Álgebra lineal Selectividad CCSS 2010

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Colecciones de ejercicios
Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2010
1. [ANDA] [JUN-B] Sean las matrices A = 2 1
3 1
 y B = 1 2
-1 0
.
a) Calcule At·B - A·Bt.
b) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B.
2. [ANDA] [SEP-B] Sean las matrices P = 1 2
a 0
, Q = 1 1 5
8 4 b
 y R = c d 6
10 10 50
.
a) Calcule, si es posible, P·Q y Q·P, razonando la respuesta.
b) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P·2Q = R?
3. [ARAG] [JUN-A] Un número de tres cifras es tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 23, la
diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y las decenas
más el doble de las unidades es 15.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular dicho número y resuélvalo por el método de Gauss.
b) ¿Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por “el triple de las centenas más las
decenas es 25”?
4. [ARAG] [SEP-A] Encuentre una matriz X tal que X·A = B, siendo A = 1 0
2 1
 y B = 5 2
6 3
.
5. [ARAG] [SEP-A] Sean A = 
1 1 1
1 2 5
1 4 2
 y B = 
1 1 0
1 0 1
0 1 1
.
a) Calcule B-1.
b) Utilizando B-1, calcule X tal que XB = A+B.
6. [ARAG] [SEP-B] Dadas las matrices A = 1
2
, B = 1 1
3 4
 y C = 2 4
5 10
, encuentre una matriz X que resuelva la ecuación AX+B = C.
7. [ASTU] [JUN-A] Dos amigos, Ana y Nicolás, tienen en total 60 euros. Además se sabe que Ana tiene m veces el dinero que tiene
Nicolás.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el dinero que tiene cada uno. Basándote en
un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que Ana tenga el triple de dinero que Nicolás?
b) Si se supone que m = 3, ¿cuánto dinero tiene Ana?
8. [ASTU] [SEP-A] Un restaurante recibe mensualmente un pedido de x litros de licor e y litros de vino. En Enero el litro de licor
costaba m euros, al igual que el litro de vino, lo que supuso que el coste del pedido fue de 220 euros. En Febrero, el precio del
licor se duplicó y el del vino se incrementó en un euro, lo que llevó al restaurante a pagar 380 euros por el pedido.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas sean x e y. Basándote en un estudio de la
compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que el precio del litro de licor en Enero haya sido de 1 euro?
b) Resuelve el sistema para m = 2. Utiliza dicho resultado para determinar cuanto costaría el pedido en Marzo, si en dicho mes el
litro de licor y el de vino costaban 3 euros cada uno.
9. [ASTU] [SEP-B] Sean las matrices A = x a
0 1
, B = 1
y+1
, C = 2
a·x
 y D = 3+a
0
.
a) Si AB+C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro a.
b) ¿Para qué valores de a el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra una
solución para a = 2.
10. [C-LE] [JUN-A] Sean las matrices: A = 
2 -3 1
0 1 2
5 3 -1
 y B = 
2 0 1
3 -3 2
-1 -2 -3
. Halla una matriz X tal que 2X - BA = AB.
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11. [C-LE] [JUN-B] El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de 4600 €. El
valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un
beneficio del 10% en el embutido, el 20% en las bebidas y el 15% en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €. Calculalo
que pagó por cada uno de ellos.
12. [C-LE] [SEP-A] Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+2y-az = 1
-y+2z = 0
ax+3z = -a
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus soluciones para a = 2.
13. [C-MA] [JUN-A] Dada la ecuacion matricial 3·X - A·X = B - 2·A·X. Se pide:
a) Resuelve matricialmente la ecuación.
b) Si A = 2 1
1 2
 y B = 3 -4 5
-9 4 1
 , calcula la matriz X.
14. [C-MA] [JUN-B] Si dividimos el numerador entre el denominador de la fracción x
y
 se obtiene 3 de cociente y r de resto.
Efectuando la misma operación en la fraccion 2x
y
 se obtiene 7 de cociente y de resto una unidad menos que el resto de la división
anterior. Se sabe, además, que en la 1ª división, la suma del dividendo, del divisor y del resto excede en dos unidades al quíntuplo
del cociente de esa división. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) Determina el valor de 'x', de 'y' y del resto de la 1a división.
