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VECTORES 
©José S. Matos 
MAGNITUDES FÍSICAS 
 
 
 
 
 Magnitudes escalares 
 Magnitudes físicas 
 Magnitudes vectoriales 
 
 
 
 
MAGNITUDES ESCALARES 
 
Una magnitud física se denomina escalar cuando queda 
completamente caracterizada mediante un número real (cuyo valor es 
independiente de cualquier sistema de ejes) y la unidad de la 
magnitud (sistema de unidades fijado). 
 
Son magnitudes escalares: 
 
La masa (m) 
La longitud (L) 
El tiempo (t) 
La temperatura (T) 
La presión (p) 
El trabajo mecánico (W) 
La energía cinética (Ec) 
La energía potencial (Ep) 
El módulo de un vector 
Etc. 
 
No son magnitudes escalares: 
 
Las coordenadas de un punto (x,y,z) 
Las componentes de un vector 
 
 
 
 
VECTORES 
©José S. Matos 
MAGNITUDES VECTORIALES 
 
 Son magnitudes dirigidas que no quedan completamente caracteri-
zadas mediante un número y una unidad. 
 Una magnitud vectorial se representa mediante un VECTOR. Ej.: 
un desplazamiento, velocidad, fuerza, etc. 
 
 VECTOR: Es un segmento orientado en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Punto de aplicación (u origen): Punto O 
Dirección: La recta soporte R 
Sentido: Viene indicado por la punta de la flecha 
Módulo: Es el valor numérico de la magnitud vectorial. 
 
 Coincide con el valor de la distancia desde el origen (O) al extremo 
(E) de dicho vector. 
 
 Se expresa como un número real acompañado de la unidad de la 
magnitud que representa. 
 
 El módulo de un vector es siempre positivo y es una magnitud 
escalar. 
 
 
 Dos vectores son paralelos si sus rectas soporte son paralelas. 
 
 Dos vectores son perpendiculares si sus rectas soporte son 
perpendiculares. 
 
 
R 
O
E
VECTORES 
©José S. Matos 
ALGUNOS TIPOS DE VECTORES 
Según las condiciones impuestas al punto de aplicación del vector , se 
puede establecer una distinción entre: 
 
Vector ligado: Vector en el cual el origen, la recta soporte, el sentido 
y el módulo están fijados. 
Ej.: velocidad, aceleración, intensidad del campo eléctrico, etc. 
Un vector ligado sólo es igual a sí mismo. 
 
Vector deslizante: Vector en el cual la recta soporte, su sentido y su 
módulo están fijados. Su punto de aplicación puede ser cualquiera de 
aquellos que conforman la recta soporte. Ej.: la fuerza. 
 
 
 
 
 
Vector libre: Vector donde la dirección, el sentido y el módulo están 
fijados por su definición. No tiene un punto de aplicación concreto, 
pudiendo ser éste cualquiera de aquellos de una de las rectas paralelas 
a la soporte. Ej.: la velocidad angular, el momento de una fuerza, etc. 
 
 
 
 
 
 
 A los vectores AB y A'B' se les denomina equipolentes (mismo 
módulo, mismo sentido, rectas soportes paralelas) 
 
Vectores opuestos: Dos vectores son opuestos, si tienen la misma 
recta soporte, el mismo módulo y sentidos opuestos. Su origen puede 
ser común o diferente. 
 
 
 
 
 
 
 
A B
A´ 
B´
AB = A´B´ 
BA
A' B'
AB = A´B´ 
O
A
B 
OA = − OB 
VECTORES 
©José S. Matos 
SUMA (ADICIÓN) DE VECTORES 
 
La suma de los vectores AB, BC y CD es, por definición, otro vector 
AD que une el origen de AB con el extremo de CD: 
 
 
 
 
 
 
 
 Contorno cerrado: 
 AB+BC+CD=AD AB+BC+CD+DA=0 
 
VECTORES CONCURRENTES: El vector resultante de dos vectores 
concurrentes (mismo origen) es la diagonal del paralelogramo cuyos 
lados son los vectores sumandos (consecuencia de lo anterior, sin más 
que usar los vectores equipolentes). 
 
