008200430224

Vista previa del material en texto

IMÁGENES SOBRE LAS MATEMÁTICAS, SU ENSEÑANZA Y
APRENDIZtl^JE EN ESTUDIANI^S PARA PROFESORES DE
SECUNDA.RiA Y TAREAS MATEMATYCAS ESCOLARF.S
VICTORIA SÁNCHEZ CARCÍA Y SALUADOR LLINARES (•)
RBStm^tv. Este estudio tiene por objedvo indagar sobre los origenes y el contenida de
las imágenes de estudlantes para profesores de Secundaria sobre las Matemáticas y
la enseñanza/aprendizaje de las mismas, y su inFluencia en la forma en la que estos
estudiantes interpretan las tareas matemáticas escolares. Los participantes fueron cin-
co licenciados universitarios matriculados en un Curso cíe Adaptación Peda ^ól;ica
(área de Matemáticas). A tr.tvés del análisis de una serie cie rntrevistas c^ínicas
semiestructuradas, diseí^adas de modo que permitiesen realizar un:r descripción de
las imágenes de cada estudiante para profesor sobre las Matemáticas y su enseñan-
zalaprendizaje, fueron emergiendo una serie de imágenes que se descrii^en como
estudios de casos. La comparación de los datos de cada caso nos ha permitido apre-
ciar los diferentes papeles desempeñados par las imágenes de la enseñanza y el
aprendizaje, aportando ideas sobre los referentes cognitivos can los que (os estu-
diantes para prafesor de Matemáticas de Secundaria pueden interpretar la informa-
ción proporcionada en !os programas de formacián.
Ass^t^s^+cr. The objective of this study is to research on the origins and contents of
students to be secondary school teachers' images on rnaths, maths' teaching/lear-
ning, and its influence in the way these students ínterpret school m:rthematical
tasks. The partlcipants were five universitary graduates who were registered for a
Pedagogical Adaptation Course (maths' area). A series af images that we describe
as studies of cases arose fram our anafysis af semistructural ciinical interviews, de-
signed in a way to allow us doing a description of each s[udent's images on rnaths
and maths"teaching/learning. The comparison between each case's data has allo-
wed us to observe the different functions af teaching and learning images, and has
added ideas on student"s cognltive referents to interpret the infarmatlon given in
training syllabuses,
LAS IMÁGENES CUMO UNA PORMA
DE INDAGAR SOBRE EL CONOCIMIENTO
DE LOS ESTUDIANTES
PARA PROhESORES
Las concepciones e imágenes previas cle
los estudiantes para profesores y la inFluen-
cia que pueden ejercer sobre sus procesos
de aprender a enseñar son temas cte gran
importancia en la formación cle profesores
de Matem:[ticas (Ball, 1988, 1991; I3all &
McDiarmind, 1990; Llinares & 5ánche-r.,
1996; Sánchez & Llinares, 199C). Eata
importancia ha sido ctestacada por nume-
rosos autores (Wilson, Shulman ^^ Richert,
1987; Calderh^ad Sc Robson, 1991), yue
han proparcionado informaciGn sobre las
(') Universid:^d de Srviila.
Revistu del:ducacíó ►t, núm. 329 (2(b2), p^. 44,i-4C1 `l`^j
Fecha de rntrad•r: 30-q5-2001 Frcha dr acepuirión: 27-1k^-L(x)2
concepciones e imágenes que los estudian-
tes para profesores llevan a los programas
de formación y las dificultades que puede
plantear cuando se enfrentan a la compieji-
dad de la enseñanza (Calderhead, 1991).
En las investigaciones sobre las creen-
cias y concepciones de los profesores, la
noción de •imagen» se ha empleado tanto
para la caracterización de los constructos
teóricos como en las investigaciones empíri-
cas. Para Calderhead y Robson (1991), este
término ha sido utilizado en formas muy
diferentes para describir el conocimiento de
los profesores: para referirse a metáforas
generales sobre el pensamiento acerca de la
enseñanza (Clandinin, 1986), para describir
el concepto global que los profesores tienen
de una lección (Morine-Dershimer, 1979) o
como instaniáneas de incidentes o alumnos
concretos (Eraut, 1985).
Calderhead y Robson (1991) señalan que:
Las imágenes... representan un conoci-
miento sobre la enserianza pero pueden
actuar también como modelos para la
acción, y además contienen frecuentemen-
te una componente afectiva, estando aso-
ciadas con sentimientos y actitudes particu-
lares (Calderhead & Robson, 1991, p. 3).
Aunque estos autores utilizan el térmi-
no •conocimiento• en la caracterización de
las imágenes, incluyen también compo-
nentes afectivas y actitudes. Por lo tanto,
podemos pensar que •imagen• esta siendo
empleado como un término englobante en
el sentido de •cognición•. Para otros lnves-
tigadores, las imágenes establecen, de
alguna forma, conexiones entre pasado,
presente y futuro, como se pone de mani-
fiesto en 1a siguiente definición:
Imagen se conceptualiza aqui como una
clase de conocimiento encarnado en una
persona y conectado con el pasado, pre-
sente y futura individual. La imagen dibuja
el presente y el futuro en un nexo de expe-
riencias personalmente stgnificativo enfo-
cado en ta situación inmediata que le recla-
ma. Penetra en el pasado recogiendo hilos
experienciales conectados significativa-
mente con el presente. Y penetra intencio-
nalmente en el futuro, y crea nuevos hilos
significativamente conectados a las situa-
ciones que se experimentaron, y a las nue-
vas situaciones anticipadas desde la pers-
pectiva de la imagen (Clandinin & Con-
nelly, 1985 b, p. 198).
Por otra parte, Elbaz (1983) utiliza e)
término •imágenes• para referirse a breves
comentarios metafóricos o descriptivos de
algunos aspectos de la situación que inten-
tan recoger las •opiniones básicas• de los
profesores (la filosofía de su enseñanza);
son las construcciones globales del profe-
sor que orientan su conducta, expresan sus
propósitos y median entre el pensamiento
y la acción. Para Elbaz las imágenes
median entre el pensamiento y la acción a
un nivel más general que las reglas y los
principios y muestran cómo distintas clases
de conocimiento y valores se articulan en
las situaciones de enseñanza.
En otros casos, las imágenes son
modos de representar cómo los profesores
individuales se ven a sí mismos en sus con-
textos de enseñanza, tratando de entender
la resistencia de los profesores a aceptar
nuevas direcciones curriculares (Roulet,
1996), los procesos de cambio (Hannay,
1996). Otros estudios han considerado las
imágenes de la enseñanza/aprendizaje en
estudiantes para profesores (Calderhead y
Robson, 1991), indicando que este cons-
ttvcto puede ser útil para representar el
conocimiento que puede ser trasladado en
acción en la clase, o para identificar la for-
ma en la que los estudiantes para profeso-
res piensan sobre sí mismos como profeso-
res y cómo se relaciona esto con sus práo-
ticas de enseñanza (Johnston, 1992).
EL TÉitMINO •iMAGEN^ EN LAS 11WF,S7IGACIONES
EN EDUCAGbN MATEMÁTIG
En relación con las Matemátiras, cl tCrmino
imagen también ha sido consider.tdo como
parte integrante de las concepciones de los
profesores. En ese sentido, para Thompson
(1992):
Una concepción de los profesores d^ I^
naturaleza de las Matemáticas pu^de ser
vista como las creencias, concrptos, signifi-
cados, reglas, imágenes nten[aics y prefe-
rencias conscientes o suhconscicntrs de los
profesores acerca de la disciplina cl^ las
Matemáticas (lliompsan, 1992, p. 132).
444
Entre diferentes investigaciones que
han utilizado dicho término, Roulet (1996)
identificó imágenes con concepciones al
considerar las imágenes sobre las Matemá-
ticas como »ideas sobre las Matemáticas».
Mura (1995) asoció •imágenes de las Mate-
máticas» con »visiones de las Matemáticas»
reunidas a través de una encuesta nacional,
para posteriormente referirse en el mismo
artículo a»concepciones• como un término
sinónimo. Por otra parte, otros autores
(Branco & Oliveira, 1996) han estudiado la
influencia de las imágenes de los profeso-
res sobre el aprendizaje de las Matemáticas
en su desarrollo profesional. La nocián de
imagen también ha sido utilizada en los
intentos de describir y comprender refe-
rentes cognitivos en el proceso de apren-
der a enseñar Matemáticas. Así, Gates
(1996) la utiliza en el sentido de Calderhe-
ad antes descrito para analizar los procesos
de aprendizaje de estudiantes para profe-
sores de Matemáticas de Secundaria.En este estudio, utilizamos el término
imagen según la caracterización de Elbaz
(1983) reelaborada por Johnston (1992)
considerándolas como parte de las concep-
ciones (siguiendo a Thompson, 1992) que
sobre las Matemáticas, su ensetianza y
aprendizaje llevan a los programas de for-
mación los estudiantes para profesvr. Nos
planteamos las siguientes cuestiones de
investigación:
• ^En qué medida las experiencias
previas y la formacibn previa especí-
fica de los estudiantes para profeso-
res de Secundaria condiclonan la
existencia de unas determinadas
imágenes?
