Vista previa del material en texto
TRIGONOMETRIA Llibre de text Gerard Romo Garrido Toomates Coolección vol. 15 Toomates Coolección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, y esto en un mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía. El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales. Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons 4.0 (Atribution Non Commercial)”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. ¡Libérate de la tiranía y mediocridad de las editoriales! Crea, utiliza y comparte tus propios materiales didácticos Toomates Coolección Problem Solving (en español): Geometría Axiomática , Problemas de Geometría 1 , Problemas de Geometría 2 Introducción a la Geometría , Álgebra , Teoría de números , Combinatoria , Probabilidad Trigonometría , Desigualdades , Números complejos , Funciones Toomates Coolección Llibres de Text (en catalán): Nombres (Preàlgebra) , Àlgebra , Proporcionalitat , Mesures geomètriques , Geometria analítica Combinatòria i Probabilitat , Estadística , Trigonometria , Funcions , Nombres Complexos , Àlgebra Lineal , Geometria Lineal , Càlcul Infinitesimal , Programació Lineal , Mates amb Excel Toomates Coolección Compendiums: Ámbito PAU: Catalunya TEC Catalunya CCSS Galicia País Vasco Portugal A Portugal B Italia Ámbito Canguro: ESP , CAT , FR , USA , UK , AUS Ámbito USA: Mathcounts AMC 8 AMC 10 AMC 12 AIME USAJMO USAMO Ámbito español: OME , OMEFL , OMEC , OMEA , OMEM , CDP Ámbito internacional: IMO OMI IGO SMT INMO CMO REOIM Arquimede HMMT Ámbito Pruebas acceso: ACM4 , CFGS , PAP Recopilatorios Pizzazz!: Book A Book B Book C Book D Book E Pre-Algebra Algebra Recopilatorios AHSME: Book 1 Book 2 Book 3 Book 4 Book 5 Book 6 Book 7 Book 8 Book 9 ¡Genera tus propias versiones de este documento! Siempre que es posible se ofrecen las versiones editables “MS Word” de todos los materiales, para facilitar su edición. Descarga en los siguientes enlaces la versión ".doc" de este documento: www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc → www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc ¡Ayuda a mejorar! Envía cualquier duda, observación, comentario o sugerencia a toomates@gmail.com ¡No utilices una versión anticuada! Todos estos documentos se mejoran constantemente. Descarga totalmente gratis la última versión de estos documentos en los correspondientes enlaces superiores, en los que siempre encontrarás la versión más actualizada. Consulta el Catálogo de libros de la biblioteca Toomates Coolección en http://www.toomates.net/biblioteca.htm Encontrarás muchos más materiales para el aprendizaje de las matemáticas en www.toomates.net Visita mi Canal de Youtube: https://www.youtube.com/c/GerardRomo Versión de este documento: 18/07/2023 http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Probabilidad.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasFunciones.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Nombres.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Algebra.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Proporcionalitat.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/MesuresGeometriques.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CombinatoriaProbabilitat.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Estadistica.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Funcions.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/NombresComplexos.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Calcul.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/MatesExcel.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Pauccss.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Galiciapau.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Paisvascopau.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Portugal635.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Portugal735.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Italia.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Canguro.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Cangur.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangourou.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangaroo.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangarooUK.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKanguru.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumMathcounts.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC8.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC10.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC12.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAIME.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumUSAJMO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumUSAMO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOME.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEFL.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEC.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEA.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEM.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCDP.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumIMO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMI.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumIGO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumSMT.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumINMO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCMO.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumREOIM.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumArchimede.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumHMMT.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumACM4.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCFGS.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumPAP.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookA.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookB.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookC.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookD.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookE.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/Pizzazz_pre_Algebra.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz_algebra.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook1.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook2.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook3.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook4.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook5.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook6.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook7.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook8.pdf http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook9.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc http://www.toomates.net/biblioteca.htm http://www.toomates.net/ https://www.youtube.com/c/GerardRomo Índex. 1 Trigonometria amb triangles rectangles. → Arxiu doc 1.1 Mesura d'angles: Graus i radians. 1.2 Raons trigonomètriques amb angles aguts. 1.3 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan. 1.4 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º. 1.5 Descomposició de figures en triangles rectangles. 1.6 Determinació de distàncies inaccessibles. 1.7 Notes d'històrica dels termes trigonomètrics. 2 Trigonometria amb triangles en general. → Arxiu doc 2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º. 2.2 El Teorema del sinus. 2.3 El Teorema del cosinus. 2.4 Problem Solving amb Teorema del Sinus i del Cosinus. 2.5 Àrea mitjançant trigonometria. Fórmula de Heron. 2.6 Problemes PAU de trigonometria. 2.7 Repàs general de resolución de triangles amb trigonometria. 3 Les funcions trigonomètriques. → Arxiu doc 3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius. 3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º. 3.3 Coordenades polars. 4 Equacions trigonomètriques. → Arxiu doc 4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus. 4.2 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus. 4.3 Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent. 4.4 Equacions trigonomètriques senzilles. 