 
 
 
 
La regla se puede extender a varios vectores concurrentes, sumándolos 
dos a dos. 
SUMA DE VECTORES LIBRES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUSTRACCIÓN DE VECTORES 
Sustraer (restar) dos vectores A y B es lo mismo que sumar al 
primero el opuesto del segundo: 
 
 
A 
B 
C 
D
A
B
C 
D
A
B
S BAS +=
A B
C D
A
B
C
D
S
DCBAS +++=
)B(ABAD −+=−=
A
B D
VECTORES 
©José S. Matos 
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NUMERO 
 
El producto de un vector A por un escalar λ es un vector nulo, si uno de los 
dos multiplicandos es nulo. Si no es así, el resultado es un vector que tiene: 
 
 El mismo origen que A 
 La misma dirección que A 
 El mismo sentido que A si λ > 0 y sentido contrario a A si λ < 0 
 Por módulo, el producto del valor absoluto de λ por el módulo de A 
 
⏐λA⏐=⏐λ⏐⏐A⏐ 
 
 
VECTOR UNITARIO 
 
 Un vector unitario es aquel cuyo módulo es la unidad. 
 
 Si A es un vector de módulo A, entonces ( A /A)= Au es un vector 
unitario con la misma dirección y sentido que A , pudiéndose poner que: 
 
 A = A Au 
 
 
 
 
 
 
LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL 
 
Si CyB,A son vectores y α y β son escalares: 
 
 ABBA +=+ (ley conmutativa para la adición) 
 C)BA()CB(A ++=++ (ley asociativa para la adición) 
 )A(A)()A( αβ=βα=βα (ley asociativa para la multiplicación) 
 AAA)( β+α=β+α (ley de distributividad) 
 BA)BA( α+α=+α (ley de distributividad) 
 
 
 
u u3
u4−
VECTORES 
©José S. Matos 
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE UN 
SEGMENTO ORIENTADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A la proyección se puede asignar carácter vectorial. 
 
 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR (PLANO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Componentes de A : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo del vector A : 
 
 
 
 
Vector unitario en la dirección del vector A : 
 
 
 
 
 
 
jAiAAAA yxyx +=+=
1coscosAAAA y
2
x
22
y
2
x =ϕ+ϕ⇒+==
jcosicosj
A
A
i
A
A
A
Au yx
yx
A ϕ+ϕ=+==
ϕ 
ϕ
E
A B C D
0AproyE = 0BBproyE >=
0cosC
CproyE
>ϕ
= 0cosDDproyE <ϕ=
Eu
O 
E
Y 
X
xϕ
yA
i
j
A
xA
yϕ
yOYy
xOXx
cosAAproyA
cosAAproyA
ϕ==
ϕ==
VECTORES 
©José S. Matos 
 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR (ESPACIO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xx cosAA ϕ= 
 
yy cosAA ϕ= 
 
zz cosAA ϕ= 
 
 
Módulo del vector A : 
 
 
 
 
 
Vector unitario en la dirección del vector A : 
 
 
 
 
 
 
 
1AAAAA z
2
y
2
x
22
z
2
y
2
x =ϕ+ϕ+ϕ⇒++== coscoscos
kjik
A
A
j
A
A
i
A
A
A
Au zyx
zyx
A ϕ+ϕ+ϕ=++== coscoscos
Componentes de A 
E 
O 
xA
i
yA
j
k
zA
A
xϕ
yϕ
zϕ
kAjAiAAAAA zyxzyx ++=++=
X 
Y
Z
A = OE
VECTORES 
©José S. Matos 
 
COMPONENTES DE UN VECTOR CUYO ORIGEN NO COINCIDE 
CON EL ORIGEN DE COORDENADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y
X 
Z
xP
xQ 
yP yQ
zP 
zQ 
O
P
QA
xA
yA
zA
xyA
i
j
k
zyxzxy AAAAAAPQ ++=+==
PQz
PQy
PQx
zzA
yyA
xxA
−=
−=
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ORIGENDEL
SCOORDENADA
EXTREMODEL
SCOORDENADA
VECTORUNDE
SCOMPONENTE
P(xP, yP, zP) 
Q(xQ, yQ, zQ) 
VECTORES 
©José S. Matos 
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 
El producto escalar de dos vectores A y B, representado simbólica-
mente mediante BA • , se define como una magnitud escalar igual al 
producto de los módulos de ambos vectores, por el coseno del ángulo 
entre ellos: 
 
 
 
 
 El producto escalar es nulo (mínimo) cuando ϕ = π ⁄ 2. 
 El producto escalar es máximo cuando ϕ = 0. 
 El producto escalar se puede expresar como el producto del módulo 
de uno de los vectores por la proyección del otro sobre éste: 
 
 
 
 
 
 
Propiedades más importantes: 
 
 ABBA •=• (propiedad conmutativa) 
 CABA)CB(A •+•=+• (propiedad distributiva) 
 λ(A •B) = (λA )•B = A •(λB) = (A •B)λ (siendo λ un escalar) 
 
 
 
