Geometría analítica Vectores en el plano Colección 2

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
Vector fijo1. Representa gráficamente el vector AB y calcula sus componentes:
a) A(-1,3), B(4,1) b) A(1,3), B(5,3) c) A 9
2
,1 , B 1,9
2
2. Representa gráficamente el vector AB y calcula su extremo B:
a) A(4,5), AB = (-5,-4) b) A(3,-1), AB = (0,5) c) A 1
2
,5 , AB = 4,- 7
2
3. Representa gráficamente el vector AB y calcula su origen A:
a) B(5,5), AB = (4,5) b) B(-1,2), AB = (-5,0) c) B 3
2
,-1 , AB = - 5
2
,- 11
2
4. Calcula el módulo del vector AB :
a) A(2,2), B(6,5) b) A(4,5), B(4,0) c) A 3
2
,11
2
, B 6,3
2
5. Dados los puntos A y B, determina el valor de k para que el módulo del vector AB sea 5:
a) A(2,3), B(-1,k) b) A(-1,k), B(4,3) c) A(5,5), B(k,11)
6. Comprueba si los vectores AB y CD tienen la misma dirección:
a) A(-1,2), B(3,4), C(3,1), D(-3,-2) b) A(-1,-2), B(-3,4), C(3,-1), D(1,4)
7. Dados los puntos A, B, C y D, determina el valor de k para que los vectores AB y CD tengan la misma dirección:
a) A(3,3), B(-2,2), C(-3,k), D(2,-1) b) A(0,4), B(2,1), C(k,0), D(2,k) c) A(-1,1), B(k,3), C(2,2), D(4,k)
8. Comprueba si los vectores AB y CD tienen el mismo sentido:
a) A(-1,2), B(3,4), C(3,1), D(-3,-2) b) A(-3,2), B(-1,-1), C(-1,4), D(3,-2) c) A(-1,-2), B(-3,4), C(3,-1), D(1,4)
9. Dados los puntos A, B, C y D, determina el valor de k para que los vectores AB y CD tengan el mismo sentido:
a) A(3,1), B(2,3), C(1,k), D(-2,3) b) A(2,1), B(2,4), C(5,2), D(5,k) c) A(2,-2), B(-2,k), C(2,4), D(k,1)
10. Dados los puntos A, B, C y D, determina el k y t para que los vectores AB y CD tengan igual módulo y dirección:
a) A(1,6), B(4,2), C(1,2), D(k,t) b) A(2,-1), B(k,3), C(4,1), D(2,t) c) A(3,t), B(k,2), C(-t,4), D(1,k)
Vector libre11. Escribe y representa gráficamente tres vectores fijos representantes del vector libre v :
a) v = (4,-2) b) v = (0,5) c) v = -2,- 5
2
12. Calcula el módulo del vector v :
a) v = (-3,-4) b) v = (-4,0) c) v = 5
2
,- 1
2
13. Determina el valor de k para que el módulo del vector v sea el que se indica:
a) v = (-3,k), v = 5 b) v = (k-2,k), v = 2 c) v = (k,-4), v = 4
14. Comprueba si los vectores u y v son de igual dirección:
Resolución: masmates.com Página 1 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030000
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030100
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
a) u = (4,-6); v = (-6,9) b) u = (0,-3); v = (-4,0) c) u = 3
2
,- 9
4
; v = - 5
3
,5
2
15. Determina el valor de k para que los vectores u y v sean de igual dirección:
a) u = (k,-6); v = (2,4) b) u = (k,3); v = (k+2,-1) c) u = (2,k-1); v = (k-2,6)
16. Comprueba si los vectores u y v tienen el mismo sentido:
a) u = (2,-3); v = (4,-6) b) u = (4,-2); v = (-6,3) c) u = - 7
2
,13
2
; v = - 5
2
,9
2
17. Determina el valor de k para que los vectores u y v sean del mismo sentido:
a) u = (-4,k); v = (k,-1) b) u = (k,3); v = (2,k-1) c) u = 3
2
,k+2 ; v = 9
2
,k-2
18. Determina k y t para que los vectores u y v tengan igual módulo y dirección:
a) u = (-2,3); v = (k+1,t-1) b) u = (-2,k-3); v = (t+3,4) c) u = (k-2,t-1); v = (t+4,1-k)
