UNIDAD 5 - Desigualdades y Valor absoluto 2020

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UNIDAD 5 
 DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 
 
INTERVALOS 
 
Definición 
 
Dados dos números reales a y b con a < b, se llama intervalo de extremos a y b, al conjunto infinito de 
números reales comprendidos entre a y b. 
 
 
a.- Intervalo cerrado:    babxax , /  
 
 
 
b.- Intervalo abierto:    babxax , /  
 
 
 
c.- Intervalo semiabierto a la izquierda 
    babxax , /  
 
d.-Intervalo semiabierto a la derecha 
    babxax , /  
 
 
Intervalos infinitos 
 
a.- Reales mayores o iguales que a:     ,/ aaxx 
 
 
b.- Reales mayores que a:     ,/ aaxx 
 
 
c.- Reales menores o iguales que b:    bbxx ,/  
 
 
d.- Reales menores que b:    bbxx ,/  
 
 
 e.- Conjunto de números reales:   , 
 
 
 
 
 
INECUACIONES 
 
Las inecuaciones son desigualdades que se satisfacen para algunos valores de sus incógnitas. Los valores 
que satisfacen a una inecuación, constituyen las soluciones de la misma. 
 
 
DESIGUALDADES 
 
Los símbolos < (“es menor que”) y > (“es mayor que”) se definen de la siguiente manera: 
 i) a < b sí y solo si b – a es positivo 
 ii) a > b sí y solo si a – b es positivo 
 
Los símbolos  (“es menor o igual que”) y  (“es mayor o igual que”) se definen de la siguiente 
manera: 
 i) a  b sí y solo si a < b o a = b 
 ii) a  b sí y solo si a > b o a = b 
PROPIEDADES 
a) Si a < b y b < c, entonces a < c 
b) Si a < b entonces a + c < b + c, siendo c cualquier número real 
c) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d 
d) Si a < b y c es cualquier número positivo a c < b c 
e) Si a < b y c es cualquier número negativo a c > b c 
 
La propiedad d) establece que si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por un 
número positivo, el sentido de la desigualdad permanece invariable, mientras que la propiedad e) 
establece que si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por un número negativo, cambia el 
sentido de la desigualdad. 
Las propiedades d) y e) también son válidas para la división, ya que dividir ambos miembros de 
una desigualdad en un número p, es equivalente a multiplicar ambos miembros por 1/p. 
Todas las propiedades enunciadas anteriormente se cumplen en el caso de invertirse la 
desigualdad. 
Existen muchos tipos de inecuaciones, siendo estudiadas en la asignatura las polinómicas de 1er 
y 2do grado, y las racionales (todas en una variable). 
 
Ejemplos: inecuaciones de 1er y 2do grado en una variable 
 
 2x - 4 < 5; 9- 2x< 1; x2 + 7x - 1 > 0; -2x2 + 7x < 5; 
 
 
 

INECUACION DE PRIMER GRADO: 
 
Una inecuación de primer grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o 
mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes: 
 ax+b > 0; ax+b < 0; ax+b ≥ 0 ó ax+b ≤ 0, con a y b reales, a≠0 
 
 
La forma de resolver una inecuación de primer grado es aplicando las propiedades de 
desigualdades y definir el conjunto solución mediante un intervalo. 
 
 
Ejemplo: 
 (8/3)x + 4  2x - 6 
 (8/3) x - 2x  -6 – 4 = -10 
 (2/3) x -10 
 x ≤ -15 
es decir: el conjunto solución es:  51/  xRx=S , 
cuya representación en intervalos es: )S 15,(  
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
INECUACION DE SEGUNDO GRADO: 
 
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente 
o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes: 
ax2+bx+c > 0; ax2+bx+c < 0; ax2+bx+c ≥0 ó ax2+bx+c ≤0 con a, b y c reales y a≠0 
Resolver la inecuación es encontrar el intervalo o los intervalos de la recta real donde se verifica 
la desigualdad. Para su estudio, vamos a distinguir tres casos según sea el discriminante de la ecuación 
cuadrática a resolver: 
 
DISCRIMINANTE POSITIVO D > 0: 
Cuando b2- 4ac > 0 la ecuación ax2+bx+c = 0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y x2, y 
podemos escribir: 
 ax2+bx+c = a·(x-x1)·(x-x2) 
Bastará con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio. 
 