• ^Cuál es el contenido de las imáge-
nes de estudiantes para profesores
de Secundaria sobre las Matemáti-
cas y la enseñanza/aprendizaje de
las Matemáticas?
• ^CÓmo determinan estas imágenes la
forma en que interpretan las tareas
matemáticas escolares?
Nuestra investigación se apoya en la
hipótesis de que el contenido de las imá-
genes de los estudiantes para profesor y l:t
forma en que se relacionan tienen impli-
caciones en los procesos de aprendizaje
que se pueden generar en el programa de
formación. En este sentido, se conjetura
que el contenido y la organización de las
imágenes de los estudiantes para profesor
influye en »lo que se aprende» y»cómo se
aprende» en esos programas. Por lo tanto,
las descripciones detalladas del contenido
y relaciones de las imágenes de los estu-
diantes para profesor y la influencia que
ejercen en su forma de considerar las tare-
as escolares, consideradas como uno de los
instrumentos a través de los que el profesor
desarrolla su trabajo con los alumnos,
deben permitir obtener informacián para el
diseño de programas de formación y para
comprender los procesos de aprendizaje
en ellos generados.
METODOLOGfA
Pnx^nc,tpuvrF.s
Las participantes fueron cinco licenciados
universitarios (4 hombres y 1 mujer), que
se prestaron a colaborar voluntariamente
en el estudio, de edades comprendidas
entre 22 y 25 años (a los que denominare-
mos CAP1, CAP2, CAP3, CAP4 y CAPS).
Cuando se desarrolló la investigación, esta-
ban matriculados en el Curso de Adapta-
ción Pedagógica (Área de Matemátiras),
por lo yue les consideraremos estudiantes
para profesores de Secundaria. No hubo
ningún criterio especial de selecci^in de
estos estudiantes, a los que exclusivamente.
caracterizaba su deseo de cooper:tr rn
estudios que pudieran incidir en la mejora
de su formación. Aunyue el proyecto
comenzó con cinco estudiantes, sólo rua-
tro de ellos (CAP1, CAI'3, CAI'4 y CAPS)
completaron todos los instrumentos cte
recogida de datos. En ese añ^, el curso c:n
la Universidad de Sevilla contemplaba clc^s
fases ( teórica y práctica), que incluían apar-
tados correspondientes a teoría de Ia rclu-
cación, psicotogía dc la educación, didárti-
ca general y dicláctica de las Matem:íticas y
prácticas de enseñanza. latas últimas se
4^í5
realizaban con un profesor tutor (de Mate-
máticas en este caso) en un centro de
Secundaria.
Lvsrxtn^tErrros
Se elaboraron una serie de entrevistas clíni-
cas semiestructuradas (ver Llinares, 1996,
para una descripción detallada de los dife-
rentes instrumentos empleados), diseñadas
de modo que permitiesen realizar una des-
crípción de las imágenes de cada estudian-
te para profesor sobre las Matemáticas y su
enseñanza/aprendizaje:
Una entrevista centrada en los ante-
cedentes biográficos del estudiante
para profesor de Secundaria. En ella,
se planteaban una serie de pregun-
tas generales encaminadas a indagar
sobre el porqué de la eleccián de
estudiar Matemáticas y de ser profe-
sor de esa materia, lo que pensaban
que era necesario para poder empe-
zar a enseñar, etc. Se intentaba así
construir lo que podríamos denomi-
nar •biografía matemática• del parti-
cipante.
- Una entrevista centrada en la clasifi-
cación y el análisis de una serie de
tareas sobre funciones, extraídas de
libros de texta escolares. En ambos
casos, los problemas procedían de
un análisis previo de diferentes
libros de texto, utilizando como cri-
terío el modo de representación
empleado en el problema y la activi-
dad hipotética que éste demandaba
al alumno (García & Llinares, 1995).
Fsta entrevista constaba de dos partes:
• En la primera, el estudiante para
proFesor de Secundaria tenía que
clasificar 20 problemas proporciona-
dos por los investigadores y justifi-
car los criterios de clasificación utili-
7.adoS.
• Posteriormente, sc le planteaba que
analizasen en profundidad diez de
estos mismos problemas desde dife-
rentes perspectivas: descripción de
la tarea, actividad demandada al
estudiante, objetivo que se preten-
de, lo que se aprendería haciendo
cada una de ellas, cómo las podría
resolver un alumno hipotético y
cómo el estudiante para profesor
pensaba que podría plantear su
enseñanza. En la figura I, se inclu-
yen algunos de los problemas
empleados.
- Análisis de casos: se presentaban
cuatro casos y se pedía realizar un
análisis de las situaciones hipotéticas
planteadas en ellos. Estas se centra-
ban en dificultades de los alumnos
con alguna noción relativa al con-
cepto función. La estructura del caso
consistía en la descripción de una
respuesta de un alumno a una tarea
con funciones y cuestiones yue el
caso planteaba al profesor. Unas
cuestiones eran de diagnosis, centra-
das en identificar posibles causas
para la respuesta descrita, mientr.ts
que otras tenían carácter de inter-
vención, planteándose en ellas de
qué forma podía el profesor ayt^dar
al alumno. En la figura II, se presen-
ta un ejemplo de los casos utilizados.
Las entrevistas semiestruCturadas se
realizaron aproximadamente a las cuatro
semanas del comienzo del CAP, antes de
realizar sus prácticas de enseñanza. Lus
grabaciones obtenidas fueron posterior-
mente transcritas en su totalidad.
ANÁIJSIS DE I.OS DATOS
En primer lugar, se realizó un análisis de
carácter descriptivo de los procedimicntos y
argumentos empleados por los estucliantes
para profesores, que permitió la reducción
dr la información obtrnida de las clifrrentes
transcripciones, identificando ac{uellos
^f 4C
FIGURA I
Ejemplos de problemas utilizados en e! análisis y clasificación
Problema A
Leyendo una gráfica: dada la gratlca de la función f(x) - 1/(x' + 1), responde a tu
manera tas sigulentes cuestiones:
1. lCuAl ea el mAximo y en ca.w contrario su extremo superlort
2. lCusl ea el mtnlmo y en caso contruío su extremo ínferiorl
3. !^► qué lntervalo es ceeciente y en quE interwalo es decreciente?
4. lEat4 acotada?
S. !Es slmEtrlca? Si to es, lreapecto de qulEn?
Y
Y'
I+X'
0
Probkma C
X
Se qukren conattt^ir cajaa de atttbn aln tapa a partir de piezas cuadnidas de 1 m de
lado, oortando cvadradoa igualea en las eaquinaa y doblando. Expreaa el volumen en
fundón del lado x del cvadrlláterv mnado en la esqulna.
Problema D
Dibuja las graHcaa de laa parábolas sigulentea locallaando, previamente, el vMice:
a)Y-x'+26)y-x'-8x+16c)Y•x'-4x
d)y--x'-Se)Y--x'+4x+5f1y- 2x'+2
Problema E
Doa motodatas paRen, aímultáneamente, de A y B. EI prime^o ae dirige a B con una
velocidad de 100 krr^/h y el xgundo ae dirige a A con una velocklad de 150 lcm/t ► . Si A
y B disran entre a( 300 km, !a qué distancia de A ae encventran.> iCu4nto tardan rn
encontraroe7
4^í7
FIGURA II
Ejemplo de casos utilizados
Caso 1
AI introducír las funciones y las gráfícas en una clase de i° de BUP C14-15 años), se
han estado utilizando tareas que consisten en dibujar gráficas a partir de conjuntos
de pares de números contextualizados en una situación y a partir de ecuaciones. Un
dia, al empezar la clase, se dibujó la sigulente gráfíca en la pizarra
y se pidió a los alurnnos que encontraran una situación con la que se pudiera
corresponder.
Un alumno dijo:
"Puede ser el camino de una excurslón en la que tuvimos que subir a
una colina, luego caminar un trozo llano para luego bajar por una
pendiente y recorrer finalmente un trozo Ilano antes de terminar."
tCÓmo podrfas responder al comentarlo de este alumno?
tCuál crees que puede ser la causa de este comentarío?