4.5 Equacions trigonomètriques per factorització. 4.6 Equacions trigonomètriques per canvi de variable. 4.7 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus. 4.8 Repàs d'equacions trigonomètriques. 5 Les identitats trigonomètriques. → Arxiu doc 5.1 Les identitats trigonomètriques. 5.2 Demostració de les fórmules trigonomètriques de la suma d'angles. 5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats. 5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus. Solucions. → Arxiu doc La trigonometria és una eina transversal en les matemàtiques, i apareix en la resolució de problemes de tots els seus àmbits, més enllà dels geomètrics. Trobaràs aplicacions de la trigonometria en el següents documents: http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria02.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria03.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria04.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria05.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf 1 Trigonometria amb triangles rectangles. 1.1 Mesura d'angles: Graus i radians. Anomenem grau a la 360/1 part de la circumferència: 1º360 circumferència Anomenem radian a l'amplitud de l'angle central d'una circumferència d'arc igual al radi: 12 rad circumferència La proporcionalitat entre graus i radians és º3602 rad Exercici resolt. Converteix 18º a radians. Solució: És una simple regla de tres: radx radx rad 10360 182 º18 º3602 Exercici resolt. Converteix rad 9 a graus. Solució: Plantegem la regla de tres: º20 2 9/360 º9/ º3602 x xrad rad 1.1.1 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de . a) 180º b) 60º c) 45º d) 90º 1.1.2 Converteix els següents angles a radians. Arrodoneix els resultats a les centèsimes. a) 24º b) 78º 1.1.3 Converteix a graus. Arrodoneix els resultats a les dècimes. a) 6 rad b) 0.73 rad 1.1.4 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de . a) 45º b) 75º c) 20º d) 140º e) 25º 1.1.5 Converteix a graus: a) 7 3 b) 18 c) 3 2 d) 4.0 1.2 Raons trigonomètriques amb angles aguts. Un triangle rectangle és un triangle en el què l'angle d'un vèrtex és recte, és a dir, mesura 90º. Fixem un altre angle, al que anomenem . El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i l'anomenarem hip. Els altre dos costats s'anomenen catets. El catet que no toca l'angle s'anomena costat oposat, i l'anomenarem opo. El catet que toca l'angle s'anomena costat adjacent, i l'anomenarem adj. hip opo )sin( hip adj )cos( adj opo )tan( Les identitats fonamentals de la trigonometria. 1)(cos)(sin 22 )cos( )sin( )tan( En efecte: 1)(cos)(sin 2 2 2 22 2 2 2 222 22 AP AP AP AQPQ AP AQ AP PQ AP AQ AP PQ )cos( )sin( / / )tan( hipadj hipopo adj opo on estem suposant que en tot triangle rectangle 0hip . Raons trigonomètriques recíproques. Definim la secant, la cosecant i la cotangent d'un angle de la següent forma: secant: cosecant: cotangent: adj hip )cos( 1 )sec( opo hip )sin( 1 )csc( opo adj )tan( 1 )cot( 1.2.1 Determina les raons trigonomètriques associades al següent angle : )sin( )cos( )tan( Exercici resolt. Determina la longituddels costats: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: i apliquem les raons trigonomètriques: 5.2)º30sin(5 5 )º30sin( a a 33.4)º30cos(5 5 )º30cos( b b 1.2.2 Problema. Determina 2tan Exercici resolt. Determina el costat assenyalat: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: El costat que mesura 3 no toca l'angle de 60º, per tant és el costat oposat a . El costat que volem determinar toca l'angle de 60º, per tant és el costat adjacent b . La raó trigonomètrica adequada per aquest problema és, doncs, la que lliga costats adjacent i oposat, és a dir, la tangent: 73.1 )º60tan( 33 )º60tan( b bb a 1.2.3 Calcula les longituds dels costats indicats: 1.2.4 Determina la longitud del costat assenyalat: a) b) c) d) e) f) g) h) 1.2.5 Una escala de 2m de llarg està recolzada en una paret formant un angle de 60º. Determina l'altura del punt de contacte entre aquesta escala i la paret. 1.2.6 Calcula la distància d : 1.2.7 Calcula l'altura de l'arbre: 1.2.8 Calcula la distància AB entre el vaixell i el far. 1.2.9 Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de 15 m? 1.2.10 Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de 17º des d’una distància de 54 m? 1.2.11 Calcula la profunditat del pou de la figura: 1.2.12 Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la paret arriba a una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º? 1.2.13 Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà verticalment si ha recorregut 510 m. de la rampa? Exercici resolt. Calcula l'altura AB de l'edifici de l'esquerra. Presenta el resultat exacte com a fracció simplificada. Solució: Un cop hem tret els elements decoratius, tenim el següent esquema: Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle de la dreta: mBC BC 3 50 )º60tan( 5050 )º60tan( Aplicant ara raons trigonomètriques al triangle rectangle de l'esquerra: mAB ABAB BC AB 3 50 33 50 50 3 3/503 1 )º30tan( Exercici resolt. Calcula l'altura de la torre de la dreta: Solució: Representem esquemàticament la situació: mBC BC 03.25 )º40tan( 2121 )º40tan( mBCAD 07.20 mDE DE AD DE 53.17 )º55tan( 03.25 03.25 )º55tan( mDECDCE 53.3853.1721 1.2.14 Determina la distància AB entre les dues persones: Triangles encadenats. 1.2.15 Calcula els costats x i y assenyalats: 1.2.16 Calcula el costat DG: 1.2.17 Calcula la longitud y : 1.2.18 Math English Corner Font: Pizzazz! Algebra pàg. 227 http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz/pizzazz_algebra.pdf 1.3 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan. La funció 1,0º90,0:)sin( x té associada una funció inversa anomenada )arcsin( x : º30 2 1 arcsin perquè 2 1 )º30sin( º7.270.465arcsin perquè 465.0)º7.27sin( .... De la mateixa manera, disposem de funcions inverses per al cosinus: )arccos(x i per a la tangent: )arctan(x Les funcions trigonomètriques inverses ens permeten determinar angles coneguts els costats. Exercici resolt. Determina l'angle assenyalat: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: i veiem que la relació trigonomètrica que hem d'aplicar és el sinus: º57.23 5 2 arcsin 5 2 )sin( c a Sempre xx )arcsin(sin , però no sempre xxarc )sin(sin L'equació kx sin té dos solucions en º3600 x , i la funció arcsin dóna sempre la solució més propera a 0º. Per exemple: º30 2 1 arcsinº30sinarcsin Però º60 2 3 arcsinº120sinarcsin Perquè dels dos angles que tenen sinus igual a 2 3 , que són 60º i 120º, la funció arcsin dóna el més proper a 0º, que és 60º. El mateix passa amb el cosinus i la tangent. Trigonometria amb calculadora científica (CASIO fx82 i similars) Fins a l’aparició de les calculadores científiques, hi havia taules trigonomètriques que permetien trobar les raons trigonomètriques de qualsevol angle; de la mateixa manera, també hi havia taules que permetien trobar un angle a partir d’una de les seves raons trigonomètriques. En l’actualitat, aquestes taules no s’utilitzen, perquè qualsevol calculadora fa aquestes funcions de manera més eficient i senzilla. )arcsin( x La tenim a la calculadora científica com Per exemple, per a calcular 2 1 arcsin : )arccos(x La tenim a la calculadora científica com Per exemple, per a calcular 2 1 arccos : )arctan(x La tenim a la calculadora científica com Comprova que la unitat angular de la teva calculadora és la correcta! Si treballes amb graus sexagesimals (com en aquest llibre), comprova que la teva calculadora apareix una D a la part superior de la pantalla: El mode més friki de la calculadora: El mode G fa referència als "gradians", que es defineixen com la 400/1 part de la circumferència. Així doncs, grad100º90 . Fora d'àmbits molt especialitzats (artilleria militar per exemple) aquest mode no es fa servir mai. 1.3.1 Determina amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb 4 decimals exactes: a) º72sin b) º33tan c) º9.3cos d) º9.13sin