Álgebra lineal Selectividad CCSS 2007

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2007
1. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = 
1 -2 1
0 1 0
-1 3 0
, X = 
x
y
-2
 e Y = 
-x
2
z
.
a) Determine la matriz inversa de A.
b) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple: A·X = Y.
2. [ANDA] [SEP-B] a) Halle la matriz A que verifica: 2 3
-1 5
·A = 9
28
.
b) Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes:
x-3y+2z = 0 ; -2x+y-z = 0 ; x-8y+5z = 0
3. [ARAG] [JUN-A] a) Dadas las matrices A = 
a 0 0
2 a 0
-1 0 -1
 y B = 
a2 0 0
4a a2 0
1-a 0 1
, con a un parámetro real no nulo, compruebe que A-1B = A.
b) Calcule el rango de la matriz 
-1 -1 -1
3 6 9
-5 -10 m
, según los valores del parámetro real m.
4. [ARAG] [SEP-A] A primera hora de la mañana en un cajero automática se desea que haya 800 billetees (de 10, 20 y 50 euros) con
un valor total de 16000 euros. Sabiendo que por cada 3 billetes de 50 euros son necesario 4 de 20, plantee un sistema de
ecuaciones lineales para averiguar cuántos billetes de cada cantidad ha de haber y resuélvalo por el método de Gauss.
5. [ASTU] [JUN] Sean las matrices A = x 1
x m
, B = 1
-y
, C = y-2
-m
, D = 3x
4x
, E = 1 4 .
a) Calcula cada uno de los tres productos AB, ED, DE.
b) Si C-2AB = -D, plantea un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (representadas por x,y) en función de m. ¿Para qué valores
de m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?
6. [ASTU] [SEP] Sean las matrices A = x y
x 2y
, B = 5
m
, C = 0
y-3
, D = 1
3
.
a) Si AB = C+4D, plantea un sistema con 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x,y) en función de m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única?
7. [C-LE] [JUN-A] Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20% del total, Miguel reparte 100
hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas.
Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1 céntimo por
cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres.
8. [C-LE] [JUN-B] Sean las matrices A = x y
0 y
, B = a
1
, C = y
ay
, D = 6-ay
1-a
.
a) Consideramos x e y dos variables y a un parámetro. Obtén el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que resulta de
plantear AB-C = D.
b) Estudia el sistema para los distintos valores de a.
c) Encuentra una solución para a = 2.
9. [C-LE] [SEP-B] Se considera el sistema: 
x-2y+z = 1
3x-5y+z = 4
x-y+(a-2)z = 2
.
a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a.
b) Halla todas las soluciones para a = 3.
10. [C-MA] [JUN] a) Despeja la matriz X en la ecuación: 2·X - A·X = C - B·X.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
2 1 0
1 2 1
-1 1 2
, B = 
1 1 0
0 1 0
1 2 1
 y C = 
0 0 1
1 -1 -2
1 3 3
.
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11. [C-MA] [JUN] Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de borrar, tres
euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una gomade
borrar. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de una goma de borrar. Determina el
precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una goma de borrar.
12. [C-MA] [SEP] a) Despeja la matriz X en la ecuación: X·A + A = B.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 0 -1
0 1 0
0 0 1
 y B = 
1 1 0
0 1 1
1 0 1
.
13. [C-MA] [SEP] La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 años. Hace cinco años, la edad del menor
era un tercio de la suma de las edades que tenían los otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano
excederá en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los hijos.
14. [CANA] [JUN-A] Una aseguradora tiene tres tarifas: una para adulto, otra para niño y otra para anciano. Se sabe que una familia
de tres adultos, 2 niños y 1 anciano paga 215 €, una segunda familia de 4 adultos, 1 niño y 2 ancianos paga 260 €, una tercera
familia de 2 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 190 €.
a) ¿Cuánto paga cada adulto, niño y anciano?
b) Cuánto pagará una familia de 5 adultos, 3 niños y 2 ancianos?
15. [CANA] [SEP-A] Un comercio tiene un total de 270 unidades de productos de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades
menos que de la totalidad de B más C y del tipo C tiene el 35% de la suma de A más B. ¿Cuántos productos de cada tipo hay en el
comercio?
16. [CATA] [JUN] a) Discuta el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a: x+(a+1)y = 1
ax+2y = -2
.
b) Resuélvalo para el valor de a que lo hace indeterminado.