Caso 2
A un estudiante de 2^ de BUP (15-16ailos) se le pidló que dijera cuál de las
siguientes expresiones/gtáflcas eran funciones:
a)
d)
b) y
•) y- x'+i
c) _ x+ 1 s1 x >2
y 0 si x< 2
EI estudiante dljo entonces que
• a) y e) son funciones, pero c) no lo es porque está •partida•, d)
tampoco porque no se puede encontrar una ecuación para esa gráfica,
y además la grática tíene una fonna cxtraña•, y b) tampoco es una
fundón porque la imagen siempre es la misma."
^Cuál crees que puede ser la causa de estas respuestas?
^Cómo podrias responder al comentario de este alumno?
^i•if,
párrafos que proporcionaban información
reladva a sus imágenes. Posteriormente, se
categorizó el contenido de la información
obtenida desde cada instrumento en rela-
ción con la naturaleza de las Matemáticas,
su enseñanza/aprendizaje y aquellos
aspectos que se consideraron de interés.
En ambos casos, se identificaron aquellos
protocolos que proporcionaban informa-
ción con respecto al origen de las imáge-
nes, su contenido y sus características. A
través de todos estos análisis, fueron emer-
giendo una serie de imágenes sobre las
Matemáticas y su enseñanza/aprendizaje
que a continuación pasamos a detallar. En
primer lugar, describiremos las imágenes
de los cuatro estudiantes para profesores
como estudios de casos. Posteriormente, se
compararán los datos de cada caso.
DESCRIPCION DE LOS CASOS
EL CASO DE CAPl: INFLUENCIA
DE LAS F^R1FNCiAS PREVL^.S COMO APRENDIZ
EN EL CONTENIDO DE SUS IM^GENES
SOBRE LA ENSPAANZA Y APRENDIZAIE
DE LAS MATEMÁTICAS
Las imágenes de CAP1 sobre la enseñanza y
el aprendizaje proceden de su experiencia
previa con situaciones de enseñanza/ apren-
dizaje de las Matemáticas, y están conecta-
das a una concepción de las Matemáticas
escolares que sigue una perspectiva estruc-
tural, con Enfasis en aspectos sintácticos.
- Las imágenes de la enseñanza de las
Matemáticas. Qué y cómo se mani-
t3estan
La única forma yue conoce de enseñar
Matemáticas es la del profesor yue llega, da
la clase, manda problemas, y el alumno
hace los deberes en casa, señalando su difi-
cultad en pensar yue las Matemáticas se
puedan enseñar de otra forma.
Entonces, como yo lo hc visto así, lo he vis-
to tantos años, cturante el IillP, COU, [a L1ni-
versidad, y el método quc síguen siempre
es el mismo... (CAP1, 4(4-C6) lEntrevista
generall.
Por otra parte, reconoce la necesidad
de saber cómo estructurar la clase y córno
intentar conseguir yue los niños entiendan
las cosas (objetivo), pero duda de que eso
se pueda aprender de manera reglacla,
indicando qu^ cada uno se da cuenta por sí
mismo (la experíencia como fuente clel
conocimiento necesario para enseñar). Sin
embargo, •sabe• cuál es el contenido m:tte-
mático yue se debe enseñar:
no creo que nadie venga a decir: Venga,
para enseñar funciones tienes que hacer
esto, esto y esto, porque si no... además
siempre hay que seguir unos pasos. Prime-
ro intentar darle la idea intuitiva de lo que
es una función ... Luego ir ya formaliz:rn-
do... pero son pasos que a todos nos han
tenido que enseñar (CAP1, 134-140) [Entre-
vista generalJ,
Desde la forma en la yue huce referen-
cia a) contenido matem:ítico, se puecie
inferir una visión estructuralista de los c^n-
ceptos matemáticos con un énfasis en
aspcctos sintácticas. CAI'1 necesita situar
los problemas siguiendo una ordenación
del contenido. Esta idea de la organización
de la enseñanza desde el punto de vist:t de
•yuÉ viene antes y qué viene despuí:s- en
la organización del contenido matcrnátic^
subyace en todos los protocolos. Para
CAP1 ei con[enido matemático escc^lar
sobre las funciones está organizado jerár-
yuicamente, siguiendo un orcJcn dentro
del cuerpo organizado de conocimic^nto
matemático (se introcluce A poryue sr.
necesita para i3). Esta aproximacicín de
enseñanza cíe las Matemáticas, basacla ^n
la propia estructura del conocimiento
matemático organizado, conlleva un énfa-
sis en la secuencia jeraryuica del conteni-
do y tiene su reflejo en las imágenes sohre
el aprendizaje.
- Las ifmágenes sobre el aprendlzaJe de
las Matemáticas. Qué y cómo se
manitiestan
Para CAP1, el conocimicnto sohrc la
forrna en c{ue los alumnos aprc:nden n^rio-
nes matenuíticas ccmcret:ts •pucde rrpren-
derse sobre la marcha-, siendo un cxarnen
:l.^c^
el procedimiento para darse cuenta de si
han aprendido. Además, para CAPl apren-
der está muy ligado al esfuerzo personal:
... Ilega un momento que s1 tú quieres de
verdad aprender y saber las cosas tienes
que machacarte tú en buscarte ►os razona-
mientos (CAPl, 479-482) [Entrevista gene-
rall.
El contenido de las imágenes sobre el
aprendizaje se coloca en el manejo de des-
trezas y en ser »competentes» en «tnanejar»
cierto aspectos del contenido. Por otro
lado, tiene dificultades en con ĵeturar posi-
bles procesos que deben emplear los estu-
diantes en la forma de resolver las tareas,
por lo que se manifiesta cierto desconoci-
miento de las características del aprendiza-
je de la noción de función en los alumnos
de estas edades. Ante la cuestión de cámo
Io harían los alumnos en el apartado del
análisis individual de las tareas, suele res-
ponder diciendo •no sé», •les cuesta mucho,
ni idea», «mecánicamente•. Los comentarios
en los casos sobre las causas de las res-
puestas de los alumnos también son consi-
derados de una forma genérica, como •no
saben lo que es una función», •no saben lo
que es una gráfica•, o•que no tienen las
ideas muy daras•.
- Intluencia de eatas iniágenes en la
interpretación de las tareas escolares
Estas imágenes manifiestan su influen-
cia a la hora de interpretar las tareas esco-
lares. Con una imagen de la enseñanza de
[as Matemáticas fuertemente vinculada a la
del •profesor tradicional», para GAP1 las
tareas escolares son siempre vistas como
algo que hay que hacer desde el punto de
vista de •lo que te dan» y«lo que te piden•.
Lo que te piden se matiza en el sentido de
yue especifica lo que hay que hacer (susti-
tuir valores, representar gráficamente...).
Esta idea está presente en los dos criterios
de clasificación de los problemas sobre
funciones utilizados por CAP1 de forma
espontánea. Así, en la primera clasifica-
ción, el criterio seguido es •lo que se pide•
(apareciendo la expresión »tengo que» de
manera mayoritaria). En la segunda clasifi-
cación, el criterio escogido es •lo que tienes
que usar» (usar las funciones -expresión
algebraica- para resolver un problema),
Para CAP1, las tareas se ven como aplica-
ción de un contenido matemático explica-
do previamente. Este contenido matemáti-
co debe ser conocido, y los problemas son
vistos como un medio para •ejercitar» (prac-
ticar). Por ejemplo, al preguntarle cuál
serfa el conocimiento previo necesario
para resolver una determinada tarea,
comenta:
Por supuesto, saber representar la función
gráficamente L..1 Imagino que tendría que
saber todo lo que es una parábola, el vérti-
ce de una parábola... (CAP1, 1954-1960)
[Análisis de tareas, problema Dl.
El »esfuerza personal•, que para CAP1
va vinculado al aprendizaje, sería una parte
fundamental en la relación individuo/ tarea.
De esta manera, •aprender• se identifica con
»ser capaz de manejar, aplicar la 'teoría' pre-
viamente explicada por el profesor•.
Las imágenes sobre la enseñan•r.a se
manifiestan en la organización de las tareas
proporcionadas •para enseñar Funciones•:
más que una clasificacián es un orden de
como yo harta (colocaría en una secuencia)
los problemas... como yo lo iría clando
(CAP1, 1252-53, 1417) (Clasificación de
tarcasl.
lo que le conduce a una ordenación de
tareas en la que se manifiesta la influencia
de la forma en que se concibe el contenido
matemático (énfasis en aspectos catn^ctura-
les), como se mencionó en el contenido de
las imágenes sobre la enseñanxa. Esta
secuencia enfatiza la necesidad de •rclacio-
nar funciones y gráficas», que considera
como ideas separadas.