 Si ( kAjAiAA zyx ++= ) y ( kBjBiBB zyx ++= ), entonces: 
 
 
 
 
 
Resumen: 
 
 
 
 
 
ϕ=• cosBABA
A
B
ϕ 
BproycosB A=ϕ A
B
ϕAproycosA B=ϕ
0ikkjji
1kkjjii
=•=•=•
=•=•=•
zzyyxx BABABABA ++=•
2
z
2
y
2
x
22 AAAAAAA ++===•
2
z
2
y
2
x
22 BBBBBBB ++===•
AproyBBproyABABABAcosBABA BAzzyyxx ==++=ϕ=•
AyproBBproyABA BA ==•
VECTORES 
©José S. Matos 
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES 
El producto vectorial de dos vectores concurrentes A y B, formando 
entre ellos un ángulo ϕ, es un tercer vector representado simbólica-
mente por A×B (o B×A ), cuyas características son: 
 
 Módulo: 
 
 
Dirección: perpendicular al 
plano que contiene a los 
vectores A y B. 
Sentido: Dado por la regla 
del sacacorchos o la regla de 
la mano derecha (ϕ está 
medido a partirdel primer 
vector) 
Consecuencias: 
 El módulo del producto vectorial es máximo cuando el ángulo 
entre los vectores es ϕ = π / 2. 
 El módulo del producto vectorial es nulo cuando los vectores son 
paralelos (ϕ = 0), cuando son antiparalelos (ϕ = π) o uno de los 
vectores es el vector nulo. 
 De la definición de producto vectorial: ABBA ×−=× 
PROPIEDADES 
1. CABA)CB(A ×+×=+× (propiedad distributiva) 
2. λ×=λ×=×λ=×λ )BA(BABA)BA( 
3. 
jikikjkji
0kkjjii
=×=×=×
=×=×=×
 
4. Si ( kAjAiAA zyx ++= ) y ( kBjBiBB zyx ++= ), entonces: 
 
 
 
 
 
5. ≡ϕ=×=× senBAABBA área del 
paralelogramo acotado por A y B 
 
A
B
ϕ
π
BA×
AB×
ϕ
A
B
π
B sen ϕ 
ϕ=×=× senBAABBA
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA =×
VECTORES 
©José S. Matos 
 
PRODUCTO MIXTO DE VECTORES 
 
El producto mixto de vectores es una operación del tipo )CB(A ו y 
su resultado es una cantidad escalar. 
 
 Se puede demostrar que: 
 
 
 
coincidiendo el MÓDULO de este producto mixto con el volumen del 
parelelepípedo acotado por los vectores A , B y C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL 
 
El doble producto vectorial se simboliza por )CB(A ×× resultando en 
una cantidad vectorial. 
 
 A partir del desarrollo de la expresión anterior se puede demostrar 
la siguiente identidad: 
 
 
 
 
 Así mismo, es evidente que: 
 
 
 
 
 
 
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
)CB(A =ו
X 
Y 
Z 
A
B
C
C)BA(B)CA()CB(A •−•=××
C)BA()CB(A ××≠××
VECTORES 
©José S. Matos 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 
 
 Si a cada valor de un escalar λ corresponde un vector A , decimos 
que )(AA λ= es una función vectorial. La primera derivada de 
)(AA λ= viene definida (siempre que el límite exista) por: 
 
 
 
 
 
 Si k)(Aj)(Ai)(A)(AA zyx λ+λ+λ=λ= , se verifica que: 
 
 
 
 
 
pudiéndose definir, igualmente, las derivadas de orden superior. 
 
 Las reglas habituales de la derivación pueden extenderse a los 
vectores, si bien, es preciso tener en cuenta el orden de los factores 
en los productos. Así, si )(λφ=φ es una función escalar, )(AA λ= 
y )(BB λ= : 
 
 
 
 
 
 
 
Consecuencia importante: 
 
Si el módulo de una función vectorial es constante, A≠A(λ), entonces: 
 
 
 
Esta es una propiedad que cumplen todos los vectores unitarios. Por 
tanto, un vector unitario y su derivada son siempre perpendiculares. 
 
