Geometría analítica Recta en el plano Colección 2

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Geometría analítica
Recta en el plano 2
Ecuación1. Escribe las ecuaciones en forma paramétrica y continua de la recta r definida por ( v , director; w , normal; m,
pendiente; , inclinación):
a) v = (2,-1), A(-2,3) b) w = (-1,3), A(-2,1) c) m = 0'5, A(6,5) d)  = 0, A(-2,4)
2. Escribe las ecuaciones en forma paramétrica y continua de la recta r definida por los puntos:
a) A(1,2), B(-1,6) b) A(-2,1), B(-2,5) c) A - 4
3
, 1
2
, B 5
3
,5
3. Escribe la ecuación general de la recta r definida por ( v , director; w , normal; m, pendiente; , inclinación):
a) v = (-1,2), A(-1,3) b) w = (1,-2), A(3,-2) c) m = -2, A(2,2) d)  = 45º, A(2,-3)
4. Escribe la ecuación general de la recta r definida por los puntos:
a) A(-2,1), B(4,3) b) A(-2,3), B(3,3) c) A - 3
2
,11
3
, B 5
2
,1
5. Escribe la ecuación explícita de la recta r definida por ( v , director; w , normal; m, pendiente; , inclinación):
a) v = (3,-1), A(6,-1) b) w = (-2,3), A(-3,1) c) m = 2, A(-1,-1) d)  = 135º, A(5,1)
6. Escribe la ecuación explícita de la recta r definida por los puntos:
a) A(-1,4), B(1,-2) b) A(3,-2), B(3,3) c) A - 3
2
,2 , B 2,13
3
7. Calcula tres puntos A, B y C que pertenezcan a la recta y escribe las coordenadas genéricas de un punto P de la recta con una sola
incógnita:
a) r1  
x = 1+3k
y = 2+2k
b) r2  
x+2
3
 = y-1
-2
c) r3  2x-3y+2 = 0 d) r4  y = 
3
2
x-2
8. Indica a qué recta o rectas pertenecen los puntos A(-2,4), B(4,1), C(2,6) y C 1,5
2
:
a) r1  
x = -2+2k
y = 4-k
b) r2  
x+2
2
 = y-4
1
c) r3  5x+2y-22 = 0 d) r4  y = 
7
2
x-1
9. Indica un vector director v , un vector normal w , la pendiente m y la inclinación  de la recta:
a) r1  
x = -2
y = 2+3k
b) r2  
x-2
2
 = 3-y c) r3  x-2y+4 = 0 d) r4  y = 3
10. Escribe las otras expresiones de la ecuacion de la recta:
a) r  x = -1+2k
y = 2-k
b) r  2-x = 2y+3
2
c) r  2x+3y-5 = 0 d) r  y = -2x+1
Paralelas11. Indica si son paralelas las rectas:
a) r1  
x-2
2
 = y+1
-1
 ; r2  
x+2
-4
 = y-2
2
b) r1  2x-3y+2 = 0 ; r2  3x+2y-3 = 0 c) r1  y = 2x-2 ; r2  y = 4x-4
12. Indica si son paralelas las rectas:
a) r1  
x = 1-k
y = 2+2k
 ; r2  4x+2y-3 = 0 b) r1  2-x = 
y-1
-2
 ; r2  y = 2x+1 c) r1  2x-y+2 = 0 ; r2  y = 
1
2
x+3
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Recta en el plano 2
13. Determina el valor de k para que las rectas sean paralelas:
a) r1  
x-3
3
 = y-3
2
 ; r2  
x-4
k
 = y-5
-2
b) r1  kx+y-2 = 0 ; r2  4x+ky+k = 0 c) r1  y = 
2k
3
x+2 ; r2  y = 
6
k
x-2
14. Determina el valor de k para que las rectas sean paralelas:
a) r1  
x = 1+2
y = 2-
 ; r2  kx+4y-1 = 0 b) r1  
x+3
k
 = 1-y ; r2  y = 
k+3
2
x+1 c) r1  x-ky-k = 0 ; r2  y = kx+3
15. Calcula la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(-1,4) y es paralela a la recta r:
a) r  x = 3k
y = 2+k
b) r  3-x = y-1
3
c) r  2x-2y+3 = 0 d) r  y = -2x+7
16. Calcula la ecuación general de la recta r que pasa por el punto P(1,2) y es paralela a la que pasa por los puntos A(4,4) y B(2,5).
