Guía n5 Matemática II medio

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1) Racionalización 
El proceso de racionalización consiste en expresar una fracción cuyo denominador es un término 
irracional, es decir, tiene raíz irreductible, en otra fracción equivalente cuyo denominador es un 
término racional, es decir, no contiene raíz. 
3
√2
=>
3√2
2
 
Ninguna fracción debe contener como denominador una raíz irreductible. 
Técnica de Racionalización 
a) Denominador irracional monomio 
𝐴
√𝑝𝑟
𝑛
 , (𝑟 < 𝑛) 
En este caso amplificaremos la fracción por: 
√𝑝𝑛−𝑟
𝑛 
Y obtenemos: 
𝐴
√𝑝𝑟
𝑛
∙
√𝑝𝑛−𝑟
𝑛
√𝑝𝑛−𝑟
𝑛
=
𝐴 √𝑝𝑛−𝑟
𝑛
𝑝
 
5
√3
4 ==> 
5
√3
4 ∙
√33
4
√33
4 =
5√33
4
3
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
b) Denominador binomio con raíz 
cuadrada 
𝐴
√𝑎 ± √𝑏
 
En este caso la amplificación adecuada es por: 
√𝑎 ± √𝑏 
Es decir, los mismos términos del binomio, pero con la 
operación opuesta. De este modo obtenemos del 
producto la diferencia de cuadrados, con lo cual 
eliminamos las raíces: 
𝐴
√𝑎 + √𝑏
∙
√𝑎 − √𝑏
√𝑎 − √𝑏
=
𝐴(√𝑎 − √𝑏)
𝑎 − 𝑏
 
 
 
Ejemplos de Racionalización algebraica 
 
a) 
𝑎
√𝑏2
5 
 
𝑎
√𝑏2
5 ∙
√𝑏3
5
√𝑏3
5 =
𝑎 √𝑏3
5
√𝑏2+3
5 =
𝑎 √𝑏3
5
√𝑏5
5 
 
𝑎 √𝑏3
5
𝑏
 
 
Buscaremos la expresión por la cual 
amplificaremos la fracción utilizando la 
fórmula de Técnica a). 
√𝑏5−2
5
= √𝑏3
5
 
Amplificaremos entonces por: 
√𝑏3
5
 
Debemos recordar que: 
 
√𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 
b) 
𝑎 − 𝑏
√(𝑎 − 𝑏)3
7
 
 
𝑎 − 𝑏
√(𝑎 − 𝑏)3
7
∙
√(𝑎 − 𝑏)4
7
√(𝑎 − 𝑏)4
7
 
 
(𝑎 − 𝑏)√(𝑎 − 𝑏)4
7
√(𝑎 − 𝑏)3+4
7
 
 
(𝑎 − 𝑏)√(𝑎 − 𝑏)4
7
√(𝑎 − 𝑏)7
7
 
 
Al igual que en el ejemplo anterior, es solo 
una raíz la que esta como denominador, 
por lo cual ocuparemos la misma técnica. 
√(𝑎 − 𝑏)7−3
7
= √(𝑎 − 𝑏)4
7
 
 
Amplificaremos entonces por: 
√(𝑎 − 𝑏)4
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
(𝑎 − 𝑏)√(𝑎 − 𝑏)4
7
(𝑎 − 𝑏)
 
 
√(𝑎 − 𝑏)4
7
 
Se simplifica (a – b) 
 
c) 
𝑥 − 𝑦
√𝑥 + √𝑦
 
 
𝑥 − 𝑦
√𝑥 + √𝑦
∙
√𝑥 − √𝑦
√𝑥 − √𝑦
 
 
(𝑥 − 𝑦)(√𝑥 − √𝑦)
(√𝑥)
2
− (√𝑦)
2 
 
(𝑥 − 𝑦)(√𝑥 − √𝑦)
(𝑥 − 𝑦)
 
 
√𝑥 − √𝑦 
A diferencia de los ejemplos anteriores, 
tenemos dos raíces como denominador, 
por lo cual ocuparemos la técnica b). 
 
Amplificaremos por el mismo binomio, 
pero con signo contrario. 
√𝑥 − √𝑦 
 
Ejercicios: 
 
a) 
2
√2
 b) 
3
√3
3 c) 
𝑎√𝑏
𝑏√𝑎
 
d) 
𝑎
√𝑎𝑏
3 e) 
1
2√2
 f) 
6
2√3
 
g) 
𝑚𝑛
√𝑚2𝑛
5 h) 
𝑎𝑏
√𝑎3𝑏2
7 i) 
𝑎 − 𝑏
√(𝑎 − 𝑏)5
6
 
j) 
6
2 + √2
 k) 
3𝑎
√𝑎 + 3
 l) 
2 + √3
2 − √3
 
m) 
√𝑎 − 𝑏
𝑎 − √𝑏
 n) 
𝑥𝑦
𝑥√𝑦 − 𝑦√𝑥
 o) 
𝑝 − 𝑞
𝑝√𝑞 − 𝑞√𝑝
 
p) 
1
2√2 − 3√2
 q) 
5
3√5 − 5√3
 r) 
3
√2 − √3 + √5
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
AUTOEVALUACIÓN 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí el Concepto de racionalización 
Logre reconocer que tipo de método utilizar en 
cada caso. 
 
Le dedique el tiempo suficiente 
Busque información adicional NO SI 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI 
Que conceptos algebraicos debo reforzar: 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José