19. Encuentra un vector v de módulo 5 que tenga igual dirección que el vector u = (-1,3).
20. Determina k y t sabiendo que los vectores u = (2,-4) y v = (k,t) tienen la misma dirección, y v = 5.
Operaciones21. Calcula y representa gráficamente las operaciones con los vectores a = (3,1), b = (-2,3) y c = (4,-2):
a) a - b b) a + b - c c) -a - b + c
22. Dados los vectores a = (3,-2) y c = (4,-2), calcula el vector b , siendo:
a) a - b = (-3,-6) b) a + b - c = (-3,4) c) a - b - c = (2,-4)
23. Dados los vectores a = (k-1,2), b = (t-1,k+1) y c = (1-k,2-t), calcula k y t para que se cumpla:
a) a - b = (2,-3) b) a + b - c = (3,4) c) a - b - c = (-5,0)
24. Calcula y representa gráficamente la operación que se indica con cada vector:
a) a = (1,-3)  2a b) b = (6,-9)  - 1
6
b c) c = - 2
3
,5
6
  6 c
25. Encuentra el número por el que hay que multiplicar el vector u para obtener el vector v :
a) u = (3,-6) ; v = (-1,2) b) u = 2
3
,3
2
 ; v = (4,9) c) u = (1,-3) ; v = (2,6)
26. Encuentra un vector v con igual dirección que u y con el módulo que se indica:
a) u = (3,-4) ; v = 1 b) u = (-1,-2) ; v = 5 c) u = 5
2
,0 ; v = 4
27. Calcula las operaciones que se indican con los vectores a = (2,-3), b = (3,2) y c = (1,2):
a) 2a - 3b b) a - 2b + 3 c c) 2a - 3 b - 2 c
28. Dados los vectores a = (2,-2) y c = (-1,2), calcula el vector b , siendo:
a) 3a - 2b = (2,-4) b) a + 3b - 2 c = (1,0) c) 2a - 2 b - 2 c = (2,2)
Resolución: masmates.com Página 2 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030200
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
29. Encuentra los valores de x e y para que se cumpla: v = xa + yb , siendo v = (2,3) y:
a) a = (2,-1) ; b = (-2,3) b) a = (3,-2) ; b = (-4,-6) c) a = (2,-3) ; b = (-4,6)
30. Encuentra los valores de x, y, z, sabiendo que su suma es nula y se cumple: v = xa + yb + z c , siendo:
v = (-2,2) ; a = (1,-2) ; b = (2,-) y c = (2,3)
Producto escalar31. Calcula el producto escalar de los vectores:
a) u = (-2,3) ; v = (-3,2) b) u = (-2,4) ; v = (2,1) c) u = -2,3
2
 ; v = -1,2
3
32. Dados los vectores u y v , hallar el valor de k para que producto escalar sea -2:
a) u = (k+1,2) ; v = (-4,1) b) u = (k-4,4) ; v = (2,1-k) c) u = (k+1,2) ; v = (k+2,-3)
33. Dados los vectores a = (-2,3), b = (3,-4) y c = (4,-2), realiza las operaciones:
a) 2a b · c b) a 3b -2 c c) a -2b b -3 c
34. Dados los vectores a = (-1,2), b = (k,-2) y c = (-4,k), halla el valor de k, sabiendo que se cumple:
a) a b -2 c = -27 b) 2a -b 2b +3 c = 60 c) a ·b · c = (28,-21)
35. Encuentra el vector c que cumple: a · c = 6 y b · c = -4, siendo:
a) a = (-2,2) ; b = (1,-2) b) a = (-1,-3) ; b = (4,4) c) a = (-2,4) ; b = (1,-2)
36. Encuentra un vector v con igual dirección que u y con producto escalar: u · v = -10, siendo:
a) u = (-4,2) b) u = (-4,3) c) u = 5
2
,0
37. Calcula un vector v de módulo 5, cuyo producto escalar con el vector u = (1,2) valga 2.
38. Halla x e y sabiendo que u y v son de igual dirección y su producto escalar es el que se indica:
a) u = (x,2), v = (-3,y) ; u · v = -15 b) u = (x,1), v = (1,y) ; u · v = 13
6
c) u = (x,2), v = (y,-3) ; u · v = - 15
2
39. Dados los vectores a = (1,-k), b = (k,-t) y c = (t,4), determina el valor de k y t sabiendo que se cumple: a ·b = -4 y b · c = 6.
40. Dados los vectores a = (2,x), b = (y,2) y c = (3,z), determina el valor de x, y, z, sabiendo que se cumple: a ·b = 4, a · c = 0 y
b · c = -7.
Ángulos41. Calcula el ángulo que forman los vectores:
a) u = (4,3) ; v = (4,-3) b) u = (4,2) ; v = (-3,1) c) u = (-2,4) ; v = (3,-2)
42. Determina el valor de k para que los vectores u y v formen el ángulo  que se indica:
a) u = (2,-2), v = (1,k) ;  = 30º b) u = (1,3), v = (k,2) ;  = 45º c) u = (-2,2), v = (2,k) ;  = 120º
43. Encuentra los vectores v que forman con el vector u un ángulo , siendo:
a) u = (0,-4), v = 4 ;  = 45º b) u = (2,-2), v = 3 2 ;  = 120º c) u = (4,-3), v = 2 3 ;  = 30º
44. Determina los valores de k y t para que los vectores u = (k,2) y v = (t,0) tengan el mismo módulo y formen un ángulo de 45º.
Resolución: masmates.com Página 3 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030300
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030400
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
45. Calcula la proyección ortogonal del vector u sobre el v :
a) u = (3,2) ; v = (4,-2) b) u = (4,1) ;v = (-2,1) c) u = (0,-4) ; v = (2,2)
46. Determina el valor de k para que la proyección ortogonal del vector u sobre el v sea la que se indica:
a) 
u = (k,2)
v = (2,-1)
 ; proy
v
u = (4,-2) b) 
u = (5,1)
v = (k,1)
 ; proy
v
u = (2,-2) c) 
u = (2k,0)
v = (-2,k)
 ; proy
v
u = (2,-2)
47. Encuentra el vector u que cumple las siguientes condiciones:
a) 
u = 5
v = (2,1)
 ; proy
v
u = (-2,-1) b) 
u = 2 5
v = (6,-2)
 ; proy
v
u = (3,-1) c) 
u = 5
v = (0,-2)
 ; proy
v
u = (0,4)
48. Encuentra un vector v de módulo 2 5, sabiendo que al proiyectar un vector u sobre él se obtiene: proy
v
u = (2,-1)
49. Sabiendo que el módulo del vector u es 3, el del vector v es 5 y que forman un ángulo de 60º, calcula el módulo del vector u + v .
50. Sabiendo que el módulo del vector u es 4, el del vector v es 2 y el de la suma u + v es 5, calcula el ángulo que forman u y v .
Vectores ortogonales51. Comprueba si los vectores son ortogonales:
a) u = (-4,2) ; v = (1,2) b) u = 3
2
,-2 ; v = (-4,-3) c) u = (5,2) ; v = (1,-3)
52. Determina el valor de k para que los vectores u y v sean ortogonales:
a) u = (k-1,2) ; v = (2,-3) b) u = (4,k-2) ; v = (1-k,3) c) u = (k-2,3) ; v = (3-k,4)
53. Encuentra los vectores v ortogonales a u y con el módulo que se indica:
a) u = (4,-2) ; v = 1 b) u = (4,3) ; v = 3 c) u = (2,-1) ; v = 2 5
54. Calcula un vector w sabiendo que es ortogonal a u y su producto escalar con v es el que se indica:
a) 
u = (2,-3)
v = (-2,4)
 ; w · v = 2 b) 
u = (3,-4)
v = (-2,3)
 ; w · v = 1 c) 
u = (-1,2)
v = (2,-4)
 ; w · v = 3
55. Calcula el valor de k y t para que los vectores u y v sean ortogonales y se verifique la operación:
a) 
u = (k,4)
v = (t,-1)
 ; u + v = (-4,3) b) 
u = (k+2,-2)
v = (1-t,1)
 ; 2 u - v = (0,-5) c) 
u = (6,3k-2)
v = (2,2t+1)
 ; 1
2
u - 2 v = (-1,8)
56. Calcula el valor de k y t para que los vectores u y v sean ortogonales y al multiplicarlos escalarmente por el vector w se obtenga
el mismo valor:
a) u = (k+1,2), v = (2,t-2) ; w = (-5,1) b) u = (k-1,-4), v = (2,1-t) ; w = -3,2
3
c) u = (k+4,4), v = (t-3,-3) ; w = (7,1)
57. Encuentra dos vectores ortogonales u y v que cumplan:
a) v = u ; u + v = (1,-3) b) v = u ; 2 u - v = (5,5) c) v = 1
2
u ; u + v = (5,0)
58. Dado el vector w , encuentra dos vectores ortogonales u y v que cumplan:
Resolución: masmates.com Página 4 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030500
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
a) w = (2,1) ; 
v = u
u ·w = v ·w = 5
b) w = (7,1) ; 
v = u
u ·w = v ·w = 25
c) w = 4, 1
2
 ; 
v = 2· u
u ·w = v ·w = 13
59. Calcula el valor de k y t para que los vectores u = (1,k-1) y v = (6,t+1) sean ortogonales y al proyectar ortogonalmente el vector
v sobre el vector w = (2,-1) se obtenga el vector proy
w
v = (4,-2).