17. Indica la relación que debe existir entre a y b para que sean paralelas las rectas r1  y = 2x+1 y r2  ax+by-6 = 0.
18. Determina los valores de a y b, sabiendo que la recta r1 pasa por el punto A(-1,2) y es paralela a la recta r2:
a) r1  ax+by+2 = 0 ; r2  2x-3y+1 = 0 b) r1  ax+by+1 = 0 ; r2  y = - 
1
2
x+5
19.  Determina los valores de k y t, sabiendo que la recta r1  tx-ky+2 = 0 pasa por el punto A(-1,-1) y es paralela a la recta
r2  kx-y-1 = 0.
20.  Determina los valores de k y t, sabiendo que las rectas r1  4tx-ky-2t = 0, r2  kx-ty+1 = 0 y r3  2x-ty+3 = 0 son paralelas.
Perpendiculares21. Indica si son perpendiculares las rectas:
a) r1  
x+2
-2
 = y-2
1
 ; r2  
x-2
4
 = y-6
2
b) r1  2x-3y+2 = 0 ; r2  3x+2y-3 = 0 c) r1  y = 
3
2
x+ 5
2
 ; r2  y = 
14-2x
3
22. Indica si son perpendiculares las rectas:
a) r1  
x = 2-2k
y = 1+k
 ; r2  4x-2y+8 = 0 b) r1  2-x = 
y-1
-2
 ; r2  y = 2x+1 c) r1  2x+2y+2 = 0 ; r2  y = x+3
23. Determina el valor de k para que las rectas sean perpendiculares:
a) r1  
x-3
3
 = y-3
2
 ; r2  
x-4
k
 = y-5
-2
b) r1  kx-y-2k = 0 ; r2  kx+y+k = 0 c) r1  y = kx-2 ; r2  y = 
k-3
2
x+2
24. Determina el valor de k para que las rectas sean perpendiculares:
a) r1  
x = 1+2
y = 2-
 ; r2  kx+2y-1 = 0 b) r1  
3-x
2
 = y-1
k-1
 ; r2  y = kx+1 c) r1  kx+y+2 = 0 ; r2  y = 
k
2-k
x-2
25. Calcula la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(-1,4) y es perpendicular a la recta r:
a) r  x = 3k
y = 2+k
b) r  1-x = y-5
3
c) r  2x-2y+3 = 0 d) r  y = -2x+7
26. Calcula la ecuación general de la recta r que pasa por el punto P(1,2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos A(6,3) y
B(4,4).
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Recta en el plano 2
27. Indica la relación que debe existir entre a y b para que sean perpendiculares las rectas r1  y = 2x+1 y r2  ax+by-4 = 0.
28. Determina los valores de a y b, sabiendo que la recta r1 pasa por el punto A(-1,2) y es paralela a la recta r2:
a) r1  ax+by+2 = 0 ; r2  2x-3y+1 = 0 b) r1  ax+by+1 = 0 ; r2  y = - 
1
2
x+5
29.  Determina los valores de k y t, sabiendo que la recta r1  kx+ty+2 = 0 pasa por el punto A(-1,-1) y es perpendicular a la recta
r2  kx-y-1 = 0.
30.  Determina los valores de k y t, sabiendo que las rectas r1  2x-ty+5 = 0 y r2  2kx-ky-5 = 0 son perpendiculares a la 
recta r3  tx+ky-5 = 0.