e) º7.24tan f) º45cos 1.3.2 Determina els següents angles amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb 1 decimal exacte: a) 7.0sin b) 4.0cos c) 14tan d) 6.0cos e) 9.0sin f) 1.0tan 1.3.3 Determina l'angle assenyalat: a) b) c) d) 1.3.4 Calcula l'angle : 1.3.4 Math English Corner Font: Pizzazz! Algebra pàg. 229 http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz/pizzazz_algebra.pdf 1.4 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º. Del triangle “cartabó” podem deduir les raons trigonomètriques de l’angle 45º 1 1 1 )º45tan( 2 2 2 1 )º45cos( 2 2 2 1 )º45sin( Construïm un triangle equilàter de costat 1, determinem la seva altura per Pitàgores: 2 3 4 3 4 1 1 2 1 1 2 22 aa i obtenim un triangle “escaire”, d’angles 30º, 90º i 60º i de costats 2 1 , 1 i 2 3 d’on podem deduir fàcilment que 3 1 2/3 2/1 )º30tan( 2 3 1 2/3 )º30cos( 2 1 1 2/1 )º30sin( 3 2/1 2/3 )º60tan( 2 1 1 2/1 )º60cos( 2 3 1 2/3 )º60sin( 1.5 Descomposició de figures en triangles rectangles. Exercici resolt. Determina la longitud del costat assenyalat: Solució: Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és rectangle. Però si que podem traçar l'altura h per descomposar-lo en dos triangles rectangles: Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de l'esquerra: 55.22)º70sin(24 24 )º70sin( h h Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de la dreta: 06.33 )º43sin( 55.2255.22 )º43sin( x xx h Exercici resolt. Determina l'angle assenyalat: Solució: Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és rectangle. El que sí podem fer és traçar l'altura per dividir-lo en dos triangles rectangles: Aplicant raons trigonomètriques al triangle de l'esquerra: 28.25)º50sin(33 33 )º50sin( h h Aplicant raons trigonomètriques al triangle de la dreta: º44.6927 28.25 arcsin 27 28.25 27 )sin( h Exercici resolt. Determina la longitud del costat assenyalat: Solució: Per poder aplicar les raons trigonomètriques tracem l'altura i dividim el triangle en dos triangles rectangles: Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de l'esquerra: )º70cos(28 28 )º70cos( x x Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de la dreta: )º50cos(35 35 )º50cos( y y La distància buscada es la suma 07.32)º50cos(35)º70cos(28 yx Nota: Aquest problema es pot resoldre també amb el "Teorema del Sinus", que estudiarem més endavant. 1.5.1 Una bola negra queda penjada del sostre per dues cordes tenses: Calcula l'angle entre les dues cordes. 1.5.2 Determina la longitud de la base del següent triangle isòsceles: 1.5.3 Calcula el angle de la següent cometa: 1.6 Determinació de distàncies inaccessibles. Exercici resolt. Determina el costat assenyalat: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i longituds: Observem que, encara que no ens la demanen, etiquetem la longitud xBD perquè la necessitarem per completar triangles rectangles. Apliquem trigonometria al triangle rectangle DBC : x h )º42tan( Apliquem trigonometria al triangle rectangle ABC : x h 11 )º30tan( (No podem aplicar raons trigonomètriques al triangle ADC perquè no és rectangle) Obtenim un sistema de dues equacions i dues incògnites que resoldrem pel mètode d'igualació en h : )11)(º30tan()º42tan( )11)(º30tan( 11 )º30tan( )º42tan()º42tan( xx xh x h xh x h 66.19 )º30tan()º42tan( )º30tan(11 )º30tan(11)º30tan()º42tan( )º30tan(11)º30tan()º42tan( )º30tan()º30tan(11)º42tan( )11)(º30tan()º42tan( x x xx xx xx 70.17)º42tan(66.19)º42tan( xh Exercici resolt. Tomàs i Alicia volen mesurar la distància entre la Terra i la Lluna. Per això, se situen a una distància de 300 km l’un de l’altre i mesuren l’angle d’elevació de la Lluna. Tomàs mesura 49.8974º, i Alicia mesura 49.9312º. Amb aquestes dades, determina la distància aproximada entre la Terra i la Lluna. Solució. Posem lletres i plantegem i resolem un sistema d’equacions 2×2: 300 8974.49tan 9312.49tan x y x y 8974.49tan)300(9312.49tan 8974.49tan)300( 9312.49tan xx yx yx kmx x xx 250389 8974.49tan9312.49tan 8974.49tan300 8974.49tan3008974.49tan9312.49tan 8974.49tan3008974.49tan9312.49tan Ara calculem la distància d’Alicia a la Lluna amb el cosinus: 388833 )º913.49cos( 250389250389 )º913.49cos( d dd x km (Distancia oficial: 384400 km) 1.6.1 Calcula l'altura de l'arbre: 1.6.2 Determina l'altura h de la torre: 1.6.3 Determina la longitud del segment BC: 1.6.4 Determina la distància x: 1.6.5 Determina la longitud x: 1.6.6 Determina l'altura de l'arbre: 1.6.7 Calcula l'amplada d'aquest congost amb les dades següents: 1.6.8 Exercici del Youtube Determina l’altura de l’arbre: Solució: https://youtu.be/reeI3nAUz6c (Juan Sanmartín) https://youtu.be/reeI3nAUz6c 1.6.9 Exercici del Youtube Determina l’altura de l’arbre. Solució: https://youtu.be/hxHZzSeqm5I (explicamates) https://youtu.be/hxHZzSeqm5I 1.7 Notes d'històrica dels els termes trigonomètrics. La trigonometria és una part de la matemàtica que, genèricament, estudia la relació entre la mesura dels angles i els costats d’un triangle. De fet, la mateixa paraula trigonometria té l’origen en aquest fet: tri– significa "tres", gono–, significa "angle" i – metria significa "mesura”, és a dir, trigonometria significa una "mesura de (figures) amb tres angles". El terme trigonometria el trobem per primera vegada en l’obra del matemàtic alemany Bartholomaeus Pitiscus, Blatnometria sive de dimensione triangulorum, publicada el 1595, encara que molts resultats de la trigonometria ja eren coneguts a l’antiguitat (teorema de Pitàgores, teorema de Tales...). Els primers usos de la trigonometria (encara que no tingués aquest nom) van ser la cartografia, l’astronomia i la navegació, i només recentment el seu ús s’ha estès a molts altres camps. L’astronomia és, potser, el camp que des d’antic va estar més unit a la trigonometria i, de fet, la major part d’estudis trigonomètrics es presentaven en treballs astronòmics. Fins al segle XIII no es va produir la primera presentació de la trigonometria com a ciència independent de l’astronomia: va ser el matemàtic persa Sharaf al–Din al–Tusi. De l’obra Problematum variorum geodaeticum de B. Pitiscus. Els termes sinus, cosinus i tangent tenen una història curiosa. Una antiga obra hindú sobre astronomia, Surya Siddhanta, dóna una taula de mitjanes–cordes (en un altre tema s’estudiarà el significat de la corda), que coincideixen amb la idea del sinus d’un angle, molt útils per a calcular els moviments de les estrelles. Posteriorment, l’obra Aryabhatiya d’Aryabhata, que també era hindú (cap al 500 dC) fa un estudi més profund de les mitjanes–cordes, que denomina jiva (en sànscrit, llengua en què està escrita aquesta obra). Els àrabs la van traduir i el terme jiva va ser transformat en l’aràbic jiba, però escrit jb (atès que l’àrab clàssic no té vocals). Més endavant, els traductors al llatí d’aquesta obra, van traduir jb per sinus, ja que van pensar que es referia a jaib (i no a jiba), i jaib significa pit o sina (tot i que en català utilitzem la paraula sinus). Així, del significat original, mitjana–corda, es va passar, per una traducció errònia, a sinus. A banda de l’anècdota, aquest relat il·lustra el recorregut dels estudis trigonomètrics al llarg de la història: primer, a l’Índia, posteriorment, en àrab, des de Bagdad fins a l’Al– Andalus; des d’aquí es va introduir a Europa amb les traduccions llatines, fins a les llengües modernes. Les altres dues raons trigonomètriques tenen una història més recent. El cosinus va sorgir de la necessitat de calcular el sinus de l’angle complementari. Així, originàriament, Edmund Gunter el 1620 va escriure co.sinus precisament per a indicar "sinus de l’angle complementari" (que com sabem, és igual al cosinus de l’angle); una mica més tard, John Newton (no Isaac Newton) va estandarditzar el terme cosinus, del qual prové el nostre cosinus. Finalment, la paraula tangent deriva de la paraula llatina tangere, que significa tocar (molt relacionat amb la idea geomètrica de la tangent), i va ser introduïda per Dane Thomas Fincke el 1583. Font: Document "Iniciació a les Matemàtiques per a l’enginyeria". 