60. Calcula un vector v que sea ortogonal al vector u = (4,3) y al proyectarlo ortogonalmente sobre el vector w = (2,4) se obtenga el
vector proy
w
v = (-1,-2).
Combinación lineal. Base61. Determina si los vectores u y v son linealmente dependientes:
a) u = (-2,6), v = (3,-9) b) u = 2,- 8
3
, v = 9
2
,-6 c) u = (4,2), v = (-2,3)
62. Determina si los vectores u , v y w son linealmente dependientes:
a) u = (2,-1), v = (2,-3), w = (4,6) b) u = (1,-2), v = (2,2), w = (3,-1)
63. Expresa, si es posible, el vector u como combinación lineal de los vectores a y b :
a) a = (-4,2), b = (8,4) ; u = (-6,3) b) a = (2,-3), b = (-4,6) ; u = (3,-2) c) a = (1,-3), b = (2,-1) ; u = (-4,-3)
64. Expresa, si es posible, el vector u como combinación lineal de los vectores a , b y c :
a) a = (2,3), b = (2,1), c = (3,-2) ; u = (-5,5) b) a = (6,-3), b = (4,-2), c = -3,3
2
 ; u = (5,-3)
65. Indica si los vectores a ,b forman una base de los vectores del plano y, en caso afirmativo, qué tipo de base es.
a) 
a = (2,-1)
b = (2,1)
b) 
a = (2,-4)
b = (-3,6)
c) 
a = (2,2)
b = (-2,1)
d) 
a = 4
5
,3
5
b = - 3
5
,4
5
66. Calcula las componentes del vector u respecto de la base B a ,b :
a) u = (1,4) ; a = (2,-1), b = (1,-2) b) u = (3,-2) ; a = (2,-3), b = (-4,6) c) u = (5,-4) ; a = (1,1), b = (-1,2)
67. Calcula las componentes del vector u en la base canónica, conocidas las que tiene en la base B a ,b :
a) uB = (-2,-3) ; a = (2,1), b = (1,2) b) uB = (2,-3) ; a = (2,0), b = (1,1) c) uB = (-2,3) ; a = (2,-1), b = (2,1)
68. Dadas las componentes del vector u en la base B a ,b , calcula las que tiene en la base B c ,d :
a) uB = (-1,4) ; 
a = (2,-1), b = (1,-2)
c = (2,-1), d = (2,1)
b) uB = (1,4) ; 
a = (2,-1), b = (1,1)
c = (1,-1), d = (2,1)
c) uB = (3,-2) ; 
a = (2,1), b = (1,2)
c = (2,-1), d = (1,-2)
69. Calcula los valores de k y t para que el vector u = (6,2) tenga en la base ortogonal B a ,b , formada por los vectores a = (2,k)
y b = (2,t), las componentes: uB = (1,2).
70. Calcula dos vectores de igual módulo, sabiendo que en la base ortogonal que forman, B a ,b , el vector u = (2,-6) tiene de
componentes uB = (2,-2).
Resolución: masmates.com Página 5 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030600
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
Aplicaciones71. Calcula la distancia que hay entre los puntos A(1,-2) y B(3,4).
72. Determina el valor de k que hace que la distancia entre los puntos A(-1,1) y B(k,5) sea 5.
73. Determina el valor de k que hace que el punto C(3,k) equidiste de los puntos A(1,1) y B(7,3).
74. Encuentra el punto C que equidista de los puntos P(2,1), Q(-2,5) y R(-2,-1).
75. Encuentra los puntos que distan 5 unidades de los puntos A(1,1) y B(5,3).
76. Divide el segmento de extremos A(0,1) y B(6,4) en tres partes iguales.
77. Calcula el punto medio del segmento de extremos A(-1,5) y B(5,-1).
78. Calcula el simétrico del punto A(2,-1) respecto del punto C(4,2).
79. Comprueba si los puntos A, B y C están alineados.
a) A(4,-5), B(2,0), C(1,3) b) A(-1,-2), B(-3,4), C(3,-1)
80. Determina k para que el punto C(k,1) pertenezca a la recta que pasa por los puntos A(3,4) y B(7,7).
81. Comprueba que los puntos A(3,-3), B(4,4) y C(1,3) forman un triángulo rectángulo y calcula su área.
82. Determina k para que el triángulo de vértices A(6,0), B(2,7) y C(k,4) sea rectángulo en C y calcula su área.
83. En un triángulo isósceles y rectángulo la hipotenusa es el segmento de extremos (1,4) y (6,3). Calcula el otro vértice del triángulo.
84. Del paralelogramo ABCD conocemos los vértices A(-2,3), B(-1,-1) y C(4,1). Halla el vértice D.
85. Clasifica el cuadrilátero de vértices A(0,4), B(3,0), C(6,4) y D(3,8) y calcula su área.
86. Clasifica el cuadrilátero de vértices A(1,1), B(7,3), C(6,6) y D(3,5) y calcula su área.
87. Un cuadrado tiene su centro en el punto M(3,3) y dos vértices consecutivos son A(1,0) y B(6,1). Calcula los otros dos vértices y
halla su área.
88. Un rectángulo tiene la base doble de la altura y dos vértices opuestos son (4,11) y (6,0). Calcula los otros dos vértices y halla su
área.
Resolución: masmates.com Página 6 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm
www.masmates.com/mm170203.htm?mm02030700
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el plano 2
 Soluciones
1.a) (5,-2) 1.b) (4,0) 1.c) - 7
2
,7
2
 2.a) B(-1,1) 2.b)
 B(3,4) 2.c) B 9
2
,3
2
 3.a) A(1,0) 3.b) A(4,2) 3.c) 
A 4,9
2
 4.a) 5 4.b) 5 4.c) 145
2
 5.a) 7, -1 5.b) 3 5.c) no 6.a) si 6.b) no 7.a) -2 7.b) 6 7.c) 3, -2 8.a) no 8.b) si 8.c) no 9.a) -3 9.b) k > 2 9.c)
-4 10.a) 4, -2; -2, 6 10.b) 0, 5; 4, -3 10.c) 5, 1; 2, 0 12.a) 5 12.b) 4 12.c) 26
2
 13.a) 4 13.b) 0, 2 13.c) 0 14.a) si14.b) no 14.c) si 15.a) -3 15.b)
- 3
2
 15.c) 5, -2 16.a) si 16.b) no 16.c) no 17.a) -2 17.b) 3 17.c) -4 18.a) -3, -4; 1, -2 18.b) 7, -5; -1, -1 18.c) 4, -2; -1, -1 19. - 10
2
,3 10
2
,
10
2
,- 3 10
2
 20. 5,-2 5 , - 5,2 5 21.a) (5,-2) 21.b) (-3,6) 21.c) (3,-6) 22.a) (6,4)
22.b) (-2,4) 22.c) (-3,4) 23.a) 4, 2 23.b) 3, 0 23.c) -3, -2 24.a) (2,-6) 24.b) -1,3
2
 24.c) (-4,5)
25.a) - 1
3
 25.b) 6 25.c) no 26.a) 3
5
,- 4
5
 26.b) - 5,-2 5 26.c) (4,0) 27.a) (-5,-12) 27.b) (-1,-1) 27.c) (1,0) 28.a) (2,-1) 28.b) (-1,2) 28.c) (-1,1)
29.a) 3, 2 29.b) 0, - 1
2
 29.c) no 30. 2, -3, 1 31.a) 12 31.b) 0 31.c) 3 32.a) 0 32.b) -1 32.c) 2, -3 33.a) (-80,120) 33.b) -26 33.c) 94 34.a) 3 34.b)
3, 10 34.c) 3 35.a) (-2,1) 35.b) 3
2
,- 5
2
 35.c) no 36.a) (2,-1) 36.b) 8
5
,- 6
5
 36.c) (-4,0) 37. (-4,3), 24
5
,- 7
5
 38.a) 4, - 3
2
; 1, -6 38.b) 2
3
, 3
2
; 3
2
, 2
3
 38.c) 1,
- 3
2
; -1, 3
2
 39. -8, - 1
2
; 2, -3 40. 3, -1, -2; 4
3
, 2
3
, - 9
2
 41.a) 81º55'59'' 41.b) 135º 41.c) 150º15'18'' 42.a) -2+ 3, -2- 3 42.b) 4, -1 42.c) 4-2 3 43.a)
2 2,-2 2 , -2 2,-2 2 43.b) -3+3 3
2
,3+3 3
2
, -3-3 3
2
,3-3 3
2
 43.c) 12+3 3
5
,-9+4 3
5
, 12-3 3
5
,-9-4 3
5
 44. 2, 2 2; -2, -2 2 45.a) 8
5
, - 4
5
45.b) 14
5
, - 7
5
 45.c) (-2.-2) 46.a) 6 46.b) -1 46.c) 2 47.a) (0,-5), (-4,3) 47.b) (4,2), (2,-4) 47.c) (3,4), (-3,4) 48. (4,-2), (-4,2) 49. 7 50. 71º47'24''
51.a) si 51.b) si 51.c) no 52.a) 4 52.b) -2 52.c) 6, -1 53.a) 5
5
,2 5
5
, - 5
5
,- 2 5
5
 53.b) 9
5
,- 12
5
, - 9
5
,12
5
 53.c) (2,4), (-2,-4) 54.a) (3,2) 54.b)
(4,3) 54.c) no 55.a) -2, -2 55.b) -1, -1; -3, 3 55.c) 14
3
, -1; 2, -2 56.a) 2, -1 56.b) 2, 1
2
 56.c) -8, 0; -1, 7 57.a) (2,-1), (-1,-2); (-1,-2), (2,-1) 57.b) (3,1), (1,-3);
(1,3), (-3,1) 57.c) (4,-2), (1,2); (4,2), (1,-2) 58.a) (1,3), (3,-1); (3,-1), (1,3) 58.b) (3,4), (4,-3); (4,-3), (3,4) 58.c) (3,2), (4,-6); 17
5
,- 6
5
, 12
5
,34
5
 59. -2, 1 60. (3,-4)
61.a) si 61.b) si 61.c) no 62.a) si 62.b) si 63.a) a - 1
4
b 63.b) no 63.c) 2 a -3 b 64.a) 2 a -3 b - c (no es única) 64.b) no 65.a) si 65.b) no 65.c) si;
ortogonal 65.d) si; ortonormal 66.a) (2,-3) 66.b) (3,-2) 66.c) (2,-3) 67.a) (-7,-8) 67.b) (1,-3) 67.c) (2,5) 68.a) (4,-3) 68.b) (0,3) 68.c) 7
3
,- 3
2
 69. -2, 2;
4, -1 70. (-1,-2), (-2,1); (2,-1), (1,2) 71. 2 5 72. -2, 4 73. 5 74. (-1,2) 75. (1,6), (5,-2) 76. (2,2), (4,3) 77. (2,2) 78. (6,5) 79.a) no 79.b) si 80. -1 81.
10 82. 0, 13; 8, 15 83. (4,6), (3,1) 84. (3,5) 85. rombo; 24 86. trapecio rectángulo; 15 87. (5,6), (0,5); 26 88. 44
5
,48
5
, 6
5
,7
5
; (0,8), (10,3); 50
Resolución: masmates.com Página 7 de 7 12 de noviembre de 2016
www.masmates.com/mm170203.htm