DISCRIMINANTE CERO, D = 0: 
Cuando b2- 4ac = 0 la ecuación ax2+bx+c=0 tiene una solución real doble, x1= x2, y podemos 
escribir: 
 ax2+bx+c=a·(x-x1)2 
-15 
Como (x-x1)20, el trinomio tendrá el signo del coeficiente a y será nulo para x = x1. 
 
DISCRIMINANTE NEGATIVO, D < 0: 
Cuando b2- 4ac < 0 la ecuación ax2+bx+c=0 no tiene solución real (no hay puntos de corte con el 
eje x). Por lo tanto, el signo del trinomio es el mismo que el del coeficiente a. En este caso no lo podemos 
factorizar como producto de sus raíces. 
Una vez factorizado el trinomio, se desarrolla el estudio del signo, de cada factor variable, a lo largo 
de toda la recta real. Con el signo del trinomio encontramos el intervalo (o intervalos) solución. 
- Ejemplo1 : Resolver la desigualdad: x 2 − 6x + 8 > 0 
Buscamos la factorización de x2 −6x+8=0
 
x2 − 6x + 8= 1.(x-4) (x-2) > 0 
Daremos 2 formas de resolver estos ejercicios. 
1era Forma de resolución 
(x-4) (x-2) > 0 Para que el producto de los dos factores sea positivo, entonces ambos 
factores deben tener el mismo signo (por regla de los signos). Tendremos las condiciones: 
Ambos factores positivos 
{
𝑥 − 4 > 0 → 𝑥 > 4
^
𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2
 
 
O bien: ambos factores negativos 
{
𝑥 − 4 < 0 → 𝑥 < 4
^
𝑥 − 2 < 0 → 𝑥 < 2
 
 
 
SF = SR = S1  S2 = (-∞,2) (4,∞) 
 
 
 
SN = {1,5,6,7, …} 
 
0 2 4 
S1= ( 4, ∞) 
0 2 4 
S2= (-∞ , 2) 
 
0 1 5 6 7 
 
SZ = {…, -1, 0,1,5,6,7, } 
 
 
2da Forma de resolución 
 Teniendo en cuenta que las raíces x1 y x2 dividen la recta real en tres intervalos: 
(-∞, 2), (2,4) y (4, ∞), elegimos para reemplazar un punto de cada uno de ellos para 
analizar su signo: 
 
El 0 pertenece al intervalo (-∞, 2), 3 pertenece al intervalo (2, 4) y 5 pertenece al intervalo (4, ∞) 
P(0) = 0.2 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 3.2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 
 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 
 
Ejemplo2 : -2x2 + 6x - 4  0 
Buscamos la factorización de -2x2 + 6x - 4 = 0 
𝑥1,2 =
−6 ± √(−6)2 − 4(−2)(−4)
2(−2)
 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥1 = 1 𝑥2 = 2 
De modo que -2x2 + 6x - 4 = (-2) (x-1) (x-2)  0 
1era Forma de resolución 
Trabajar con (-2) (x-1) (x-2)  0 es lo mismo que trabajar con 2 (x-1) (x-2) ≤ 0 
Como el producto es negativo, los factores deben tener distinto signo. 
Consideramos primero 
{
𝑥 − 1 ≤ 0 → 𝑥 ≤ 1
^
𝑥 − 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2
 
 
 
 
0 1 2 
S1= ϕ = {} 
 
 -2 -1 0 1 5 6 7 
S = (-∞, 2) U (4, ∞) 
4 2 
Luego 
 
{
𝑥 − 1 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 1
^
𝑥 − 2 ≤ 0 → 𝑥 ≤ 2
 
 
 
 SF = SR = S1  S2 = Ø  [1,2] = [1,2] 
 
 
 SN = {1, 2 } SZ = {1, 2 } 
 
 
2da Forma de resolución 
 
Teniendo en cuenta que las raíces x1 y x2 son solución de la desigualdad, y que dividen la recta 
real en tres intervalos: (-∞, 1), (1,2) y (2, ∞), elegimos para reemplazar un punto de cada uno de ellos 
para analizar su signo: 0 pertenece a (-∞, 1), 3/2 pertenece a (1, 2) y 3 pertenece a (2, ∞) 
 
 
 
 
 
 
P(0) = (-2) (0-1) (0-2) < 0 P(3/2) = (-2) (3/2-1) (3/2-2) > 0 P(3) = (-2) (3-1) (3-2) < 0 
Se concluye que SF = SR = [1,2], SN = {1, 2 }, SZ = {1, 2 } 
OBSERVACIÓN: la solución es única, es decir, se obtiene la misma sin importar el método utilizado. 
 
INECUACIONES RACIONALES 
 
Una inecuación racional es cualquier desigualdad que, directamenteo mediante 
transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las siguientes formas: 
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
> 𝟎; 
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
≥ 𝟎; 
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
< 𝟎; 
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
≤ 𝟎 , con P(x) y Q(x) polinomios, Q(x)≠0 
 
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay 
que tener presente que el denominador no puede ser cero. Una vez factorizado los polinomios del 
numerador y del denominador, se desarrolla el estudio del signo, de cada factor variable, a lo largo de 
toda la recta real. 
Ejemplo 1: 
 
0 1 2 
S2= [1,2] 
Escriba aquí la ecuación.
1 2 
(-) (+) (-) 
0 1 2 
0 1 2 
Si consideramos el análisis de signos, resulta que las posibilidades son: Que numerador y 
denominador tengan igual signo (ambos positivos o ambos negativos) 
I) {
𝑥 − 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2
 ^
𝑥 − 4 > 0 → 𝑥 > 4
 
 
 
II) {
𝑥 − 2 ≤ 0 → 𝑥 ≤ 2
 ^
𝑥 − 4 < 0 → 𝑥 < 4
 
 
 
SF = SR =(-∞,2]  (4,∞) 
 
 
 
SN = {1,2,5,…} SZ ={…,-2, -1, 0,1, 2, 5,…} 
 La solución gráfica son puntos sobre la recta real 
 
 
Ejemplo 2: 
5
𝑥+4
> 1 x≠ (-4) 
 
Debemos transformarla a la forma equivalente: 
 
5
𝑥+4
> 1 ⇒
5
𝑥+4
− 1 > 0 ⇒
5−𝑥−4
𝑥+4
> 0 ⇒
1−𝑥
𝑥+4
> 0 x≠ (-4) 
 
{
1 − 𝑥 > 0 → 𝑥 < 1
^
𝑥 + 4 > 0 → 𝑥 > −4
 
 
 
O bien 
 
{
1 − 𝑥 < 0 → 𝑥 > 1
^
𝑥 + 4 < 0 → 𝑥 < −4
 
 
 
 
 
 SF = SR = (-4,1) 
 
 
 
SN = Ø = {} SZ ={-3,-2, -1, 0} 
La solución gráfica son puntos sobre la recta real 
0 2 4 
S1= (4,∞ ) 
0 2 4 
S2 = (-∞, 2] 
0 2 4 
-4 0 1 
S1 = (-4,1) 
 
-4 0 1 
 S2 = ϕ = {} 
 
-4 1 
 
VALOR ABSOLUTO 
 
Si x es un número real, el valor absoluto de x, denotado por x , se define así: 
 






0
0
xsix
xsix
x 
También puedes encontrarla en otros textos como: 2xx  
 
Ejemplos: 55  , 22  , .00  
En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre positivo o cero, es decir 
. todopara 0 Rxx  
 
Significado geométrico del valor absoluto de x. 
 
Desde el punto de vista geométrico del valor absoluto de x es la distancia del punto x de la recta real 
al origen, esto es, al punto 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la misma manera, la distancia entre dos puntos cualesquiera, es decir, entre dos números reales 
x e y, es 
 .),( xyyxyxDist  
Lo cual nos dice que no importa la dirección o cuál es el número mayor. 
 