2 Trigonometria amb triangles en general. 2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º. Donades dues semirectes AB i AC , determinant un angle obtús, per a qualsevol punt ACP , sigui Q la seva projecció perpendicular en la recta AB . Com que és obtús, el punt Q pertany a la semirecta oposada de AB . Definim: AP PQ )sin( AP AQ )cos( AQ PQ )tan( )º180sin()sin( , )º180cos()cos( I per tant: )tan( )cos( )sin( )180cos( )180sin( )180tan( Exercici resolt. Coneixent 2/1)º30sin( i 2/3)º30cos( , calcula les raons trigonomètriques associades a l'angle º150 Solució: 3 3 3 1 2/3 2/1 )º150cos( )º150sin( )º150tan( 2 3 )º30cos()º30º180cos()º150cos( 2 1 )º30sin()º30º180sin()º150sin( 2.2 El Teorema del sinus. C c B b A a sinsinsin Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles: ADC y BDC : Enel triangle rectangle ADC : Abh b h A sinsin En el triangle rectangle BDC : Bah a h B sinsin Per tant: A a B b BaAb sinsin sinsin , tal i com volíem demostrar. Repetint aquest mateix procés amb les altres dues altures, obtenim les altres igualtats. Exercici resolt. Determina la longitud dels costats: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: i veiem que el costat de la dreta s'adapta perfectament al Teorema del sinus: 928.3 )º50sin( )º37sin(5 )º37sin()º50sin( 5 sinsin a a A a B b Per poder calcular el costat inferior necessitem determinar l'angle C del vèrtex superior: º93º50º37º180º180º180 BACCBA I apliquem, de nou, el Teorema del Sinus: 518.6 )º50sin( )º93sin(5 )º93sin()º50sin( 5 sinsin c c C c B b 2.2.1 Determina la longitud assenyalada: 2.2.2 Determina la longitud i l'angle assenyalats: 2.2.3 Determina la longitud del costat assenyalat: 2.2.4 El "Triangle de les Bermudes" se situa entre Miami, Bermuda i la illa de San Juan. Observa l'esquema i determina la distància entre Miami i San Juan: 2.2.5 Exercici del Youtube Determina la longitud del costat indicat: Solució: https://youtu.be/r2DZSxFLRK0 (unicoos) https://youtu.be/r2DZSxFLRK0 2.2.6 Exercici del Youtube (en anglès) Determina la longitud dels costats a i c: Solució: https://youtu.be/i6kIjZA2UAI (NancyPi) https://youtu.be/i6kIjZA2UAI Determinació d’angles aplicant el Teorema del Sinus. Exercici resolt. Determina l'angle assenyalat: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: Apliquem el Teorema del Sinus: º51.137675.0arcsinº180 º49.42675.0arcsin 675.0 32 º70sin23 sin sin32º70sin23 º70sin 32 sin 23 sinsin BB B BC c B b La solució correcta és 42.49 perquè a l’esquema que apareix en l’enunciat es veu que l’angle demanat és agut. Has de tenir molta atenció quan determines angles amb el Teorema del Sinus, perquè l’equació bAsin té dues solucions possibles: )arcsin(º180 )arcsin( b b A Per tant, tindrem dos triangles candidats a solució del problema. En l’exercici anterior vam escollir la solució aguda perquè era la coherent amb l’esquema que es mostra a l’enunciat. Però no sembre ens donen un esquema, i per tant haurem de comprovar les dues solucions possibles. Observa el següent exemple. Exemple resolt. Determina l’angle B d’un triangle amb º45A , 4a i 5b . Solució. Apliquem el Teorema del Sinus: º89.117)884.0arcsin(º180 º11.62)884.0arcsin( 884.0 24 5 4 )º45sin(5 )sin( )sin( 5 )º45sin( 4 sinsin B B BB b A a Les dues solucions són vàlides: 2.3 El Teorema del cosinus. Abccba cos2222 Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles: ADC y BDC . Sigui m la distància AD , per tant, mcDB : Apliquem Pitàgores a tots dos triangles: En el triangle rectangle ADC : 222222 mbhmhb En el triangle rectangle BDC : 222222 )()( mcahmcha Per tant: 2222222222 2)2()( mmccammccamcamb Eliminem 2m a dreta i esquerra: mccab 2 222 Aïllem 2a : mccba 2 222 Apliquem trigonometria al triangle ADC : Abm b m A coscos Finalment, substituïm m a l'expressió anterior: Abccba cos2222 Problema Proposat: PG/6.23a Exercici resolt. Determina la longitud del costat assenyalat: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i costats: i veiem que aquest problema s'adapta perfectament al Teorema del Cosinus: 0049.29)º50cos(704925)º50cos(75275cos2 22222 Abccba 386.50049.29 a 2.3.1 Determina la longitud del costat assenyalat: 2.3.2 Determina el costat assenyalat: 2.3.3 Exercici del Youtube Determineu el costat a i l’angle B. Solució: https://youtu.be/CYHWl_7dIdw (unicoos) 2.3.4 Exercici del Youtube Determina la longitud del costat indicat, seguint dos mètodes diferents: a) Dividint el triangle amb una altura central. Solució: https://youtu.be/uqk9EWQRq3c (Mates con Andrés) b) Aplicant el teorema del cosinus. Solució: https://youtu.be/_oCZjw4LbvM (Mates con Andrés) 2.3.5 Exercici del Youtube (en anglès) Determina la longitud del costat indicat: Solució: https://youtu.be/HOI_PnFG67Q?t=622 (Professor Leonard) https://youtu.be/CYHWl_7dIdw https://youtu.be/uqk9EWQRq3c https://youtu.be/_oCZjw4LbvM https://youtu.be/HOI_PnFG67Q?t=622 Determinació d’angles mitjançant el Teorema del cosinus. El Teorema del Cosinus ens permet determinar els angles en funció dels costats: bc acb A 2 cos 222 , ac bca B 2 cos 222 , ab cba C 2 cos 222 Aquestes fórmules no s’han de memoritzar. S’han de poder deduir, sempre que calgui, de la fórmula original. Exercici resolt. Determina els angles del següent triangle: Solució: Etiquetem vèrtexs, angles i longituds: Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle A : º96.35 1472 1192 arccos 1472 1192 )cos( )cos(14721192 )cos(14721024529361 )cos(14721024529361 )cos(32232322319)cos(2 222222 AA A A A AAbccba Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle B : º26.45 1216 856 arccos 1216 856 )cos( )cos(1216856 )cos(12161024361529 )cos(12161024361529 )cos(32192321923)cos(2 222222 BB B B B BBaccab L'angle C el podem deduir directament: º78.98º26.45º96.35º180º180º180 BACCBA 2.3.6 Exercici del Youtube Determina els tres angles del següent triangle: Solució: https://youtu.be/Nud7FLaGjCI (Matemáticas con Juan) 2.3.7 Exercici del Youtube Determina l’angle : Solució: https://youtu.be/cCeJffSwHvc (Matemáticas profe Alex) https://youtu.be/Nud7FLaGjCI https://youtu.be/cCeJffSwHvc Exercici resolt. Determina la longitud dels costats del següent paral·lelogram: Solució: La part de la dreta de la figura és un triangle al qual podem aplicar el Teorema del Cosinus per a obtenir la distància AD: ADaaa 567.4852.20852.20)º48cos(65265 2222 La part superior de la figura també és un triangle amb un angle COD que és el suplementari de AOD , per tant º132º48º180 COD 057.10148.101148.101)º132cos(65265 2222 aaa Nota: En aquest problema estem tenint en compte que les diagonals d'un triangle tallen pel punt mig. Exercici resolt. Determina la distància CD del quadrilàter següent: Solució: En primer lloc, amb el triangle ABC obtenim la longitud a: 51.19)50sin( )101sin( 25 )50sin()101sin( 25 º1015029180 º502723 a a C B Amb el triangle ABD obtenim la longitud b: 27.10)23sin( )108sin( 25 )23sin()108sin( 25 º1082349180 º492029 b b D A i, finalment, amb el triangle BCD i el teorema del cosinus determinem el costat CD: 465.10)20cos(51.1927.10251.1927.10)20cos(2 2222 ababCD 2.3.8 Exercici del Youtube Calcula la distància entre l’arbre A i la casa C: Solució: https://youtu.be/zdSuV54NcU8 (explicamates) 2.3.9 Exercici del Youtube Calcula la distància entre el punt A i el punt B Solució: https://youtu.be/ItMkwTWyCNY (Miguel Ángel Andrés) https://youtu.be/zdSuV54NcU8 https://youtu.be/ItMkwTWyCNY 2.4 Problem Solving amb Teoremadel Sinus i del Cosinus. 2.4.1 Determina la longitud del costat indicat. En les imatges es mostren les dues solucions possibles. 2.4.2 Determina l’angle assenyalat. 