λ∆
λ−λ∆+λ
=
λ →λ∆
)(A)(Alim
d
Ad
0
k
d
Adj
d
Ad
i
d
Ad
d
Ad zyx
λ
+
λ
+
λ
=
λ
λ
φ+
λ
φ
=φ
λ d
AdA
d
d)A(
d
d
λ
•+•
λ
=•
λ d
BdAB
d
Ad)BA(
d
d
λ
×+×
λ
=×
λ d
BdAB
d
Ad)BA(
d
d
λ
=
λ
•=•
λ d
dAA2
d
AdA2)AA(
d
d
λ
⊥⇒=
λ d
AdA0
d
dAA2
VECTORES 
©José S. Matos 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL (continuación) 
 
 La derivada de un vector ( λdAd ) es tangente, en cada punto, a la 
línea que describe los extremos de )(A λ , si todos los vectores se 
hacen concurrir en un punto (O): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: si la función vectorial es el vector de posición de un punto 
material móvil, la curva sería la trayectoria y, si el escalar es el 
tiempo, la derivada sería precisamente la velocidad instantánea. 
 
 La derivada de toda función vectorial puede expresarse como la 
suma de dos vectores: uno en la misma dirección que la función 
vectorial y otro perpendicular a ésta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ad λd
Ad
O 
)(A λ
)(A λ∆+λ
A∆
λd
Ad
O 
)(A λ
Au
AuAA =
Aud
dA
λ
λd
udA A
λ
+
λ
=
λ
=
λ d
udAu
d
dA)uA(
d
d
d
Ad A
AA
A⊥⎜⎜A
VECTORES 
©José S. Matos 
MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN PUNTO 
 
 El momento de un vectorA respecto de un punto O se define como 
el producto vectorial del vector de posición (respecto a O) del 
punto de aplicación de A , por el propio vector A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El momento de un vector deslizante es independiente del punto de 
aplicación del vector (en la recta soporte) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde d es la distancia mínima desde O a la recta soporte del vector. 
 
 
Teorema del cambio de polo 
 
 La relación entre los momentos del vector A respecto a dos puntos 
cualesquiera P y Q viene dada por: 
 
 
 
 
 
 
ArM )A(O ×=
)A(OM
r
A
ϕ
O 
A
A
1r
2r
)A(OM
O 
d 1ϕ
2ϕ
dAsenArsenArM 2211)A(O ==ϕ=ϕ=
APQMM )A(Q)A(P ×+=
VECTORES 
©José S. Matos 
MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE 
 
 Un eje es una recta orientada en el espacio. 
 
 El momento de un vector respecto a un eje es la proyección, sobre 
el eje, del momento de dicho vector evaluado respecto de un punto 
cualquiera del eje. El momento de un vector respecto de un eje es 
una cantidad escalar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El momento de un vector respecto a un eje no depende del punto 
que, perteneciendo al eje, sea escogido para evaluar )A(M : 
 
 
 
Comprobación: 
 
 
 
 
 
donde 0)AO'O(proyE =× porque O'OAO'O ⊥× y, por lo tanto, 
perpendicular al eje E. 
 
 
O 
O'
r
A
E 
Eu
)A(OM
)A(EM
E)A(O)A(O)A(OE)A(E uMcosMMproyM •=ϕ==
ϕ
=== )A('OE)A(OE)A(E MproyMproyM
[ ]
)A(OEEEE
EE)A('OE
Mproy)Ar(proy)Ar(proy)AO'O(proy
A)rO'O(proy)A'r(proyMproy
=×=×+×=
×+=×=
'r
VECTORES 
©José S. Matos 
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 
 
 Para un sistema de coordenadas cartesianas, se define la integral de 
la función vectorial de variable escalar )(A λ como otra función 
vectorial cuyas componentes son las integrales de las componentes 
de la función vectorial integrada: 
 
 
 
 En un sistema de coordenadas cartesianas, i , j y k son vectores 
constantes (en módulo y dirección). En otros sistemas de coordena-
das, es preciso conocer la dependencia de los vectores unitarios con 
la variable escalar. 
 
 PROPIEDADES MAS DESTACABLES 
 
Si )(AA λ= y )(BB λ= se verifica: 
 
 ∫ ∫∫ λ±λ=λ± dBdAd)BA( 
 
 ∫∫ λ=λ dAKdAK con K ≠ K(λ) 
 
 [ ] )(a)(a)(adA 12
2
1
2
1
λ−λ=λ=λ
λ
λ
λ
λ∫ 
 
 ∫∫
λ
λ
λ
λ
λ−=λ 1
2
2
1
dAdA 
 
Si )(AA λ≠ y )(BB λ= se verifica: 
 
 ∫∫ λ•=λ• dBAd)BA( 
 
 ∫ ∫ λ×=λ× dBAd)BA( 
 
 ∫ ∫ λλφ=λλφ d)(AdA)( 
 
 
 
[ ] [ ] [ ]kd)(Ajd)(Aid)(Ad)(A zyx ∫∫∫ ∫ λλ+λλ+λλ=λλ