 
Propiedades del valor absoluto 
a) ∀𝑥 ∈ 𝑅, |𝑥| ≥ 0 
b) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅, |−𝑥| = |𝑥| 
c) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦| 
d) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, |
𝑥
𝑦
| =
|𝑥|
|𝑦|
 
e) 𝑆𝑖 𝑎 > 0, |𝑥| = 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎 
f) Si a > 0, , si sóloy si axaax  
 
 es decir,   -a,aervalo alpertenecex int 
g) Si a > 0, , si sóloy si axaax  
 es decir,   -a,aervalo alpertenecex int 
h) Si a > 0, , o si sóloy si axaxax  
 es decir,    , , aaervalo alpertenecex int 
i) Si a > =0, , o si sóloy si axaxax  
 es decir,    , , aaervalo alpertenecex int 
 
Ejemplo 1: 
 
Determinar el valor de x que verifica: 84 x . 
Aplicando la propiedad “e” del valor absoluto, tenemos que: 8)( 4 o 8 4  xx . 
 
Resolviendo cada ecuación 4 o 12  xx . 
Por lo tanto, la solución de la ecuación dada en el conjunto de los números Reales es: 
 SR = {12, -4} Solución en R 
 SN = {12},  4,12 ZS Soluciones en N y en Z 
 
Ejemplo 2: 
Encontrar los valores reales de x que satisfacen: 34163  xx 
La ecuación dada se cumple si  34163 o 34163  xxxx 
Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene 
7
13 xo 19 x , 
que son las soluciones de 
la ecuación dada,  
7
13,19 RS . SN= {19}= SZ 
 
Ejemplo 3: 
Determinar todos los números reales que satisfagan la siguiente desigualdad: 162 x . 
Para resolver una desigualdad en la cual intervienen valores absolutos, se debe hacer uso de las 
propiedades de los valores absolutos. Así, la desigualdad planteada se verifica si 
 
1418- 
 miembro cada a 2 restando 21622216
f"" propiedad por 16216 



x
x
x
 
Se puede concluir que: 
 41x18- si sóloy si 162 x 
Por lo tanto el intervalo solución de la desigualdad dada es  14,18RS 
 
 
 -18 14 
Ejemplo 4: 
 
Determinar todos los números reales cuya distancia a (-4) sea mayor o igual que seis. 
 
El conjunto pedido puede expresarse mediante la siguiente desigualdad: 64 x . 
Para resolver una desigualdad en la cual intervienen valores absolutos, se debe hacer uso de las 
propiedades de los valores absolutos. 
Así, la desigualdad planteada se verifica si 
 
)10(2 
:
i) propiedadpor )6(464 


xox
obtenemosddesigualdacadaoresolviend
xox
 
Se puede concluir que: 
 (-10)xo2 si sóloy si 64  xx 
Por lo tanto, el intervalo solución de la desigualdad dada es 
 
 
    ,210,RS 
 
 SZ= {…-9, -10, 2, 3, 4,…} SN= { 2, 3, 4,…} 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº5 
 
1.- Completar la tabla llenando los espacios con la notación adecuada: 
 
Intervalo Conjunto Gráfico 
[−3, 5) 
 𝑥 ≤ 5 
 
 
 3 ≤ 𝑥 ≤ 12 
 
 
2.- Resolver y graficar en la recta real: 
 a) 5.(2-3x) > 3.(2-3x) b) 
2
3
𝑥 ≤ 7 c) 6x - 6 < 
5𝑥−1
2
 d) 
𝑥
2
+
𝑥+1
7
< 𝑥 − 2 
 