2.5 Àrea mitjançant trigonometria. La fórmula de Heron. Àrea coneixent dos costats i l'angle que determinen. AcbÀrea sin 2 1 Demostració. Tracem l'altura h i apliquem les raons trigonomètriques al triangle rectangle de l'esquerra: Abh b h A sinsin AcbAcbchalturabaseÀrea sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 1 Exercici resolt. Calcula l'àrea del triangle: Solució: 53.9º33sin75 2 1 )sin( 2 1 AcbÀrea 2.5.1 Determina l'àrea del següent triangle: 2.5.2 Si l'àrea del triangle és 21m 2 , determina la x. Exercici resolt. Determina l'àrea de la següent figura: Solució: L'àrea del triangle ABD es pot calcular directament amb la fórmula anterior: 2m7244.44 )75(120125 2 1 )75( 2 1 SinSinADABABD Per calcular l'àrea del triangle BCD , hem de determinar la longitud DB amb el Teorema del Cosinus sobre el triangle ABD : mBDCos ACosADABADABBD 2.1494.222604.22260)75(1201252120125 )(2 22 222 I ara podem aplicar la fórmula de l’àrea: 2m3357 )35(902.149 2 1 )30( 2 1 SinSinCDBDBCD Finalment, l'àrea de la figura serà la suma de les dues àrees parcials: 2m10601.4 3357 44.7244 BCDABDABCD 2.5.3 Find: a) the length of BD b) the total area of quadrilateral ABCD. 2.5.4 Triangle ABC has acute angle θ at vertex A. Find θ correct to 1 decimal place if the area of triangle ABC is 33.4 cm2. 2.5.5 The area of triangle ABD is 33.6 m 2 . Find the length of CD. Problema. L'hexàgon ABCDEF es divideix en cinc rombes: P, Q, R, S i T, tal i com s'indica en la figura: Els rombes P, Q, R i S són congruents, i tenen àrea 2600 . Sigui K l'àrea del rombe T. Suposant que K és un enter positiu, trobeu el nombre de valors possibles de K. 2006 AIME I #8 Solució: PG/6.24 http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf Àrea d'un triangle coneixent els tres angles i un costat. B CAb ABC sin2 sinsin2 Demostració. Partim de la fórmula anterior: AcbÀrea sin 2 1 i apliquem el Teorema del Sinus: B Cb c B b C c sin sin sinsin B ACb A B Cb bAcbABC sin2 sinsin sin sin sin 2 1 sin 2 1 2 Àrea d'un triangle coneixent els tres costats ("La fórmula d'Heron"). ))()(( csbsassABC on 2 cba s s'anomena semiperímetre del triangle. Demostració. Partim de la fórmula AAAA cb Àrea AcbÀreaAcbÀreaAcbÀrea cos1cos1cos1sin 4 sin 4 1 sin 4 1 sin 2 1 22 22 2 22222222 Ara apliquem el Teorema del Cosinus: bc acb bc cba AAbccba 22 coscos2 222222 222 I per tant bc cba bc acbbc bc acbbc bc acb A 2 )( 2 2 2 2 2 1cos1 22222222222 bc acb bc acbbc bc acbbc bc acb A 2 )( 2 2 2 2 2 1cos1 22222222222 Arribem a: (**))()( )()(16 4 )()( 2 )( 2 )(4 22222 22 22222222 22 2 acbacbcbacba acbcbaÀrea cb acbcba bc acb bc cba cb Àrea Tenint en compte que: asacbaacb sacb bsbcbabcacba csccbacbacba 222 2 222)( 222)( Llavors: )())((16 )(22)(2)(22222222(**) assbscs assbscsassbscs finalment: )())(( )())(()())((1616 22 assbscsÀrea assbscsÀreaassbscsÀrea Exercici resolt. Calcula l'àrea del triangle: Solució: 8 2 16 2 754 2 cba s 8.964961438)78)(48)(58(8 ABC 2.6 Problemes PAU de trigonometria. Aquests problemes corresponen a proves de selectivitat de Catalunya entre els anys 1998 i 2003. Podeu trobar les solucions al Compendium PAU TEC Catalunya 2.6.1 La figura ens mostra tres jardins circulars mútuament tangents. Els radis d'aquests jardins són respectivament de 8, de 10 i de 12 metres. La zona del jardí més petit que està ombrejada en el dibuix (sector circular delimitat pels dos radis pels punts de tangència amb els altres dos jardins i l'arc de circumferència corresponent) es vol sembrar d'una gespa especial i es vol envoltar completament amb una petita tanca metàl·lica. Quina superfície té? Quina longitud de tanca farà falta? PAU CAT TEC 1997 #J3AP1 2.6.2 Quina és la superfície del cercle en el qual podem inscriure un triangle equilàter de perímetre 60 centímetres? PAU CAT TEC 1997 #J3BQ2 2.6.3 Determineu l'amplada d'un riu sabent que des d'una torre de 40 metres d'altura i situada a 30 metres en horitzontal de la riba del riu l'amplada d'aquest es veu sota un angle de 45 graus. PAU CAT TEC 1997 #S1AQ4 2.6.4 Per fixar exactament una direcció terrestre respecte als quatre punts cardinals (nord, sud, est i oest) convindrem a mesurar l'angle que la direcció nord forma amb la direcció donada, prenent com a sentit positiu el sentit nord – est – sud –oest. Així, per exemple, una direcció de 0 graus voldrà dir la direcció nord, i una direcció de 270 graus voldrà dir la direcció oest. Un vaixell demana ajut per ràdio i els senyals es reben en dues estacions P i Q distants entre si 65 km. L'estació P veu l'estació Q en una direcció de 132 graus (utilitzant el conveni anterior). P rep el senyal de ràdio del vaixell en una direcció de 135 graus. Q rep el senyal de ràdio del vaixell en una direcció de 264 graus. A quina distància de cada estació es troba el vaixell? PAU CAT TEC 1997 #S1BP1 http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf 2.6.5 Estic situat davant la paret d'una casa il·luminada pel sol. Em trobo a una distància de 2 metres d'aquesta paret. En aquest moment el meu cos fa una ombra sobre terra que té una longitud d'1,6 m i segueix una direcció perpendicular al pla de la paret (a la figura I, el meu cos està representat pel segment AB; l'ombra, pel segment AB', i la línia discontínua representa el raig de sol que passa pel meu cap). Si avanço un pas d'un metre en direcció a la paret (si em situo, doncs, a 1 metre de la paret), la meva ombra es trencarà en dos trossos, un tros estarà contingut al pla de terra (segment AC de la figura II) i l'altre estarà contingut al pla de la paret (segment CB' de la figura II). Sabent que la meva alçada és d'1,7 metres, calculeu l'alçada que atenyerà l'ombra sobre la paret (segment CB'). PAU CAT TEC 1997 #S4AP1 2.6.6 Suposem que les òrbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol són circumferències de radis respectius 15·107 km i 10,9·107 km. a) A quina distància es troba Venus de la Terra quan l'angle d'observació Sol –Terra – Venus és de 20º ? b) A quina distància es trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra – Sol –Venus sigui de 90º ? PAU CAT TEC 1998 #J3P1 2.6.7 Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distància de 25 m d'una de les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de 35 m d'alçària. Pugem dalt de la torre i observem l'angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que és de 20º. Feu un croquis de la situació i calculeu, amb aquestes dades, l'amplada del riu. PAU CAT TEC 1998 #J6P1 2.6.8 Des dels dos extrems de la badia d'Alcúdia (Mallorca), que són a 15,25 km l'un de l'altre, es pot veure el cim del Puig Major. Un equip de topògrafs ha pres les mides dels angles que es poden veure en el croquis següent: on A i B són els dos extrems de la badia i C, el peu del cim. A més, l'angle d'elevació del cimvist des del punt A és de 3º . Calculeu: a) L'angle entre la línia AC i la línia BC. b) Les distàncies de A a C i de B a C. c) L'alçària del cim. PAU CAT TEC 1998 #S5P1 2.6.9 Les diagonals d'un paral·lelogram mesuren 30 cm i 20 cm i es tallen formant un angle de 40º. Calculeu–ne els costats. PAU CAT TEC 1998 #S2Q1 2.6.10 Des d'una certa distància, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt més alt d'un arbre és de 60º . Ens allunyem 10 metres i l'angle anterior és ara de 30º. Quina és l'alçària de l'arbre? PAU CAT TEC 1999 #J1Q4 2.6.11 Des de terra veiem el terrat d'un gratacel sota un angle de 60º . Amb quin angle el veuríem des d'una distància al peu del gratacel doble de l'anterior? PAU CAT TEC 1999 #J6Q3 2.6.12 Per mesurar l'altura d'un núvol s'han fet simultàniament dues observacions des dels punts A i B distants entre si 1 quilòmetre i situats tots dos al nivell del mar. La inclinació de la visual des de A al núvol respecte a l'horitzontal és de 47º . Els angles que formen les visuals des de A i des de B amb la recta AB són, respectivament, de 38º i 53º tal com s'indica a la figura següent: Calculeu l'altura del núvol respecte al nivell del mar. PAU CAT TEC 1999 #J6P2 2.6.13 L'angle entre els dos costats iguals d'un triangle isòsceles és de 40º i el costat desigual té una longitud de 40 centímetres. Quina és la longitud de cada un dels costats iguals d'aquest triangle? PAU CAT TEC 1999 #S2Q4 2.6.14 Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al punt més alt d'un arbre amb l'horitzontal és de 60º . Quin serà l'angle que formarà amb l'horitzontal la visual dirigida al punt més alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distància triple de la que éreu abans? PAU CAT TEC 