ejercicios_de_tablas_de_frecuencia_para_datos_agrupados_resueltos

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Ejercicios	de	tablas	de	frecuencia	para	datos	agrupados	resueltos
Ejercicios	resueltos	de	tablas	de	frecuencia	para	datos	no	agrupados	pdf.		Ejercicios	resueltos	de	tablas	de	frecuencia	para	datos	agrupados	pdf.		
Los	datos	agrupados	son	aquellos	que	se	han	clasificado	en	categorías	o	clases,	tomando	como	criterio	su	frecuencia.	Esto	se	hace	con	la	finalidad	de	simplificar	el	manejo	de	grandes	cantidades	de	datos	y	establecer	sus	tendencias.	Una	vez	organizados	en	estas	clases	por	sus	frecuencias,	los	datos	conforman	una	distribución	de	frecuencias,	de	la
cual	se	extrae	información	de	utilidad	a	través	de	sus	características.	Figura	1.	Con	los	datos	agrupados	se	pueden	construir	gráficas	y	calcular	parámetros	estadísticos	que	describan	tendencias.	Fuente:	Pixabay.	A	continuación	veremos	un	ejemplo	sencillo	de	datos	agrupados:	Supongamos	que	se	mide	la	estatura	de	100	estudiantes	de	sexo
femenino,	seleccionadas	de	entre	todos	los	cursos	de	física	básica	de	una	universidad,	y	se	obtienen	los	siguientes	resultados:	Los	resultados	obtenidos	se	dividieron	en	5	clases,	que	aparecen	en	la	columna	izquierda.	La	primera	clase,	comprendida	entre	155	y	159	cm,	tiene	6	estudiantes,	la	segunda	clase	160	–	164	cm	tiene	14	estudiantes,	la	tercera
clase	de	165	a	169	cm	es	la	que	tiene	el	mayor	número	de	integrantes:	47.	Luego	sigue	la	clase	de	170-174	cm	con	28	alumnas	y	por	último	la	de	175	a	179	cm	con	apenas	5.	El	número	de	integrantes	de	cada	clase	es	precisamente	la	frecuencia	o	frecuencia	absoluta	y	al	sumarlas	todas,	se	obtiene	el	total	de	datos,	que	en	este	ejemplo	es	100.	[toc]
Características	de	la	distribución	de	frecuencias	Frecuencia	Como	hemos	visto,	la	frecuencia	es	el	número	de	veces	que	se	repite	un	dato.	Y	para	facilitar	los	cálculos	de	las	propiedades	de	la	distribución,	tales	como	la	media	y	la	varianza,	se	definen	las	siguientes	cantidades:	–Frecuencia	acumulada:	se	obtiene	sumando	la	frecuencia	de	una	clase	con
la	frecuencia	acumulada	anterior.	La	primera	de	todas	las	frecuencias	coincide	con	la	del	intervalo	en	cuestión,	y	la	última	es	el	número	total	de	datos.	–Frecuencia	relativa:	se	calcula	dividiendo	la	frecuencia	absoluta	de	cada	clase	entre	el	número	total	de	datos.	Y	si	se	multiplica	por	100	se	tiene	la	frecuencia	relativa	porcentual.	Puede	servirte:		
Variables	estadísticas–Frecuencia	relativa	acumulada:	es	la	suma	de	las	frecuencias	relativas	de	cada	clase	con	el	acumulado	anterior.	La	última	de	las	frecuencias	relativas	acumuladas	debe	ser	igual	a	1.	Para	nuestro	ejemplo,	las	frecuencias	quedan	así:	Límites	Los	valores	extremos	de	cada	clase	o	intervalo	se	llaman	límites	de	clase.	Como	podemos
ver,	cada	clase	tiene	un	límite	menor	y	uno	mayor.	Por	ejemplo,	la	primera	clase	del	estudio	acerca	de	las	estaturas	tiene	un	límite	menor	de	155	cm	y	uno	mayor	de	159	cm.	Este	ejemplo	tiene	límites	que	están	claramente	definidos,	sin	embargo	es	posible	definir	límites	abiertos:	si	en	vez	de	definir	los	valores	exactos,	se	dijese	“estatura	menor	a	160
cm”,	“estatura	menor	a	165	cm”	y	así	sucesivamente.	Fronteras	La	estatura	es	una	variable	continua,	por	lo	que	se	puede	considerar	que	la	primera	clase	en	realidad	comienza	en	154.5	cm,	ya	que	al	redondear	este	valor	al	entero	más	cercano,	se	obtiene	155	cm.	Esta	clase	abarca	todos	los	valores	hasta	159.5	cm,	porque	a	partir	de	este,	las
estaturas	se	redondean	a	160.0	cm.	Una	estatura	de	159.7	cm	ya	pertenece	a	la	siguiente	clase.	Las	fronteras	de	clase	reales	de	este	ejemplo	son,	en	cm:	154.5	–	159.5	159.5	–	164.5	164.5	–	169.5	169.5	–	174.5	174.5	–	179.5	Amplitud	La	amplitud	de	una	clase	se	obtiene	restando	las	fronteras.	Para	el	primer	intervalo	de	nuestro	ejemplo	se	tiene	159.5
–	154.5	cm	=	5	cm.	
El	lector	puede	comprobar	que	para	los	demás	intervalos	del	ejemplo	la	amplitud	también	resulta	de	5	cm.	Sin	embargo,	es	de	hacer	notar	que	se	pueden	construir	distribuciones	con	intervalos	de	distinta	amplitud.	Puede	servirte:			Variable	nominal:	concepto	y	ejemplosMarca	de	clase	Es	el	punto	de	medio	del	intervalo	y	se	obtiene	mediante	el
promedio	entre	el	límite	superior	y	el	límite	inferior.	Para	nuestro	ejemplo,	la	primera	marca	de	clase	es	(155	+	159)/2	=	157	cm.	El	lector	puede	comprobar	que	las	restantes	marcas	de	clase	son:	162,	167,	172	y	177	cm.	Determinar	las	marcas	de	clase	es	importante,	pues	son	necesarias	para	encontrar	la	media	aritmética	y	la	varianza	de	la
distribución.	Medidas	de	tendencia	central	y	de	dispersión	para	datos	agrupados	Las	medidas	de	tendencia	central	más	utilizadas	son	la	media,	la	mediana	y	la	moda,	y	describen	precisamente	la	tendencia	de	los	datos	a	agruparse	alrededor	de	cierto	valor	central.	Media	Es	una	de	las	principales	medidas	de	tendencia	central.	En	los	datos	agrupados
se	puede	calcular	la	media	aritmética	mediante	la	fórmula:		Donde:	-X	es	la	media	-fi	es	la	frecuencia	de	la	clase	-mi	es	la	marca	de	clase	-g	es	el	número	de	clases	-n	es	el	número	total	de	los	datos	Mediana	Para	la	mediana	hay	que	identificar	el	intervalo	donde	se	encuentra	la	observación	n/2.	En	nuestro	ejemplo	esta	observación	es	la	número	50,
porque	hay	un	total	de	100	datos.	Dicha	observación	está	en	el	intervalo	165-169	cm.	Después	hay	que	interpolar	para	encontrar	el	valor	numérico	que	corresponde	a	esa	observación,	para	lo	cual	se	emplea	la	fórmula:	Donde:	-c	=	ancho	del	intervalo	donde	se	encuentra	la	mediana	-BM	=	la	frontera	inferior	del	intervalo	al	que	pertenece	la	mediana	-
fm	=	cantidad	de	observaciones	que	contiene	el	intervalo	de	la	mediana	-n/2	=	mitad	del	total	de	datos	-fBM	=	número	total	de	observaciones	antes	del	intervalo	de	la	mediana	Moda	Para	la	moda	se	identifica	la	clase	modal,	aquella	que	contiene	la	mayoría	de	las	observaciones,	cuya	marca	de	clase	es	conocida.	Puede	servirte:			HomoteciaVarianza	y
desviación	estándar	La	varianza	y	la	desviación	estándar	son	medidas	de	dispersión.	Si	denotamos	la	varianza	con	s2	y	a	la	desviación	estándar,	que	es	la	raíz	cuadrada	de	la	varianza	como	s,	para	datos	agrupados	tendremos	respectivamente:	Y	Ejercicio	resuelto	Para	la	distribución	de	estaturas	de	las	estudiantes	universitarias	propuesta	al	comienzo,
calcular	los	valores	de:	a)	Media	b)	Mediana	c)	Moda	d)	Varianza	y	desviación	estándar.	
