R_Vectores

Vista previa del material en texto

Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
 
Resumen de MATEMÁTICA 
Los vectores 
Algunas veces los números solos no alcanzan para expresar las magnitudes, por ejemplo, para 
expresar el movimiento de un avión. En estos casos se utilizan los vectores. 
Los vectores se representan mediante una flecha que, a través del tamaño representa su 
intensidad, a través de la posición, su dirección y a través de la orientación dibujada, su 
sentido. 
 
Los vectores son tipos de magnitudes caracterizadas por poseer intensidad, dirección y sentido. Se 
representan mediante flechas. ¿Cómo se grafican? 
¿Hacia dónde vamos? 
En algunas situaciones no es suficiente expresar las magnitudes sólo con números. Por ejemplo, si un avión se mueve a 
300 km/h, ese número no expresa si está subiendo o bajando, o si va hacia el norte o al sur. Es decir, puede moverse 
300 km/h en distintas direcciones. 
 
 
Imagen de un avión volando 
 
Este tipo de magnitudes se llaman vectoriales pues están caracterizadas por: 
 
 Su intensidad (o módulo). 
 Dirección. 
 Sentido. 
 
En el ejemplo del avión, la intensidad son los 300 km/h, la dirección es, por ejemplo, de norte a sur, y el sentido es si va 
hacia el norte o hacia el sur. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
Describiendo un vector… 
Los vectores se describen de la siguiente manera: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Representación algebraica del vector AB. 
 
Donde este vector es un segmento orientado que va desde el punto A (origen) al punto B (extremo). 
Además, como dijimos anteriormente, este vector consta de diversos elementos: 
 
 Dirección: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a 
ella. 
 Sentido: El sentido del vector es el que va desde el origen, por ejemplo A, al extremo B. Es decir, no es lo mismo: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
El sentido del vector varía dependiendo donde comienza el vector. 
 
 Módulo: El módulo de un vector es la longitud del segmento, la cual se representa de la siguiente manera: 
 
| | 
Representación algebraica del módulo del vector AB. 
 
El módulo se caracteriza por ser siempre positivo o cero. 
 
Hallando el módulo del vector… 
Existen dos formas de hallar el módulo de un vector, las cuales variarán dependiendo de los datos que tengamos: 
 
 A partir de sus componentes: 
En caso que tengamos los componentes del vector: 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica de los componentes del vector u. 
 
El módulo del vector se halla con la siguiente fórmula: 
| ⃗ | √ 
 
 
Fórmula para hallar el módulo de un vector teniendo sus componentes. 
 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente vector: 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica del vector u, cuyos componentes son (2; 1). 
 
El módulo será el siguiente: 
| ⃗ | √ 
| ⃗ | √ 
| ⃗ | √ 
Representación algebraica del módulo del vector u. 
 
 
 A partir de las coordenadas de los puntos: 
En caso que tengamos las coordenadas de los extremos del vector: 
 
 ( ) ( ) 
Representación algebraica de las coordenadas de un vector. 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
El módulo del vector se halla con la siguiente fórmula: 
| ⃗ | √( )
 ( )
 
Fórmula para hallar el módulo de un vector teniendo las coordenadas. 
 
Por ejemplo, si tenemos el siguiente vector: 
 ( ) ( ) 
Representación algebraica de los extremos de un vector AB. 
 
El módulo será el siguiente: 
| ⃗ | √( ) ( ) 
| ⃗ | √ ( ) 
| ⃗ | √ 
| ⃗ | √ 
Representación algebraica del módulo del vector AB. 
 
¡A representar vectores en la realidad! 
La forma de representar a un vector es mediante una flecha, su tamaño representa, entonces el módulo del vector, la 
dirección, su posición y el sentido la orientación de la flecha. La fuerza también se representa mediante flechas y es 
también un vector porque no es lo mismo hacer fuerza en una dirección que en otra, ni empujar que tirar. 
 
 
Representación de vectores en la realidad. 
 
 
Representación de vectores en la realidad. 
 
Por lo tanto, hay que tener en cuenta su intensidad, que es el módulo, la dirección y el sentido para especificarla. 
Veamos los siguientes ejemplos para comprender mejor la representación de vectores en la aplicación de fuerzas. 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
¡A representar vectores en el plano cartesiano! 
La representación de vectores en el plano cartesiano es más específica de la que puede ser imaginándonos un vector de 
una fuerza en la realidad. 
Para representar un vector en el plano cartesiano necesitaremos las coordenadas de los extremos del vector, por 
ejemplo, si deseamos representar gráficamente el vector que tiene las siguientes coordenadas: 
 
 ( ) ( ) 
Representación algebraica de las coordenadas del vector AB. 
 