Ángulos31. Calcula el ángulo que forman las rectas:
a) r1  
x-3
3
 = y-5
1
 ; r2  
x-6
2
 = y-1
-1
b) r1  2x+y+2 = 0 ; r2  4x+2y-3 = 0 c) r1  y = 
3
2
x- 3
2
 ; r2  y = 
15-3x
2
32. Calcula el ángulo que forman las rectas:
a) r1  
x = 4-2k
y = 1+k
 ; r2  y = 
1
2
x+3 b) r1  1-x = 
y-2
2
 ; r2  2x-2y-1 = 0 c) r1  x+2y-6 = 0 ; r2  y = 2x- 
1
2
33. Determina el valor de k para que las rectas formen un ángulo de 45º:
a) r1  
x = 2+
y = 1-2
 ; r2  x+ky+1 = 0 b) r1  
x-3
2
 = 1-y ; r2  y = 
1
k-1
x-1 c) r1  2x+ky-k = 0 ; r2  y = 4
34.  Determina el valor de k para que las rectas formen un ángulo de 60º:
a) r1  
x = 3+
y = 2+
 ; r2  x+ky-5 = 0 b) r1  
x-3
2
 = 1-y
2
 ; r2  y = 
2
k
x-2 c) r1  x-5 = 0 ; r2  y = - 
2
k
x+3
35.  Calcula el valor de a y b para que la recta r1 pase por el punto A y forme con la recta r2 un ángulo de 45º:
a) A(0,2), 
r1  ax+by+2 = 0
r2  
2-x
2
 = 3-y
b) A(4,1), 
r1  ax+by-1 = 0
r2  2x-y+1 = 0
c) A(6,6), 
r1  ax+by-9 = 0
r2  y = -x+6
36.  Determina la ecuación de la recta s que pasa por el punto (1,5) y forma un ángulo de 45º con la recta r:
a) r  x-3
3
 = y-2 b) r  x-y-1 = 0 c) r  y = - 1
2
x+ 11
2
37.  Dado el punto P(3,5), determina los puntos A de la recta r  x-3y+2 = 0 que hacen que el segmento PA forme un ángulo de
45º con r.
38.  Calcula el valor de a y b para que la recta s  ax+by-1 = 0 pase por el punto A y forme el mismo ángulo con las rectas r1 y r2.
a) A(4,2), 
r1  2x-y-1 = 0
r2  
x-5
2
 = 4-y
b) A 3,5
2
, 
r1  x-1 = 0
r2  3x+4y-29 = 0
c) A(4,4), 
r1  x-3y-2 = 0
r2  y = -3x+6
39.  Determina la ecuación de la recta s que pasa por el punto A y forma el mismo ángulo con las rectas r1 y r2:
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Recta en el plano 2
a) A(4,2), 
r1  4x+y-9 = 0
r2  
x-5
4
 = 4-y
b) A 3
2
,7
2
, 
r1  x-2y+1 = 0
r2 x-2y-13 = 0
c) A(1,2), 
r1  x-4 = 0
r2  y = 5
40.  Dado el punto P(2,1) y la recta r  x+y-8 = 0, se considera el segmento PA, siendo A(3,5) un punto de la recta. Si dicho
segmento forma con la recta un ángulo , indica otros puntos B de la recta que formen el mismo ángulo al considerar el segmento
PB correspondiente.
Incidencia41. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) r1  2x+y+2 = 0 ; r2  y = 
1
2
x+ 3
4
b) r1  x+2y-2 = 0 ; r2  
x-6
2
 = y-1
-1
c) r1  2x-y+1 = 0 ; r2  -4x+2y-2 = 0
42. Determina los valores de k para los que las rectas r1 y r2 son secantes.
a) r1  kx-2y+1 = 0 ; r2  y = 
1
k-1
x+2 b) r1  x+2ky-1 = 0 ; r2  
x-2
-2
 = y-1
k
43. Determina los valores de k y t para que las rectas r1 y r2 sean coincidentes.
a) r1  kx+ty+2 = 0 ; r2  
x-1
2
 = y-1
3
b) r1  kx+ty-1 = 0 ; r2  y = 2x- 
k
2
44. Comprueba que las rectas r1 y r2 son secantes y halla el punto de corte.
a) r1  x+3y-12 = 0 ; r2  x-2 = 
y-1
2
b) r1  
x-1
2
 = y-3
1
 ; r2  y = - 
1
2
x+5
45. Encuentra los puntos de intersección de las rectas:
a) 
r1  x+y-2 = 0
r2  2x-y+5 = 0
r3  x-3y+10 = 0
b) 
r1  x-3y+7 = 0
r2  y = 2x-1
r3  
x-4
1
 = y-2
2
c) 
r1  y = - 
1
3
x+6
r2  x-y-2 = 0
r3  
x-2
-1
 = y-3
2
46. Calcula los puntos de corte de la recta r  3x-4y+12 = 0 con los ejes de corrdenadas y escribe a ecuación canónica de la recta.