15. [C-MA] [SEP-A] Antes de comenzar la 1ª clase de la mañana, hay aparcados en el recinto de un IES coches de color azul, de color
rojo y de color verde, de modo que la suma del nº de rojos y del nº de verdes excede en dos unidades al nº de azules. Al finalizar
la 1ª clase y antes de comenzar la 2ª abandonan el centro tres coches de color azul y llegan tres coches de color rojo, de talmodo
que, en esos momentos la suma del nº de azules y del nº de verdes excede al nº de rojos en dos unidades. Al finalizar la 2ª clase y
antes de comenzar la 3ª abandonan el centro 2 coches verdes. En ese momento la suma del nº de rojos y del nº de azules excede
en dos unidades al quíntuplo del nº de verdes. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) Calcula el número de coches de cada color que hay en el IES antes del comienzo de la 1ª clase.
16. [C-MA] [SEP-B] Dada la ecuación matricial I + A·X - A2·X = B, se pide:
a) Resuelve matricialmente la ecuación.
b) Si A = 1 2
-1 1
, calcula la matriz A - A2.
c) Siendo A la matriz anterior, B = -3 -4
7 11
 e I = 1 0
0 1
 calcula la matriz X.
17. [CANA] [JUN-A] Entre canarios, peninsulares y extranjeros, hay un total de 250 trabajadores en una empresa. Si el número de
extranjeros se triplica habría 330 trabajadores en la empresa y si se duplica el número de canarios y se reduce a la mitad el
número de peninsulares, habría 325.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuantos trabajadores hay de cada grupo?
c) Si se incrementara un 15% el número de canarios y se redujera un 10% el número de extranjeros, ¿cuántos trabajadores
habría en la empresa?
18. [CANA] [SEP-A] En una boda hay 350 invitados entre familiares de la novia, familiares del novio (no hay familiares de ambos) y
amigos. Por cada once familiares hay tres amigos. Los familiares de la novia superan en 25 a los familiares del novio.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuántos familiares de la novia, familiares del novio y amigos hay en la boda?
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19. [CATA] [JUN] Una tienda ha vendido 225 lápices de memoria de tres modelos distintos, que llamaremos A, B y C, y ha ingresado
un total de 10 500 €. El lápiz A cuesta 50 €, y los modelos B y C son, respectivamente, un 10 % y un 40 % más baratos que el
modelo A. La suma total de lápices vendidos de los modelos B y C es la mitad que la de los lápices vendidos del modelo A. Calcule
cuántos ejemplares se han vendido de cada modelo.
20. [CATA] [SEP] Considere las siguientes matrices: A = 2 1
-4 -2
, B = 1 6
5 -4
 y C = 0 1
1 0
.
a) Determine la matriz X para que X + BC = A2.
b) Calcule las matrices C6 y C7.
21. [CATA] [SEP] Si sumamos 2 unidades al denominador de una fracción, la nueva fracción vale 1 unidad. En cambio, si sumamos 3
unidades al numerador de la fracción original, la nueva fracción vale 2 unidades. Determine la fracción original.
22. [EXTR] [JUN-B] Determinar la matriz X solución de la ecuación matricial A·X-A·B = B·X, donde A = 2 -1
1 0
 y B = 1 -1
-2 1
.
23. [EXTR] [SEP-B] Sean las matrices A = -2 1
-2 3
 y B = 2 2
1 0
.
Hallar la matriz X que sea solución de la ecuación matricial A·X+X = B. Justificar la respuesta.
24. [MADR] [JUN-B] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro real k: 
x-y+kz = 1
2x-ky+z = 2
x-y-z = k-1
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema para el valor de k para el cual el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 3.
25. [MADR] [SEP-A] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
1
2
1
x+
1 -1
-3 2
-4 a
y
z
 = 
1
22
7a
.
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para a = 0.
26. [MURC] [JUN-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
x+2z = 0
x+y+2z = -
2x+3y = 
a) Resolverlo para  = 3
b) Estudiarlo para cualquier valor de .
27. [MURC] [SEP-B] Calcular la inversa de la matriz A = 
1 3 1
2 -1 2
3 2 -3
.
28. [RIOJ] [JUN] Dada la matriz A = 0 1
-1 1
, calcula la matriz A-1.