17. [CATA] [SEP] Resuelva el siguiente sistema: 
x+2y-5z = -1
-3x+y-2z = 7
2x-3y+z = -12
18. [CATA] [SEP] Una persona va a la bodega y compra tres tipos de vino. En total compra 20 botellas y se gasta 100 . Compra
botellas de tres tipos, A, B y C, que cuestan 3 , 7 y 8, respectivamente. Halle el número de botellas que ha comprado de cadatipo,
sabiendo que ha comprado al menos una de cada tipo.
19. [EXTR] [JUN-B] Determinar la matriz X que verifica la ecuación A2X - B = A·X, donde A = 
1 0 -1
2 1 0
-1 1 1
 y
B = 
2 -1 0
1 3 -1
0 1 -1
. Justificar la respuesta.
20. [EXTR] [SEP-B] Discutir según los valores de m el sistema de ecuaciones: 
mx-y-z = 3
x+2y+z = 1
x-3y-z = 2
. Justificar la respuesta.
21. [MADR] [JUN-A] Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: 
x-2y+z = 0
3x+2y-2z = 3
2x+2y+az = 8
.
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 4.
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22. [MADR] [SEP-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real a: 
x + ay + z = 1
2y + az = 2
x + y +z = 1
a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 3 y a = 1.
23. [MURC] [JUN] Calcular la matriz inversa de la matriz A = 
1 3 1
2 -1 2
3 2 -3
.
24. [MURC] [SEP] Dada la matriz A = 2 1
2 3
, calcular dos números reales x e y tales que se verifique A+xA+yI = O, siendo I la matriz
unidad de orden 2 y O la matriz nula de orden 2.
25. [RIOJ] [JUN] Un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas,, ¿puede ser compatible determinado? En caso afirmativo, da un
ejemplo.
26. [RIOJ] [SEP] Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa: A = 
3 2 1
a 5 0
1 2 3
.
27. [VALE] [JUN-A] Dada la matriz A = 1 2
-1 3
, calcula A·At-5A-1, siendo At y A-1 las matrices transpuesta e inversa de A,
respectivamente.
28. [VALE] [JUN-B] Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros,
respectivamente. Un concesionario ha ingresado 1.265.000 euros por la venta de automóviles de esta marca. ¿Cuántos coches ha
vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los
coches que cuestan 15.000 euros?
29. [VALE] [SEP-A] Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cadagramo
del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento Bcontiene
2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios paraproducir
exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?
30. [VALE] [SEP-B] Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
x+y+z = -1
2x-y+z = 0
-2x+7y+z = -4
.
 Soluciones
1. a) 
0 3 -1
0 1 0
1 -1 1
 b) 3, 2, 3 2. a) -3
5
 b) c.i. -k
5
,3k
5
,k 3. b) m=-15: 2; m-15: 3 4. 450, 200, 150 5. a) x-y
x-my
, 19x , 3x 12x
4x 16x
 b) m=3: inc; m3: c.d. 6. a)
5x+my = 4
5x+(2m-1)y = 9
 b) m=1:inc; m1: c.d. 7. 5'5, 3, 6'5 8. a) ax+ay = 6
(1-a)y = 1-a
 b) a = 0: inc; a = 1: c.i; a{0,1}: c.d. c) (2,1) 9. a) a = 1: c.i; a  1: c.d. b) (3,1,0) 10.
(2I-A+B)-1C; 
0 0 1
1 1 0
0 2 1
 11. 0'55, 0'75, 0'30 12. A(B-A)-1; 
0 -1 1
1 -1 0
0 1 0
 13. 23, 20, 16 14. 25, 40, 60; 365 15. 120, 80, 70 16. a) a= 1: inc; a = -2: c.i; a{-2,1}: c.d.
b) (1+k,k) 17. -2, 3, 1 18. 11, 5, 4 19. 1
2
2 0 -1
-3 5 -1
1 -3 0
 20. m=-3: inc; m-1: c.d. 21. a) a= -7
4
: inc; a -7
4
: c.d. b) (1,1,1) 22. a) a=0: inc; a=1: c.i.; a{0,1}: c.d. b)
1
3
,0,2
3
, (k-1,k,2-2k) 23. 1
42
-1 11 7
12 -6 0
7 7 -7
 24. -1, 0 25. si 26. 10 27. 2 7
4 9
 28. 44, 33, 11 29. 5, 1 30. (2k+1,k,-3k-2)
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