Además, son tareas con funciones •fáci-
les• aquéllas en las que se ve la función
directamente. Y verse la función directa-
mente implica expresiones algebraicas. L.t
idea de dificultad aparecevinculada a
expresiones superficiales como •fáciles o
450
difíciles• sin mención explícita a aspectos
particulares del contenido. Los problemas
que piden encontrar dominios, intervalos
de crecimiento/decrecimiento, ete. son
para CAP1 fáciles en cuanto a la •mecáni-
ca», pero difíciles en relación con la dificul-
tad que presentan esas ideas.
EL CASp DE CAPĵ: EL PROPESOR COMO
TItANSMISOB DE CONTENIDO MATEbI^1YC0
Esco^e
Para CAP3, las imágenes sobre la enseñan-
za y el aprendizaje de las Matemáticas
están entrelazadas, siendo sus orígenes
episodios concretos.
- Las imágenes de la enseílama de las
matemáticas. Qué y cámo se mani-
flestan
A1 tratar de describir las caracteristicas
de la enseñanza que más le ha gustado,
recuerda un profesor particular de la Uni-
versidad:
Esa forma de enseñar las Matemáticas.., fue
un profesor que tuve en mecánica... este
hombre nos enseñó a... yo por lo menos
fue allí donde lo aprendi, a ser mucho más
pícaro con las Matem3ticas [...] quizás sea
unos de los casos más bonitos y que más
me han agradado que me ensetiaran y ha
sido la cosa más original que yo he conoci-
do en Matemádcas (CAP3, 579-83, 591-594)
[Entrevista general).
mientras que, para referirse a la forma de
enseñar Matemáticas que menos le ha gus-
tado, hace referencia a unas características
globales relacionadas can «las personas qece
intentan darle rr<mbombancia a!as Mate-
máticas...• <CAP3, 6£i7-G95) [Entrevista
general], abstraídas de una variedad de
experiencias. Todos estas experiencias
configuran el contenido de sus imágenes
sobre la enseñanza de las Matemáticas, que
se articulan sobre dos aspectos y sus rela-
ciones: la naturaleza del contcnido mate-
mático y cómo transmiúrlo (la enseñanza
como transmisión), como indica el siguien-
te protocolo:
Primero tener algo que enseñar. Saber por
qué es importante que yo enser^e eso. Y...
después... saber transmitir al alumno todas
esas cosas que yo entiendo que es necesa-
rio para aprenderlas, y sabérselo decir bien
para que las asimilen adecuadamente
(CAP3, 59-62) lEntrevista general).
derivando no sólo una idea de transmisión
de conocimientos sino de transmisión de
actitudes. En esa transmisión, la actitud
personal del que enseña juega para CAP3
un papel fundamental.
Por otro lado, «transmitir adecuada-
mente» a los alumnos el contenido conlteva
para CAP3 la necesidad de estructurarlo:
el problema es cómo esos contenidos se
van a estructurar para poder ser transmiti-
dos a los alumnos (CAP3, 120-2) EEntrevista
general).
Las relaciones entre la estructura del
contenido y la transmisión se manifiestan
en la forma en que describe cómo puede
ser la enseñanza de las funciones. Una
característica de esta relación es la parcela-
ción del contenido, lo que le facilita, según
la imagen de la enseñanza de CAP3, la orga-
nización de la secuencia de enseñanza y el
aprendizaje de los alumnos. Esta caracterís-
tica es conforme con la visibn que CAP3 tie-
ne del contenido matemático, formado por
un conjunto de «pedazos• que se pueden
relacionar y conectar. F.sto le permite
enfrentarse a la enseñanza parcelando el
contenido y presentándolo en •pequrñvs
problemas• relacionados entre sí. I^ rste
modo, CAP3 dice que puede ayuclar a mejo-
rar la capacidad de rawnamiento. Por con-
siguiente, reconoce la necesidad de tener
una organización (secuenciaU de la enx-
ñanza dada a través del propio contenido:
Me haría falta tener un esyuema general del
proceso secuencial de enseñanza (CAP3,
97-8) (Entrevista generall.
Este esquema secuencial se apoya en
el contenido matemático según yurdá
^51
reflejado en los criterios utilizados en la
clasificación y análisis de las tareas como,
por ejemplo, la separación de las relacio-
nes funcionales en lineales y no lineales y
condiciona en gran medida la interpreta-
ción de las tareas.
- Las iimágenes sobre el aprendizaje de
las Matemáticas. Qué y cómo se
manifiestan
Coherente con su imagen de la ense-
ñanza como transmisión, para CAP3, las
dificultades de los alumnos en el aprendi-
zaje son entendidas como una explicación
defectuosa:
la causa de que se produzca esto lerror
cometido por el alumno ante una tareal es
un fallo que ha habido en la introducción
del concepto de función. No se le ha expli-
cado bien al alumno lo que es una función
(CAP3, 2027-2029) f Caso 11.
la razón es una falta al explicar las funcio-
nes (CAP3, 2056-2057)ICaso 2].
Por otra parte, y de acuerdo con su
idea de parcelación de contenido como
facilitadora de la organización de la
secuencia de enseñanza, el aprendizaje de
las Matemáticas se ve como un proceso de
escalonamiento en el que es necesario
aprender unas cosas para poder aprender
las que siguen a continuación. Establece
una distinción entre problema y ejercicio.
En el problema, el alumno debe apoyarse
en lo que sabe y utilizario en la resolución
y sirve de anclaje a unos conceptos que se
acaban de dar, concretando la explicación.
Otro aspecto del contenido de las
imágenes sobre el aprendizaje nos lo pro-
porciona el hecho de que para determi-
nadas tareas CAP3 considera que hay que
•acompañar• al alumno en su resolución y
en otras, el alumno puedr enfrentarse a la
tarea sin ayuda. T'ambién establece una
diferenciación entre fallos individuales,
que implicarían que un tratamiento sería
mtiy específico de cada altimno o colecti-
vos, yue supondrían para el profesor vol-
ver hacla atrás. Además, CAP3 vinculzt al
aprendizaje de las Matemáticas escolares
a la motivación, destacando su importan-
cia como medio de enganchar al alum-
no.
- Influencia de las imágenes en la
ílnterpretación de las tareas escolares
A través de la clasificación y análisis de
las tareas, se pone de manifiesto el papel
predominante que para CAP3 desempeña
el contenido matemático para articular la
enseñanza. Le parece fundamental lo rela-
tivo al diseño de tareas y actividades, ya
que es el paso del •conocimiento que tiene
el profesor• a•transmitirlo a otros•, señalan-
do que:
la clave fundamental es .., el paso que va
desde el profesor que tiene un conocimien-
to del contenido, y lo tiene él, y ahora dice:
•Este contenido tengo que... transmitirlo a
otros individuos... entonces el sabcr plante-
ar ejercicios, el saber plantear cosas que
vayan ayudando al alumno a entender las
cosas, asimilarlas, a hacerlas suyas, a hacer-
las propias... eso es fundamental (CAP3,
473-476) [Entrevista generall.
Así, las tareas son vistas como algo quf:
ayuda al alumno a entender y asimilar con-
ceptos, y los fallos (las dificultades de
aprendizaje) serían defectos en la transmi-
sión (explicaciones defectuosas).
La organización del contenido matemá-
tico es el criterio utilizado en la rlasificación
de las tareas independientemente dr yue la
perspectiva fuese la enseñanzít o el aprrn-
dizaje. Las tareas se ven con relación a si las
funciones que aparecen son linralcs o na
lineales. Es el contenido matemátiro de la
tarea el que le sirve wmbién para establccer
las dificultades de aprendizaje: las tareas
fáciles son las que contienen funcicanes
lineales y tareas difíciles son las yue cantie-
nen funciones no linealrs. A1 plantearle si
hubiera salido una clasificacián parecida si
el criterio hubiera sido dificultad de apren-
dizaje, señala en su respuesta:
... primero irían las funeiones lineales, cien-
tro de las funcicmes lincales parrrería las
452
que tienen una formulación estrictamente
matemática, aplicarían esos conocimientos
[...1 y creo que los que más grado de difi-
cultad requieren son en este caso los no
lineales (CAP3, 998-1000; 1003-4) [Clasifica-
ción de tareasl.
Y también para la secuencia de ense-
ñanza: primero las lineales y luego las no
lineales, con la salvedad de la introduc-
ción de lo que es función, como se ha
puesto de manifiesto en el protocolo de la
sección anterior. Además, el proceso de
escalonamiento que es para CAP3 el
aprendizaje influencia la forma de consi-
derar la necesidad del uso de determina-
das tareas para organizar la secuencia de
enseñanza
Éstos son los aspectos a través de los
queCAP3 •ve• las tareas con funciones. En
este sentido, esos aspectos forman parte
de las diferentes perspectivas a través de
las que CAP3 hace operativas sus imáge-
nes de la enseñanza y aprendizaje en la
interpretación de las tareas. Por otro lado,
la vinculación que establece entre apren-
dizaje y motivación le lleva a considerar la
necesidad de utilizar tareas que permitan
motivar (enganchar) al alumno, aunque
no establece características concretas que
deben cumplir las tareas para lograr moti-
var.
EL G.SO DE CAP4. LAS CONCEPCIONES SOBRE
IA NAIURAI.SZA DE LAS MATEMÁTIGAS Y SU
u^m.uENCU EN iws n►n^cENES soBSE u
ENSERANZA/APRENDIZ^E DB IA3 MATEIIŬTIG3
ESCOLARES
- Ias ilmágenes de la enseñanza de las
Matemáticas: Qué y cómo se mani-
f>lestan
Las imágenes sobre la enseñanza de las
Matemáticas de CAP4 derivan, tanto cn su
aspecto negativo como en el positivo, de
memorias concretas relacionadas con dife-
rentes profesores y de sus concrpcianes
sobre las Matemáticas. Otras contenidos de
sus imágenes de la enseñanza de las Mate-
máticas proceden de su forma de concebir
las Matemáticas. Para CAP4, las Matetnáti-
cas son •un conjunto de instrumentos que
se utilizan mucho•. Una consecuencia para
la enseñanza es •tener que explicar la utili-
dad de las Matemáticas•. La motivación es
el vínculo de unión entre este objetivo de
la enseñanza y el aprendizaje:
Es lo que me gustaría intentar, que tuviesen
un mínimo de motivacián. No lo voy a con-
seguir con toda la clase. A lo mejor, incluso
el primer año no lo consigo con nadie, lno?
Pero pienso que eso es fundamental a la
hora de... ser un profesor. Intentar captar el
interés y explicarles, saber expllcarles la
utilidad de la aslgnatura (CAP4, 120-125)
[Entrevista generall.
Las Matemáticas son útiles, y si se puede
dar a un alumno, se les puede ver la utili-
dad antes de que ellos se den cuenta,
mejor, porque así lo aprenden con más
ganas (CAP4, 646-648) (Entrevista generall.
Por otro lado, considera necesario
tener unos objetivos relacionados con un
determinado contenido maternático que
guíen la enseñanza. A1 preguntarle sobre
las tareas o los ejercicios que se pueden
proponer a los alumnos, indica:
yo pienso que ... siempre yue tienes unos
objetivos y quieres que los alumnos
aprendan, que te la profundicen un deter-
minado conocimiento. Pues tú dehes
saber como hacer las cosas, como diseñar
las actividades para lograr eso yue quie-
res. Por supuesto que tirnes yue tener
una idea... (CAP4, 413-417) lEntrevista
generaU.
Este •cámo hacer las cosas• queda
reflejado en su secuencia hipotética clel
rantenido en el tema funciones, en la que
el énfasis se coloca sobre aspectos mera-
mente sintacticos, con poc:a atención a la
noción de relación entre variables y cova-
riación. Lo •intuitivo• es entcndido comU
tablas, posihlrmentc por el carcirter cfiscre-
to de los valores frtnte a la idea de •gr.ífi-
ra•.
453
- I.as ím^igenes sobre el aprendizaje:
Qué y cómo se manitiestan
Con respecto a la forma de aprender
Matemáticas, CAP4 vincula los aspectos
positivos de su aprendizaje a ta satisfacción
que produce ver que los instrumentos que
proporcionan las Matemáticas «funcionan•.
Para CAP4, el comprender los aspectos teó-
ricos y disfrutar cuando salen las cosas se
relaciona con un •pasatiempo• gratificante.
Los aspectos negativos de su aprendizaje
perrnanecen ligados a una enseñanza •des-
ordenada•:
... te explicaban límites, te explicaban teo-
rta, te explicaban lo que era la integral deFi-
nida.., tú te ibas a los boletines y al final
sabías que no te iban a salir y sabías que no
era cosa tuya... y ya te resignabas, pero al
principio... Esa ha sido la peor manera que
yo he tenido de aprender Matemáticas
(CAP4, 617-622) (Entrevista generall.
Con relación a las diflcultades de
aprendizaje del contenido matemático de
los alumnos del Secundaria, CAP4 usa
expresiones como •mal aprendizaje•, que
tiene distintos orígenes: •falta de asimila-
ción del concepto•, un •procedimiento
algorrítmico muy mal cogido• o una •con-
fusión o no tener claro qué es io que tiene
que variar en una función•, que vincula a
un desconocimiento de los instrumentos y
conceptos que se necesitan para resolver el
problema. Coherente con este punto de vis-
ta, ve como soluciones el volver a enseñar-
los. De este modo, las imágenes sobre el
aprendizaje de CAP4 parecen relacionadas
con el manejo de los aspectos sintácticos
que caracterizan su secuencia hipótetica de
contenido. Para CAP4, aprender es una
cuestión de asimilar la información propor-
cionada previamente por ei profesor.
- Intluencia de eatas imdgenes en la
ínterpretación de las tareas matemá-
tícas escolares.
La idea del trabajo en grupo, que se
identifica en la parte positiva de sus imáge-
nes sobre la enseñanza, se manifiesta cuan-
do se le plantea cómo enseñaría él una
determinada tarea:
Pero si veo que el problema es fácil y parte
de la experiencia, por ejemplo, yo los pon-
dría a hacerlo en grupo directamente, por-
que no es... no parece un problema dema-
síado difícil, según... (CAP4, 1572-1575)
(Análisis de tareas, Tarea D1.
En estos comentarios parece apreciarse
que las tareas consideradas como fáciles
son las que permiten un trabajo en grupv,
asociandose el aumento de dificultad a la
necesidad de trabajo individual. Por otro
lado, aunque en sus planteamientos gene-
rales sobre la enseñanza, la motivación y el
captar el interés ocupan un papel relevan-
te, considerándose los vínculos con el
aprendizaje, no se mencionan apenas cn
las tareas. Parece que se vinculan más a la
propia actuación del profesor, ya que,
cuando menciona qué le parecería necesa-
rio saber para desempeñar su futuro traba-
jo como profesor, destara aspectos relacio-
nados con motivar a los alumnos, hacerles
la asignatura interesante, saber captar su
interés, etc., que son planteamientos gene-
rales no específicos de la enseñanza de las
Matemáticas
Su forma de concebir las Matemáticas
se pone de manifiesto en su interpretación
de las tareas escolares. Los problc:mas que
obedecen a lo que CAP4 considera contex-
tos reales ayudan a datse cuenta de yue
una herramienta como es la Matemáticas
puede servir para resolver esas situaciones
reales, y eso es precisamente lo yue apren-
de el alumno cuando se le plantean este
tipo de problemas:
Pues este tipo de problemas... otxdecen a
un caso real... Entonces, el alumno puede
darse cuenta de que... una herramienta
como es las Matemáticas le puecle servir a
lo mejor par•a resolver un caso real (CAP4,
1206-1208) [Análisis de tareas, Tarea Cl.
CAP4 ve las tareas escolares como un
medio de profundizar en el conorimirnto
454
matemático, siendo los ítems de conoci-
miento matemático la •guía» en la organi-
zación de tareas para la enseñanza. Sus
imágenes de la enseñanza, en las que se
vinculan los objetivos con el contenido
matemático, se ponen de manifiesto al
comentar qué tareas de las planteadas
considera necesarias que las hagan los
alumnos. Éstas se identifican con un obje-
tivo concreto (interesan para luego, mane-
ra sencilla de introducír la función, etc.),
siendo también un contenido matemático
específico todo lo que se puede aprender
con esas tareas. Al comparar la secuencia
de contenido que proporciona al sugerirle
el investigador cómo enseñaría las funcio-
nes (indicada en apartados anteriores), y
la clasificación espantánea que realiza
según un criterio de dificultad se aprecia
que los problemas que considera como
fáciles son los situados al principio de la
secuencia, y los difíciles, al final. Las imá-
genes sobre la enseñanza muestran una
doble cara. Por una parte, organizadas a
través de un índice de contenido matemá-
tico y solapado con este índice una •valo-
raciórn de fácil o difícil desde el principio
al final del tema. Sin embargo, las valora-
ciones realizadas son siempre vagas y sin
ninguna justificación (lo fácil es lo que
viene delante en el tema y lo difícil lo que
viene después).
