Álgebra lineal Selectividad CCSS 2014

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2014
1. [ANDA] [EXT-A] Sean las matrices A = 1 -7
2 -1
 y B = 1 0
-5 2
.
a) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica: X+Y = A y 3X+Y = B.
b) Halle la matriz Z que verifica B·Z + Bt = 2I2.
2. [ANDA] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 1 a
0 1
 y B = 1/2 0
3/4 0
, siendo a un número real cualquiera.
a) Obtenga la matriz A2014.
b) Para a = 2, resuelva la ecuación matricial A3·X - 4B = O.
3. [ARAG] [EXT-A] a) Dadas las matrices: A = 2 1 3
1 -1 0
, B = 
1 -1
2 0
0 1
, C = 2 3
1 4
, D = 1 8
0 5
.
Encontrar, si existe, una matriz X tal que verifique: AB + 2CX = D.
b) Encontrar el rango de la matriz: 
1 0 2
-1 -1 1
1 -1 5
.
4. [ARAG] [JUN-A] a) Los tres profesores de matemáticas de un instituto, María, Ana y Carlos, tienen edades cuya suma es 120
años. La suma de las edades de María y Ana es el doble que la edad de Carlos. Además, dentro de 4 años, la suma de las edades
que tengan Ana y Carlos será el triple de la edad que tenga María. Plantear y resolver un sistema lineal que permita conocer las
edades de los tres profesores.
b) Encontrar, si existe, la matriz inversa de: A = 2 -1
1 -2
.
5. [ASTU] [EXT-A] Un cajero automático solo dispone de billetes de 10 € y 20 €. El total de dinero en dicho cajero es de 4000 €.
Se sabe además que el número de billetes de 10 € es m veces el númmero de billetes de 20 €.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el núumero de billetes de 10 € y 20 €,
respectivamente, que hay en el cajero.
b) Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que en el cajero haya el triple de billetes de 10
€ que de 20€? En caso afirmativo, ¿cuántos billetes hay en total en el cajero?
6. [ASTU] [JUN-A] Un bar recibe el pedido diario de refrescos y cervezas, por el que paga 6 euros, siendo el precio de cada
refresco de 20 céntimos de euro y el de cada cerveza de m céntimos de euro. Si se intercambiasen los precios unitarios de los
refrescos y las cervezas, habría pagado 6 euros y 50 céntimos.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de refrescos y el número de
cervezas adquiridas ese día. ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre
única?
b) ¿Cuántas cervezas habría comprado si cada cerveza costase a 30 céntimos de euro?
7. [ASTU] [JUN-B] Sean las matrices A = m 1
1 m
, B = x
y
, C = 2 4 1
5 6 3
 y D = 
2
-1
-1
.
a) Si A·B = C·D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema
para m = 2.
8. [C-LE] [EXT-B] Dada la matriz A = 
1 -1 0
0 1 t
1 t 2
a) Determina los valores de t para los que existe la matriz inversa de A:
b) Calcula la matriz inversa para t = 2.
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9. [C-LE] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones: 
x-2y+z = -1
x+y+3z = 4
5x-y+az = 10
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Resuelve el sistema para a = 3.
10. [C-MA] [EXT-A] a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: I3 - 2·X + X·A = B, suponiendo que todas las matrices
son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).
b) Dada la ecuación matricial: -1 0
1 1
·X = 2 0
0 3
, despeja y calcula la matriz X.
