Álgebra lineal Selectividad CCSS 2008

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2008
1. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = 0 2
3 0
 y B = a b
6 1
.
a) Calcule los valores de a y b para que A·B = B·A.
b) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X·A - A = I2.
2. [ANDA] [SEP-A] a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1+3x 2
x -1
· 3
y
 = 5
4
.
b) Calcule la matriz inversa de 
1 0 1
0 1 0
1 2 0
.
3. [ARAG] [JUN] Dadas las matrices A = 
1 0 3
2 1 0
-1 0 -1
 y B = 
2 0 -1
3 -2 0
1 0 1
a) Calcule A·B.
b) Calcule la matriz inversa de B y utilícela para resolver la ecuación X·B = B+A.
4. [ARAG] [SEP] Raquel, Paula y Sara salen de compras y cada una adquiere una camiseta. El precio medio de las prendas es de 14
euros. La diferencia entre el precio de la camiseta de Sara y la de Paula es el doble de la diferencia entre el precio de lacamiseta
de Paula y la de Raquel. Si a Raquel le hubiera costado su camiseta el doble, sobrepasaría en un euro el precio de la deSara.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular el precio de cada una de las camisetas y resuélvalo por el método de
Gauss.
b) ¿Es posible saber el precio de las camisetas si la última condición se cambia por "Si a Paula le hubiera costado su camiseta el
cuádruple, sobrepasaría en 42 euros el precio de la de Raquel"?
5. [ASTU] [JUN] a) Calcula el producto 1 3 2
5
 y el 2
5
1 3 .
b) Estudia para qué valores de m el sistema, con incógnitass representadas por x,y, dado por mx-m-2 = 0
mx+(m-1)y-2m-1 = 0
 , tiene
solución y cuándo es única. Encuentra dos soluciones para m = 1.
6. [ASTU] [SEP] Una empresa ofrece cierto producto a minoristas ( a un precio de 400 euros por unidad) y mayoristas (a un precio
por unidad desconocido, que puedes llamar m). Con las ventas de este mes se han obtenido en total 272.000 euros. Por otra parte,
la cantidad obtenida con las ventas a minoristas es la misma que la que se habría obtenido vendiendo 480 unidades del producto a
los mayoristas.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas (x,y) sean el número de unidades vendidas a cada tipo
de cliente. Basándote sólo en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es posible que el precio para los mayoristas sea de
562'5 euros por unidad?
b) Resuelve el sistem para m = 562'5. En base e esto, si se vendió alguna unidad a los mayoristas, ¿es posible que fuera a un
precio de 562'5 euros?
7. [C-LE] [JUN-A] Sea el sistema a
2x+a3y = 1
x+a2y = 0
.
a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valors del parámetro a.
b) Resuélvelo para a = 2.
8. [C-LE] [SEP-B] Sea la matriz A = 
5 -4 2
2 -1 1
-4 4 -1
.
a) Prueba que A2-2A+I = O, donde I es la matriz identidad y O es una matriz con todos sus elementos igual a cero.
b) Calcula A3.
9. [C-MA] [JUN] a) Despeja la matriz X en la ecuación: 2·X - B = A·X.
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b) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 
1 0 1
2 1 0
-1 3 1
 y B = 
1 -2
-3 3
4 -3
.
10. [C-MA] [JUN] En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas y Pequeñas
para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja
grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina
el número de cajas que hay de cada clase.
11. [C-MA] [SEP] a) Despeja la matriz X en la ecuación: X·A - X = B.
b) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que A = 
1 -1 2
0 1 3
-1 1 -1
 y B = 0 -1 8
-1 2 -10
.
12. [C-MA] [SEP] En la XXI Olimpiada Nacional de Química se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cada uno, incluida la del
conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes. La suma del 10% del número de profesores y del 20% del
número de acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de alumnos duplicaría al de profesoresen
el caso de que hubieran asistido 5 profesores menos. Determina el número de alumnos, de profesores y de acompañantes.
13. [CANA] [JUN-A] En un hotel hay un total de 240 turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera partede
la suma de alemanes e ingleses y el 200% de los ingleses igualan a la suma de alemanes y franceses:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.
14. [CANA] [SEP-A] En un domicilio se paragon tres facturas (agua, luz y teléfono) por un total de 140 €. De agua se pagó la tercera
parte que de luz y la factura del teléfono fue el 45% del total.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuánto se pagó en cada factura?
15. [CATA] [JUN] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 5
2x+3y+z = 3
ax+10y+4z = 2
.
a) Halle los valores de a para los cuales el sistema no es compatible determinado.
b) Halle el valor de a para el cual el valor de x es 2. Determine también los valores de y y de z en ese caso.
16. [CATA] [JUN] Un trayecto de 200 km debe hacerse combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 5 €/km; el
del ferrocarril, de 2 €/km, y el del autobús, de 3 €/km. El recorrido nos ha costado 500 €, por haber hecho el doble de
kilómetros en ferrocarril que en taxi y autobús juntos. Determine las distancias que hemos recorrido en cada medio de
transporte.