1999 #S5Q4 2.6.15 Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d'una habitació. Per fer–ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre separats per una distància de 140 centímetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre són de 40º i 60º a cada un dels extrems. a) Quina serà la longitud total de la corda? b) A quina distància del sostre quedarà el llum? PAU CAT TEC 1999 #S5P2 2.6.16 El circ és a la ciutat i s'ha d'instal·lar. L'especialista a muntar–lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d'acer que necessiten. El més espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l'extrem del pal principal fins a un punt determinat del terra amb el qual forma un angle de 60º, calen dos metres més de cable que si forma amb el terra un angle de 70º. En total han de posar sis cables tensats formant amb el terra un angle de 60º . Quants metres de cable necessiten? PAU CAT TEC 2000 #J1Q4 2.6.17 Els costats d'un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l'angle més petit. PAU CAT TEC 2000 #J3Q4 2.6.18 D'un angle α del primer quadrant coneixeu que sin α= 1/3. Calculeu el valor exacte de: a) tan α b) sin 2α PAU CAT TEC 2000 #S2Q4 2.6.19 Dos amics, l'Àlex i la Berta, són cadascun al terrat de casa seva, veuen un vaixell i els interessa determinar la distància a què es troba. a) Primer de tot volen calcular la distància que separa el teodolit de l'Àlex del de la Berta. Sigui A el punt on l'Àlex té plantat el teodolit i B el punt on la Berta té situat el seu. L'Àlex mesura exactament al seu terrat una distància AC = 10 m, de manera que el triangle ACB és rectangle a A. Llavors la Berta mesura l'angle a B d'aquest triangle i resulta que és de 5,6º . Calculeu la distància AB. b) Per determinar a quina distància és el vaixell, l'Àlex mesura l'angle que formen a A les visuals A–vaixell i A–B, que resulta que és 75,5º , i la Berta l'angle que formen a B les visuals B–A i B–vaixell, que és de 81,6º . A quina distància és el vaixell de la Berta? Es pot saber, sense fer més càlculs, qui és més a prop del vaixell? Per què? PAU CAT TEC 2000 #S6P2 2.6.20 Els tres costats d'un triangle mesuren 3 cm, 4 cm i 5 cm. Calculeu els seus angles i la seva àrea. PAU CAT TEC 2001 #S2Q4 2.6.21 Hem de fer un mapa d'una certa zona geogràfica. A, B i C són els cims de tres muntanyes de la mateixa alçària, de manera que les posicions de A i B són ben conegudes i ja estan representades en el mapa, mentre que la posició de C s'ha de determinar. Pugem a dalt del cim A i mesurem l'angle entre la línia A–B i la línia A–C, que és de 68°. Pugem a dalt del cim B i aquí mesurem l'angle entre les línies B–C i B– A, que resulta ser de 35°. En el mapa que tenim, la distància sobre el paper entre A i B és de 3 cm. a) Feu un diagrama de la situació i determineu quin angle formen en C les línies C–A i C–B. b) Quines seran, sobre el mapa, les distàncies entre A i C i entre B i C? c) Si el mapa és a escala 1:50000, calculeu la distància real entre els punts A,B i C. PAU CAT TEC 2001 #S2P1 2.6.22 L'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C és de 50 m² . L'angle en A d'aquest triangle és de 45° i l'angle en B és de 30°. Sigui D el peu de l'altura des del vèrtex C, és a dir, el punt del segment AB tal que CD és perpendicular a AB. Calculeu la longitud dels segments CD, AD, BD, AB, BC i AC. PAU CAT TEC 2001#S5P2 2.6.23 Siguin A, B i C els tres vèrtexs d'un triangle equilàter de costat 3 cm i P el punt del costat AB que és a 1 cm del vèrtex A. Quina és la longitud del segment CP? PAU CAT TEC 2001 #S4Q2 2.6.24 D'un paral·lelogram sabem que el costat més llarg mesura 20 cm, que la seva àrea és de 120 cm 2 i que l'angle més petit val 30°. Determineu: a) El valor de l'altre angle del paral·lelogram (el més gran). b) La longitud del costat petit. c) El que mesura la diagonal més llarga. PAU CAT TEC 2002 #J3P2 2.6.25 Sobre una circumferència de radi 1 m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtexs A, B, C, D, E d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent: (on hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs OA, OB, OC, OD i OE). Calculeu: a) L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex A amb el costat AB i l'angle que formen en el vèrtex A els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle A entre els costats EA i AB). b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon. c) La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la EB). c) L'àrea del triangle EAB. PAU CAT TEC 2002 #J2P2 2.6.26 Les agulles d'un rellotge de paret fan 10 i 12 centímetres, respectivament. a) Quina és la distància entre els seus extrems quan el rellotge assenyala les quatre? b) Quina és la superfície del triangle que determinen a aquesta hora? PAU CAT TEC 2002 #S1Q4 2.6.27 D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat val 30° i que l’àrea és de 7 m². Calculeu a) La longitud de cada un dels costats del triangle. b) Els angles del triangle. PAU CAT TEC 2003 J2P2 2.6.28 Al terrat d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telefonia mòbil. Des d'un punt P del carrer, l'angle entre l'horitzontal i la línia que va de P cap a l'extrem superior de l'antena és de 34°. Ens apropem fins a un punt Q que és 15 metres més a prop de l'edifici i ara l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem superior de l'antena és de 42°, mentre que l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem inferior de la mateixa antena és de 35°. a) Feu un esquema de la situació marcant molt clarament quins són els angles que es donen a l'enunciat. b) Calculeu les distànciesde Q als dos extrems de l'antena. c) Calculeu l'altura de l'antena i l'altura de l'edifici. PAU CAT TEC 2003 #J5P2 2.6.29 Calculeu l’àrea del triangle ABC representat en l’esquema següent: PAU CAT TEC 2003 #S3Q3 2.6.30 Calculeu el perímetre del triangle rectangle ABC, sabent que la longitud del segment CP és 32 . PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.4 2.7 Repàs general de resolució de triangles amb trigonometria. 2.7.1 En la següent figura, determina la distància x: 2.7.2 En la següent figura, determina la distància x i l’altura h: 2.7.3 En la següent figura, determina la longitud del costat b 2.7.4 En la següent figura, determina la longitud del costat a: 2.7.5 D’un triangle coneixem a=54, b=62 cm i A=40º (que és l’angle oposat al costat a). Determina l’angle B, és a dir, l’angle oposat al costat b. 2.7.6 Determina la distància CD 2.7.7 Exercici del Youtube Calcula la altura de la muntanya h i la distància x: Solució: https://youtu.be/d4KaFeUT5B8 (Píldoras matemáticas) 2.7.8 Exercici del Youtube Calcula els angles d’un triangle de costats a=5, b=8, c=7 Solució: https://youtu.be/8kmB1Vkr6PU?t=356 (Píldoras matemáticas) 2.7.9 Exercici del Youtube Calcula la distància entre els dos vaixells: Solució: https://youtu.be/DYEGu9oNaZc (Píldoras matemáticas) https://youtu.be/d4KaFeUT5B8 https://youtu.be/8kmB1Vkr6PU?t=356 https://youtu.be/DYEGu9oNaZc 3 Les funcions trigonomètriques. 3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius. Fixada una semirecta AB de referència, direm que un angle és positiu quan gira en el sentit contrari de les agulles del rellotge, i és negatiu quan gira en el sentit de les agulles del rellotge. Per a angles negatius el sinus i la tangent canvien de signe i passen a negatiu. El cosinus queda igual: )sin()sin( )cos()cos( )tan()tan( Per tant, estenem les funcions sinus i tangent com a funcions senars i la funció cosinus com a funció parell: 1,1º180,º180:sin 1,1º180,º180:cos ,º180,º180:tan 3.1.1 Construeix de forma gràfica la funció )sin( x Propietats immediates de les raons trigonomètriques. 