11. [C-MA] [EXT-A] Una hamburguesería que está en promoción ayer ofertó tres menús: A, B y C. El menú A cuesta 3 euros, el menú
B cuesta 4 euros y el menú C cuesta 5 euros. Ayer ingresó 320 euros por la venta de estos menús. Se sabe que se vendió el triple
de unidades del menú B que del C. Se sabe también que el número de unidades vendidas del menú B coincide con la media
aritmética de las unidades vendidas de los menús A y C.
a) Plantea el sistema de ecuacions que nos permita averiguar el número de unidades vendidas de cada tipo de menú.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
12. [C-MA] [EXT-B] Una empresa fabrica tres tipos de paneles de fachada eficientes: A, B y C. Los paneles del tipo A necesitan 5
horas de montaje, 2 de pintura y 1 hora de acabado. Los paneles del tipo B necesitan 6 horas de montaje, 3 horas de pintura y 1
hora de acabado. Y para la fabricación de los paneles de tipo C se emplean 7 horas de montaje, 2 horas de pintura y 1 hora de
acabado. Se dispone de 53 horas de montaje, 20 horas de pintura y 9 horas de acabado.
a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de paneles de fachada eficientes de cada tipo que se podrán fabricar
empleando todas las horas disponibles.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
13. [C-MA] [JUN-A] Dadas las matrices A = 
-2 1 0
1 -3 1
0 1 4
 y B = -1 -2
1 0
a) Calcula la matriz M = (2·I+A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3.
b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
14. [C-MA] [JUN-A] Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En total
entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de seguro del hogar en el último mes. El número de pólizas vendidas en la sucursal
de Cuenca es la media aritmética de las vendiads en Toledo y Albacete. Y el número de pólizas vendidas en Toledo es el doble de
la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número de pólizas de seguro del hogar que se han vendido en
cada sucursal.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
15. [C-MA] [JUN-B] Una empresa gasta un total 1250 euros para que sus 10 empleados reciban un curso de formación. Establecetres
cuantías según los niveles de formación: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado querealice el
de grado 1, 150 euros a cada empleado del grado 2 y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad total que laempresa
gasta en el curso de formación del grado 1 es igual a la que invierte en el curso de formacion de grado 3.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos empleados van a realizar el curso de formación de grado 1,
cuántos el de grado 2 y cuántos el de grado 3.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
16. [CANA] [EXT-A] Una agencia de viajes ha vendido un total de 128 cruceros de los tipos Alegría, Belleza y Concordia, cuyos
precios por persona son 1500, 600 y 900 euros, respoectivamente, recaudando 112800 euros. Si por cada persona que va al
crucero Alegría hay dos que van al crucero Concordia,
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuántas personas van a cada tipo de crucero?
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17. [CANA] [JUN-A] En un crucero hay paquetes de tres tipos: individual (1 pasajero), pareja (2 pasajeros) y grupo familiar (4
pasajeros). La tarifa individual es de 800 €, la tarifa de pareja es de 1200 € y la tarifa familiar es de 1600 €. Para el próximo
viaje hay 2400 pasajeros que han pagado un total de 1264000 €. Si los pasajeros de individual son el 20% de la suma de los de
pareja y de grupo familiar,
a) Plantear el sistema de ecuaciones para determinar cuántos paquetes de cada tipo integran el crucero.
b) Determinar la distribución de los pasajeros en los tres tipos de tarifa.
18. [CATA] [EXT] Si un vendedor de artículos de lujo hace un descuento del 20% sobre el precio de venta de un artículo, gana 1848
€ sobre el precio de coste; si hace un descuento del 50%, pierde 420 €.
a) Calcule el precio de coste y el precio de venta del artículo.
b) ¿Qué porcentaje aplica sobre el precio de costepara calcular el precio de venta?
19. [CATA] [EXT] El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino, por un total de 5.000 €, sin impuestos. El vino vale
600 € menos que los refrescos y la cerveza juntos. Si tenemos en cuenta que por los refrescos ha de pagar un IVA del 6%, por la
cerveza uno del 12% y por el vino uno del 30%, entonces la factura total, con impuestos incluidos, sube a 5.924 €. Calcule cuánto
ha pagado, sin IVA, por cada clase de bebida.
20. [CATA] [JUN] Sean las matrices A = x 0
0 x
 e I = 1 0
0 1
, determine x para que se verifique la ecuación A2-6A+5I = O, donde O
es la matriz cuyos elementos son 0.
21. [CATA] [JUN] Pol, Julia y María han comprado un regalo. Julia ha gastado la mitad de dinero que María, y Pol ha gastado el triple
que Julia.
a) Explique razonadamente si con estos datos basta para determinar cuánto ha gastado cada uno de ellos.
b) Si además nos dicen que entre los tres han gastado 63 €, ¿cuánto ha gastado cada uno?
22. [EXTR] [EXT-B] Sea la matriz A = 
1 -1 2
0 1 0
-1 3 1
. Hallar la matriz X que verifique A-1X = A, siendo A-1 la matriz inversa de A.
23. [EXTR] [JUN-B] Determinar la matriz X solución de la ecuación matricial A·X - I = A, donde:
A = 
-1 0 1
2 -1 0
1 2 -1
 e I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
24. [MADR] [EXT-A] Considérese el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real :
2x-y+z = -
4x-2y+2z = -3
a) Determínense los valores del parámetro  que hacen que el sistema sea incompatible.
b) Resuélvase el sistema para  = 1.
25. [MADR] [EXT-B] Considérese la matriz A = 
1 0
0 0
0 1
.
a) Calcúlese A·At 200.
b) Calcúlese A·At-3I -1.
Nota: At denota a la traspuesta de la matriz A. I es la matriz identidad de orden 3.
26. [MADR] [JUN-A] Sean las matrices A = 
2 1
-1 0
1 -2
 y B = 
3 1
0 2
-1 0
.
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a) Calcúlese AtB -1, donde At denota la traspuesta de la matriz A.
b) Resuélvase la ecuación matricial A· x
y
 = 
0
-1
5
.
27. [MADR] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a: 
x +y +az = 2
3x +4y +2z = a
2x +3y -z = 1
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
b) Resuélvase el sistema en el caso a = -1.
28. [MURC] [EXT-A] Dadas las matrices A = 
1 0 -1
2 1 1
-2 1 0
, B = 
a 1
1 b
a -1
 y C = -1 3 -2
1 1 2
, hallar a y b para que A·B = B+Ct.
29. [MURC] [JUN-A] Discutir el siguiente sistema por el método de Gauss, según los valores del parámetro a, siendo a un número real
distinto de 0.
ax+y-2az = 1
ax-y = 2
ax+y+(a-1)z = 3a-1
Resolverlo para a = 1.
30. [RIOJ] [EXT] Consideremos el sistema de ecuaciones ax+y = 1
4x+ay = 2
 donde a es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor de a
para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a = 2.
31. [RIOJ] [EXT-A] Consideremos la matriz A = 4-a 2a-5
-a a-1
a) Determinar los valores de a para los que existe la matriz inversa A-1.
b) Tomando a = 3, calcular las matrices B = A·At y C = 5·A-1 2.
c) Tomando a = 3, determinar una matriz X tal que A·X = 25·A-1 + A2·At.
(Nota: At indica la matriz traspuesta de la matriz A)
32. [RIOJ] [JUN] Consideremos el sistema de ecuaciones ax-(3a-2)y = 1
x-ay = a
, donde a es un cierto parámetro real. ¿Existe algún valor
de a para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para a = 1.
33. [RIOJ] [JUN] Sean las matrices A = 
2 1
-1 1
2
 y B = 
1 0
0 4
-2 2
. Calcular, si existe, una matriz X de tal forma que A·X = Bt.
(Nota: Bt indica la matriz traspuesta de la matriz B)
34. [RIOJ] [JUN-B] El afamado cocinero Alfredo Azurmendi tiene un restaurante con tres comedores en los que sirve un Menú
Degustación, un Menú Executive y un Menú del Día. La distribución de comensales de un cierto día y los ingresos aparecen
reflejados en la tabla adjunta.