 e) 𝑥 +
3
2
≥
𝑥
2
− 1 f) x
x
2
7
3
12


< (-4) g) 
2
37
1
6
95 xx 


 
 h) -2 < 2x + 7 < 25 i) 
𝑥
2
+
𝑥
3
> 5 j) −4 < 2𝑥 − 3 < 4 
 
3.- Las temperaturas en escala Fahrenheit y Celsius (centígrados) están relacionados por la fórmula 
𝐶 =
5
9
(𝐹 − 32) ¿A qué temperatura Fahrenheit corresponderá una temperatura en escala 
centígrada que se encuentra entre 30° ≤ 𝐶 ≤ 40°? 
-10 2 
4.- EL producto bruto interno (PBI) de un país está proyectado en 𝑡2 + 2𝑡 + 50 miles de millones de 
dólares, donde t está medido en años a partir del año en curso. Determinar en qué instante el PBI 
del país será igual o mayor de $58 mil millones 
5.- Se encontró que la relación entre la temperatura T (medida en grados centígrados) y la profundidad 
x (medida en kilómetros) está dada por la siguiente relación: 
 𝑇 = 30 + 25(𝑥 − 3) ¿A qué profundidad la temperatura estará entre 100 y 200 grados? 
6.- Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad. Dar la solución en el conjunto de 
los números Reales, Naturales y Enteros e ilustrar la solución en la recta numérica. 
 a) 022  yy b) 0432  xx c) 012
2  xx d) -2x2 +6x – 3 < 1 
 e) 0
3
4



x
x
 f) 0
3
24



x
x
 g) 0
2
312



x
x
 h) x2/3  4 
 i) (2x +1)(x +1) + 3 2 x² + 1 j) (x - 2)(x +3)  (x +2)(x -1) k) 1 < x1/2< 4 
 l) 
x
7
< 4 m) 
2x
x
>3 n) 
2𝑥+1
𝑥+3
> 3 
 
7.- Encontrar todos los números reales que satisfagan la igualdad o desigualdad dada, dar el intervalo 
solución e ilustrar la solución sobre la recta real. También dar la solución en el conjunto de los 
números naturalesy enteros. Graficar en la recta real los diferentes conjuntos. 
a) 2x - 5 = 7 b) 7 -4 2 - x = (-1) c) |
3−𝑥
3
| − 2 = 0 d) 3x+1 = x+1 
 
 e) 131  xx f) 123 x g) 2 - x  2 h) 3x - 1 + 1  -3 
 
 i) (1-x)/2 ≤ -1 j) |2𝑥 − 1| ≥ 3 − 𝑥 k) |𝑥 + 5| = |3𝑥 − 2| l) 3. |2𝑦 + 6| − 9 < 27 
 
 m) 2 4x - 1 > 9 n) x2 < 81 o) (x-3)(x+1) < 1 - 2x p) 2x2 -18 ≥ 0 
 
 q) x2 -2x – 3 < 0 r) 2x-1< 5 s) 18x – 3x2> 0 t) (x – 2)2 = 0 u) |
𝒙+𝟏
𝒙−𝟓
| = 𝟏 
 
8.- Teniendo en cuenta el punto de vista geométrico del valor absoluto, i) expresar los siguientes 
conjuntos numéricos; ii) determinar todos los números reales que cumplen con cada condición; iii) 
Graficar 
a) “Todos los números reales cuya distancia al origen sea menor que 5”. 
b) “Todos los números reales cuya distancia al origen sea mayor o igual que 9”. 
c) “Todos los números reales cuya distancia a (-8) sea mayor que 5”. 
d) “Todos los números reales cuya distancia a (-2) sea menor o igual que 6”. 
e) “Todos los números reales cuya distancia a 3 sea menor a 9 y mayor o igual que 2”. 
f) “Todos los números reales cuya distancia a (-4) sea mayor que la distancia que hay entre 3 y 5, 
pero menor que la distancia que hay entre (-5 ) y 2”. 
g) “Todos los números reales cuya distancia a -12 sea mayor o igual que la distancia que hay entre 
(-1) y 5, pero menor que la distancia que hay entre (-15 ) y (-6)”. 
9.- Calificar con V o F, justifique su respuesta 
a) Si 7492  xx )4(404)
2  xoxxSib 
 
c) Si 60
6


x
x
x
 d) Si 300
3


x
x
x
 
10.- Responder y justificar 
 a) Si a < 5 entonces, ¿a qué intervalo pertenece “-a”? 
 
b) Si a > 8 entonces, ¿a qué intervalo pertenece “-a”? 
 
c) Si -4 < x  10 entonces, ¿a qué intervalo pertenece “x - 3”? 
 
 e) Si 162 a entonces, ¿a qué intervalo pertenece “a”? 
 
11) Sopa de letras: 
 
 
 
 
 En el siguiente cuadro encontrar las siguientes palabras: Ecuaciones, Números, Incognita, Miembro, 
Grado, Inecuaciones, Lineales, Igualdades