Calcula la matriz (A-I)A-1, donde I representa la matriz identidad de orden 2.
29. [RIOJ] [JUN] Consideramos la matriz A = 
1 1 1
1 k 1
k 0 3
.
a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro real k.
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b) Clasifica y resuelve (según los valores de k) el sistema A
x
y
z
 = 
3
3
9
.
30. [RIOJ] [SEP] Encuentra un número real a que haga que el siguiente sistema con dos ecuaciones sea incompatible: x+ay = 1
ax+y = 1
.
31. [RIOJ] [SEP] Dada la matriz A = 1 -1
1 0
, resuelve la ecuación matricial AX = 3(A+I), donde I representa la matriz identidad de
orden 2.
32. [RIOJ] [SEP] a) La entrada normal a un museo cuesta 1 euro, pero se hace un descuento del 30% a los jóvenes y del 50% a los
jubilados. De una jornada se tienen los siguientes datos: se vendieron 200 entradas, se obtuvo una recaudación de 154 euros y
sólo la mitad de las entradas vendidas tenía algún tipo de descuento. Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones y calculael
número de visitantes que pagó cada una de las tres tarifas posibles.
b) Si añadimos a todo lo anterior: "se sabe que fueron la cuarta parte de jóvenes que jubilados", ¿hay solución?
33. [VALE] [JUN-B] Obtén la matriz X que verifica: 2 2 2
-1 -3
X - 3
2
 = 2 0 -1
4 -1 3
1
5
-3
.
34. [VALE] [SEP-B] En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El
precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados essiempre
de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación delas
entradas normales. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?
 Soluciones
1. a) -5 6
-5 5
 b) 8 2
-23 -5
 2. a) PQ = 17 9 2b+5
a a 5a
 b) 5, 1
2
, 24, 18 3. a) 954 b) inc 4. 1 2
0 3
 5. a) 1
2
1 1 -1
1 -1 1
-1 1 1
 b) 1
2
3 1 1
-2 6 6
3 -1 7
 6. 1 3 7. a) x+y = 60
x-my = 0
(m=3) b) 45€ 8. a) m{0,1}: inc; m{0,1}: c.d.; no b) 50, 60; 330 9. a) x+ay = 3
ax+y = -1
 b) a{-1,1}: inc; a{-1,1}: c.d.; -5
3
,7
3
 10. 1
2
3 4 -6
17 -13 -9
3 -15 12
 11. 1000, 1300, 2300
12. a) a{1,3}:inc; a{1,3}: c.d. b) (-7,8,4) 13. a) X = (3I+A)-1B b) 1 -1 1
-2 1 0
 14. a) 
x-3y-r = 0
2x-7y-r = -1
x+y+r = 17
 b) 35
3
,19
6
,13
6
 15. a) 
-a+r+v = 2
a-r+v = 8
a+r-5v = -10
 b) (9,6,5) 16. a) X =
A-A2 -1(B-I) b) 2 -2
1 2
 c) 1 2
3 4
 17. a) 
x+y+z = 250
x+y+3z = 330
4x+y+2z = 650
 b) 120, 90, 40 c) 272 18. a) 
x+y+z = 350
3x+3y-11z = 0
x-y = 25
 b) 150, 125, 75 19. 150, 50, 25 20. a) -6 -1
4 -5
 b)
1 0
0 1
, 0 1
1 0
 21. 7
5
 22. 4 -3
11 -8
 23. 1
2
-7 -8
-3 -4
 24. a) k=-1: inc; k=2: c.i; k{-1,2}: c.d. b) (m+1,m,0) c) 3,5
4
,-1
4
 25. a) a=11: inc; a11: c.d. b) 96
11
,24
11
,61
11
 26.
(6,-3,-3); c.d.  27. 1
42
-1 11 7
12 -6 0
7 7 -7
 28. 1 -1
1 0
, 0 1
-1 1
 29. a) k{1,3}: 2; k{1,3}: 3 b) k=1: c.i. (9-3m,2m-6,m); k=3: c.i. (3-m,0,m); k{1,3}: c.d. (0,0,3) 30. -1 31.
3 3
-3 6
 32. a) 100, 20, 80 b) si 33. 1
1
 34. 1200, 105, 100
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