Figura	2.	Cuando	se	trata	de	una	gran	cantidad	de	valores,	como	las	estaturas	de	un	nutrido	grupo	de	estudiantes,	es	preferible	agrupar	los	datos	en	clases.	Fuente:	Pixabay.	Solución	a	Construyamos	la	siguiente	tabla	para	facilitar	los	cálculos:	Mediante	la	expresión	para	la	media	de	datos	agrupados	dada	más	arriba:	Sustituyendo	valores	y	llevando
a	cabo	la	sumatoria	directamente:	X	=	(6	x	157	+	14	x	162	+	47	x	167	+	28	x	172+	5		x	177)	/100	cm	=	=167.6	cm	Solución	b	El	intervalo	al	que	pertenece	la	mediana	es	165-169	cm	porque	es	el	intervalo	con	mayor	frecuencia.	Identifiquemos	cada	uno	de	estos	valores	en	el	ejemplo,	con	la	ayuda	de	la	tabla	2:	c	=	5	cm	(ver	el	apartado	de	amplitud)
BM	=	164.5	cm	fm	=	47	n/2	=	100/2	=	50	fBM	=	20	Sustituyendo	en	la	fórmula:	Solución	c	El	intervalo	que	contiene	la	mayoría	de	las	observaciones	es	el	165-169	cm,	cuya	marca	de	clase	es	de	167	cm.	Solución	d	Ampliamos	la	tabla	anterior	añadiendo	dos	columnas	adicionales:	Aplicamos	la	fórmula:	Y	desarrollamos	la	sumatoria:	s2	=	(6	x	112.36	+
14	x	31.36	+	47	x	0.36	+	28	x	19.36	+	5	x	88.36)	/	99	=	=	21.35	cm2	Por	lo	tanto:	s	=	√21.35	cm2	=	4.6	cm	Referencias	Berenson,	M.	1985.	Estadística	para	administración	y	economía.	Interamericana	S.A.	Canavos,	G.	1988.	Probabilidad	y	Estadística:	Aplicaciones	y	métodos.	McGraw	Hill.	Devore,	J.	2012.	Probability	and	Statistics	for	Engineering
and	Science.	8th.	Edition.	Cengage.	Levin,	R.	1988.	Estadística	para	Administradores.	2da.	Edición.	Prentice	Hall.	Spiegel,	M.	2009.	Estadística.	Serie	Schaum.	4	ta.	Edición.	McGraw	Hill.	Walpole,	R.	2007.	Probabilidad	y	Estadística	para	Ingeniería	y	Ciencias.	
Pearson.	En	este	artículo	se	explica	qué	sonlas	distribuciones	de	frecuencias	y	cómo	se	hacen.	También	encontrarás	ejemplos	explicados	paso	a	paso	de	distribuciones	de	frecuencias	y,	además,	podrás	practicar	con	ejercicios	resueltos.En	estadística,	la	distribución	de	frecuencias	es	una	tabla	en	la	que	se	agrupan	los	diferentes	valores	de	una
muestra	en	filas	y	en	cada	columna	se	muestra	un	tipo	de	frecuencia	de	cada	valor.	Por	lo	tanto,	la	distribución	de	frecuencias	sirve	para	mostrar	todos	los	tipos	de	frecuencias	de	un	conjunto	de	datos.En	concreto,	una	distribución	de	frecuencias	incluye	la	frecuencia	absoluta,	la	frecuencia	absoluta	acumulada,	la	frecuencia	relativa	y	la	frecuencia
relativa	acumulada.Una	de	las	características	de	las	distribuciones	de	frecuencias	es	que	son	muy	útiles	para	resumir	una	muestra	estadística	tanto	de	una	variable	cuantitativa	como	de	una	variable	cualitativa.Para	hacer	una	distribución	de	frecuencias	debes	seguir	los	siguientes	pasos:Organizar	los	datos	en	diferentes	categorías	y	construir	una
tabla	en	la	que	cada	fila	corresponda	a	una	categoría.Calcular	la	frecuencia	absoluta	de	cada	categoría	en	la	segunda	columna	de	la	tabla.Calcular	la	frecuencia	absoluta	acumulada	de	cada	categoría	en	la	tercera	columna	de	la	tabla.Calcular	la	frecuencia	relativa	de	cada	categoría	en	la	cuarta	columna	de	la	tabla.Calcular	la	frecuencia	relativa
acumulada	de	cada	categoría	en	la	quinta	columna	de	la	tabla.Opcionalmente,	se	pueden	añadir	dos	columnas	en	las	que	se	calculan	la	frecuencia	relativa	y	la	frecuencia	relativa	acumulada	en	forma	de	porcentaje,	para	ello	simplemente	debes	multiplicar	ambas	columnas	por	100.Una	vez	hemos	visto	la	definición	de	distribución	de	frecuencias	y	la
teoría	sobre	cómo	se	construye,	en	este	apartado	se	resuelve	un	ejemplo	paso	a	paso.Las	notas	obtenidas	en	la	asignatura	de	estadística	en	una	clase	de	30	alumnos	son	las	siguientes.	Construye	una	distribución	de	frecuencias	del	conjunto	de	datos.Como	todos	los	números	solo	pueden	ser	enteros,	se	trata	de	una	variable	discreta.	Por	lo	tanto,	no	es
necesario	agrupar	el	conjunto	de	datos	en	intervalos.Entonces,	para	hacer	una	distribución	de	frecuencias	tenemos	que	construir	una	tabla	en	la	que	cada	valor	diferente	será	una	fila	y	luego	tenemos	que	hallar	la	frecuencia	absoluta	de	cada	valor:➤	Ver:	cómo	hallar	la	frecuencia	absolutaFíjate	que	la	suma	de	todas	las	frecuencias	absolutas	es
equivalente	al	número	total	de	datos.	