47. Calcula la ecuación de la recta s2, paralela a la recta s1  x-3y+3 = 0, que pasa por la intersección de las rectas r1  x+y-7 = 0 y
r2  2x-y+1 = 0.
48. Calcula la ecuación de la recta s2, perpendicular a la recta s1  y = -2x+2, que pasa por la intersección de las rectas r1  y = 2x-4
y r2  y = - 
1
3
x+ 16
3
.
49. Calcula la intersección de la recta r con la recta s perpendicular que pasa por A:
a) r  2x+y-10 = 0, A(-1,2) b) r  y = 3
2
x-1, A(-1,4)
50. Encuentra el punto P de la recta r  2x-3y-2 = 0 que esté más cerca del punto A(2,5).
Distancias51.  Calcula los puntos de la recta r que distan d unidades del punto A(5,6):
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Recta en el plano 2
a) r  x+2y-7 = 0 ; d = 5 b) r  x+3y-13 = 0 ; d = 2 5 c) r  x+y-5 = 0 ; d = 3 2
52. Calcula el punto de la recta r que equidista de los puntos A y B:
a) r  x-2y-2 = 0 ; A(1,2), B(3,6) b) r  2x-y-3 = 0 ; A(1,3), B(6,2) c) r  x+y-6 = 0 ; A(1,2), B(5,6)
53. Calcula la distancia del punto P a la recta r:
a) P(-1,5) ; r  2x-y-3 = 0 b) P(1,6) ; r  y = 3
4
x-1 c) P(3,1) ; r  y = 5
54. Calcula el valor de k para que la distancia del punto P a la recta r sea d:
a) P(k,3) ; r  2x+y-10 = 0 ; d = 5 b) P(3,4) ; r  x+y+k = 0 ; d = 2 2 c) P(1,6) ; r  kx-4y-4 = 0 ; d = 5
55. Halla la ecuación de la recta perpendicular a r que dista d unidades del punto A:
a) r  3x+4y-32 = 0 ; d = 2 ; A(2,2) b) r  x-y-3 = 0 ; d = 2 ; A(2,4)
56.  Dada la recta r  x-2y+1 = 0, encuentra los puntos P de la recta s  7x-2y-23 = 0 que distan de r 6 5
5
 unidades.
57.  Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y dista d unidades de punto B:
a) A(1,3) ; d = 3 ; B(6,3) b) A(3,6) ; d = 5 ; B(3,1) c) A(6,6) ; d = 4 ; B(2,1)
58. Calcula la distancia entre las rectas r y s:
a) r  x+3y-9 = 0 ; s  x+3y-18 = 0 b) r  4x-2y-9 = 0 ; s  y = 2x+3 c) r  x-3
3
 = y-2
-4
 ; s  3x-4y+14 = 0
59. Calcula el valor de k para que las rectas r y s disten entre sí d unidades:
a) r  x-2y+3 = 0
r  2x-4y+k = 0
 d = 5 b) r  x+y-6 = 0
r  2x+2y+k = 0
 d = 3 2
2
c) r  3x-4y+4 = 0
r  3x-4y+k = 0
 d = 2
60. Calcula la ecuación de la recta s que equidista de las rectas paralelas r1  x+3y-4 = 0 y r2  x+3y-18 = 0.
61. Calcula la ecuación de la recta s que dista d unidades de la recta r:
a) d = 5 ; r  2x-y-3 = 0 b) d = 2 ; r  3x+4y-1 = 0 c) d = 2 ; r  y = x
62.  Determina la ecuación de la recta s que forma un ángulo de 45º con la recta r  x-3y+10 = 0 y dista 5 unidades del punto
A(4,3).
Puntos y rectas63. Calcula la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r:
a) P(1,5) ; r  2x-y-7 = 0 b) P(6,5) ; r  y = -3x+7
64. Calcula la proyección ortogonal del segmento PQ sobre la recta r:
a) P(3,6) ; Q(4,3) b) P(2,6) ; Q(2,1)
65. Calcula el simétrico del punto A respecto de la recta r:
a) A(5,7) ; r  2x+4y-23 = 0 b) A(1,6) ; r  bisectriz del primer cuadrante
66. Calcula el simétrico del segmento AB respecto de la recta r:
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Recta en el plano 2
a) A(2,1), B(7,1) ; r  2x-4y+5 = 0 b) A(-6,4), B(-6,1) ; r  bisectriz del segundo cuadrante
67. Calcula la simétrica de la recta r  3x+y-8 = 0 respecto del eje de simetría s  2x-y-3 = 0.
68. Se va a construir una estación de bombeo en la orilla de un río para llevar agua a dos poblaciones. Se ha acotado y cuadriculado el
terreno, resultando estar los pueblos en los puntos A(1,4) y B(7,7). La orilla del río sigue en esa zona el recorrido de la recta
r  2x-4y-1 = 0. Indica el lugar de la orilla donde debe situarse la estación para que la canalización sea mínima.
69. Calcula la ecuación de la mediatriz del segmento AB:
a) A(1,4), B(6,2) b) A(1,5), B(5,1)
70. Si la recta r es la mediatriz del segmento AB y se conoce el extremo A, calcula el otro extremo:
a) r  2x+4y-23 = 0 ; A(5,7) b) r  bisectriz del primer cuadrante ; A(1,6)
71.  Determina el valor de a y b para que la recta r  ax-by-6 = 0 sea la mediartiz del segmento de extremos A(a,3) y B(6,b).
72. Calcula las bisectrices de las rectas r1 y r2:
a) r1  x+3y-12 = 0 ; r2  3x-y-6 = 0 b) r1  4x-3y-3 = 0 ; r2  y = 3
73. La recta s es una bisectriz de las rectas r1 y r2. Calcula la ecuación de r2, siendo:
a)  s  3x+y-11 = 0 ; r1  2x-y+1 = 0 b) s  x+2y-9 = 0 ; r1  3x-4y+13 = 0
74.  Calcula los números k y t para que una de las bisectrices de las rectas r1  kx-ty-1 = 0 r2  tx+ky-7 = 0 sea la recta
s  tx-2y+k = 0.
Triángulos75. Comprueba si el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo y determina su área:
a) A(1,2), B(6,1), C(3,6) b) A(1,1), B(5,2), C(4,6)
76. Determina el valor de k para que el triángulo de vértices A, B y C tenga el área que se indica:
a) A(1,5), B(3,1), C(k,4) ; Área: 9 u2 b) A(5,6), B(2,2), C(k,4) ; Área: 5 u2
77. Un triángulo rectágulo tiene el ángulo recto en el vértice A. También se conoce el vértice B y se sabe que el otro vértice C se
encuentra en la recta r. Calcula C y halla el área.
a) A(1,2), B(5,1) ; r  x+2y-14 = 0 b) A(3,1), B(6,2) ; r  x+y-8 = 0
78. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el segmento de extremos A y B. Calcula el vértice C, sabiendo que se encuentra en la
recta r y determina su área.
a) A(6,5), B(1,4) ; r  y = 2 b) A(2,5), B(6,2) ; r  2x-y-2 = 0
79. En un triángulo isósceles, el lado desigual es el segmento de extremos A y B. El otro vértice, C, se encuentra en la recta r. Calcula
C y halla el área.
a) A(2,1), B(6,3) ; r  x+y-8 = 0 b) A(1,4), B(4,1) ; r  x-6y+30 = 0
80.  El lado desigual de un triángulo isósceles es el segmento BC. Si conocemos los vértices A y B, y sabemos la longitud de BC,
calcula el vértice C y el área.
a) A(1,3), B(7,5) ; Longitud: 4 b) A(5,6), B(5,1) ; Longitud: 6
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Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Recta en el plano 2
81.  De un triángulo rectángulo se conoce el vértice A que contiene al ángulo recto, su área S y la recta r que contiene a la
hipotenusa. Calcula los vértices B y C.
a) A(5,1); S = 10 u2 ; r  y = x b) A(2,5) ; S = 5 u2 ; r  x = 4
82. De un triángulo isósceles se sabe que el lado desigual BC está en una recta r y se conoce el vértice opuesto A y su área S. Calcula
los vértices B y C.
