, el
valor de todas ellas sería de 50 céntimos, calcula el número de monedas que hay de cada clase.
14. [CANA] [JUN-A] Una empresa ha gastado 6560 € en comprar 90 cestas de navidad de tres tipos, que cuestan 60, 80 y 120 €
respectivamente. Las cestas más caras son un 10% de las cestas compradas.
a) Plantear el correspondiente sistema.
b) ¿Cuántas cestas de cada tipo compró la empresa?
15. [CANA] [SEP-A] El dueño de un bar ha comprado refrescos, cervezas y vinos por un imporete de 500 € (sin impuestos). El valor
del vino es de 80 € menos que el de los refrescos y cervezas juntos. De impuestos ha pagado un 5% por los refrescos, un 20% por
la cerveza y un 30% por el vino, lo que hace un total de 103 € de impuestos.
a) Plantear el correspondiente sistema.
b) ¿Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida?
c) ¿Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida?
16. [CATA] [JUN] Considera el sistema de ecuaciones siguiente: 
x-2y+3z = 3
-x+y+2z = 1
7x-10y+z = a
.
a) Indica para qué valores del parámetro a el sistema es incompatible.
b) Resuelve el sistema para el valor de a para el cual el sistema es compatible, y encuentra una solución entera.
17. [CATA] [JUN] Un comerciante compra 10 televisores y 6 equipos de música. De acuerdo con el precio marcado debería pagar
10480 €. Como paga al contado le hacen un descuento del 5% encada televisor y un 10% en cada equipo de música, y sólo tiene que
pagar 9842 €. ¿Cuál es el precio marcada de cada televisor y cada equipo de música?
18. [CATA] [SEP] Diga si un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede ser incompatible. Justifique la respuesta y, en su
caso, ponga un ejemplo.
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19. [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
3x-y+2z = 0
x-2y+z = 0
x+3y = 0
.
a) Explique, razonadamente, cuántas soluciones tiene.
b) Halle una solución con z = 5.
20. [EXTR] [JUN-B] Dadas las matrices A = 2 1 1
0 -1 1
, B = 
-1 1
2 0
3 -1
 y C = 2 -1
0 1
, determinar la matriz X que verifica la ecuación
matricial ABX = CX-I, siendo I = 1 0
0 1
. Justificar la respuesta.
21. [EXTR] [SEP-B] Sea la matriz A = a -1
b 1
. Determinar justificadamente la respuesta:
a) Los valores de a y b para los que se cumple A2+I = O, siendo I = 1 0
0 1
 y O = 0 0
0 0
.
b) La matriz A8 teniendo en cuenta la condición del apartado anterior.
22. [MADR] [JUN-A] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: 
x+y+kz = 4
2x-y+2z = 5
-x+3y-z = 0
a) Discútase el sistema según los distintosvalores del parámetro k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 0.
23. [MADR] [SEP-B] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: 
x+y+z = 3
x+ky+z = 3
kx-3z = 6
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 3.
24. [MURC] [JUN] Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores de  y resolverlo para el valor  = 1: 
x+y-z = 
x-y+2z = 1
2x+y+z = 0
25. [MURC] [SEP] Un señor acertó cinco números de la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos quesi
averiguaban los otrso tres, se podrían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al
tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero, y la suma de los tres era 24. ¿Cuáles son
los tres números que faltan?
26. [RIOJ] [JUN] a) Prueba que para cualquier valor que tenga el número real a, la siguiente matriz tiene inversa: A = a -1
1 a
.
b) Calcula la inversa de A, tomando a = 0.
27. [RIOJ] [SEP] Se considera el sistema: 
x-y = 1
2x-3y = 1-a
ay = a+1
a) ¿Para qué valores del parámetro a el sistema resultante es incompatible?
b) Resuelve el sistema para los valores de a que lo hagan compatible.
28. [RIOJ] [SEP] Consideramos la matriz A = 1 a
a 0
, siendo a  0.
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a) Calcula el determinante de la matriz A.
b) Calcula la matriz inversa de A.
c) Tomando a = 1, resuelve la ecuación matricial AX = A2+3I, donde I representa la matriz unidad (identidad) de orden 2.
29. [VALE] [JUN] Resuelve el sistema 
x+y-z = 2
2x+z = 3
x+5y-7z = 4
.
Si (x,y,0) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x y de y?
30. [VALE] [SEP] Obtén todas las matrices columna X = 
x
y
z
 que sean solución de la ecuación matricial AX = B, siendo
A = 
1 1 1
0 1 -1
1 2 0
 y B = 
1
-1
0
. ¿Cuáles de esas matrices X tiene la primera fila nula?
31. [VALE] [SEP] En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los
que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan
su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están encontra
de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no
opinaron.
 Soluciones
1. a) X = A-1(A-B) b) -4 19
2 -6
 2. 1 -3
0 4
, 7 2
-2 3
 b) 1
2
26 17
-8 1
 3. a) 1, 1, 1 b) no 4. a) 
2 -1 -2
-1 1 1
-2 1 3
; 
0 1 2
-1 0 0
0 1 -3
 b) (-k-2,k,2k+7) 5. a) 30.000, 50.000, 70.000 b)
no (c.i.) 6. m=20: inc; m20: c.d. 100+20m
20-m
, 500
20-m
; si b) 30, 50 7. a) m{0,2}: inc; m{0,2}: c.d.; no b) 200, 500 8. a=4: c.i. (1-k,2-k,2); a4: c.d. (1,2,0) 9. 30, 40, 60
10. 1) (2I-A)-1 b) 1
2
0 -1 2
-2 -2 3
2 3 -6
 11. 3, 4, 5 12. a) A1 B-A2 b) 
-1 0 0
0 0 -1
0 -1 -1
 13. 15, 7, 4 14. a) 
x+y+z = 90
3x+4y+6z = 328
z = 9
 b) 50, 31, 9 15. a) 
x+y+z = 500
x+y-z = 80
x+4y+6z = 2060
 b) 120,
170, 210 c) 126, 204, 273 16. a) a  5 b) (7k-5,5k-4,k) 17. 820, 380 18. si 19. a) c.i. b) (-3,1,5) 20. 1
4
-2 -2
-1 1
 21. a) -1, 2 b) I 22. a) k=1: c.i; k1: c.d. b)
(3-m,1,m) c) (3,1,0) 23. a) k=-3: inc; k=1: c.i.; k{-3,1}: c.d. b) (3m+6,-4m-3,m) c) 5
2
,0, 1
2
 24.  = -1
2
: inc;   -1
2
: c.d.; 5
3
,-2,-4
3
 25. 4, 9, 11 26. b) 0 1
-1 0
 27. a)
a{-1,1} b) a=-1: (1,0); a=1: (3,2) 28. a) -a2 b) 1
a2
0 a
a -1
 c) 1 4
4 -3
. 29. 3-k
2
,1+3k
2
,k ; 3
2
, 1
2
,0 30. 
2-2k
k-1
k
; 
0
0
1
 31. 240, 90, 30
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