Clase 2 Teoría de triangulos rectángulos - 220818

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Academia Sabatina de “Jóvenes Talento” 
Nicaragua 2018 
 
I. Datos Generales. 
Disciplina: Teoría de Triángulos Rectángulos 
Nivel: IV 
Fecha: sábado 18 de agosto del 2018 
Trimestre Nº: II 
Encuentro N°: 2 
Clase Nº: 2 
Docente: Ricardo Molina. 
 
II. Contenidos: 
 Relaciones métricas en los triángulos, rectángulos. 
 Proyección Ortogonal 
 Teorema de la altura y su demostración. 
 Teorema del cateto y su demostración. 
 Ejercicios. 
 
III. Objetivos: 
 
 Comprender el concepto de proyección ortogonal y lo aplica en demostración de los teoremas de la 
altura y el cateto. la demostración 
 Comprender las demostraciones de los teoremas de la altura y cateto. 
 Aplica los teoremas de la altura y cateto en la solución de ejercicios. 
 
IV. Introducción. 
Relaciones métricas en los triángulos. 
Las relaciones métricas en el triángulo son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos. 
Las Relaciones Métricas en el Triángulo Rectángulo son teoremas o propiedades, que son válidas 
exclusivamente en el triángulo rectángulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, 
hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre esta como 
proyecciones de los catetos del triángulo. 
 
 
 
 
V. Desarrollo 
Antes de iniciar con el desarrollo del contenido te invito que observes los siguientes 
videos que aparecen en las siguientes direcciones web: 
https://www.youtube.com/watch?v=qbbVPJrDOj4 
https://www.youtube.com/watch?v=ZxHL5RiKvgo 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://www.youtube.com/watch?v=qbbVPJrDOj4
https://www.youtube.com/watch?v=ZxHL5RiKvgo
 
 
 
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Proyección Ortogonal. 
1. Se llama proyección ortogonal de un punto 𝑃 sobre una 
recta, al pie 𝑃′ de la perpendicular trazada desde el punto 
a la recta. En la figura 𝑃𝑃′ se llama proyectante. 
 
2. La Proyección de segmento sobre una recta se obtiene al 
proyectar todos los puntos del segmento, sobre la recta. 
 
 
 
 
 
 
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo. 
Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en B, de catetos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑐 
y, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑎 y de hipotenusa 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏, además la altura 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ = ℎ y 
las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ = 𝑚 y =
𝐻𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑛, se cumplen los siguientes teoremas. 
 
1. Teorema de la altura: La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las 
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa; es decir: 
 
𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏 
Demostración: 
 
En ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura mostrada anteriormente, 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y se observan tres triángulos 
rectángulos, los cuales son: 
∆ 𝐴𝐵𝐶, ∆ 𝐴𝐻𝐵 𝑦 ∆ 𝐶𝐻𝐵 
 
En ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆ 𝐴𝐻𝐵, tenemos: 
∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐴𝐻𝐵 por ser ángulos rectos. 
 ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐵𝐴𝐻 por ser ángulo común en ambos triángulos. 
 
Por primer criterio de semejanza de triángulos, ∆ 𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑨𝑯𝑩 (𝟏) 
 
 
 
 
3 
 
En ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆ 𝐶𝐻𝐵, tenemos: 
∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐶𝐻𝐵 por ser ángulos rectos. 
 ∡𝐵𝐶𝐴 = ∡𝐻𝐶𝐵 por ser ángulo común en ambos triángulos. 
 
Por primer criterio de semejanza de triángulos, ∆ 𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑪𝑯𝑩 (𝟐) 
 
De (1) y (2) tenemos que ∆ 𝑨𝑯𝑩 ~∆ 𝑪𝑯𝑩 por transitividad, entonces: 
 
𝑨𝑩
𝑪𝑩
=
𝑨𝑯
𝑩𝑯
=
𝑩𝑯
𝑯𝑪
 
Por lo que: 
 
𝑨𝑯
𝑩𝑯
=
𝑩𝑯
𝑯𝑪
⇒ (𝑩𝑯)𝟐 = (𝑨𝑯)(𝑯𝑪) 
 
Sustituyendo 𝐵𝐻 = ℎ, 𝐴𝐻 = 𝑚 𝑦 𝐻𝐶 = 𝑛, entonces: 
 
ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛 
 
2. Teorema del cateto: Un cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección 
del cateto sobre la hipotenusa, es decir: 
 
𝑐2 = 𝑏 ∙ 𝑚 y 𝑎2 = 𝑏 ∙ 𝑛 
Demostración: 
 
En ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura mostrada anteriormente, 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y se observan tres triángulos 
rectángulos, los cuales son: 
∆ 𝐴𝐵𝐶, ∆ 𝐴𝐻𝐵 𝑦 ∆ 𝐶𝐻𝐵 
En ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆ 𝐴𝐻𝐵, tenemos: 
∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐴𝐻𝐵 por ser ángulos rectos. 
 ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐵𝐴𝐻 por ser ángulo común en ambos triángulos. 
 
Por primer criterio de semejanza de triángulos, ∆ 𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑨𝑯𝑩 
 
De lo anterior tenemos que: 
𝑨𝑩
𝑨𝑯
=
𝑨𝑪
𝑨𝑩
=
𝑪𝑩
𝑩𝑯
 
Por lo que: 
𝑨𝑩
𝑨𝑯
=
𝑨𝑪
𝑨𝑩
⇒ (𝑨𝑩)𝟐 = (𝑨𝑪)(𝑨𝑯) 
Sustituyendo 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐻 = 𝑚 𝑦 𝐴𝐶 = 𝑏, entonces: 
 
𝑐2 = 𝑏 ∙ 𝑚 
 
 
 
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En ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆ 𝐶𝐻𝐵, tenemos: 
∡𝐴𝐵𝐶 = ∡𝐶𝐻𝐵 por ser ángulos rectos. 
 ∡𝐵𝐶𝐴 = ∡𝐻𝐶𝐵 por ser ángulo común en ambos triángulos. 
 
Por primer criterio de semejanza de triángulos, ∆ 𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑪𝑯𝑩 
De lo anterior tenemos que: 
𝑨𝑪
𝑩𝑪
=
𝑩𝑪
𝑩𝑯
=
𝑨𝑩
𝑩𝑯
 
Por lo que: 
𝑨𝑪
𝑩𝑪
=
𝑩𝑪
𝑩𝑯
⇒ (𝑩𝑪)𝟐 = (𝑨𝑪)(𝑩𝑯) 
Sustituyendo 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑦 𝐵𝐻 = 𝑛, entonces: 
 
𝑎2 = 𝑏 ∙ 𝑛 
Ejemplos. 
Problema 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 m y la altura 6m. Calcule la 
longitud del cateto menor. 
 
Solución: 
Sea ABC el triángulo rectángulo recto en B y el cateto menor 𝐴𝐵 =
𝑥, entonces; si hacemos: 𝐴𝐻 = 𝑎 ⇒ 𝐻𝐶 = 15 − 𝑎. 
Aplicando el teorema de la altura tenemos: 
62 = 𝑎(15 − 𝑎) 
Es decir 𝑎2 − 15𝑎 − 36 = 0 
Resolviendo tenemos: 
𝑎 = 12 𝑦 𝑎 = 3 tomando como valor que cumple la condición en la hipotenusa del triángulo 
𝑎 = 3 y aplicando el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto menor. 
 
𝑥2 = 62 + 32 
𝑥2 = 45 ⇒ 𝑥 = 3√5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 2: En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza la altura 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ . Si 𝐴𝐻 = 9, 𝐻𝐶 = 16 
calcular la longitud del cateto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
 
Solución: 
Sea 𝐴𝐵 = 𝑥 ; 𝐴𝐻 = 9 y 𝐻𝐶 = 16 
 
Se puede decir que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 25 
Aplicando el teorema del cateto, tenemos: 
𝑥2 = 25 ∙ 9 
𝑥2 = 225 
𝑥 = √225 
𝑥 = 15 
 
Problema 3: En un triángulo rectángulo ABC (∡𝐵 = 90°) 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 6. Calcule la longitud 
de la altura BH (H en AC). 
 
Solución: 
 
De la figura mostrada en la derecha tenemos que la 
medida del lado 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 6 𝑦 𝐴𝐶 = 𝑥. 
 
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que: 
 
𝑥2 = 42 + 62 
 𝑥2 = 16 + 36 
 𝑥2 = 52 
 √𝑥2 = √52 
 𝑥 = 2√13 
 
Aplicando el teorema del cateto tenemos que: 
 
(𝐴𝐵)2 = (𝐴𝐷)(𝐴𝐶) 
𝐴𝐷 =
(𝐴𝐵)2
𝐴𝐶
 
𝐴𝐷 =
42
2√13
=
16
2√13
=
8
√13
=
8√13
13
 
 
 
 
 
6 
 
Para conocer la altura tenemos dos opciones podemos utilizar el teorema de Pitágoras o el teorema 
de la altura. 
 
Si aplicamos el teorema de la altura tenemos que: 
 
𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 
𝐷𝐶 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐷 = 2√13 −
8√13
13
=
18√13
13
 
Entonces: 
 
(𝐵𝐷)2 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐷𝐶 
ℎ2 = (2√13) (
18√13
13
) 
 
ℎ2 =
36(√13)
2
13
 
√ℎ2 = √
36 ∙ 13
13
 
ℎ = 6 
 
VI. Asignación. 
Problema 1: En un triángulo rectángulo su altura relativa a la hipotenusa determina en dicha 
hipotenusa segmentos de longitudes 16 y 36. Calcular la longitud de los catetos. 
 
A) 5 12 7 13y B) 8 13 12 13y C) 9 2 13 3y d) 8 3 5 5y E) 7 9y 
Problema 2: En un triángulo rectángulo la altura trazada desde el vértice del ángulo recto mide 
26,4 cm y los cuadrados de los catetos están en la relación de 
9
16
. Entonces uno de los catetos mide: 
 
 A) 11 m B) 22 m C) 26 m D) 30 m E) 33 m. 
 
Problema 3: ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una 
hipotenusa de 13 pies de longitud? 
 
Problema 4: Del grafico mostrado calcular el valor de 𝑥. 
 
Problema 5: Calcular todas las partes marcadas en el siguiente 
triangulo rectángulo 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reto - Problema 6: Los lados de un triángulo rectángulo seencuentran en progresión aritmética 
de razón igual a 4. Calcule la altura relativa a la hipotenusa. 
 
VII. Crédito Extra 
Problema 7: Si 𝐵𝑀 = 𝐵𝐶 = 5 y 𝐴𝐶 = 13, calcular “𝑀𝐶”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Recuerden enviar las soluciones al correo ricardomolina01@yahoo.es o al wasap, pero 
con su nombre en cada foto, 87864014. Lo pueden entregar a más tardar el jueves 30 de agosto.