a) r  y = 2x ; A(6,2) ; S = 10 u2 b) r  x-5y+4 = 0 ; A(2,9) ; S = 39
2
 u2
83. De un triángulo de 9 u2 de área se conocen dos vértices A y B, y se sabe que el lado BC se encuentra en una recta r. Calcula el
vértice C.
a)  A(6,5), B(3,2) ; r  2x+y-8 = 0 b) A(7,3), B(1,4) ; r  x = 1
84. De un triángulo se conocen dos vértices A y B, su área S y se sabe que el vértice C se encuentra en una recta r. Calcula C.
a) A(4,3), B(6,1) ; S = 4 u2 ; r  x-y+1 = 0 b) A(1,4), B(1,0) ; S = 6 u2 ; r  x+3y-16 = 0
85.  El lado desigual de un triángulo isósceles está definido por los vértices A y B. Si conocemos el área S, calcula el vértice C.
a) A(1,5), B(7,3) ; S = 10 u2 b) A(2,2), B(5,5) ; S = 15
2
 u2
86. Dado el triángulo de vértices A(1,3), B(7,1) y C(4,6), calcula:
a) Baricentro b) Ortocentro
87. Dado el triángulo de vértices A(1,2), B(3,-2) y C 19
3
,14
3
, calcula:
a) Circuncentro b) Incentro
Cuadriláteros88. Un cuadrado tiene dos lados opuestos en las rectas r1  4x-y-2 = 0 y r2  4x-y-19 = 0. Calcula su área.
89.  Dos vértices opuestos de un cuadrado se encuentran en los puntos A(1,4) y C(5,2). Calcula los otros vértices y su área.
90. Un cuadrado tiene un vértice en el punto A(1,1) y un lado se encuentra en la recta r  x-y+4 = 0. Calcula los otros vértices y el
área.
91.  Un cuadrado de 10 u2 de área tiene el lado AB en la recta r  x+3y-5 = 0. Si conocemos el vértice A(2,1), calcula los otros
vértices.
92. Una diagonal de un rombo tiene de extremos B(1,4) y D(5,2). Además, se sabe que el vértice A se encuentra en la recta
r  x-3y+16 = 0. Calcula los vértices A y C y determina su área.
93. Un rombo tiene la diagonal BD sobre la recta r  x+y-6 = 0. Si conocemos los vértices A(6,6) y B(1,5), calcula los vértices C y D
y determina su área.
94. Un rombo de 12 u2 de área tiene la diagonal BD sobre la recta r  x-y = 0. Si conocemos el vértice A(1,7), calcula los otros
vértices.
95.  De un rectángulo se conocen los vértices A(7,6) y C(1,2) y se sabe que el vértice B se encuentra en la recta r  x-y+5 = 0.
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Geometría analítica
Recta en el plano 2
Determina los vértices B y D y halla su área.
96.  De un rectángulo de 20 u2 de área se conoce el vértice B(-2,1) y se sabe que la diagonal AC se encuentra en la recta
r  x+y-3 = 0. Calcula los otros vértices.
97. Un trapecio está definido por los vértices A(1,4), B(5,1) y los simétricos de estos respecto de la recta r  x+3y-18 = 0.
Determina los otros dos vértices y calcula el área.
