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Intervalo (matemática)
Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)[1] es
un espacio métrico comprendido entre dos valores. Espe-
cíficamente, un intervalo real es un subconjunto conexo
de la recta real R , es decir, una parte de recta entre dos
valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma
cardinalidad de la recta real.[2]
1 Caracterización
Un intervalo real I es una parte de R que verifica la si-
guiente propiedad:
2 Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utili-
zan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corche-
tes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el
estándar internacional ISO 31-11.
2.1 Intervalo abierto
a
R
b
No incluye los extremos.
• (a, b) o bien ]a, b[
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
I = (a, b), ∀x ∈ I : a < x < b
En la definición de límite ordinario de una función real se
considera como dominio un intervalo abierto que contie-
ne al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo
abierto para definir un conjunto abierto en dicha topolo-
gía. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es
un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a
su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura
es el intervalo cerrado [a, b].[3] No tiene puntos aislados,
mientras que todos su puntos son puntos de acumulación
del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de
límites de funciones.[4]
2.2 Intervalo cerrado
a
R
b
Sí incluye los extremos.
• Que se indica: I = [a, b]
En notación conjuntista:
I = [a, b], ∀x ∈ I : a ≤ x ≤ b
Si incluye únicamente uno de los extremos.
a
R
b
• Con la notación (a, b] o bien ]a, b] indicamos.
En notación conjuntista:
I = (a, b], ∀x ∈ I : a < x ≤ b
a
R
b
• Y con la notación [a, b) o bien [a, b[ ,
1
https://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexo
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesis
https://es.wikipedia.org/wiki/Est%C3%A1ndar_internacional
https://es.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
https://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real
2 2 NOTACIÓN
En notación conjuntista:
I = [a, b), ∀x ∈ I : a ≤ x < b
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman fini-
tos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy
útiles en el análisis matemático y en los temas de topolo-
gía general, para el estudios de diferentes conceptos como
clausura, interior, frontera, conexidad, etc.[5] Se usan en
definición de funciones como la función máximo entero,
o la función techo o función piso en matemáticas discre-
tas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor
abosoluto, la función signo, etc.[6]
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es
(a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son
a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y
el intervalo abierto es ∅.[7]
2.3 Intervalo infinito
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
a
R
• Con la notación [a,∞) indicamos.
En notación conjuntista:
I = [a,∞), ∀x ∈ I : a ≤ x
Sin incluir el extremo:
a
R
• Y con la notación (a,∞) ,
I = (a,∞), ∀x ∈ I : a < x
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
• Con la notación (−∞, a] indicamos.
En notación conjuntista:
I = (−∞, a], ∀x ∈ I : x ≤ a
Sin incluir el extremo:
R
a
R
a
• Y con la notación (−∞, a) ,
En notación conjuntista:
I = (−∞, a), ∀x ∈ I : x < a
Para todo valor real:
R
• Y con la notación (−∞,∞) ,
En notación conjuntista:
I = (−∞,∞), ∀x ∈ R
2.4 Familia de intervalos
2.5 Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
A = {x, x ∈ R : x < 4}
Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor
que cuatro.
Y el conjunto B:
B = {x, x ∈ R : 9 < x}
El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que
nueve.
El conjunto unión de A y B sería:
2.6 Entorno simétrico 3
R
94
A
R
9
B
R
4
A
B
A ∪B = {x, x ∈ R : x < 4 ∨ 9 < x}
O también se puede anotar:
x ∈ (−∞, 4) ∪ (9,∞)
La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los
puntos pertenecientes a cada conjunto.
RA
R
9
B
R
4
A
B
El conjunto intersección de A y B no existe:
A ∩B = {x, x ∈ R : x < 4 ∧ 9 < x}
porque A y B no tienen puntos en común.
A ∩B = ∅
Definido el conjunto C:
C = {x, x ∈ R : −3 < x < 15}
R
-3 4
R
-3 15
C
R
4
A
A C
Es decir, que el conjunto C toma valores entre −3 y 15,
siempre siendo x un número real.
El conjunto intersección de A y C es:
A ∩ C = {x, x ∈ R : −3 < x < 4}
El conjunto intersección es aquel que toma los valores
en común entre todos los conjuntos incluidos.
2.6 Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se
representa:
a-r
R
a+ra
• Con la notación E(a, r) indicamos.
I = E(a, r), ∀x ∈ I : a− r < x < a+ r
2.7 Entorno reducido
Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:
a-r
R
a+ra
• Con la notación E⋆(a, r) indicamos.
4 9 VÉASE TAMBIÉN
I = E⋆(a, r), ∀x ∈ I : x ∈ E(a, r) − {a}
Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p,
menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y: −1 <
y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el
conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno
reducido de 0.
3 Nota
• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos
y denotan al conjunto vacío.
• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto va-
cío.
• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llama-
do intervalo degenerado.
• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas
de las matemáticas; por ejemplo, la notación (a, b)
, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las
coordenadas de un punto o un vector en geometría
analítica y álgebra lineal; un número complejo en
álgebra.
• Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito (
∞ ) para indicar que no hay cota.
4 Ejemplos gráficos
5 Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus característi-
cas topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabier-
tos) o según sus características métricas (longitud: nula,
finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤
b, y x perteneciente al intervalo:
[8]
6 Propiedades
• La intersección de intervalos de R es también un in-
tervalo.
• La unión de intervalos de R no siempre es un inter-
valo (lo será si la intersección es no vacía).
• Los conjuntos conexos de R son exactamente los
intervalos.[9]
• Los intervalos cerrados sobre una recta se denomi-
nan «segmento de recta», son conjuntos cerrados se-
gún la topología usual, conexos y compactos.[10]
• La imagen por una función continua de un intervalo
de R es un intervalo de R . Esta es una formulación
del Teorema del valor intermedio.
• Según la topología usual de ℝ, un conjunto abierto
es la unión de intervalos abiertos.[11]
7 Aritmética de intervalos
Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que
• I + J = [ a + c, b + d ].
• I - J = [ a - d, b - c ].
• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [
ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
8 Generalización
Un intervalo n-dimensional se define como un subcon-
junto de Rn , que es el producto cartesiano de n interva-
los: I = I1 × I2 × · · · × In , uno en cada eje de coorde-
nadas......
aa-ε a+ε
Entorno de centro a y radio ε.
En términos topológicos, en el espacio métrico R usual
los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. Demanera
más general, se le llama vecindad o entorno de centro a
y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es
menor que ε.
E(a; ϵ) = {x ∈ R : |x− a| < ϵ}
9 Véase también
• Desigualdad
• Valor absoluto
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_unitario
https://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Infinito#El_s%C3%ADmbolo_de_infinito
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Conexidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_intermedio
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
5
• Intervalo unidad
• Partición de un intervalo
• Medida de Lebesgue
10 Referencias
[1] Echauri: Diccionario básico Latino-español...
[2] De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas” ISBN
84-205-0631-1
[3] Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Sala-
manca, España, ISBN 84-7829-006-0
[4] Rubiano: Topología general, Bogotá
[5] M. J. Mansfield: “Introducción a la topología” ISBN 84-
205-0450-5
[6] Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
[7] Spivak: Calculus, tomo I
[8] Hasser. La Salle. Sullivan:Análisi matemático I, define con
a≤b y surgen los casos del singulete y del ∅
[9] Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN
84-205-0524-2
[10] Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN
84-205-0524-2
[11] Mansfield: Introducción a la Topología ISBN 84-205-
4050-5
• Skornyakov, L.A. (2001), «Interval and segment»,
en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia
of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W. «Interval» (en inglés).
MathWorld. Wolfram Research.
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_unidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_de_un_intervalo
https://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_Lebesgue
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420506311
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420506311
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8478290060
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420504505
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420504505
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420505242
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420505242
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https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8420540505
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http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Interval_and_segment&oldid=14087
https://es.wikipedia.org/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics
https://es.wikipedia.org/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics
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