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RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA 
 
 
Definición: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con 
origen común. 
A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice. 
 
 
El ángulo es positivo si lo medimos en sentido 
contrario al movimiento de las agujas del reloj 
y negativo en caso contrario. 
 Positivo Negativo 
 
La unidad de medida de los ángulos es el Grado, que puede venir expresado de varias 
formas: 
 
Sistema sexagesimal: Un grado es la amplitud del ángulo resultante de dividir la 
circunferencia en 360 partes iguales. Cada grado tiene 60 minutos y cada minuto tiene 
60 segundos. 
 
Grado radián: Es la amplitud del ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Toda la 
circunferencia mide 2π radianes. 
 
Las razones trigonométricas de un ángulo son números que caracterizan a cada ángulo 
y para definirlas (calcularlas) trazamos una perpendicular al lado hasta formar un 
triángulo rectángulo. 
 
DEFINIMOS seno, coseno y tangente de un ángulo de la siguiente manera: 
 
• ��� � = ��	
	� ��
�	�����	
�
�� 
 
• ��� � = ��	
	� ���	��
�����	
�
�� 
 
• �� � = ��	
	� ��
�	���	
	� ���	��
� 
 
 
No importa en qué punto tracemos la perpendicular pues todos los triángulos que 
resulten son semejantes y los cocientes anteriores no varían. (Thales) 
De la misma manera y, para no confundirlas con las funciones inversas (arco sen; arco 
cos; arco tg), definimos cosecante, secante y cotangente de un ángulo de la siguiente 
forma: 
 
• ����� � = ��
� � ; ● sec � = ���� � ; ● ���� � = �	� � 
 
Tal y como los hemos definido y, dado que los catetos son siempre más pequeños que 
la hipotenusa, el seno y el coseno de un ángulo NUNCA pueden ser, en valor absoluto, 
mayores que la unidad. 
Además podemos observar que así definidos se verifica que 
 
• �� � = �
� ���� � 
Si en el triángulo anterior calculásemos las razones trigonométricas del otro ángulo 
agudo que llamaremos ββββ, observaríamos que, como el cateto contiguo a αααα es opuesto a ββββ 
y el cateto opuesto a αααα es contiguo a ββββ resulta que: 
 
• ��� � = cos ! ; ��� � = ��� ! y �� � = ����! 
 
 Donde α y β son complementarios. Es decir: α + β = 90º 
 
Cálculo de las razones trigonométricas de distintos ángulos 
 
Para hacer más sencillo el cálculo de las RT de los diferentes ángulos utilizaremos la 
Circunferencia Goniométrica, que es una circunferencia de radio la unidad y centrada en 
el origen de coordenadas. 
 
La circunferencia queda así dividida en 
cuatro partes I, II, III, IV, llamadas 
cuadrantes de forma que: 
 � ∈ #$%&�$ �'�($���� )*+ → 0° ≤ ∝ ≤ 90° 
 � ∈ ���'�(� �'�($���� )**+ → 90° ≤∝≤ 180° 
 � ∈ ��$��$ �'�($���� )***+ → 180° ≤∝≤ 270° 
 � ∈ �'�$�� �'�($���� )*6+ → 270° ≤∝≤ 360° 
 
 
En la circunferencia goniométrica, cuando vamos trazando los ángulos, al construir el 
triángulo, la hipotenusa es el radio de la circunferencia que mide uno. Por lo que en este 
caso y, SOLAMENTE EN ESTE CASO, el seno coincide con el cateto opuesto (y) y el 
coseno, con el cateto contiguo (x). Como el centro de la circunferencia es el origen de 
coordenadas, es fácil ver que: en el primer cuadrante tanto el seno como el coseno son 
positivos; en el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno negativo; en el tercer 
cuadrante, ambos son negativos y en el cuarto cuadrante, el seno es negativo y el 
coseno es positivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si conocemos las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante 
(agudos), podemos calcular las de ángulos de los otros cuadrantes, relacionándolas con 
las del 1º basándonos en la semejanza de triángulos. Así podemos afirmar que: 
 
• Si αααα Є 2º cuadrante � 9 ��� � = ��� )180° − �+cos � = − cos)180° − �+�� � = −�� )180° − �+ ; )180° − �+ ∈ 1º �'�($���� 
• Si αααα Є 3º cuadrante � 9��� � = −��� )� − 180°+cos � = − cos)� − 180°+�� � = �� )� − 180°+ ; )� − 180°+ ∈ 1º �'�($���� 
 
• Si αααα Є 4º cuadrante �9��� � = −��� )360° − �+cos � = cos)360° − �+�� � = −�� )360° − �+ ; )360° − �+ ∈ 1º �'�($���� 
 
Ecuación fundamental de la trigonometría. 
 