EL CA.90 DE CAPS. LA MOTIVACIbN
- Las ílmágenes de la enseñanza de las
Matemáticas. Qué y cómo aemani-
tiestan
Una parte positiva de sus imágenes
sobre la enseñanza de las Matemáticas cstá
vinculada a experiencias previas. Para
CAPS, enseñar se considera gratificante y la
enseñanza es vista como comunicacibn y
está vinculada a la motivacián:
Siempre que he estado estudiando me he
imaginado, cuando no podía estudiar por-
que no me gustaba mucho... que lo yue yo
estaba aprendiendo se lo estaba enseñando
a la gente. Y entonces me resultaba muy
atractivo... y enseñar me resultaba gratifi-
cante y... esa comunicación es algo que no
es cerrado, que no se queda en ti mismo
(CAPS, 39-44) [Entrevista generall.
Cuando se plantea que indique una
forma de enseñar Matemáticas que ha visto
y que no le haya gustado, menciona como
característica la falta de comunicación.
Todo esto va configurando el contenido de
sus imágenes de la enseñanza, en las que
podemos destacar tres caraccerísticas: la
enseñanza como comunicación, motiva-
ción (necesidad de punto de enganche) y
secuencia de enseñanza vinculada a un
orden. Estas tres característlcas de la ima-
gen de la enseñanza se articulan en •su
estructura de una clase»:
... a mí me gusta mucho la siguiente estruc-
tura, la forma de dar clase. Primero motivar,
dando a conocer al alumno que ese proble-
ma que tú vas a explicar.,. o esa teoría
matemática proviene a!o meyor de unos
hechos reales de la naturaleza. Una vez que
has motivado, dar la idea de... la idea mate-
mática general, la idea superficial, georné-
trica, del desarrollo que vas a hacec Luego
enunciar el teorema a lo que vas... las defi-
niciones correspondientes, y una vez que
ya tienes que demostrar, pues dar una idea
de la demostración.1...) y al final concluyes,
y haces a lo mejor las observaciones que
tengas que hacer (CAPS, 350-358, 359-365)
(Entrevlsta general].
La búsqueda de una buena comunira-
ción se pone de manifiesto en que siempre
busca un diálogo directo con el hipotético
alumno al que van dirigidos sus cornenta-
rios:
Plantearía el pmbiema lo más real posible,
mo? Acercánclolo lo más posible a la reali-
dad del alumno. Y luego, pues lo harí^ en
la pizarra... dibujaría la ciudad: •^La ves?, el
segmento yue las une, ^no?• ... un par de
flechas indicando un poco [...) y luego,
depende ^no?, si es el primero que le fuer.i
a hacer... pues se lo haría (CAPS, 1461-
1469) [Análisis de tareas, tarea El.
455
Esta aproximación a la enseñanza se
vincula a una determinada •filosofía» con
relación a las Matemáticas reflejada en el
siguiente comentario:
Yo creo que lo primero que hace falta es
que el alumno reconozca la matemática
como un juego, como un mecanismo que
es divertido y que funciona siempre bien
(CAPS, 112-114) [Entrevista general).
La visión de las Matemáticas como un
juego permite concebir algunos aspectos
de la enseñanza. Así, ésta se considera
como algo en lo que se participa y que pro-
duce satisfacción. Para fomentar esa parti-
cipación, es fundamental una buena comu-
nicacibn entre profesor y alumna.
- Las imágenes del aprendizaje: Qué y
cómo se maniliestan
Las ideas de •diversión• (en el sentido,
mencionado en protocolos anteriores, de
que cualquier cosa que aprendas tiene yue
ser divertida) y •satisfacción» permanecen
vinculadas a lo que CAPS considera su
aprendi2aje más positivo.
Con respecto a los alumnos, aparecen
escasas referencias al aprendizaje. EI análi-
sis de las situaciones hipotéticas hace refe-
rencia a ideas previas erróneas, sin más
matizaciones, tal y como se manifiesta en el
siguiente protocolo:
Pues simplemente, que tiene una idea a
priori de lo que es una función errónea, tal
y como se ha dado en clase, ^no. No tiene
bien asimilado el concepto de función
(CAPS, 1H70-1873) [Caso 2).
Podríamos decir que sus imágenes
sobre el aprendizaje no le permiten esta-
blecer diferencias entre los distintos tipos
de dificultades de los alumnos puestas de
manifiesto en las respuestas a las situacio-
nes hipotéticas, viendo todas esas dificulta-
dcs desde una perspectiva general como
•falta• de conocimientos adecuados.
- Influencla de estas imágenes en la
ilnterpretación de Las tareas matemá-
ticas escolares
Una característica relevante en la forma
en que se contemplan las tareas es la pers-
pectiva general adoptada poco específica
del contenido matemático. Las ideas princi-
pales que se manifiestan son el lenguaje
con el que se redacta el problema, la posi-
bilidad de motivación, vinculada al contex-
to real del problema, y aspectos relativos a
las Matemáticas como modelación. Sólo se
hace mención del contenido matemáticó
cuando intenta justificar el uso de •tareas
técnicas» (sin contexto real) como una
manera de mostrar aspectos de la estructu-
ra matemática de una situación (se refleja
así su visión de las Matemáticas como
modelación de la realidad). La importancia
yue CAPS da a la comunicación en el pro-
ceso de enseñanza de las Matemáticas,
ligada a la parte positiva de sus imáf;enes
sobre la enseñanza, se pone de m:tnifiesto
en algunas de I:ts clasificaciones yue esta-
blece en las tareas propuestas.
Ese papel destacado de la comunica-
ción se aprecia cuando establece rriterios
de clasificación como el de •problemas
sencillos y aparatosos• (consider:tdos como
problemas largos como mucho enuncia-
do), vinculados a la idca de que la comuni-
cación no dcbe ser sólo de car:ícter verbal,
sino que el propio texto del problema puc-
de facilitarla:
Los problemas yue son largos... que sc ve
mucho enunciado, ^no?, que resultan apa-
ratosos... echan un poco para atrás y clc un
poco de pcreza abordarlos. Entonces cs
bueno cautivar al alumno con el enuncia-
do... porque si no lo cautivas desde el prin-
cipio... te cuesta trabajo conseguirlo (CAPS,
650-655) (Clasificación c1e tareasl.
Otro de los aspectos del contenido de
sus imágenes sobre la enseñanza esr.í rela-
cionado con la motivacicín, yue aparece
vinculada a las tareas •relacionadas ron la
realidad• Qo yue le permite estahlccer una
separación entre los problrmas yue son
reales frente a los problemas puramente
matemáticos). Así, considera criterios como
problemas que son rrales •yue atraen más
4 56
al individuo», frente a problemas que son
puramente matemáticos o •problemas que
te inducen a pensar» frente a problemas
que «si no te salen a la primera los abando-
nas». Los problemas no vinculados a situa-
ciones reales se considera que muestran el
«esqueleto» de una situación real.
Por ejemplo, éste. «Se sabe que la función
y x2+bx+c pasa por el punto (1,1), por el
punto (1,0) y por el punto (-1.1). Calcula b
y c». Bueno, estoy utilizando, no sé, el
ejemplo más típico, ^no? Pero este proble-
ma es más bien matemático, y al individuo
no le relaciona ese problema con su vida,
^no? Lo importante es que el problema ten-
ga algo que ver con su vida, con sus pro-
blemas, con sus... ilusiones. Entonces, no,
este problema no lo produce (CAPS, 582-
587) [Clasificación de tareasl•
La imagen del aprendizaje como algo
satisfactorio se refleja en el énfasis que
coloca en la satisfacción que produce en el
individuo la realización de la tarea conec-
tando la motivación y vinculación al mun-
do real con la necesidad del contenido
matemático:
Yo comenzaría motivando al alumno a la
necesidad del estudio de las funciones,
ino?, y de su representación gráfica,
mediante problemas reales. Y luego, una
vez ya los hubiere motivado, aunque fuera
un poco, empezaría con este tlpo de pro-
blemas que son tan técnicos (CAPS, 1091-
1094) (Análisis de tareas, tarea A).