 Soluciones
1.a) x = -2+2k
y = 3-k
; x+2
2
 = y-3
-1
 1.b) x = -2+3k
y = 1+k
; x+2
3
 = y-1
1
 1.c) x = 6+2k
y = 5+k
; x-6
2
 = y-5
1
 1.d) x = k
y = 4
; no 2.a) x = 1-k
y = 2+2k
; x-1
-1
 = y-2
2
 2.b) x = -2
y = k
; no 2.c)
x = 5
3
+2k
y = 5+3k
; 
x- 5
3
2
 = y-5
3
 3. x+y-2 = 0; x-y+3 = 0 3.a) 2x+y-1 = 0 3.b) x-2y-7 = 0 3.c) 2x+y-6 = 0 3.d) x-y-5 = 0 4. 5, -3 4.a) x-3y+5 = 0 4.b) x-3 = 0 4.c)
2x+3y-8 = 0 5. 2x-y+2 = 0 5.a) y = - 1
3
x+1 5.b) y = 2
3
x+3 5.c) y = 2x+1 5.d) y = -x+6 6. 1,5
3
 6.a) y = -3x+1 6.b) y = 3 6.c) y = 2
3
x+3 7. 0 7.a)
P(1+3k,2+2k) 7.b) P x,-2x-1
3
 7.c) P x,2x+2
3
 7.d) P x,3x-4
2
 8. 2 5
15
 8.a) A, B, D 8.b) A, C 8.c) B, C 8.d) C, D 9. x = 0; 7x+24y-96 = 0 9.a) (0,1), (1,0), no,
90º 9.b) (2,-1), (1,2), - 1
2
, 153º26'6'' 9.c) (2,1), (1,-2), 1
2
, 26º33'54'' 9.d) (1,0), (0,1), 0, 0 10. 2x-8y-11 = 0 10.a) x+1
2
 = y-2
-1
; x+2y-3 = 0; y = - 1
2
x+ 3
2
; x
3
 + y
3
2
 = 1
10.b) 
x = 2-k
y = - 3
2
 +k; 2x+2y-1 = 0; y = -x+ 
1
2
; x
1
2
 + y
1
2
 = 1 10.c) x = 1+3k
y = 1-2k
; x-1
3
 = y-1
-2
; y = - 2
3
x+ 5
3
; x
5
2
 + y
5
3
 = 1 10.d) x = k
y = 1-2k
; x
1
 = y-1
-2
; 2x+y-1 = 0; x
1
2
 + y
1
 = 1 11.a)
si 11.b) no 11.c) no 12.a) si 12.b) si 12.c) no 13.a) -3 13.b) -2, 2 13.c) -3, 3 14. p= 2 5+ 10; A=5
2
 14.a) 2 14.b) -2, -1 14.c) -1, 1 15.a) x = -1+3k
y = 4+k
15.b) x+1
-1
 = y-4
3
 15.c) x-y+5 = 0 15.d) y = -2x+2 16. x+2y-5 = 0 17. a = -2b (b0) 18.a) 1
2
, - 3
4
 18.b) - 1
3
, - 2
3
 19. 2, 4; -1, 1 20. 2, 1; 2, -1 21.a) no 21.b) si
21.c) si 22.a) si 22.b) no 22.c) si 23.a) 4
3
 23.b) 1, -1 23.c) 2, 1 24.a) -4 24.b) 2, -1 24.c) 1, -2 25.a) x = -1+k
y = 4-3k
 25.b) x+1
3
 = y-4
1
 25.c) x+y-3 = 0 25.d)
y = 1
2
x+ 9
2
 26. 2x-y = 0 27. b = 2a (a0) 28.a) -6, -4 28.b) 1
2
, - 1
4
 29. 1, 1; -2, 4 30. 2, 1 31.a) 45º 31.b) 0 31.c) 67º22'48'' 32.a) 53º7'48'' 32.b)
71º33'54'' 32.c) 90º 33.a) - 1
3
, 3 33.b) 4, 2
3
 33.c) 2, -2 34.a) 2+ 3, 2- 3 34.b) 4+2 3, 4-2 3 34.c) 2 3, -2 3 35.a) 3, -1; - 1
3
, -1 35.b) 1, -3; 3
13
, 1
13
35.c) 3
2
, 0; 0, 3
2
 36.a) x+2y-11 = 0; 2x-y+3 = 0 36.b) x-1 = 0; y-5 = 0 36.c) 3x+y-8 = 0; x-3y+14 = 0 37. (1,1), (7,3) 38.a) 3
14
, 1
14
; - 1
2
, 3
2
 38.b) 4
17
, 2
17
; - 1
2
, 1 38.c)
1
2
, - 1
4
; 1
12
, 1
6