Si escribimos las razones trigonométricas del ángulo αααα 
 
del triángulo de la figura, tenemos: 
 ��� � = �� → � = � ∙ ���� cos � = >� → ? = � ∙ cos � 
 
Aplicando Pitágoras � c2 = a2+ b2 y sustituyendo: 
 
C2 = (c senα)2 + (c cosα)2 � c2 = c2 sen2α + c2 cos2α � c2 = c2(sen2α + cos2α) 
 
Dividiendo por c2 
 
• sen2αααα + cos2αααα = 1 
 
Que es la Ecuación fundamental de la trigonometría y nos permite conocer el seno o el 
coseno de un ángulo, conocido el otro. 
 
Ejemplos: 
 
1.- Si sen α = 0,25 y α Є al 1º cuadrante, calcula las restantes razones 
trigonométricas. 
 
(0,25)2 + cos2α =1 � 0,0625 + cos2α =1 � cos2α = 1-0,0625= 0,9375 � 
 cosα = ±A0,9375 = ±0,9682 
 
Como α Є al 1º cuadrante � el coseno es positivo por lo que desechamos la 
determinación negativa de la raíz. 
 
cos α =0,9682 
 
tgα= �
� ����� = D,EFDDD,GHIE = 0,2582 
 ����� � = ��
� � = �D,EF = 4 ; sec � = ���� � = �D,GHIE = 1,033; ���� � = �	� � = �D,EFIE = 3,8730 
 
2.- Sabiendo que sen25° = 0,423 y cos25° = 0,906. Hallar las razones trigonométricas 
de 65° 
 
Como 25°+ 65° = 90º � son complementarios por lo que: 
 
sen 65° = 0,906 y cos 65° = 0,423 
Tabla resumen de razones trigonométricas de algunos ángulos 
 
 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
sen αααα 0 
12 √22 √32 1 0 -1 0 
cos αααα 1 √32 √22 12 0 -1 0 1 
tg αααα 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0 
 
 
De esta manera, si conocemos el ángulo conocemos sus razones trigonométricas y 
viceversa: si conocemos la razón trigonométrica podemos conocer el ángulo, por 
ejemplo: 
 
¿Cuál es el seno de 30º? Respuesta: 
�E 
 
¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale 
�E? Respuesta: 30º 
 
¿Cuál es el ángulo cuya tangente vale 1? Respuesta: 45º 
 
 
EJERCICIOS 
 
1º) Sabiendo que cos α=- 0,5735 y que 90º < α <180º. Calcular las restantes razones 
trigonométricas del ángulo α 
Sustituyendo en la ecuación fundamental de la trigonometría: 
 
sen2α + cos2α = 1 � sen2α+ (-0,5735)2 =1� sen2α = 1-(-0,5735)2 
 
� sen2α = 1-(-0,5735)2 =1-0,3289=0,6711� sen α =±√0,6711 � +0,8192 
 
Como α ∈ 2º cuadrante, el seno es positivo por lo que desechamos la determinación 
negativa de la raíz. 
 
 �� � = �
� ���� � = D,I�GELD,FMNF = −1,4284 ����� � = ��
� � = �D,I�GE = 1,2207 sec � = ���� � = �LD,FMNF = −1,7436 ���� � = �	� � = −0,700 
 
2º) Expresa en radianes todos los ángulos de la tabla resumen. 
 
 30º=
OH ; 45º= OP ; 60º= ON; 90º= OE ; 180º= π; 270º= NOE 
 
3º) Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones 
trigonométricas del ángulo α. 
 
Tenemos que resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 
 
Q �
� ���� � = 2 →���E� + ���E� = 1 →; ��� � = 2 ∙ cos �)2 ∙ cos �+E + ���E� = 1 
 4 ∙ cosE � + ���E� = 1 → 5���E� = 1 → ���E� = �F → ���� = ±S�F� − √FF 
Como α ∈ 3º cuadrante, el coseno es negativo 
 ��� � = 2 ∙ cos � = 2 ∙ T− √FF U = − E√FF 
cosec α= − √FE ; sec α=−√5; cotgα=�E 
 
4º) Comprueba si es cierta la siguiente igualdad. 
 
 ��� + ����� = ���� ∙ ������ 
 
Operando en un miembro tenemos que llegar al otro 
 ��� �cos � + cos �sen � = ��� � ∙ ��� � + cos � ∙ cos � ��� � ∙ ��� � = ���E� + ���E���� � ∙ ��� � = 1��� � ∙ ��� � = 1��� � ∙ 1��� � 
 = ���� ∙ ������ � la igualdad es cierta 
 
5º) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el 
triángulo. 
Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus ángulos 
y todos sus lados 
 
Por Pitágoras: c2=a2+b2 � c2=36 + 16=52 � c= √52= 2√13 
 ��� � = HE√�N = H√�NE∙�N = N√�N�N = cos ! 
 
 
 α será el ángulo cuyo seno vale N√�N�N . Como no está en la tabla, lo buscamos con la 
calculadora (shift sin-1) obteniendo α=56,31º=56º18´36´´ 
 
Como α y β son complementarios, β= 90º - α = 90º - 56,31º = 33,69º=33º41´24´´ 
 
6º) Calcular el área de unaparcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 
m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°. 
 
 
 
 h=80 sen 70º =75,17m 
 
 S = 
�ND∙�E =4886,40m2