1) En tot triangle rectangle, la hipotenusa és sempre major que els catets, per tant, sempre es compleix 1)sin(1 , 1)cos(1 2) Les tres funcions trigonomètriques estan relacionades entre sí: )cos( )sin( )tan( En efecte, per a qualsevol punt ),( yxP amb argument , )cos( )sin( / / )tan( mx my x y 3) Es compleix la Identitat Fonamental de les raons trigonomètriques: 1)(cos)(sin 22 En efecte, en tot moment s'aplica el Teorema de Pitàgores: 222 yxm , per tant )(cos)(sin1 22 22 2 2 2 2 2 22 2 2 222 m x m y m x m y m xy m m xym 3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º. Estenem les funcions trigonomètriques mòdul 360º: 1,1,:sin 1,1,:cos ,180º90,:tan k Veiem que la funció tangent no està definida per als valors kx 180º90...º450,º270,º90,...,º450,º270,º90 3.3 Coordenades polars. Tot punt ),( ba de IR 2 es pot expressar en forma polar, és a dir, de la forma mòdul+argument: );(sin,cos),( mmba Per evitar confusions, en polars separarem les dues coordenades amb un punt i coma. Per exemple, el punt )1,1( en cartesianes és º45;2 en polars. De cartesianes a polars: b a bam tan 22 (tenint en compte el quadrant del punt) De polars a cartesianes: sin cos mb ma Exercici resolt. Determina les coordenades polars del punt )3,6( Solució: º57.206º57.26180 º57.26 6 3 )tan( El punt )3,6( està clarament al primer quadrant, per tant º57.26 71.663 22 m º57.26;71.6)3,6( Exercici resolt. Determina les coordenades cartesianes del punt º30;2 Solució: 1,3º30;2 1 2 1 2º30sin2 3 2 3 2º30cos2 y x Exercici resolt. Determina les coordenades polars del punt )4,3( . Solució: º13.233º13.53º180 º13.53 3 4 )tan( . El punt )4,3( està al tercer quadrant, per tant º13.233 5)4()3( 22 m )º13.233;5()4,3( 4 Equacions trigonomètriques. Les equacions trigonomètriques són equacions en les quals apareixen raons trigonomètriques i la incògnita és un angle. 4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus. Domini de definició de l'equació: 11 a Una equació de la forma ax )sin( té com a solucions: ka ka xax º360)arcsin(º180 º360)arcsin( )sin( Exercici resolt. Resol l'equació 8.0)sin( x Solució: º86.126º360)8.0arcsin(º180 º13.53º360)8.0arcsin( 8.0)sin( k k xx Exercici resolt. Resol l'equació 4.1)sin( x Solució: Com que 14.1 , aquest valor està fora del domini de definició de l'equació, i per tant aquesta equació no té cap solució. Exercici resolt. Resol l'equació 1)sin( x Solució: º90º360)1arcsin(º180 º90º360)1arcsin( 1)sin( k k xx Per tant, aquesta equació només té una solució: º90x 4.1.1 Equacions trigonomètriques amb sinus. Dóna les possibles solucions dintre de l’interval º3600 . a) 75.0sin b) 05.1sin2 c) 05sin8 d) 25sin64 2 e) 65sin4 2 f) 0sin3sin4 2 g) 02sinsin 2 h) 01sin3sin2 2 4.2 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus. Domini de definició de l'equació: 11 a Una equació de la forma ax )cos( té com a solucions: ka ka xax º360)arccos(º360 º360)arccos( )cos( Exercici resolt. Resol l'equació 7.0)cos( x Solució: 314.43ºº360)7.0arccos(º360 º57.45º360)7.0arccos( 7.0)cos( k k xx Exercici resolt. Resol l'equació 1)(cos2 x Solució: 11)cos(1)(cos2 xx Si 0ºkº603)1arccos(º360 º0º360)1arccos( 1)cos( k xx Si 180º-180ºº360)1arccos(º360 º180º360)1arccos( 1)cos( k k xx Per tant, les solucions són º0 i º180 . Exercici resolt. Resol l'equació 2 3 )º303cos( x Solució: kk k kk xx º360º210º360º150º360 º360 2 3 arccosº360 º360º150º360 2 3 arccos 303 2 3 )º303cos( º300,º180,º60 º120º60 3 º360 3 º180 º360º1803 º360º30º1503º360º150º303 x kxkxkx kxkx º320,º200,º80 º120º80 3 º360 3 º240 º360º2403 º360º30º2103º360º210º303 x kxkxkx kxkx Les solucions són º320,º300,º200,º180,º80,º60x 4.2.1 Equacions amb cosinus. Dóna el resultat en l’interval º3600 . a) 9.0cos b) 1cos3 c) 4 1 cos2 d) coscos2 2 e) 0cos3cos4 2 4.3 Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent. Domini de definició de l'equació: , (no hi ha cap restricció) Una equació de la forma ax )tan( té com a solucions: ka ka xax º360)arctan(º180 º360)arctan( )tan( Exercici resolt. Resol l'equació 2.1)tan( x Solució: kk kk xx º360º19.230º360)2.1arctan(º180 º360º19.50º360)2.1arctan( 2.1)tan( Exercici resolt. Resol l'equació 34tan x Solució: ...,º330,º285,º240,º195,º105,º60,º15...,º330,º240,º60º90º60 4 º360º240 º360º2404 ...,º285,º195,º105,º15º90º15 4 º360º60 º360º604 º360º240º3603arctanº180 º360º60º3603arctan 434tan k k xkx k k xkx kk kk xx 4.3.1 Equacions amb tangent. a) 4.1tan b) 4tan2 c) 12tan d) 01tan3 2 e) 0tan2tan2 f) tan2tan2 4.4 Equacions trigonomètriques senzilles. 4.4.1 Resol les següents equacions: a) 2 1 cos x b) 2 2 sin x c) 2 1 2 1 sin x d) 2 3 2sin x e) 2 1 3cos x f) 1 3 1 sin x g) 0 3 1 cos x h) 1 3 2 cos x i) 1 3 1 tan x 4.4.2 Resol les següents equacions: a) 32tan3 x b) 012sin2 x c) 1)3º180tan( x 4.4.3 Resol les següents equacions: a) 1sin2 2 x b) 3cos4 2 x c) 3tan 2 x 4.4.4 Resol les següents equacions: a) 03)º20sin(2 x b) 1)º202tan(3 x c) 01)º452cos(2 x 4.4.5 Resol les següents equacions trigonomètriques: a) 3 1 )sin( x b) 1)sin(2 x c) 75.01)cos( x d) 4.1 2 3)cos( x e) 5)tan( x f) 31)sin(2 x g) 1 5 2)tan(3 x 4.5 Equacions trigonomètriques per factorització. Exercici resolt. Resol l'equació: xxx cos4cossin 2 Solució: 0cos4cossin cos4cossin 2 2 xxx xxx 0)4(sincos 2 xx Aquí apliquem la identitat "suma per diferència": 02sin 02sin 0cos 0)2)(sin2(sincos x x x xxx k k xx º360º270 º360º90 0cos 2sin02sin xx Aquesta equació no té solució. 2sin02sin xx Aquesta equació no té solució. Per tant, les solucions són kº360º90 , kº360º270 . 4.5.1 Resol l'equació 0cossin2sin3 xxx , amb º3600 x 4.5.2 Resol l'equació 02sinsin 2 xx , amb º3600 x 4.5.3 Resol les següents equacions: a) 0cos2cossin xxx b) 0cossincos2 xxx c) 1sinsin2 2 xx d) 0cossincos2 xxx 4.5.4 Equacions amb sin & cos. a) )cos(4)sin(5 b) 0sin4cos10 c) sin8cos d) 0)cos()sin()(cos2 Exercici resolt. Resol l'equació xx sin3cos1 Solució: 22 )sin3()cos1( xx Elevem al quadrat xxx 22 sin3coscos21 Apliquem Teorema Pitàgores )cos1(3coscos21 22 xxx xxx 22 cos33coscos21 0cos33coscos21 22 xxx 0cos4cos22 2 xx 0)cos2cos1(2 2 xx Factoritzem: )1)(12(12 2 aaaa 01cos 01cos2 0)1)(cos1cos2(2 x x xx kk kk xxx º360º240º360 2 1 arccosº360 º360º120º360 2 1 arccos 2 1 cos01cos2 º01cos01cos xxx Es molt important comprovar les possibles solucions. No sempre són vàlides! º0x sí és solució de l'equació: 003º0sin3 011º0cos1 º120x sí és solució de l'equació: 2/303º120sin3 2/311º120cos1 Però el valor º240x no és solució de l'equació: 2/3º240sin3 2/3º240cos1 Les úniques solucions vàlides són kº360º120 i kº360º0 4.6 Equacions trigonomètriques per canvi de variable. Convertim una equació trigonomètrica en una equació polinòmica de segon grau. Exercici resolt. Resol l'equació 5.2)sin(3)(sin5 2 xx Solució: Fent el canvi de variable )sin( xz obtenim una equació polinòmica de segon grau: 5.235 )sin( 5.2)sin(3)(sin5 2 2 zz xz xx Resolem l'equació de segon grau que hem obtingut: 068.1 468.0 52 681.73 52 593 52 )5.2(5433 05.235 5.235 2 2 2 zzz zz Desfem el canvi de variable: º10.152)468.0arcsin(180 º90.27)468.0arcsin( )sin(468.0 xxz )sin(068.1 xz Aquí veiem que -1.068 està fora del domini de definició de l'equació, per tant aquesta segona equació no té solució. Les solucions són: º10.152,º90.27 (i tots els seus múltiples de 360º) 4.6.1 Resol la següent equació: 01cos4cos2 xx Exercici resolt. Resol l'equació 5cos9cos2 2 xx Solució: 05cos9cos2 5cos9cos2 2 2 xx xx Volem factoritzar 592 2 xz . Sempre es millor factoritzar que "tirar de fórmula". I sempre es millor factoritzar de cap, intentant completar quadrats o completar productes. Les fórmules són per als losers. Especulem amb què serà de la forma ))(2( BzAz ABzABzABAzBzzBzAz )2(222))(2( 22 Per tant volem dos nombres, A i B, de forma que 92 AB i 5AB . Pensant pensant arribem a 5B i 1A . Efectivament, 5925102)5)(12( 22 zzzzzzz Ara tornem a l'equació trigonomètrica: impossiblexx x x xx xxxxxx 5cos05cos º240º120º360 º120 2 1 cos01cos2 0)5)(cos1cos2(05cos9cos25cos9cos2 22 Exercici resolt. Resol l'equació 01sin2sin2 2 xx Solució: Acabem de dir que hem d'intentar factoritzar, que les fórmules són per als losers. Però, per molt que ho intentem, no hi ha manera de factoritzar aquesta expressió. Així doncs, fem servir la fórmula: 366.1 366.0 2 31 4 322 4 122 22 )1(2422 sin 01sin2sin2 2 2 x xx El valor 366.1 està fora del rang de l'equació, per tant, l'únic valor acceptable és: º529.158º471.21º180 º471.21366.0arcsin 366.0sin xx 4.7 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus. Aplicarem la Propietat fonamental de la trigonometria: 1)(cos)(sin 22 xx i després apliquem un canvi de variable. Exercici resolt. Resol l'equació 2.21)sin()(cos2 xx Solució: Prenem la Propietat fonamental de la trigonometria... )(sin1)(cos1)(sin)(cos 2222 xxxx ...i l'apliquem a la nostra equació: 02.0)sin()(sin 02.0)sin()(sin 02.211)sin()(sin 2.21)sin()(sin1 2.21)sin()(sin1 2.21)sin()(cos 2 2 2 2 2 2 xx xx xx xx xx xx Fem un canvi de variable )sin( xz i resolem l'equació de segon grau: 724.0 277.0 2 447.01 12 2.01 12 2.01411 12 2.014)1(1 02.002.0)sin()(sin 22 22 z zzxx Desfem el canvi de variable: º92.163)277.0arcsin(º180 º081.16)277.0arcsin( 277.0)sin(277.0 xxz º614.133)724.0arcsin(º180 º386.46)724.0arcsin( 724.0)sin(724.0 xxz Les solucions són: º614.133,º386.46,º92.163,º081.16 (i tots els seus múltiples de 360º) 4.7.1 Resol les següents equacions: a) 0)(sin2)(cos 22 b) 1)sin()(cos2 2 c) 08)cos(7)(sin6 2 d) )(sin)cos()(cos 22 e) 3)(sin)cos(6)(cos3 22 4.8 Repàs d'equacions trigonomètriques. 