Su consideración de las Matemáticas
como algo atrayente, un •juego» en el que
hay que participar, se vincula en las tareas
a la idea del interés que puede suponer
involucrarse en la resolución de las mis-
mas. Este aspecto de sus imágenes de la
naturaleza de las Matemáticas (Matemáticas
como un juego) influencia en alguna medi-
da su forma de considerar lo que supone
resolver las tareas para el resolutor: el par-
ticipar en un juego es algo grato (vinculado
a la idea de aprendizaje positivo) y los jue-
gos son algo que despiertan curiosidad en
el que participa. Enla justificación que da a
la necesidad de plantear tareas sin contex-
to (técnicas) es que son el «esqueleto de
una situación real». Esto puede interpretar-
se como que, aunque no son situaciones
reales (que para él eran las más idóneas
por atrayentes y motivadoras), bajo el pun-
to de vista matemático le parecen adecua-
das y necesarias:
Aunque puede ser aburrido en principio, es
necesario que el alumno tome manejo del
mecanismo este del cálculo de máximos y
mínimos, de puntos de inflexibn [...1. Por-
que luego en la práctica cuando le aparez-
ca un problema real tendrá que pasarlo a
modelo matemá^tico y ver matemáticamente
el compottamiento de la función máximos
y mfnimos. Entonces, sí que le hará falta
recunir a este tipo de problemas. O sea,
éste es quizás el esqueleto de un problema
real, ^no? EI problema real no aparece, pero
cs el esqueleto de un posible probiema real
(CAPS, 997-1000) lAnálisis de tareas, tarea
A].
UISCUSIÓN
Esta sección está dividida en dos aparta-
dos: el primero de ellos se centra en las
reflexiones sobre el origen y contenido de
las imágenes de los estudiantes par.i profe-
sores de Secundaria sobre la enseñanza, las
Matemáticas y el aprendizaje. En el segun-
do, se tiene en cuenta cómo determinan
estas imágenes la forma en que se conside-
raron las tareas con funciones (cómo se
conciben las tareas^n la enseñanza y cuál
es su papel).
OItIGEN Y CONTENIDO DE LAS 1MÁGENES:
LA QYFLUENQA DE [AS IMÁGENES DE tAS
MATEMÁ7'ICAS SOBRE IAS IMÁGENES DE IA
EN9ElaANZA Y APItENDIZAJE
Desde la caracterización teáric:a del térmi-
no •imagen» para referirnos a ciertos aspec-
tos de las cuncepciones de los estudiantes
pari profesor yur [a literatura ha estaclo
457
utilizando hasta estos momentos, cabe
reseñar la importancia que tiene la expe-
riencia previa en determinar algunos
aspectos del contenido de las imágenes,
apreciándose la gran vinculación enire las
experiencias pasadas y la formación de las
imágenes. El análisis realizado ha puesto
de manifiesto la diversidad en el contenido
(general y específico de las Matemáticas)
de las imágenes de la enseñanza/aprendi-
zaje de los estudiantes para profesores de
Matemáticas de Secundaria participantes
en el estudio. Estos aspectos están bastante
entrelazados pero es necesario separar sus
fuentes (la experiencia: memorias episódi-
cas) del contenido (de qué van las imáge-
nes: perspectiva general o disciplinar) para
intentar extraer mejores implicaciones para
los progcamas de formación. En la primera
dimensión, desde una perspectiva general,
la enseñanza es vista como sucesión de
pasos, transmisión, manejo de instrumen-
tos útiles, como comunicaciÓn, y el apren-
dizaje está vinculado al esfuerzo personal,
a una buena transmisión por parte del pro-
fesor o a la satisfacción personal (desde un
punto de vista utilitario o simplemente de
diversión).
La segunda dimensión que es preciso
considerar en el contenido de las imágenes
sobre la enseñanza y aprendizaje es la
perspectiva disciplinar (enseñanza/apren-
dizaje de las Matemáticas). Esta dimensión
es la que marca cierta diferencia. Aquí se
considera la influencia de la imagen de la
naturaleza de las Matemáticas como disci-
plina sobre las imágenes de la enseñanza y
las imágenes del aprendizaje. Mientras las
imágenes sobre las Matemáticas parecen
influir en las imágenes sobre la enseñanza
(las Matemáticas como un conjunto organi-
zado de conocimiento, conjunto de instru-
mentos, una visión más caleidoscópica que
Matemáticas como juego, estructura y
rnodelación de la realidad), esta influencia
no es tan ctara para las imágenes del apren-
dizaje de las Matemáticas. Se subraya así
que las imágenes sobre la naturaleza de las
Matemáticas parecen influir más sobre las
imágenes de la enseñanza que sobre las
del aprendizaje. La influencia de las imáge-
nes sobre las Matemáticas escolares en las
imágenes sobre la enseñanza de las Mate-
máticas se manifiesta en:
- cuando las Matemáticas son vistas
como un cuerpo de conocimiento
organizado jerárquicamente (CAP1),
la enseñanza es vista como una
secuencia de pasos donde el conte-
nido matemático indica qué viene
antes y qué viene después;
- cuando las Matemáticas se ven orga-
nizadas a través de grandes temas,
articulados a través de pequeños
«pedazos» relacionados, la enseñan-
za es vista como una transmisión
organizada secuencialmente a través
del contenido (CAP3);
- cuando las Matemáticas son vistas
como un conjunto de instrumentos,
vinculada a la idea de yue son útiles,
la enseñanza tiene como objetivo el
aprendizaje de estos instrumentos
(CAP4);
- finalmente, cuando las imágenes
sobre la naturaleza de las Matemáti-
cas son más •caleidoscópicas• (Mate-
máticas como juego, estructura,
énfasis en la unidad y la relarión de
las partes y como modelación de la
realidad), la enseñanza está vincula-
da a la motivación y una estructura
de la clase apoyada en la secuencia:
motivar, dar (a idea matemática,
enunciar teoremas/definiciones,
demostrar, hacer tareas (CAPS).
Con relación al aprendizaje, lo más
relevante es que son planteamientas grne-
rales, no específicos del aprendizaje de las
Matemáticas. Las referencias al aprendizaje
están vinculadas a su propia experiencia
de aprendizaje de las Matemátiras. Así, éste
se corresponde a expresiones como •vincu-
lado al esfuerzo personal», •rl aprendizaje
depende de la transmisión•, •aprendi•r.aje
458
como satisfacción de ver cómo funcionan
los instrumentos o las herramientas útiles• y
•el aprendizaje vinculado a la satisfacción
personal que produce (aprender es diverti-
do)•. En CAP1 y CAPS, el contenido de las
imágenes del aprendixaje se centra en el
aprendiz, mientras que en CAP3 el eje
sobre el que gira el contenido de estas imá-
genes es el profesor, vinculándose en CAP4
el contenido matemático y la satisfacción
personal.
PAPEL QUE DE4EMPEÑAN L^3 IINÁGF.NS,S HN IA
pVTBRpREPACiON DE I.AS TARF.AS MATEl14(71CA9
Escot.v^s
Considerando las tareas matemáticas esco-
lares como uno de los medios a través de
los que el profesor desarrolla su trabajo
con los alumnos, se plantea entonces el
papel que desempeñan las imágenes sobre
la enseñanza, el aprendizaje y la naturaleza
de las Matemáticas escolares al interpretar
dichas tareas. La influencia de las imágenes
sobre las tareas se manifiesta en la forma
en que los estudiantes para profesor consi-
deran el papel de las tareas en el proceso
de enseñanzataprendizaje.
EI contenido de sus imágenes sobre la
enseñanza es precisamente el que mediati-
za el papel que los estudiantes para profe-
sor dan a las tareas en el proceso de ense-
ñanza/aprendizaje. De esta manera, si en el
apartado anterior veíamos la vinculacián
existente entre las imágenes de la naturale-
za de las Matemáticas con las imágenes de
la enseñanza, aquí se muestra otro eslabón
de estas relaciones. Ese papel que desem-
peñarían ias tareas en el proceso de ense-
ñanza/aprendizaje nos permite profundi-
zar en el contenido de las imágenes que
mantenían los estudiantes para profesor.
Para los tres primeros (CAP1, CAP3 y
CAP4), las tareas desempeñan el papel de
proporcionar práctica de un contenido pre-
viamente dado por el profesor. Ahora bien,
con los matices descritos en la secrión
anterior, se deja entrever en ellos unas con-
cepciones de las Matemáticas como cuerpo
de conocimiento, más o menos estructura-
do. Sin embargo, en las imágenes de la
naturaleza de las Matemáticas y sus impli-
caciones en la enseñanza estos matices se
difuminan al identificarse el mismo objeti-
vo para las tareas en la secuencia de ense-
ñanza. Para estos tres estudiantes, se desta-
ca la idea de •aplicacibn• que desempeñan
las tareas. Se manifiesta la ausencia de
cualquier referencia a la idea de construc-
ción del conocimiento y aspectos particula-
res del aprendizaje de tópicos matemáticos
concretos. Por otra parte, en CAPS no se
identifica claramente el papel que deben
desempeñar las tareas en la secuencia de
enseñanza.