17. [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
x+y+3z = k
2y+z = 0
x+3y+k2z = 2
.
a) Discuta el sistema en función del parámetro k.
b) Determine la solución del sistema para el valor de k que hace el sistema indeterminado.
c ) Halle la solución para k = 1.
18. [CATA] [SEP] Una persona ha invertido 6 000 € comprando acciones de dos empresas, A y B. Al cabo de un año, el valor de las
acciones de la empresa A ha subido un 5%, mientras que el valor de las acciones de la empresa B ha bajado un 10 %. A pesar de
ello, si vendiera ahora las acciones ganaría 150 €. Determine cuánto dinero invirtió en acciones de cada empresa.
19. [EXTR] [JUN-B] Considérese el sistema de ecuaciones: 
ax + y + 3z = 0
x + ay + 2z = 1
x + ay + 3z = -1
a) Discutir sus posibles soluciones según los valores del parámetro a.
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b) Resolver el sistema para a = 0.
20. [EXTR] [SEP-B] Determina la matriz X solución de la ecuación matricial A·X·B = I, donde: A = -1 2
1 1
, B = 0 1
-1 2
, I = 1 0
0 1
.
Justificar la respuesta.
21. [MADR] [JUN-A] Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada.La
superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas
menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos
y cuántas están en barbecho?
22. [MADR] [SEP-A] Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos: A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de
albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de
electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea
exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo
instala la empresa en un mes?
23. [MURC] [JUN] Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños.
Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer
más, su número igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.b) Resolver el problema.
24. [MURC] [SEP] Dada la matriz A = 1 2
2 1
, encontrar una matriz B tal que A·B = 0 3
3 0
.
25. [RIOJ] [JUN] Resuelve la ecuación matricial M·X = M + MT, siendo X una matriz desconocida de tamaño 2x2, M = 1 2
3 4
 y MT la
traspuesta de M.
26. [RIOJ] [JUN] Discute, en función del parámetro a, la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. Resuélvelo cuando sea
posible. 
x+4y+z = 2
3x-y+2z = 1
2x-5y+az = -a
27. [RIOJ] [SEP] Pon un ejemplo, dando los valores concretos del parámetro a, de un sistema de ecuaciones de la forma x+y = 4
x+ay = a
que tenga una solución única y otro ejemplo donde no tenga solución.
28. [VALE] [JUN-A] Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias
obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y
6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización
C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la
urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
29. [VALE] [JUN-B] Determina la matriz X que verifica la ecuación AX+I = ABt , siendo I la matriz identidad, A = 1 1
-1 1
, B = 2 1
-1 1
 y
Bt la transpuesta de la matriz B.
30. [VALE] [SEP-A] Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo integramente
comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros ala
suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es lamitad
que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital ytodavía le
quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.
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31. [VALE] [SEP-B] Dada la matriz A = 1 3
4 2
a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación XA2 + 5A = 6 8
10 -20
.
 Soluciones
1. a) 1, 4 b) -11 2
-3 1
 2. a) 2
3
, -2 b) 
0 -2 1
0 1 0
1 2 -1
 3. a) 
5 0 2
7 -2 -2
-3 0 0
 b) 1
6
2 0 14
7 3 7
0 0 0
 4. a) 10, 13, 19 b) no 5. a) 2 6
5 15
 b) m2: c.d.; m=2: c.i. (3-k,k) 6. a) m=0: inc;
m0: c.d. b) 3'56, 675; no 7. a{0,1}: inc; a{0,1}: c.d. b) 1
2
,-1
8
 8. b) 
13 -12 6
6 -5 3
-12 12 -5
 9. (2I-A)-1B; 
1 -1
-1 1
0 1
 10. 5, 3, 2 11. B(A-I)-1; 1 2 0
-1 -2 1
 12. 150, 80, 40
13. 
x+y+z = 240
x+y-3z = 0
2x-y-z = 0
; 80, 100, 60 14. a) 
x+y+z = 140
3x-y = 0
z = 63
 b) 19'25, 57'75, 63 15. a) 7 b) 1; -2, 5 16. 16'67, 133'33, 50 17. a) k = -2: inc; k = 2: c.i. k{-2,2}: c.d. b)
(5m+2,m,-2m) c) 11
6
, 1
6
,-1
3
 18. 5000, 1000 19. a) a{-1,1}: inc; a{-1,1}: c.d. b) 5, 6, -2 20. 1
3
0 1
3 -1
 21. 5, 3; 2 22. 10, 6, 4 23. 8, 7, 5 24. 2 -1
-2 1
 25.
1
2
2 -4
1 7
 26. a=1: c.i. (9k-3,k,5-13k); a1: c.d. 15
13
, 6
13
,-1 28. 30, 15, 20 29. 1
2
3 -1
1 1
 30. 756, 344, 272 31. a) 1
10
2 -3
-4 1
 b) 1 1
2 -3
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