4.8.1 Resol les següents equacions. a) 2 1 )3sin( x b) 01)sin(2 x c) 01)(tan3 2 x d) )º60cos()2sin( x e) )sin(2)sin( xx f) )cos()(cos 2 xx g) 01)sin()(sin2 2 xx h) 03)cos(3)(sin2 2 xx i) 2 1 )(cos)(sin 22 xx j) 0)(sin3)(cos 22 xx k) 3)(cos)sin(3 2 xx 4.8.2 Resol les següents equacions. a) 03sin4 2 b) 0cossincos2 c) 1sincos 2 4.8.3 Exercici del Youtube Resol les següents equacions: a) 1)sin(2 x https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=323 b) 4 3 )tan( 5 x https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=539 c) 1cos2 2 x https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=669 4.8.4 Exercici del Youtube Resol les següents equacions: a) 0)(cos2)sin(3 2 xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=139 b) 1)(sin)cos( 2 xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=365 c) 0)cos()sin( xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=464 d) )sin()cos()sin( xxx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=598e) 1)2sin( x https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=702 f) 3)2tan( x https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=828 4.8.5 Exercici del Youtube Resol la següent equació: 3)(cos)sin(3 2 xx https://youtu.be/VkKqxGarYw0 (unicoos) https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=323 https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=539 https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=669 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=139 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=365 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=464 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=598 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=702 https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=828 https://youtu.be/VkKqxGarYw0 5 Les identitats trigonomètriques. 5.1 Les identitats trigonomètriques. Suposem l'existència de dues funcions reals, a les que anomenarem sinus i cosinus, que satisfan les següents tres propietats: (a) Domini de definició: Les funcions sinus i cosinus estan definides a tota la recta real. (b) Valors especials: 1)90sin()0cos( , 1)180cos( (c) Cosinus de la diferència: yxyxyx sinsincoscoscos Llavors aquestes funcions compliran les següents propietats: (d) La identitat pitagòrica: 1)(cos)(sin 22 xx (e) Nous valors especials: 0)180sin()90cos()0sin( (f) El cosinus és una funció parell: )cos()cos( xx . (g) )sin()90cos( xx (h) El sinus és una funció senar: )sin()sin( xx (i) )cos()90sin( xx , )sin()90cos( xx (j) Periodicitat: )sin()360sin( xx , )cos()360cos( xx (k) Fórmules de la suma i diferència d'angles: yxyxyx yxyxyx sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( yxyxyx yxyxyx sinsincoscoscos sincoscossin)sin( yx yx yx tantan1 tantan )tan( yx yx yx tantan1 tantan )tan( (l) Identitats "Suma-A-Producte" i "Resta-A-Producte": 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 sin2sinsin yxyx yx yxyx yx 2 sin 2 sin2coscos 2 sin 2 cos2sinsin yxyx yx yxyx yx (m) Fórmules per a l'angle doble: x x x xxxxx xxx 2 2222 tan1 tan2 2tan sin211cos2sincos2cos cossin22sin (n) Fórmules per a l'angle meitat: 2 )cos(1 2/sin 2 1)cos( 2/cos 2 2 x x x x )cos(1 )sin( )sin( )cos(1 2/tan )cos(1 )cos(1 2/tan2 x x x x x x x x (o) Identitats "Producte-A-Suma": )sin()sin(cossin2 )cos()cos(sinsin2 )cos()cos(coscos2 yxyxyx yxyxyx yxyxyx (p) Fórmules per a l'angle triple: xxx xxx 3 3 cos4cos33cos sin4sin33sin (q) Fórmules per a l'angle quàdruple: 1cos8cos84cos sincos4sincos84sin 24 3 xxx xxxxx (r) Tangent de la semisuma i de la semidiferència: yx yxyx yx yxyx coscos sinsin 2 tan coscos sinsin 2 tan (s) Les "fórmules T": Si 2 tan t , llavors: 21 2 sin t t , 2 2 1 1 cos t t , 21 2 tan t t Demostració. d) Prenem xy en (c): xxxxxxxx 22 sincossinsincoscoscos)0cos(1 e) Prenem 0x en l'apartat anterior: 0)0sin(0)0(sin1)0(sin)0(cos)0(sin1 22222 Prenem 90x en l'apartat anterior: 0)90cos(0)90(cos)90(cos1)90(cos)90(sin1 22222 Prenem 180x en l'apartat anterior: 0)180sin(0)180(sin)1()180(sin)180(cos)180(sin1 22222 f) Prenem 0x en (c): yyyyyyy cossin0cos1sin)0sin(cos)0cos(0cos)cos( g) Apliquem (c): )sin()sin(1)cos(0)sin()90sin()cos()90cos()90cos( xxxxxx h) Apliquem la propietat anterior: )sin()90cos()90sin(0)90cos()1( )90sin()180sin()90cos()180cos( ))90(180cos()90cos())(90cos()sin( xxxx xx xxxx i) )cos()cos())90(90cos()90sin( xxxx )sin()sin())(90cos()90cos( xxxx j) )90180cos()270cos()90)270sin(()360sin( xxxx )sin())sin(()90cos()9090sin()180sin( xxxxx i l'altra identitat es demostra de forma similar. k) Apliquem (c) i tenim en compte la paritat de les funcions: yxyxyxyx yxyxyxyx sinsincoscos)sin(sincoscos )sin(sin)cos(cos)(coscos yxyxyxyx yxyxyxyx cossinsincossincoscossin sin)90sin(cos)90cos()90cos()sin( l) Tenim: yxyxyx sincoscossin)sin( yxyxyxyxyxyx sincoscossin)sin(cos)cos(sin)(sin()sin( Per tant, restant les identitats anteriors: yxyxyx sincos2)sin()sin( Prenent 2 ba x i 2 ba y , la igualtat anterior és equivalent a: 2 sin 2 cos2sinsin 2 sin 2 cos2 2 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 cos2 22 sin 22 sin baba ba bababa babababababa Fent el mateix amb la funció cosinus arribem al segon resultat. yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yxyx yxyx yx yx yx tantan1 tantan coscos sinsin coscos coscos coscos sincos coscos cossin sinsincoscos sincoscossin )cos( )sin( )tan( m) Es dedueixen directament de (k): xxxxxxxxx cossin2sincoscossin)sin()2sin( xxx xxx xxxxxxxxx 222 222 22 cos21)cos1(cos sin21sin)sin1( sincossinsincoscos)cos()2cos( x x xx xx xxx 2tan1 tan2 tantan1 tantan )tan()2tan( p) 3sin = 2sin = sin2coscos2sin = sinsin21coscossin2 2 = 32 sin2sincossin2 = 32 sin2sinsin1sin2 = 33 sin2sinsin2sin2 = 3sin4sin3 3cos = 2cos = sin2sincos2cos = sincossin2cos1cos2 2 = cossin2coscos2 23 = coscos12coscos2 23 = 32 cos2cos2coscos2 = cos3cos4 3 3tan = 2tan = tan2tan1 tan2tan = 2 2 tan1 tantan2 tan1 tan2 1 tan = 2 22 2 3 tan1 tan2tan1 tan1 tantantan2 = 2 3 tan31 tantan3 (r) Aplicant les identitats "Producte-A-Suma" xy yxyxyxyxyxyx sinsin 22 sin 22 sin 2 cos 2 sin2 yx yxyxyxyxyxyx coscos 22 cos 22 cos 2 cos 2 cos2 per tant: yx yx yxyx yxyx yx yxyx coscos sinsin 2/)(cos2/)(cos2 2/)(cos2/)(sin2 2/)(cos 2/)(sin 2 tan yx xy yxyxyxyxyxyx sinsin sinsin 22 sin 22 sin 2 sin 2 cos2 Per tant: yx yx yxyx yxyx yx yxyx coscos sinsin 2/)(cos2/)(cos2 2/)(cos2/)(sin2 2/)(cos 2/)(sin 2 tan (s) sin = 22 cossin2 = 2 2 2 2 22 sincos cossin2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos sincos cos cossin2 = 2 2 2 tan1 tan2 = 21 2 t t cos = 2 2 2 2 sincos = 2 2 2 2 2 2 2 2 sincos sincos = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sincos cos sincos = 2 2 2 2 tan1 tan1 = 2 2 1 1 t t tan = cos sin = 2 2 2 1 1 1 2 t t t t = 21 2 t t Al 1822, el matemàtic francès Joseph Fourier va descobrir que qualsevol funció d'ona, com per exemple el so, es pot modelar com a combinació lineal de funcions sinusoïdals. La disciplina que determina la combinació lineal de funcions sinusoïdals