En un primer paso representamos las coordenadas en un plano cartesiano: 
 
Representación gráfica de las coordenadas del vector AB. 
 
Ahora trazamos un vector desde el inicio hasta el final: 
 
 
Representación gráfica del vector AB. 
 
Por último debemos saber las coordenadas del vector, las cuales serán las coordenadas del extremo menos las 
coordenadas del origen: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
Expresión algebraica de la fórmula para hallar las coordenadas de un vector sabiendo sus extremos. 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
En este caso las coordenadas del vector serán: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
Representación algebraica de las coordenadas del vector AB. 
 
¡Hallando el módulo gráficamente: otra vez Pitágoras! 
En caso que solo tengamos el gráfico del vector, podemos hallar el valor del módulo recordando a Pitágoras. Debes 
observar que el vector será la hipotenusa del triángulo rectángulo y los catetos serán sus componentes. Entonces, 
aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo podemos calcular la medida del vector, es decir su módulo. Por 
ejemplo, si tenemos el siguiente vector: 
 
 
Representación gráfica del triángulo rectángulo que se forma debajo del vector u. 
 
Podemos ver cómo se ha formado el triángulo rectángulo, por lo tanto podemos averiguar el valor del módulo: 
| | √( ) ( ) 
| | √( ) ( ) 
| | √ 
| | √ 
| | 
Representación algebraica del módulo del vector u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
¡A diferenciar vectores! 
La forma en que se comportan los vectores, unos con otros, puede clasificarse de la siguiente manera: 
 
 
Representación gráfica de la clasificación de fracciones. 
 
Representación gráfica de la clasificación de fracciones. 
¡A sumar vectores gráficamente! 
Para sumar dos vectores libres gráficamente, por ejemplo: 
 ⃗ 
Representación algebraica de los vectores libres u y v. 
 
Se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos deautor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
Para sumar vectores existen dos métodos: 
 
 Poligonal: Este método se basa en poner un vector a continuación del otro, mediante vectores equipolentes y la 
suma será el resultado de unir el origen del primero con el extremo del último. 
Veamos la suma de los siguientes vectores: 
 
 
Representación gráfica de la suma de los vectores u+v mediante el método poligonal. 
 
Pero la suma de los valores módulos no es igual al módulo de la suma. Solo sería así si los vectores fueran ligados 
o colineales, es decir, con la misma dirección. Además tienen que tener el mismo sentido. 
Para ello calculemos los módulos de cada uno y analicemos: 
 
 
Representación gráfica de la suma de los vectores u+v mediante el método poligonal. 
 
| ⃗ | √( ) ( ) 
| ⃗ | √ 
| ⃗ | √ 
 
| | √( ) ( ) 
| | √ 
| | √ 
 
| ⃗ | √( ) ( ) 
| ⃗ | √ 
| ⃗ | √ 
 
| ⃗ | | | √ √ 
 
Representación algebraica de la diferencia entre la suma de los módulos de los vectores y el módulo de la suma de los vectores. 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
 Paralelogramo: Este método se usa para sumar los vectores por pares. Se dibujan los orígenes de ambos en un 
mismo punto, después se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal 
coincide con la suma de los vectores. 
Para que lo comprendas, volvamos a hacer la suma anterior pero con este método: 
 
 
Representación gráfica de la suma de los vectores u+v mediante el método del paralelogramo. 
 
¡A sumar vectores algebraicamente! 
Para sumar dos vectores algebraicamente, debemos sumar sus respectivos componentes, es decir: 
 
 ⃗ ( ) ( ) 
 ⃗ ( ) 
Fórmula para sumar algebraicamente los vectores. 
 
Para comprenderlo mejor, sumemos algebraicamente los vectores anteriores, para ello primero debemos averiguar las 
coordenadas de los vectores: 
 ⃗ ( ) 
 ⃗ ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Pasos para hallar las coordenadas de los vectores. 
 