Si	no	se	cumple	esta	regla,	significa	que	te	has	olvidado	de	contar	algún	dato.Ahora	que	ya	sabemos	la	frecuencia	absoluta,	tenemos	que	calcular	la	frecuencia	absoluta	acumulada.	Para	este	cálculo	tenemos	dos	opciones:	o	sumamos	la	frecuencia	absoluta	del	valor	más	todas	las	frecuencias	absolutas	de	los	valores	menores,	o	por	otro	lado,	sumamos
la	frecuencia	absoluta	del	valor	más	la	frecuencia	absoluta	acumulada	del	valor	anterior.La	frecuencia	absoluta	acumulada	del	último	valor	siempre	coincide	con	el	número	total	de	datos,	puedes	utilizar	este	truco	para	comprobar	que	los	cálculos	están	bien.Luego	tenemos	que	determinar	la	frecuencia	relativa,	que	se	calcula	dividiendo	la	frecuencia
absoluta	entre	el	número	total	de	datos	(30):➤	Ver:	cómo	se	calcula	la	frecuencia	relativaTen	presente	que	la	suma	de	todas	las	frecuencias	relativas	siempre	da	como	resultado	1,	de	lo	contrario,	significa	que	algún	cálculo	de	la	distribución	de	frecuencias	está	mal.Por	último,	solo	nos	queda	sacar	la	frecuencia	relativa	acumulada.	Para	ello,	tenemos
que	sumar	la	frecuencia	relativa	del	valor	en	cuestión	más	todas	las	frecuencias	relativas	anteriores	o,	lo	que	es	lo	mismo,	la	frecuencia	relativa	acumulada	anterior:En	definitiva,	la	distribución	de	frecuencias	con	todas	las	frecuencias	de	los	datos	del	problema	es	la	siguiente:Para	hacer	una	distribución	de	frecuencias	para	datos	agrupados	en
intervalos,	la	única	diferencia	es	que	primero	se	deben	agrupar	el	conjunto	de	datos	en	diferentes	intervalos,	pero	el	resto	de	cálculos	se	hacen	de	la	misma	manera	que	en	una	distribución	de	frecuencias	sin	agrupar	los	datos.A	modo	de	ejemplo,	seguidamente	se	resuelve	un	problema	sobre	la	construcción	de	una	distribución	de	frecuencias	para
datos	agrupados.Se	ha	medido	la	altura	a	20	personas	y	se	han	obtenido	los	resultados	anotados	abajo.	
Elabora	una	distribución	de	frecuencias	separando	los	datos	en	intervalos.Los	datos	de	esta	muestra	siguen	una	distribución	continua,	ya	que	los	números	pueden	ser	decimales	y	por	tanto	pueden	tomar	cualquier	valor.	En	consecuencia,	haremos	la	distribución	de	frecuencias	agrupando	los	datos	en	intervalos.Aunque	hay	varias	reglas	matemáticas
para	crear	los	intervalos	de	una	muestra,	en	este	caso	sencillamente	haremos	intervalos	con	una	amplitud	de	10	décimas.Así	pues,	después	de	calcular	todos	los	tipos	de	frecuencias	para	cada	intervalo	(el	procedimiento	es	el	mismo	que	en	el	ejemplo	de	arriba),	la	distribución	de	frecuencias	con	los	datos	agrupados	en	intervalos	queda	de	la	siguiente
manera:Se	ha	preguntado	a	20	personas	cuántas	veces	van	al	cine	al	mes	y	estos	han	sido	los	resultados:Realiza	una	distribución	de	frecuencias	con	la	muestra	de	datos	obtenida.La	distribución	de	frecuencias	con	los	cálculos	de	todos	los	tipos	de	frecuencias	es	la	siguiente:Se	quiere	hacer	un	estudio	estadístico	sobre	el	peso	de	los	trabajadores	de
una	empresa	con	36	empleados.	Estos	son	los	pesos	de	los	trabajadores	expresados	en	kilogramos:Construye	una	distribución	de	frecuencias	con	datos	agrupados	haciendo	intervalos	de	5	unidades	y	que	el	primer	intervalo	sea	[55,60).La	solución	del	ejercicio	es	la	siguiente	distribución	de	frecuencias: