Guía n7 Matemática I Medio

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Material de Apoyo 
Revisa los siguientes links como apoyo al desarrollo de los ejercicios. 
 https://www.youtube.com/watch?v=9HGpLUvAuhI 
 https://www.youtube.com/watch?v=wLj5ULlIfUI&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA
&index=3 
 https://www.youtube.com/watch?v=DUm1tD_b-
qA&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA&start_radio=1&t=9 
 
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
mailto:profalejandroquinteros@gmail.com
https://www.youtube.com/watch?v=9HGpLUvAuhI
https://www.youtube.com/watch?v=wLj5ULlIfUI&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=wLj5ULlIfUI&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=DUm1tD_b-qA&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA&start_radio=1&t=9
https://www.youtube.com/watch?v=DUm1tD_b-qA&list=RDCMUCl_93KTcnz3WgJlRsYF0szA&start_radio=1&t=9
I. Productos Notables 
 
Cuando hablamos de producto, lo primero que se nos debe ocurrir es una multiplicación, 
también debemos recordar que una multiplicación esta compuesta por factores (los términos 
que se multiplican. En palabras simples el producto es el resultado de la multiplicación de dos o 
más factores. 
𝑎 ⋅ 𝑏⏟
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
= 𝑐⏟
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
 
 
Son llamados productos notables a ciertas expresiones algebraicas que cumplen con un 
patrón de desarrollo, el cual siempre se hará de la misma forma. 
 
 Binomio al cuadrado 
 Suma por su diferencia 
 Binomio con un factor común. 
 
a) Binomio al Cuadrado 
Como su nombre lo dice cuando hablamos de un binomio, debemos recordar que 
llamamos así a las expresiones algebraicas que están compuestas por dos términos 
algebraicos, ejemplo x + 1, x +y, a-b, etc; y si hablamos de un cuadrado, debemos recordar 
que decimos cuadrado cuando cierto número se multiplica por sí mismo; 
a2= a · a 
22= 2 · 2 
Entonces si hablamos de un binomio al cuadrado, debemos pensar en algo como: 
 
(𝑎 ± 𝑏)2 = (𝑎 ± 𝑏) ⋅ (𝑎 ± 𝑏) 
 
 El desarrollo de esta multiplicación se realiza: 
 
- Por Extensión 
Para multiplicar un binomio al cuadrado por extensión, se multiplica termino a termino y 
luego se reduce los términos semejantes. 
 
(𝑎 + 𝑏)2 
= (𝑎 + 𝑏)
⋅ (𝑎 + 𝑏) 
 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏
+ 𝑏2 
 
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 − 𝑏)2 
= (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) 
 
= 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Multiplica termino a término: 
a · a, a · b, b · a y b · b 
 
 
Por último, reducción de términos 
semejantes 
 
Nota: como pueden observar, la diferencia entre el (𝑎 + 𝑏)2 y (𝑎 − 𝑏)2, su resolución es 
igual con la diferencia que el termino central cambia de signo. 
 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
- Por Compresión: 
Cuando se multiplica un binomio al cuadrado por compresión, no es nada más que utilizar 
la expresión 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 que se obtuvo de la multiplicación por extensión, en palabras 
se dice: 
 
(𝑎 ± 𝑏)2, el primer termino (a2) al cuadrado más o menos el doble del 
primer termino por el segundo término (2 ab), más el segundo término 
al cuadrado (b2). 
𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
Geométricamente, esto puede ser demostrado de la siguiente forma: cada vez que 
se habla de algo al cuadrado, siempre geométricamente, hace referencia al área de un 
polígono cualquiera de medidas (𝑎 ± 𝑏): 
 
En el siguiente ejemplo, tomaremos un cuadrado que 
tiene como medida lateral el binomio (𝑎 + 𝑏), Si calculamos el 
área de los polígonos que se forman obtenemos: 
 
Visualmente obtenemos, 𝑎2, 𝑎𝑏, 𝑏𝑎, 𝑏2, y el área total esta 
dada por la suma de todas las áreas: 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2, como 
resultado se obtiene la expresión 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
 
Ejemplos: 
a) (𝑥 + 5)2 
= (𝑥)2 + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 + (5)2 
= 𝑥2 + 10𝑥 + 25 
b) (𝑥 − 5)2 
= (𝑥)2 − 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 + (5)2 
= 𝑥2 − 10𝑥 + 25 
c) (𝑥2 + √5)
2
 
= (𝑥2)2 + 2𝑥2 ⋅ √5 + (√5)
2
 
= 𝑥4 + 2√5𝑥2 + 5 
d) (2𝑥 − 5𝑦)2 
= (2𝑥)2 − 2 ⋅ 2𝑥 ⋅ 5𝑦 + (5𝑦)2 
= 4𝑥2 − 20𝑥𝑦 + 25𝑦2 
 
b) Cubo de binomio 
Al igual que el cuadrado de binomio, hablamos de una expresión algebraica de dos 
términos, con la diferencia que esta elevado al Cubo, y siempre representara al volumen 
de un cuerpo. 
 
Para resolver un cubo de binomio se tienes dos casos: 
 
(𝑎 + 𝑏)3 
= (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 + 𝑏) 
= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 − 𝑏)3 
= (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) 
= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
Nota: como pueden observar, la diferencia entre el (𝑎 + 𝑏)3 y (𝑎 − 𝑏)3, su resolución es 
igual con la diferencia que se intercala el signo menos. 
 
(𝑎 ± 𝑏)3, el primer término al cubo (a3) más o menos el triple del primer 
término al cuadrado por el segundo término (3 a2b) más el triple del primer 
término por el segundo término al cuadrado (3 ab2) más o menos el 
segundo término al cubo (b3). 
 
𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 
 
Geométricamente, esto puede ser demostrado de la siguiente forma: cada vez que 
se habla de algo al cubo, siempre geométricamente hace referencia al cubo de un polígono 
cualquiera de medidas (𝑎 ± 𝑏): 
 
En el siguiente ejemplo, tomaremos un cubo que tiene como medida lateral el 
binomio (𝑎 + 𝑏), Si calculamos el área de los poliedros que se forman obtenemos: 
 
Cubo de medida (a + b) 
 
Descomposición Cubo de medida (a + b) 
 
 
Visualmente obtenemos: 
 Un cubo de volumen 𝑎3 
 Un cubo de volumen 𝑏3 
 Tres prismas de volumen 𝑎2𝑏 
 Tres prismas de volumen 𝑎𝑏2 
 
 𝑎3, 3𝑎2𝑏, 3𝑎𝑏2, 𝑏3, donde el volumen total esta dado por la suma del volumen de 
todos los prismas obtenidos: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Ejemplos: 
a) (𝑥 + 5)3 
= (𝑥)3 + 3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 𝑥 ⋅ (5)2 + (5)3 
= 𝑥3 + 15𝑥2 + 3 ⋅ 𝑥 ⋅ 25 + 125 
= 𝑥3 + 15𝑥2 + 75𝑥 + 125 
b) (𝑥 − 5)3 
= (𝑥)3 − 3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 𝑥 ⋅ (5)2 − (5)3 
= 𝑥3 − 15𝑥2 + 3 ⋅ 𝑥 ⋅ 25 − 125 
= 𝑥3 − 15𝑥2 + 75𝑥 − 125 
c) (𝑥2 + √5)
3
 
= (𝑥2)3 + 3 ⋅ (𝑥2)2 ⋅ √5 + 3 ⋅ 𝑥2 ⋅ (√5)
2
+ (√5)
3
 
= 𝑥6 + 3√5𝑥4 + 3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 5 + √53 
= 𝑥6 + 3√5𝑥4 + 15𝑥2 + 5√5 
 
 
Prof. Javier Andrade S. Dpto. Matemática Colegio San José
 
Ejercicios: 
 
1) Desarrolla las actividades de la página 76 y 77 del libro de texto. 
 
2) Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos de binomios. 
 
a) (𝑥 + 𝑦)2 b) (𝑝 − 𝑞)2 c) (4𝑝𝑞 − 3𝑞)2 
d) (2𝑝 + 𝑞)2 e) (𝑎 − 6)2 f) (3𝑝 − 1)2 
g) (6𝑎 − 7𝑏)2 h) (3𝑞2 − 2𝑝4)2 i) (3𝑎 −
2
3
𝑏)
2
 
j) (
1
3
𝑥2𝑦 +
2
5
𝑥𝑦2)
2
 k) (0,2𝑥 − 0,4)2 l) (
3
4
𝑎2𝑏3𝑐 +
3
5
𝑎𝑏2𝑐)
2
 
m) (1,5𝑥𝑦2 − 2,5𝑥2𝑦)2 n) (𝑚 + 2𝑛)2 o) (−𝑚 − 2𝑛)2 
p) (𝑎 + 𝑏)3 q) (𝑝 − 𝑞)3 r) (𝑎 + 11)3 
s) (5 − 𝑚2)3 t) (𝑥4 + 3)3 u) (
2
5
𝑝 −
1
3
𝑞)
3
 
v) (
1
2
𝑡 + 2𝑡2)
3
 w) (𝑢2 − 𝑢)3 x) (𝑎 −
𝑎
3
)
3
 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí el cuadro y/o cubo de un binomio 
Logre utilizar las fórmulas para calcular el 
cuadrado o cubo de un binomio 
 
Busque información adicional NO SI 
Le dedique el tiempo suficiente NO SI 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI 
Detalle 3 problemas que tiene al desarrollar 
este tipo de ejercicios. 
 
 
 
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