Ahora que tenemos las coordenadas podemos sumar los vectores: 
 
 ⃗ ( ) 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica de la suma de los vectores u+v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
¡A restar vectores gráficamente! 
Para restar vectores, debemos sumar al primero el vector opuesto del segundo. Es decir, de la misma dirección y módulo 
pero sentido contrario. Debemos hacer una suma como antes, pero tomando el opuesto del segundo. 
Restemos los vectores con los que trabajamos anteriormente, para ello primero grafiquemos primero el vector opuesto 
de v: 
 
 
Representación gráfica del vector –v, opuesto a v. 
 
Ahora que ya tenemos el vector opuesto, simplemente debemos sumarlo con cualquiera de los dos métodos utilizamos 
anteriormente: 
 
 Poligonal: 
 
 
Representación gráfica de la resta de vectores u-v mediante el método poligonal. 
 
 Paralelogramo: 
 
 
Representación gráfica de la resta de vectores u-v mediante el método del paralelogramo. 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
¡A restar vectores algebraicamente! 
Para restar dos vectores libres algebraicamente debemos sumar al primero, el opuesto del segundo. 
 
 ⃗ ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ ( ) ( ( ) ( )) 
Fórmula para restar vectores algebraicamente. 
 
Ahora restemos los vectores anteriores: 
 ⃗ ( ) ( ( ) ( )) 
 ⃗ ( ) ( ) 
Representación algebraica de la resta de vectores u-v. 
 
¡A multiplicar vectores! 
Los vectores son útiles para indicar el comportamiento de un cuerpo o cómo está aplicada una fuerza. En muchos casos 
es necesario analizar qué sucede con el vector después de aplicarle una operación, por ejemplo, multiplicarlo por un 
escalar. Un escalar es un número real. Quiere decir multiplicar al vector por 2 o por -0.5. 
Supongamos que al vector lo llamamos v, al multiplicarlo por un escalar k obtendremos otro vector: 
 
 De igual dirección. 
 Del mismo sentido, si k es positivo. 
 De sentido contrario, si k es negativo. 
 De módulo: 
| | | ⃗ | 
Fórmula para hallar el módulo de un vector multiplicado por un escalar. 
 
Veamos el siguiente vector: 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica del vector u, de coordenadas (4; 2). 
 
 
Representación gráfica del vector u, de coordenadas (4; 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
Si lo multiplicamos por 2, obtendremos el siguiente vector: 
 
Representación gráfica del vector u, y el vector v=2.u. 
 
Si lo multiplicamos por (-0,5), obtendremos el siguiente vector: 
 
Representación gráfica del vector u, y el vector r= (-0,5).u. 
 
Como podemos ver, si k es mayor o igual que uno, el vector aumenta su tamaño, en cambio si k se encuentra entre cero 
y uno, el tamaño del vector disminuye. No nos olvidemos que si k es negativo, la dirección será la contraria. 
 
¡Analicemos los componentes! 
Los componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k los componentes del vector. 
 
 ⃗ ( ) 
 ⃗ ( ) 
Fórmula para hallar los componentes de un vector multiplicado por un escalar. 
 
Por lo tanto, analicemos el vector utilizado anteriormente y veamos los cambios que sufre: 
 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica del vector u, de coordenadas (4; 2). 
 
 Al multiplicar por 2 obtenemos: 
 ⃗ ( ) 
 ⃗ ( ) 
Representación algebraica del vector u, multiplicado por el escalar 2. 
 Al multiplicar por (-0,5) obtenemos: 
( ) ⃗ (( ) ( ) ) 
( ) ⃗ ( ) 
Representación algebraica del vector u, multiplicado por el escalar (-0,5). 
 
 
 Este sitio provee información de interés general y fue desarrollado sólo con fines educativos. 
Derechos de autor reservados E-Marketing S.A. Expediente Nº 355046. Ley 11.723. 
 
En resumen… 
 Un vector es un segmento orientado que va desde el punto A (origen) al punto B (extremo). 
 La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. 
 El sentido del vector es el que va desde el origen, por ejemplo A, al extremo B. 
 El módulo de un vector es la longitud del segmento 
 Para representar un vector en el plano cartesiano necesitaremos las coordenadas de los extremos del vector 
 El método poligonal para sumar vectores se basa en poner un vector a continuación del otro, mediante vectores 
equipolentes y la suma será el resultado de unir el origen del primero con el extremo del último. 
 El método del paralelogramo se basa en dibujar los orígenes de ambos en un mismo punto, después se trazan 
rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los 
vectores.