Los diferentes papeles desempeñados
por las imágenes de la enseñanza y el
aprendizaje,descritos en estos estudios de
casos, aportan ideas sobre los referentes
cognitivos con los yue los estudiantes
para profesor de Matemáticas de Secunda-
ria pueden interpretar la inforrnación pro-
porcionada en los programas de forma-
ción. Esto conduce a plantear cuestiones
referidas a un doble equilibrio entre la
perspectiva general frente a la perspectiva
disciplinar, y la enseñanza frente al apren-
dizaje. En este sentido, programas de for-
mación de profesores de Maternáticas con
un cierto énfasis en el curriculum de Mate-
máticas, organización de la enseñanza,
diseño de tareas, etc. pueden estar tratan-
do sólo ciertos aspectos del conocimiento
necesario para enseñar Matemáticas. De
aquí surge la siguiente cuestión: ^cuál
debería ser el equilibrio en los programas
de formacibn entre la información relativa
a la •enseñanza• y al •aprendizaje• de las
Matemáticas?
Nuestro análisis ha mostrado yue las
imágenes con las que los estudiantes para
profesor de Matemáticas de Secundaria lle-
gan al programa no se •refieren• en I.^ mis-
ma medida a la enseñanza y al aprendizaje.
Por otra parte, esta situacifin nos plantra
459
cómo integrar en formación de profesores
planteamientos generales sobre la ense-
ñanza y el aprendizaje que sean compati-
bles con unas determinadas filosofías de
las Matemáticas (naturaleza del conoci-
miento matemático), y nos Ileva a añadir
una nueva cuestión: ^hasta qué punto los
programas de formación de profesores de
Matemáticas de Secundaria pueden mante-
ner 1a integración de perspectivas genera-
les sobre la enset^anza y el aprendizaje con
las derivadas de la disciplina?
Todas estas preguntas inciden dlrecta-
mente en el diseño y organización de los
programas de formación de profesores de
Matemáticas de Secundaria. El contexto
específico de la formación inicial de los
profesores de Secundaria en España plan-
tea una particular reflexión. Los futuros
profesores reciben una amplia fomlación
en Matemáticas (o en otras licenciaturas
científicas) cuando se matriculan en el pro-
grama de formación de profesores (CAP o
CCP). A través de esta formación previa,
estos estudiantes pueden haber construido
unas imágenes sobre las Matemáticas y su
enseñanza-aprendizaje, que influyen en la
manera en que ellos llegan a caracterizar
sus experiencias de aprender a enseñar y
su futuro papeí como profesores. Conside-
rar estas influencias junto con la búsqueda
de equilíbrio en el contenido de esos pro-
gramas entre información centrada en
curriculum y la informacíón procedente de
cómo los alumnas aprenden ( información
desde las investigaciones sobre el aprendi-
zaje de las nociones matemáticas) es una
tarea que los formadores de profesores
deben abordar. Por último, no podemos
terminar estas páginas sin hacer referencia
a la colaboración prestada por los alumnos
del Curso de Aptitud Pedagógica que
acep[aron participar en este estudio. Su
interés y esfuerzo en contribuir en todo
aquello que pudiese mejorar su futura
labor como profesores de Matemáticas han
sido para nosotros un estímulo en el des-
arrollo de este trabajo.
BIBLIOGRAFfA
BALL, D. L.: •Unlearning to teach mathema-
tics», en For the Learning of Mathema-
tics, 8 (1988), pp. 40-48.
- •Prospective elementary and secondary
teachers' understanding of division», en
fournal for Research in Mathematics
Education, 21 (1990), pp. 132-144.
BALL, D. L.; McDtAw^ttND, G. W: «The Sub-
ject-matter preparation of Teachers, en
W. R. HotrsTON (Ed.): Handbook for
Research on Teacber Education, New
York, Macmillan, 1990.
BRANCO, I.; OttvEtxA, I.: •Teachers images
about learning mathematics and pro-
fessional development•. Paper present-
ed at the European Conference on
Educational Research, Sevilla, Septem-
ber,1996.
CALDERHEAD, J.: •The nature and growth of
knowledge in student teaching», en
Teachtng and Teacher Educatiort, 7
(5/6} (199i), pp. 531-535.
CALDERHEAD, J.; Rot3soN, M.: •Images of tea-
ching: student teachers' early concep-
tions of classroom practice•, en Tea-
ching f^ Teacher Education, Vol. 7,
No.l (1991), pp. 1-8.
C[ANDININ, D. J.: Classroom practice: 7éa-
cher images tn action. London, Falmer
Press,198d.
CONNELLY, F. M.; CUNDiNTN, D. J.: •Personal
Practical knowledge and the Modes of
Knowing: Relevance for Teaching and
Learning•, en EtsNEtt & ELt.iou (ed,):
Learning and teaching the wuys of kno-
wing. Eighty Fourth Yearbook of the
Nattonal Society for the Stu^ly of Edt^ca-
tion, part 2.,Chicago, University of Chi-
cago Press, 1985.
Ettntrr, M.: •Knowledge creation and kno-
wiedge use in professiona) context», en
Studies in HigherEducation, 10 (1985),
pp.117-133.
ELaAZ, F.: Teacherthtnking: Ast:^dyoff'rac-
tical knowledge. New York, Croom
Helm, 1983.
460
GARCIA, M.; LLINARES, S.: «Algunos referentes
para analizar tareas matemáticas. EI
desarrollo de un proceso en el caso de
las funciones», en Suma, 18 (1995), pp.
13-23.
GATES, P.: •Frames for teaching», en J. P.
PoNTE ET AL. (edtsJ: Desenvolvimento
Profissional dos Professores de Mate-
mática. Que Formaçao.^. Secçao de
Educaçao Matemática. Sociedade Por-
tuguesa de Ciencias da Educaçao,
1996.
HANNAY, L. M. «The Role of Images in the
Secendary Schnol Change Process•, en
Teachers cind teaching: theory and prac-
tice. Vol. 2, No. 1(1996), pp. 105-121.
JOHNSTON, S.: •Images: A way of understan-
ding the practical knowledge of stu-
dents teachers», en Teaching ^ Teacher
Education, Vol. 8, No. 2(1992), pp.
123-136.
LLINARES, S.: •Conocimiento Profesional del
Profesor de Matemáticas: Conocimicn-
to, Creencias y Contexto en Relación a
la Noción de Función•, en Desent^olui-
mento Profustonal dos Professores da
Matemática. Que Formaçao?. Secçao
de Educaçao Matemática. Sociedade
Portuguesa de Ciencias da Educaçao,
1996, pP. 47-82.
LLtNARES, S.; SÁNCHF.Z,V.: «The understan-
ding of mathem<Ftical topics and ins-
tructional representations: the case of
fractions and rational number by pros-
pective elemnetary teachers», en GIM^-
NF.Z, LLINARES ^Ŝt SÁNCHEZ (ed1S.): BeCO-
ming a Prtmary "1'eacher. Issues from
Mathematics EducaNon. Badajoz,
Indugrafic, 1996.
MORINE-DERSHIMER, G.: •Teacher plan and
classroom reality: The S. Bay Stucly,
part 4•, en Researc.h monograph series.
Institute for Research on Teaching.
University of Michigan, 1979.
MuRA, R.:. »Images of Mathematics Held by
University Teachers of Mathematics
education», en Educational Sudies irt
Matematics 28 (4) (1995), pp. 385-399.
RovLET, G.: •Subject Integration and Mathe-
matics Teachers' Practical Knowledge,
en Teachers and teaching:theory and
practice, Vol. 2, No. 1(1996), pp.87-
103.
SÁNCHEZ, V.; LLINARES, S.: •Habitual SChOOI
practices and problem solving situa-
tions: The case of Carlota•, en GIMt`NEZ,
LLINARF.S c^c SÁNCHF.Z (CdIS.^: BCCOlrtlrrj.; CI
Prilnary Teac.her. lssues fi•orn Mat.hc^-
matics Educaliort. tiadajoz, Inclu^;raFic,
1996.
- •How prospective secondary teachers
think about mathematics tasks». Paper
presented at the European Conference
on Educationa) research. Sevilla, Scp-
tember, 1996.
THOMPSON, A. G.: •Teachers' beliefs anci
conceptions: a synthesis of research»,
en I). A. GROtnws (ed.): Hartdhook o/'
Research on Mut.hematics 7^^uc%in^;
and Learrtirtg New York: Macmillan,
1992, pp. 127-146.
WusoN, S. M..; SHULMAN, L,; RICHFat^l^, A. E.:
«150 different ways• of knowing: Repre-
sentations of knowledge in tcaching,
en J. CALIat:wtEAn (ed.): E^plorirtg tc^a-
c.hers' thinkirag (pp. 104-124 ). London,
Cassell, 1987.
•ti61