Guía n6 Matemática II Medio

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I. Logaritmos 
 
Definición: 
 
𝑆𝑒𝑎 𝒂, 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒂 ≠ 𝟎, 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 y 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝒂 𝑑𝑒 𝒙 
𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝒙 = 𝒂𝒚, 𝒍𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒃𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 . 
𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝒚 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝒂 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝒙. 
 
 
En palabras más sencillas, es otra forma de escribir una potencia, con la diferencia que no se 
sabe el exponente de esta. 
 
𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 ⇒ 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒 
Se lee, logaritmo de 16 en base 2 es 4 
 
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
Con este ejemplo se da por entendido que una potencia se puede escribir como logaritmo y 
viceversa. También es importante decir que al igual que la multiplicación con la división, la 
potenciación y los logaritmos son funciones inversas. 
 
 
Ejemplo: 
a) 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3 ⇒ 2
3 = 8 
b) 𝑙𝑜𝑔4 16 = 2 ⇒ 4
2 = 16 
c) 𝑙𝑜𝑔5 625 = 4 ⇒ 5
4 = 625 
d) 𝑙𝑜𝑔9 729 = 3 ⇒ 9
3 = 729 
 
Observación: Cuando el logaritmo es de base 10 (𝑙𝑜𝑔10 𝑥), no se escribe la base ( 𝑙𝑜𝑔 𝑥 ). 
1) Completa la siguiente tabla: 
 
2) Responde: 
a. ¿Pueden tener una base negativa los logaritmos? 
b. ¿Existe el logaritmo de un número negativo? 
c. ¿Cuál es el logaritmo de 1 en base 3?, ¿y si la base fuera 7?, explica la situación. 
 
3) ¿Cómo se calcula el valor de un logaritmo? 
Ejemplo: calcule el siguiente logaritmo: 𝑙𝑜𝑔7 243 = 𝑥 
Paso 1: utilizando la definición, todo logaritmo lo puedo escribir como una potencia: 
7𝑥 = 243 
Entonces lo que yo debo hacer es tratar de escribir 243 como una potencia de 7: 
7𝑥 = 73 
Por propiedad, si las bases son iguales implica que los exponentes son iguales: 
𝑠𝑖 7 = 7 ⇒ 𝑥 = 3 
Es decir: 
𝑙𝑜𝑔7 243 = 3, 𝑦𝑎 𝑞𝑣𝑒 7
3 = 243 
 
Ejercicios: 
1. Calcule los siguientes logaritmos utilizando la definición: 
 
a) 𝑙𝑜𝑔 1 b) 𝑙𝑜𝑔 10 c) 𝑙𝑜𝑔 100 
d) 𝑙𝑜𝑔 10000 e) 𝑙𝑜𝑔2 1 f) 𝑙𝑜𝑔2 1024 
g) 𝑙𝑜𝑔5 3125 h) 𝑙𝑜𝑔6 316 i) 𝑙𝑜𝑔4 1024 
 
2. Representa las siguientes potencias, como un logaritmo. 
 
a) 92 = 81 b) 2−3 =
1
8
 c) (√3)
2
= 3 
d) 112 = 121 e) 0,34 = 0,0081 f) 4001 2⁄ = 20 
g) (
2
5
)
2
=
4
25
 h) (
1
81
)
1 2⁄
=
1
9
 i) 0,0013 = 0,000000001 
 
3. Calcule el valor de x, para cada caso. 
 
a) 𝑙𝑜𝑔𝑥 64 = 2 b) 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 81 c) 𝑙𝑜𝑔5 125 = 𝑥 
d) 𝑙𝑜𝑔𝑥 1 = 0 e) 𝑙𝑜𝑔 1
27
1
3
= 𝑥 f) 𝑙𝑜𝑔𝑥 2048 = 11 
g) 𝑙𝑜𝑔 1
81
9 = 𝑥 h) 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 = 3 i) 𝑙𝑜𝑔 164
2 = 𝑥 
 
 
AUTOEVALUACIÓN 
 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí el Concepto de Logaritmo 
Relacione los logaritmos con las potencias 
Comprendí porque potencias y logaritmos son 
funciones inversas 
 
Busque información adicional NO SI 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI 
Que conceptos algebraicos debo reforzar: