Álgebra lineal Selectividad CCSS 2012

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1. [ANDA] [SEP-B] Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer
cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de
febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una
unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo
que en febrero.
a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes.
b) Calcule la matriz de compras del trimestre.
c) Si los precios de los productos A y B son, repectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que facturará la fábrica en el primer
trimestre, por cada cliente y en total.
2. [ANDA] [JUN-B] Sea la matriz A = 1 -1
2 -1
.
a) Resuelva la ecuación matricial A·X + At = I2.
b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A·B?
c) ¿Y para el producto 3·B·A?
3. [ARAG] [SEP-A] La suma de la inversión en acciones de una empresa textil, una empresa de gas y una compañía de telefonía es de
7400€. Las acciones de la empresa textil pagan un 2% de interés anual, las de la empresa de gas un 4% y las de la compañía de
telefonía pagan un 5%. La suma del interés anual es de 278€. La inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 1000€
menos que la suma de la inversión en acciones de la empresa textil y las acciones de la compañía de gas.
a) Plantear un sistema lineal que permita calcular la cantidad invertida en cada una de las acciones.
b) Calcular la cantidad invertida en cada una de las acciones.
c) ¿Podemos calcular el capital invertido en cada una de las acciones si cambiamos la tercera condición por “el doble de la
inversión en acciones de la compañía de telefonía es de 2000€ menos que la diferencia de la inversión en las acciones de la
empresa textil y las acciones de la compañía de gas”?
d) Llamando A a la matriz de coeficientes obtenida en el apartado c), resolver el sistema lineal AX = 
0
0
0
.
4. [ARAG] [JUN-A] Considerar las matrices A = 
1 1 0
1 0 -1
0 -1 1
, B = 
1 0
1 1
2 1
 y C = 
2 1 1
4 2 2
1 0 0
.
a) Calcular la matriz A-1.
b) ¿Cuantas filas y cuantas columnas ha de tener una matriz D para que la ecuación AD = B tenga solución? Resolver la ecuación
AD = B.
c) Estudiar el rango de la matriz C.
d) Utilizando los apartados a) y c) resolver el sistema lineal (AC)X = 
0
0
0
.
5. [ASTU] [SEP-B] Cada acción de BBA ha dado una ganancia de 6 euros y cada acción de NKO ha dado una ganancia de m euros. Un
inversor había comprado acciones de ambos tipos, lo que le supuso una ganancia total de 800 euros, pero está arrepentido de su
inversión, porque si hubiese comprado la mitad de acciones de BBA y el doble de NKO, su ganancia total habría sido de 1150
euros.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de acciones compradas de cada
tipo. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿existe algún valor de m para el que el sistema tenga más de una
solución?
b) Si la ganancia por cada acción de NKO fue de 5 euros, ¿cuántas acciones de NKO había comprado?
6. [ASTU] [SEP-A] Sean las matrices A = m·x 0
1 -1
, B = 1
y
, C = m
m
 y D = y
-x
.
a) Si A·B - C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra una solución para
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m = 2.
7. [ASTU] [JUN-A] Un tren realiza un viaje directo entre dos capitales. El viaje lo realiza por dos tipos de vías, por la primera
circula siempre a 100 km/h y por la segunda circula siempre a m km/h. El recorrido total del viaje es de 1240 km y la duración del
mismo es de 11 horas.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de horas que circula por cada tipo
de vía. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que la velocidad a la que circula por el
segundo tipo de vía sea también de 100 km/h?
b) Suponiendo que la velocidad a la que circula por el segundo tipo de vía es 120 km/h, ¿cuánto tiempo ha estado circulando por el
primer tipo de vía?
8. [C-LE] [SEP-B] Sea la matriz A = 
0 1 2
2 -1 1
0 0 -1
.
a) Halla A2-A+I2, donde I es la matriz identidad.
b) Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineal homogéneo que tenga a A como matriz asociada.
9. [C-LE] [SEP-A] En un aparcamiento hay 24 coches aparcados, de color blanco, rojo o gris. El número de coches grises es igual al
doble del número de coches rojos. 
a) ¿Es posible saber, con estos datos, el número de coches blancos que hay aparcados? Razona tu respuesta. 
b) Si además se sabe que la mitad de coches son rojos o grises, ¿cuántos coches hay de cada color?
10. [C-LE] [JUN-A] Una fábrica produce tres tipos de herramientas: A, B y C. En la fábrica trabajan tres obreros, durante 8 horas
diarias cada uno, y un revisor para comprobar las herramientas durante 1 hora diaria. Para fabricar una herramienta de tipo A se
emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de revisión, para la fabricación de una de tipo B se emplean 4 horas de
mano de obra y 4 minutos de revisión y para una de tipo C se necesitan 1 hora de mano de obra y 4 minutos de revisión. Por
limitaciones en la producción, se deben producir exactamente 12 herramientas al día. Calcula el número de herramientas de cada
tipo que se elaboran cada día en la fábrica.
11. [C-MA] [SEP-B] a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2·I + 3·X + X·A = B, suponiendo que todas las matrices
son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).
b) Si A = 2 0
5 3
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
12. [C-MA] [SEP-B] Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone
de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. El número de
autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del total de autobuses que van a Roma y a París.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permite obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa
respectivamente.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
13. [C-MA] [SEP-A] Un grupo de estudiantes, para financiar su viaje de fin de curso, vende para el día de San Valentín claveles
amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado
1600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos,
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que parmite saber cuántos claveles de cada color han vendido.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
14. [C-MA] [JUN-B] Una empresa fabrica tres tipos de lavadoras: A, B y C. Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de
trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo
B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas de trabajo en la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de
comprobación. Para fabricar el modelo C se necesitan 3 horas en la unidad de montaje, 1 hora en la unidad de acabado y 1 hora de
trabajo en la unidad de comprobación. Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad
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de acabado y 150 horas en la unidad de comprobación, se pide:
a) Planteael sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado.
b) Resuelve el sistema planteado.
15. [C-MA] [JUN-A] a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I - 2·X + A·X = B, suponiendo que todas las matrices
son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).
b) Si A = 3 0
7 1
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
16. [C-MA] [JUN-A] Los alumnos de 2ª de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posible destinos para el viaje de fin
de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la
diferencia entre los que quieren ir a París y los que quieren ir a Londres. El número de alumnos que quieren ir a París es la mitad
de la suma de los que quieren ir a Roma y a Londres.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres y París respectivamente.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
17. [CANA] [SEP-A] En un grupo de 225 personas, el número de personas sin estudios es igual a la quinta parte de los que tienen
estudios primarios. Si por cada 5 personas con estudios primarios hay 3 con estudios secundarios: 
a) ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de personas del grupo por nivel de estudios? 
b) ¿Cuántas personas hay de cada nivel?
18. [CANA] [JUN-A] Un camión trae, en su carga, cajas de tres productos A, B y C. Se ha perdido la hoja de carga, pero uno de los
operarios recuerda que en total hay 120 cajas, que las del tipo A eran tantas como del tipo B y C juntas y que las del tipo C eran
la cuarta parte de las del tipo B.
a) ¿Cuántas cajas de cada tipo trae el camión?
b) Otro operario dice que del tipo A eran 12 más que del tipo B. Comprobar si esta información se contradice con la del primer
operario.
19. [CATA] [SEP] Consideremos las matrices A = 1 1 1
-1 -1 2
, B = 
2 -1
-1 2
0 1
 y C = 1 2
-1 1
.
a) Halle una matriz X que cumpla que A·B + X = C.
b) Calcule C3.
20. [CATA] [SEP] Una tienda vende latas de bebida a 0,6 € la lata, pero si compramos un paquete de seis latas nos cobran 3 €.
a) ¿Cuál es el porcentaje de ahorro al comprar un paquete respecto a la compra de seis latas sueltas?
b) En una semana, la tienda ha vendido 240 latas y ha ingresado 132,6 €. ¿Cuántos paquetes de seis latas ha vendido?
21. [CATA] [JUN] Consideremos las matrices A = 2 1 3
-1 0 4
 y B = 1 -1
0 5
.
a) Justifique si es posible efectuar A·B o B·A. En caso afirmativo, calcúlelo.
b) Calcule B2 y B3.
22. [CATA] [JUN] Joan, Pere y Marc tienen, entre los tres, sesenta y tres años. Si Joan tuviera tres años menos, su edad sería el
doble de las edades de Pere y Marc juntos. Si Pere tuviera un año más, su edad sería la mitad de la de Marc. ¿Cuál es la edad
actual de cada uno de ellos?
23. [EXTR] [SEP-B] Dada la matriz A = 1 0
3 1
, se pide, justificando las respuestas:
a) Hallar An.
b) Partiendo del resultado anterior, calcular A20-A18.
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24. [EXTR] [JUN-B] Dadas las matrices A = 3 x
-1 2
, B = -1 4
y 3
 y C = 0 3
9 z
, determina los valores de x, y, z para que se verifique la
ecuación matricial A·Bt = C+I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y Bt es la matriz traspuesta de B. Justificar la
respuesta.
25. [MADR] [SEP-B] Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: 
x+y+z = 2
x+ky+2z = 5
kx+y+z = 1
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema para k = 0.
c) Resuélvase el sistema para k = 2.
26. [MADR] [JUN-B] Un estadio de fútbol con capacidad para 72000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido
entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno
de los equipos que están jugando. A través de la venta de localidades sabemos lo siguiente:
a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente.
b) Por cada 13 socios de alguno de los dos equipos hay 3 espectadores que no son socios.
c) Los socios del equipo B superan en 6500 a los socios del equipo A.
¿Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido?
27. [MADR] [JUN-A] Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: 
x + ay - 7z = 4a-1
x + (1+a)y - (a+6)z = 3a+1
 ay - 6z = 3a-2
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema en el caso a = -3.
28. [MURC] [SEP-A] Un cliente ha comprado en un supermercado botellas de agua de medio litro, 2 litros y 5 litros, cuyos precios
respectivos son 0,5 euros, 1 euro y 3 euros. En total ha comprado 24 botellas, que corresponden a una cantidad de 36 litros, y
que le han costado 22 euros. Determinar cuántas botellas de cada tipo ha comprado.
29. [MURC] [JUN-A] María y Luis han realizado un desplazamiento en coche que ha durado 13 horas y durante el cual, un tiempo ha
conducido María, otro ha conducido Luis y el resto han descansado. Luis ha conducido 2 horas más de las que han descansado, y el
total de horas de descanso junto con las de conducción de Luis es 1 hora menos que las que ha conducido María. Encontrar el
número de horas que ha conducido cada uno y las que han descansado.
30. [RIOJ] [SEP] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro a. Resuelve para el valor a = 0. x+a
2y+z = 0
ax+a2y+z = 1
31. [RIOJ] [SEP] Sea la matriz A = 4 -1
-3 1
. Calcula la inversa de A. Resuelve la ecuación matricial: A2X = 2I (donde I representa la
matriz identidad de orden 2).
32. [RIOJ] [JUN] Calcula el valor de la expresión A(A+2I), siendo A = -1 0
4 -1
 e I la matriz identidad de orden 2. Utiliza lo anterior
para calcular la inversa de A.
33. [RIOJ] [JUN] Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro : x+y = 1
x+3y = 3
.
Calcula las soluciones para  = 3.
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34. [RIOJ] [JUN] Los precios de las entradas a un partido de fútbol depende de la zona (Z1, Z2, Z3) donde se encuentre el asiento.
La suma de las tarifas de Z2 y Z3 es el triple que la tarifa de Z1. Comprar 10 entradas de cada zona cuesta en total 2400.
Además, cuesta lo mismo comprar una entrada en Z3 que una en Z2 rebajada un 20%.
i) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones.
ii) Calcula el precio de las entradas de cada zona.
35. [VALE] [SEP-A] Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es 
2 3 -1
-4 2 1
2 2 -1
 y cuyo término
independiente es 
3
0
1
. Resuelve el sistema.
36. [VALE] [JUN-B] Dadas matrices A = 1 2
-1 3
 y B = 2 -6
-1 -2
, obtén todas las matrices de la forma X = x 0
y z
 que satisfacen la
relación AX-XA = B.
 Soluciones
1. a) 
9 5
3 7
4 6
, 
18 10
6 14
5 7
, 
0 0
6 14
5 7
 b) 
27 15
15 35
14 20
 c) 
3660
4700
3120
, 11480 2. a) 1 4
1 6
 b) nº col. A = nº fil. B c) nº col. B = nº fil. A 3. a) 
x+y+z = 7400
2x+4y+5z = 27000
x+y-z = 1000
 b) 2900, 1300,
3200 c) inc d) k
2
,-3k
2
,k 4. a) 1
2
1 1 1
1 -1 -1
1 -1 1
 b) 3x2; 
2 1
-1 -1
1 0
 c) 
0
-k
k
 5. a) 6x+my = 800
3x+2my = 1150
 m=0: inc; m0: c.d. b) 100 6. a) mx-y = m
x-y = m-1
 b) m=1: c.i; m1: c.d.;
m=2: (1,0) 7. a) x+y = 11
100x+my = 1240
; c.d. si m100 b) 4 8. a) 
3 -2 -3
-4 5 1
0 0 3
 b) (0,0,0) 9. no; 12, 6, 6 10. 6, 2, 4 11. a) (B-2I)(3I+A)-1 b) 1
6
3 0
-5 2
 12. a)
x+y+z = 30
2x-y+2z = 0
x+y-4z = 0
 b) 4, 20, 6 13. a) 
x+y+z = 900
x+2y+3z = 1600
x-2y+z = 0
 b) 400, 300, 200 14. a) 
3x+4y+2z = 430
2x+2y+z = 240
x+y+z = 150
 b) 50, 40, 60 15. a) (A-iI)-1(B-7I) b) 1
3
1 0
-7 3
 16. a)
x+y+z = 120
x+3y-3z = 0
x+y-2z = 0
 b) 60, 20, 40 17. 
x+y+z = 225
5x-y= 0
3y-5z = 0
; 25, 125, 75 18. a) 60, 48, 12 b) es compatible 19. a) 0 0
0 0
 b) -5 2
-1 -5
 20. a) 16'67% b) 19 21. a) AB =
3 1 -1
-5 0 20
 b) 1 -6
0 25
; 1 -31
0 125
 22. 43, 6, 14 23. a) 1 0
3n 1
 b) 0 0
6 0
 24. 1, 0, 5 25. a) k = 1: inc; k = 2: c.i; k{1,2}: c.d. b) (1,-1,2) c) (-1,3-m,m) 26. 26000,
32500 27. a) a = 3: inc; a = -2: c.i.; a{-2,3}: c.d. b) (k-1,4-3k,k) c) -4
3
,7
3
,2
3
 28. 12, 10, 4 29. 7, 4; 2 30. a=1: inc; a1: c.i.; a=0: (-1,k,1) 31. 1 1
3 4
; 8 10
30 38
 32.
-3 0
4 -3
; -1 0
-4 -1
 33. =3: c.i; 3: c.d.; =3: (k-1,k) 34. 
3x-y-z = 0
x+y+z = 240
4y-5z = 0
; 60,100,80 35. 7
2
,2,10 36. k+3 0
1 k
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