 39.a) x+y-6 = 0; x-y-2 = 0 39.b) 2x-3 = 0; 2y-7 = 0 39.c) x+y-3 = 0; x-y+1 = 0 40. (6,2) 41.a) secantes 41.b) paralelas 41.c) coincidentes 42.a) k
 {-1,1,2} (k) 42.b) k  {-1,0,1} (k) 43.a) -6, 4 43.b) -2, 1; 2, -1 44.a) (3,3) 44.b) 5
2
,15
4
 45.a) r1r2r3: (-1,3) 45.b) r1r2: (2,3); r1r3: (4,5); r2//r3
45.c) r1r2: (6,4); r1r3: 
3
5
,29
5
; r2r3: (3,1) 46. (-4,0), (0,3); 
x
-4
 + y
3
 = 1 47. x-3y+13 = 0 48. y = 1
2
x+2 49.a) (3,4) 49.b) (2,2) 50. (4,2) 51.a) (1,3), (5,1)
51.b) (1,4), (7,2) 51.c) (2,3) 52.a) (6,2) 52.b) (4,5) 52.c) no 53.a) 2 5 53.b) 5 53.c) 4 54.a) 1, 6 54.b) -3, -11 54.c) 3, 16
3
 55.a) 4x-3y+8 = 0; 4x-3y-12
= 0 55.b) x+y-4 = 0; x+y-8 = 0 56. (3,-1), (5,6) 57.a) 3x+4y-15 = 0; 3x-4y+9 = 0 57.b) 2x+y-12 = 0; 2x-y = 0 57.c) x-6 = 0; 9x-40y+186 = 0 58.a) 9 10
10
 58.b)
3 5
2
 58.c) 3 59.a) 16, -4 59.b) -6, -18 59.c) 14, -6 60. x+3y-11 = 0 61.a) 2x-y+2 = 0; 2x-y-8 = 0 61.b) 3x+4y+9 = 0; 3x+4y-11 = 0 61.c) y = x+2 2; y = x-2 2
62. x+2y-5 = 0; x+2y-15 = 0; 2x-y = 0; 2x-y-5 = 0 63.a) (5,3) 63.b) 6
5
,17
5
 64.a) (1,2)-(3,1) 64.b) 7
2
,9
2
-(1,2) 65.a) (2,1) 65.b) (6,1) 66.a) (1,3)-(4,7) 66.b)
(-4,6)-(-1,6) 67. x-3y+2 = 0 68. 11
2
,5
2
 69.a) 10x-4y-23 = 0 69.b) y = x 70.a) (2,1) 70.b) (6,1) 71. 2, 1; -8, 4 72.a) x-2y+3 = 0; 2x+y-9 = 0 72.b) x-2y+3 = 0;
2x+y-9 = 0 73.a) x+2y-12 = 0 73.b) x = 1 74. 3, 1 75.a) no; 11 75.b) si; 17
2
 76.a) 6, -3 76.b) 6, 1 77.a) (2,6); 17
2
 77.b) (1,7); 10 78.a) (4,2), 13
2
; (3,2), 6
78.b) (4,6), 5; (2,2), 6 79.a) (2,6), 10 79.b) (6,6), 21
2
 80.a) (7,1), 23
5
,41
5
; 12 80.b) 49
5
,23
5
, 1
5
,23
5
; 12 81.a) (2,2), (7,7); (-1,-1), (4,4) 81.b) (4,4), (4,9); (4,1),
(4,6) 82.a) (3,6), (1,2) 82.b) (1,1), (6,2) 83.a) (1,6), (5,-2) 83.b) (1,7), (1,1) 84.a) (5,6), (1,2) 84.b) (4,4), (-2,6) 85.a) (5,7), (3,1) 85.b) (6,1), (1,6) 86.a)
4,10
3
 86.b) 7
2
,9
2
 87.a) 14
3
,4
3
 87.b) 3,4
3
 88. 17 89. (2,1), (4,5); 10 90. (-1,3), (1,5), (3,3); (-1,3), (-3,1), (-1,-1); 8 91. (5,0), (6,3), (3,4); (5,0), (4,-3), (1,-2);
(-1,2), (0,5), (3,4); (-1,2), (-2,-1), (1,-2) 92. (5,7), (1,-1); 20 93. (0,0), (5,1); 24 94. (3,3), (7,1), (5,5) 95. (2,7), (6,1), 26; (1,6), (7,2), 24 96. (-1,4), (4,-1), (5,2); -4,7),
(1,2), (-1,8) 97. (7,7), (2,7); 45
2
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