Menú
Degustación
Menú
Executive
Menú
del Día
Ingresos
Comensales comedor 1 10 4 10 680 €
Comensales comedor 2 10 3 5 610 €
Comensales comedor 3 5 5 2 370 €
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a) Determinar el sistema de ecuaciones que permita conocer el precio de cada uno de los menús del restaurante.
b) Determinar el precio de cada uno de los menús.
c) Si el coste de elaboración y servicio de un Menú Degustación es 35 €, de un Menú Executive es de 14 € y el del Menú del Día es
6 €, determinar los beneficios del restaurante del día reflejado en la tabla. (Nota: para calular los beneficios debes aplicar que
Beneficios=Ingresos-Costes)
35. [VALE] [EXT-A] Dos matrices A y B satisfacen las siguientes igualdades: A+B = 5 3
3 0
, A-B = 1 1
-1 0
.
a) Calcular A y B.
b) Calcular la matriz X sabiendo que AXA = B.
36. [VALE] [EXT-B] Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses al 1 %.
Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del 3 % en las de B. El
beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total
destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito.
37. [VALE] [JUN-B] Después de aplicar un descuento del 10% a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un rotulador, un
cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la
carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula el precio original de cada objeto.
 Soluciones
1. a) 1
2
0 7
-7 3
, 1
2
2 -21
11 -5
 b) 1
2
2 10
5 25
 2. a) 1 2014a
0 1
 b) -16 0
3 0
 3. a) 1
2
-3 2
1 1
 b) 2 4. a) (29,51,40) b) -1
3
-2 1
-1 2
 5. a) 10x+20y = 4000
x = my
 b) 320 6. a)
x+5my = 30
10mx+2y = 65
; m0'20: c.d. b) (15,10) 7. a) mx+y = -1
x+my = 1
 b) m=1: inc; m=-1: c.i.; m{-1,1}: c.d.; (-1,1) 8. a) t{-2,1} b) 1
4
2 -2 2
-2 -2 2
1 3 -1
 9. a) a=11: c.i.; a11: c.d. b)
7
3
,5
3
,0 10. a) (B-I)(A-2I)-1 b) -2 0
2 3
 11. a) 
3x+4y+5z = 320
y = 3z
y = x+z
2
 b) (50,30,10) 12. a) 
5x+6y+7z = 53
2x+3y+2z = 20
x+y+z = 9
 b) (4,2,3) 13. a) 
1 -1 1
-1 3 5
1 5 37
 b) 1
2
0 2
-1 -1
 14. a)
x+y+z = 45
z = x+y
2
x = 2(y-z)
 b) (10,20,15) 15. a) 
x+y+z = 10
80x+150y+200z = 1250
80x = 200z
 b) (5,3,2) 16. a) 
x+y+z = 128
1500x+600y+900z = 112800
z = 2x
 b) (24,56,48) 17. a) 
x+2y+4z = 2400
800x+1200y+1600z = 1264000
x = 0'2(2y+4z)
 b)
(400,720,1280) 18. a) 4200, 7560 b) 80% 19. (1200,1600,2200) 20. 1, 5 21. a) no b) (31'50,10'50,21) 22. 
-1 4 4
0 1 0
-2 7 -1
 23. 1
4
5 2 1
2 4 2
5 2 5
 24. a) 1 b)
(k,m,m-2k-1) 25. a) 
1 0 0
0 0 0
0 0 1
 b) 1
6
-3 0 0
0 -2 0
0 0 -3
 26. a) 1
5
1 0
-5 5
 b) 1
-2
 27. a) a=3: c.i.; a3: c.d. b) (3,-2,-1) 28. 1, 3 29. a= 1
3
: inc; a 1
3
: c.d.; 2,0, 1
2
 30. a=-2;
(k,1-2k) 31. a) a 2 b) 2 -1
-1 13
, 1 -3
9 -2
 c) 3 -4
8 11
 32. a=2; (k+1,k) 33. 1
4
1 -8 -6
2 16 4
 34. a) 
10x+4y+10z = 680
10x+3y+5z = 610
5x+5y+2z = 370
 b) (50,20,10) c) 515 35. a) 3 2
1 0
, 2 1
2 0
 b)
1
4
0 8
1 -11
 36. (1800,3000,2200) 37. (2,1,1'40)
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